WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
Seria difícil encontrar Königsberg
em um mapa moderno,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
mas uma particularidade em sua geografia

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
a tornou uma das mais famosas
cidades da matemática.

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
A cidade medieval alemã ocupava
as duas margens do rio Pregel.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
No centro, ficavam duas grandes ilhas.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
As conexões entre as duas ilhas
e as margens do rio

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
se davam através de sete pontes.

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
Carl Gottlieb Ehler, um matemático que
se tornaria prefeito numa cidade próxima,

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
ficou obcecado por essas ilhas e pontes.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Ele insistia em uma única questão:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
qual caminho teria que ser feito
para se cruzar as sete pontes

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
sem passar por uma ponte
mais de uma vez?

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
Reflita por um momento.

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
[7]

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
[6]

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
[5]

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
[4]

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
[3]

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
[2]

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
[1]

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
Desistiu?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
Muito bem.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
É impossível.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
Mas a tentativa de explicar o porquê
levou o famoso matemático Leonhard Euler

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
a inventar um novo campo da matemática.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
Carl pediu a Euler ajuda com o problema.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
Euler a princípio pensou que a questão
não tinha relação com matemática.

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
Mas quanto mais ele pensava,

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
mais parecia haver algo ali
no fim das contas.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
A solução que ele encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
que ainda não existia, a qual ele nomeou
"Geometria de Posição",

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
conhecida hoje como Teoria dos Grafos.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Euler concluiu primeiro

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
que o caminho percorrido dentro
de uma ilha ou margem específica

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
não importava.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
Assim, o mapa podia ser simplificado
se cada porção de terra

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
fosse representada por um ponto,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
o que nós hoje chamamos de vértice,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
com linhas, ou arestas, entre eles
representando as pontes.

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
Esse grafo simplificado nos permite
contar os graus de cada vértice.

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
Esse é o número de pontes
que cada porção de terra possui.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
Qual a importância dos graus?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
Segundo as regras do desafio,

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
quando viajantes entrarem
numa porção de terra por uma ponte,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
eles têm que sair dela por outra ponte.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
Ou seja, as pontes que chegam
e que saem de cada vértice

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
devem ocorrer em pares,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
o que significa que o número de pontes
em cada porção de terra visitada

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
deve ser par.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
As únicas exceções seriam o começo

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
e o fim da caminhada.

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
Olhando para o grafo, fica evidente
que todos os vértices têm grau ímpar.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
Não importa o caminho escolhido,

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
em algum momento, uma ponte
será cruzada duas vezes.

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
Euler usou essa prova
para formular uma teoria geral

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
que se aplica a todo grafo
com dois ou mais vértices.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Um caminho euleriano
que passa apenas uma vez por cada aresta

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
só é possível num dos seguintes cenários.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
O primeiro é quando existem exatos
dois vértices de grau ímpar,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
e todos os outros são pares.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Nesse caso, o ponto de partida
é um dos vértices ímpares,

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
e o final é o outro.

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
O segundo é quando
todos os vértices têm grau par.

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
Nesse caso, o caminho inicia
e termina no mesmo local,

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
configurando o que chamamos
de circuito euleriano.

00:03:34.758 --> 00:03:38.240
Então, como um caminho euleriano
poderia ser criado em Königsberg?

00:03:38.240 --> 00:03:39.302
É simples.

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
É só remover uma das pontes.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
Curiosamente, a história criou
um caminho euleriano por conta própria.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos
destruíram duas das pontes da cidade,

00:03:50.198 --> 00:03:53.571
fazendo surgir um caminho euleriano.

00:03:53.571 --> 00:03:57.294
Embora essa provavelmente
não fosse sua intenção.

00:03:57.294 --> 00:04:00.781
Os bombardeios praticamente
varreram Königsberg do mapa,

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
e a cidade foi reconstruída pela Rússia
sob o nome de Kaliningrado.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
Mesmo que Königsberg e suas sete pontes
não estejam mais entre nós,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
elas ficarão para sempre na história
por causa desse simples enigma

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
que deu origem a um ramo
da matemática inteiramente novo.