0:00:09.036,0:00:14.106 Seria difícil encontrar Königsberg[br]em um mapa moderno, 0:00:14.106,0:00:17.415 mas uma particularidade em sua geografia 0:00:17.415,0:00:22.205 a tornou uma das mais famosas[br]cidades da matemática. 0:00:22.205,0:00:26.214 A cidade medieval alemã ocupava[br]as duas margens do rio Pregel. 0:00:26.214,0:00:28.875 No centro, ficavam duas grandes ilhas. 0:00:28.875,0:00:33.124 As conexões entre as duas ilhas[br]e as margens do rio 0:00:33.124,0:00:35.884 se davam através de sete pontes. 0:00:35.884,0:00:41.296 Carl Gottlieb Ehler, um matemático que[br]se tornaria prefeito numa cidade próxima, 0:00:41.296,0:00:44.395 ficou obcecado por essas ilhas e pontes. 0:00:44.395,0:00:47.205 Ele insistia em uma única questão: 0:00:47.205,0:00:51.095 qual caminho teria que ser feito[br]para se cruzar as sete pontes 0:00:51.095,0:00:55.136 sem passar por uma ponte[br]mais de uma vez? 0:00:55.136,0:00:56.946 Reflita por um momento. 0:00:56.946,0:00:57.936 [7] 0:00:57.936,0:00:58.947 [6] 0:00:58.947,0:00:59.916 [5] 0:00:59.916,0:01:00.847 [4] 0:01:00.847,0:01:01.956 [3] 0:01:01.956,0:01:02.886 [2] 0:01:02.886,0:01:03.996 [1] 0:01:03.996,0:01:05.076 Desistiu? 0:01:05.076,0:01:06.198 Muito bem. 0:01:06.198,0:01:07.513 É impossível. 0:01:07.513,0:01:12.636 Mas a tentativa de explicar o porquê[br]levou o famoso matemático Leonhard Euler 0:01:12.636,0:01:15.997 a inventar um novo campo da matemática. 0:01:15.997,0:01:18.648 Carl pediu a Euler ajuda com o problema. 0:01:18.648,0:01:23.367 Euler a princípio pensou que a questão[br]não tinha relação com matemática. 0:01:23.367,0:01:25.136 Mas quanto mais ele pensava, 0:01:25.136,0:01:28.977 mais parecia haver algo ali[br]no fim das contas. 0:01:28.977,0:01:32.906 A solução que ele encontrou[br]tinha a ver com um tipo de geometria 0:01:32.906,0:01:38.258 que ainda não existia, a qual ele nomeou[br]"Geometria de Posição", 0:01:38.258,0:01:41.897 conhecida hoje como Teoria dos Grafos. 0:01:41.897,0:01:43.443 Euler concluiu primeiro 0:01:43.443,0:01:48.507 que o caminho percorrido dentro[br]de uma ilha ou margem específica 0:01:48.507,0:01:50.578 não importava. 0:01:50.578,0:01:54.427 Assim, o mapa podia ser simplificado[br]se cada porção de terra 0:01:54.427,0:01:56.627 fosse representada por um ponto, 0:01:56.627,0:01:59.297 o que nós hoje chamamos de vértice, 0:01:59.297,0:02:04.198 com linhas, ou arestas, entre eles[br]representando as pontes. 0:02:04.198,0:02:09.619 Esse grafo simplificado nos permite[br]contar os graus de cada vértice. 0:02:09.619,0:02:13.219 Esse é o número de pontes[br]que cada porção de terra possui. 0:02:13.219,0:02:14.598 Qual a importância dos graus? 0:02:14.598,0:02:16.828 Segundo as regras do desafio, 0:02:16.828,0:02:20.678 quando viajantes entrarem[br]numa porção de terra por uma ponte, 0:02:20.678,0:02:23.800 eles têm que sair dela por outra ponte. 0:02:23.800,0:02:28.168 Ou seja, as pontes que chegam[br]e que saem de cada vértice 0:02:28.168,0:02:30.587 devem ocorrer em pares, 0:02:30.587,0:02:34.239 o que significa que o número de pontes[br]em cada porção de terra visitada 0:02:34.239,0:02:36.368 deve ser par. 0:02:36.368,0:02:40.029 As únicas exceções seriam o começo 0:02:40.029,0:02:42.267 e o fim da caminhada. 0:02:42.267,0:02:47.218 Olhando para o grafo, fica evidente[br]que todos os vértices têm grau ímpar. 0:02:47.218,0:02:49.187 Não importa o caminho escolhido, 0:02:49.187,0:02:53.440 em algum momento, uma ponte[br]será cruzada duas vezes. 0:02:53.440,0:02:57.709 Euler usou essa prova[br]para formular uma teoria geral 0:02:57.709,0:03:01.721 que se aplica a todo grafo[br]com dois ou mais vértices. 0:03:01.721,0:03:05.790 Um caminho euleriano[br]que passa apenas uma vez por cada aresta 0:03:05.790,0:03:09.159 só é possível num dos seguintes cenários. 0:03:09.159,0:03:13.769 O primeiro é quando existem exatos[br]dois vértices de grau ímpar, 0:03:13.769,0:03:16.310 e todos os outros são pares. 0:03:16.310,0:03:19.659 Nesse caso, o ponto de partida[br]é um dos vértices ímpares, 0:03:19.659,0:03:21.770 e o final é o outro. 0:03:21.770,0:03:26.091 O segundo é quando[br]todos os vértices têm grau par. 0:03:26.091,0:03:31.231 Nesse caso, o caminho inicia[br]e termina no mesmo local, 0:03:31.231,0:03:34.758 configurando o que chamamos[br]de circuito euleriano. 0:03:34.758,0:03:38.240 Então, como um caminho euleriano[br]poderia ser criado em Königsberg? 0:03:38.240,0:03:39.302 É simples. 0:03:39.302,0:03:41.402 É só remover uma das pontes. 0:03:41.402,0:03:46.080 Curiosamente, a história criou[br]um caminho euleriano por conta própria. 0:03:46.080,0:03:50.198 Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos[br]destruíram duas das pontes da cidade, 0:03:50.198,0:03:53.571 fazendo surgir um caminho euleriano. 0:03:53.571,0:03:57.294 Embora essa provavelmente[br]não fosse sua intenção. 0:03:57.294,0:04:00.781 Os bombardeios praticamente[br]varreram Königsberg do mapa, 0:04:00.781,0:04:04.910 e a cidade foi reconstruída pela Rússia[br]sob o nome de Kaliningrado. 0:04:04.910,0:04:09.083 Mesmo que Königsberg e suas sete pontes[br]não estejam mais entre nós, 0:04:09.083,0:04:13.361 elas ficarão para sempre na história[br]por causa desse simples enigma 0:04:13.361,0:04:17.662 que deu origem a um ramo[br]da matemática inteiramente novo.