0:00:09.036,0:00:14.106
Terão muita dificuldade em encontrar[br]Königsberg em qualquer mapa moderno,

0:00:14.106,0:00:17.575
mas uma certa peculiaridade[br]na sua geografia

0:00:17.575,0:00:21.435
tornou-a numa das cidades[br]mais famosas da matemática.

0:00:22.205,0:00:26.214
A cidade medieval germânica situava-se[br]de ambos os lados do Rio Pregel.

0:00:26.214,0:00:28.875
No centro havia duas grandes ilhas.

0:00:28.875,0:00:33.204
As duas ilhas estavam ligadas[br]uma à outra e às margens do rio

0:00:33.204,0:00:34.974
por sete pontes.

0:00:35.884,0:00:38.296
Carl Gottlieb Ehler, um matemático

0:00:38.296,0:00:41.296
que veio a ser o prefeito[br]duma cidade vizinha,

0:00:41.296,0:00:44.395
começou a ficar obcecado[br]com estas ilhas e pontes.

0:00:44.395,0:00:47.205
Voltava sempre a uma única pergunta:

0:00:47.205,0:00:51.095
Que caminho permitiria que uma pessoa[br]atravessasse as sete pontes

0:00:51.095,0:00:54.276
sem cruzar nenhuma delas[br]mais do que uma vez?

0:00:55.136,0:00:56.866
Pensem nisso por instantes.

0:01:03.996,0:01:05.076
Desistem?

0:01:05.076,0:01:06.198
É melhor.

0:01:06.198,0:01:07.513
Não é possível.

0:01:07.673,0:01:10.036
Mas a tentativa de explicar porquê,

0:01:10.036,0:01:12.778
levou Leonhard Euler,[br]o conhecido matemático,

0:01:12.778,0:01:15.997
a inventar uma nova área da matemática.

0:01:15.997,0:01:18.648
Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda[br]para o problema.

0:01:18.888,0:01:23.367
A princípio, Euler achou que o problema[br]não tinha nada a ver com a matemática.

0:01:23.367,0:01:25.316
Mas quanto mais pensava nisso,

0:01:25.316,0:01:28.507
mais lhe parecia que, afinal,[br]podia haver ali qualquer coisa.

0:01:29.277,0:01:33.166
A resposta que encontrou[br]tinha a ver com um tipo de geometria

0:01:33.166,0:01:38.608
que ainda não existia[br]e a que ele chamou a Geometria de Posição,

0:01:38.608,0:01:41.137
hoje conhecida por Teoria dos Grafos.

0:01:41.897,0:01:43.783
A primeira conclusão de Euler

0:01:43.783,0:01:48.687
foi que o caminho tomado entre a entrada[br]de uma ilha ou de uma margem do rio

0:01:48.687,0:01:50.708
e a sua saída não era importante.

0:01:50.708,0:01:54.427
Portanto, o mapa podia ser simplificado[br]representando por um simples ponto

0:01:54.427,0:01:56.717
cada uma das quatro massas terrestres,

0:01:56.717,0:01:59.257
aquilo a que hoje chamamos um nodo.

0:01:59.487,0:02:04.198
As pontes seriam representadas[br]por linhas, ou arestas, entre elas.

0:02:04.428,0:02:09.299
Este grafo simplificado permite-nos[br]contar facilmente os graus de cada nodo.

0:02:09.619,0:02:12.579
É o número de pontes[br]em que cada massa terrestre toca.

0:02:12.709,0:02:14.968
Porque é que estes graus são importantes?

0:02:14.968,0:02:17.048
Segundo as regras do problema,

0:02:17.048,0:02:20.678
quando os viajantes chegassem[br]a uma massa terrestre por uma ponte,

0:02:20.678,0:02:23.800
teriam que sair de lá[br]por uma ponte diferente.

0:02:23.800,0:02:26.558
Por outras palavras, as pontes[br]que chegavam a um nodo

0:02:26.558,0:02:28.368
e as que dele saiam

0:02:28.368,0:02:30.707
tinham que ocorrer em pares distintos,

0:02:30.707,0:02:34.417
ou seja, o número de pontes que tocavam[br]em cada massa terrestre visitada

0:02:34.417,0:02:36.268
teria que ser par.

0:02:36.368,0:02:39.239
As únicas exceções possíveis seriam[br]

0:02:39.239,0:02:42.267
a localização do início[br]e a do fim da caminhada.

0:02:42.267,0:02:44.378
Olhando para o grafo, verifica-se

0:02:44.378,0:02:47.218
que todos os quatro nodos[br]têm um grau ímpar.

0:02:47.218,0:02:49.337
Assim, seja qual for o caminho escolhido,

0:02:49.337,0:02:53.440
a certa altura, seria necessário[br]cruzar duas vezes a mesma ponte.

0:02:54.230,0:02:57.839
Euler usou esta prova[br]para formular uma teoria geral

0:02:57.839,0:03:01.461
que se aplica a todos os grafos[br]com dois ou mais nodos.

0:03:01.801,0:03:05.910
Um caminho euleriano [br]que visita cada aresta apenas uma vez

0:03:05.910,0:03:08.959
só é possível num de dois cenários.

0:03:09.459,0:03:13.769
O primeiro é quando há exatamente[br]dois nodos de grau ímpar,

0:03:13.769,0:03:16.310
o que significa que todos os restantes[br]são pares.

0:03:16.310,0:03:19.659
Aí, o ponto de partida[br]é um dos nodos ímpar

0:03:19.659,0:03:21.770
e o ponto de chegada é o outro.

0:03:22.680,0:03:26.091
O segundo é quando todos os nodos[br]são de grau par.

0:03:26.091,0:03:31.081
Aí, o caminho euleriano pode começar[br]e terminar no mesmo local

0:03:31.081,0:03:34.318
o que também lhe dá o nome[br]de circuito euleriano.

0:03:34.888,0:03:38.200
Então, como podíamos criar[br]um caminho euleriano em Konigsberg?

0:03:38.200,0:03:39.482
Muito simplesmente.

0:03:39.482,0:03:41.652
Basta retirar qualquer uma das pontes.

0:03:41.652,0:03:45.710
Acontece que a História criou[br]um caminho euleriano, por si mesma.

0:03:46.080,0:03:47.663
Durante a II Guerra Mundial,

0:03:47.663,0:03:50.682
a Força Aérea Soviética destruiu[br]duas das pontes da cidade,

0:03:50.682,0:03:53.531
possibilitando um caminho euleriano.

0:03:53.831,0:03:57.241
Mas, para ser franco, provavelmente[br]a intenção deles não era essa.

0:03:57.441,0:04:00.781
Esse bombardeamento quase varreu[br]Konigsberg do mapa

0:04:00.781,0:04:04.910
que foi posteriormente reconstruída[br]como a cidade russa de Kaliningrado.

0:04:05.200,0:04:09.083
Embora Konigsberg e as suas sete pontes[br]talvez já não existam,

0:04:09.083,0:04:11.940
serão recordadas na História

0:04:11.940,0:04:13.618
por este quebra-cabeças[br]aparentemente trivial

0:04:13.618,0:04:17.662
que levou ao aparecimento[br]de toda uma nova área da matemática.