Terão muita dificuldade em encontrar Königsberg em qualquer mapa moderno, mas uma certa peculiaridade na sua geografia tornou-a numa das cidades mais famosas da matemática. A cidade medieval germânica situava-se de ambos os lados do Rio Pregel. No centro havia duas grandes ilhas. As duas ilhas estavam ligadas uma à outra e às margens do rio por sete pontes. Carl Gottlieb Ehler, um matemático que veio a ser o prefeito duma cidade vizinha, começou a ficar obcecado com estas ilhas e pontes. Voltava sempre a uma única pergunta: Que caminho permitiria que uma pessoa atravessasse as sete pontes sem cruzar nenhuma delas mais do que uma vez? Pensem nisso por instantes. Desistem? É melhor. Não é possível. Mas a tentativa de explicar porquê, levou Leonhard Euler, o conhecido matemático, a inventar uma nova área da matemática. Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda para o problema. A princípio, Euler achou que o problema não tinha nada a ver com a matemática. Mas quanto mais pensava nisso, mais lhe parecia que, afinal, podia haver ali qualquer coisa. A resposta que encontrou tinha a ver com um tipo de geometria que ainda não existia e a que ele chamou a Geometria de Posição, hoje conhecida por Teoria dos Grafos. A primeira conclusão de Euler foi que o caminho tomado entre a entrada de uma ilha ou de uma margem do rio e a sua saída não era importante. Portanto, o mapa podia ser simplificado representando por um simples ponto cada uma das quatro massas terrestres, aquilo a que hoje chamamos um nodo. As pontes seriam representadas por linhas, ou arestas, entre elas. Este grafo simplificado permite-nos contar facilmente os graus de cada nodo. É o número de pontes em que cada massa terrestre toca. Porque é que estes graus são importantes? Segundo as regras do problema, quando os viajantes chegassem a uma massa terrestre por uma ponte, teriam que sair de lá por uma ponte diferente. Por outras palavras, as pontes que chegavam a um nodo e as que dele saiam tinham que ocorrer em pares distintos, ou seja, o número de pontes que tocavam em cada massa terrestre visitada teria que ser par. As únicas exceções possíveis seriam a localização do início e a do fim da caminhada. Olhando para o grafo, verifica-se que todos os quatro nodos têm um grau ímpar. Assim, seja qual for o caminho escolhido, a certa altura, seria necessário cruzar duas vezes a mesma ponte. Euler usou esta prova para formular uma teoria geral que se aplica a todos os grafos com dois ou mais nodos. Um caminho euleriano que visita cada aresta apenas uma vez só é possível num de dois cenários. O primeiro é quando há exatamente dois nodos de grau ímpar, o que significa que todos os restantes são pares. Aí, o ponto de partida é um dos nodos ímpar e o ponto de chegada é o outro. O segundo é quando todos os nodos são de grau par. Aí, o caminho euleriano pode começar e terminar no mesmo local o que também lhe dá o nome de circuito euleriano. Então, como podíamos criar um caminho euleriano em Konigsberg? Muito simplesmente. Basta retirar qualquer uma das pontes. Acontece que a História criou um caminho euleriano, por si mesma. Durante a II Guerra Mundial, a Força Aérea Soviética destruiu duas das pontes da cidade, possibilitando um caminho euleriano. Mas, para ser franco, provavelmente a intenção deles não era essa. Esse bombardeamento quase varreu Konigsberg do mapa que foi posteriormente reconstruída como a cidade russa de Kaliningrado. Embora Konigsberg e as suas sete pontes talvez já não existam, serão recordadas na História por este quebra-cabeças aparentemente trivial que levou ao aparecimento de toda uma nova área da matemática.