WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
Найти Кёнигсберг на современных картах
вряд ли получится,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
но именно одна его
картографическая особенность

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
сделала город одним из самых
известных в математике.

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
Средневековый город располагался
на обоих берегах реки Прегель.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
В центре города было два больших острова.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
Оба острова друг с другом
и с берегами соединяли

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
семь мостов.

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
Карлу Готтлибу Элеру, математику, ставшему
впоследствии главой близлежащего города,

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
всё не давали покоя
эти острова и их мосты.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Он всё больше задавался вопросом:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
«Каким путём можно пройти все семь мостов,

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
но ни по одному из них не пройти дважды?»

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
Подумайте несколько секунд.

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
[7]

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
[6]

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
[5]

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
[4]

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
[3]

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
[2]

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
[1]

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
Сдаётесь?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
Наверное, сдаётесь.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
Да, это невозможно.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
Однако в попытке объяснить почему,
знаменитый математик Леонард Эйлер

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
изобрёл новое направление в математике.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
Карл написал Эйлеру письмо
и попросил помочь с задачей.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
Эйлер вначале посчитал,
что вопрос никак не связан с математикой.

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
Но чем дольше он думал над решением,

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
тем больше ему начинало казаться,
что что-то тут не так.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
Он нашёл ответ, который лежит
в плоскости геометрии,

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
в ту пору ещё не существовавшей,
которую он назвал позиционной геометрией

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
и которая сейчас известна
под названием теории графов.

NOTE Paragraph

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Первая мысль, осенившая Эйлера,

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
была о том, что маршрут от входа на остров
или перехода на берег и до выхода оттуда

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
не имеет никакого значения.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
Поэтому карту можно упрощённо изобразить
как совокупность четырёх частей города,

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
каждая из которых
представляет собой точку,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
которую мы сейчас называем вершиной,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
с линиями, или рёбрами, между ними,
представленными мостами.

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
Упрощённый граф позволяет нам легко
сосчитать рёбра каждой вершины.

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
Это число мостов,
которые соединяют эту часть города.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
Но зачем нам рёбра?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
В соответствии с правилами задачи,

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
если путешественники попадают 
в эту часть города по одному мосту,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
им надо выйти из неё через другой мост.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
То есть мосты, ведущие к вершине и от неё
по любому маршруту,

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
должны сочетаться в различных парах,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
это означает, что число мостов, 
соединяющих каждую из частей города,

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
должно быть чётным.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
Единственными исключениями 
могут быть точки начала

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
и конца маршрута.

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
На нашем графе мы видим
на четырёх вершинах нечётное число ребёр.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
Поэтому неважно, какой выбран путь,

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
в определённой точке какой-то мост
придётся пересекать дважды.

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
Эйлер использовал это доказательство, 
чтобы сформулировать общую теорию,

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
которая относится ко всем графам
с двумя и более вершинами.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Путь Эйлера, двигаясь по которому
можно пройти по мостам только один раз,

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
возможен в одном из двух случаев.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Первый: когда есть ровно две вершины,
имеющие нечётное число рёбер,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
а остальные должны иметь
чётное число рёбер.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
В данном случае начинать двигаться надо
с одной из нечётных вершин,

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
а заканчивать — на второй вершине.

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
Второй случай — это когда все вершины
имеют чётное число рёбер.

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
В таком случае путь Эйлера
начнётся и закончится в одной точке,

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
этот случай принято называть
Эйлеровым циклом.

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
Так как же создать 
Эйлеров путь в Кёнингсберге?

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
Очень просто.

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
Надо просто убрать один из мостов.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
И, похоже, история сама создала
свой собственный Эйлеров путь.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
Во время Второй мировой войны
советские ВВС уничтожили два моста,

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
и путь Эйлера стал вполне возможен.

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
Хотя, по правде говоря, в планы лётчиков
решение задачи не входило.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
В результате бомбардировок Кёнигсберг 
был почти стёрт с лица земли,

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
а затем город отстроили заново 
и назвали советским Калининградом.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
И хотя Кёнигсберга и его семи мостов
больше не существует,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
он вошёл в историю благодаря задаче,
которая только кажется простой,

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
но именно её решение привело к появлению
новой области математики.