WEBVTT

00:00:08.786 --> 00:00:13.826
Dziś trudno byłoby wam
znaleźć Królewiec na mapie,

00:00:13.826 --> 00:00:17.355
ale pewna jego geograficzna osobliwość

00:00:17.355 --> 00:00:21.885
spowodowała, że Królewiec stał się jednym
z najsłynniejszych miast w matematyce.

00:00:21.885 --> 00:00:26.134
Przez to średniowieczne niemieckie
miasto przepływała rzeka Pregoła.

00:00:26.134 --> 00:00:28.805
Pośrodku rzeki leżały dwie duże wyspy.

00:00:28.805 --> 00:00:33.124
Połączone były z lądem i między sobą

00:00:33.124 --> 00:00:35.694
siedmioma mostami.

00:00:35.694 --> 00:00:41.076
Carl Gottlieb Ehler, matematyk,
a później burmistrz pobliskiego miasta,

00:00:41.076 --> 00:00:44.275
miał obsesję na punkcie
tych wysp i mostów.

00:00:44.275 --> 00:00:47.025
Wciąż powracał do jednego pytania:

00:00:47.025 --> 00:00:50.935
Która trasa umożliwiłaby przejście
wszystkich siedmiu mostów

00:00:50.935 --> 00:00:54.906
bez pokonania żadnego więcej niż raz?

00:00:54.906 --> 00:00:56.726
Pomyślcie o tym przez chwilę.

00:00:56.726 --> 00:00:57.706
7

00:00:57.706 --> 00:00:58.677
6

00:00:58.677 --> 00:00:59.706
5

00:00:59.706 --> 00:01:00.757
4

00:01:00.757 --> 00:01:01.726
3

00:01:01.726 --> 00:01:02.666
2

00:01:02.666 --> 00:01:03.566
1

00:01:03.566 --> 00:01:04.886
Daliście sobie spokój?

00:01:04.886 --> 00:01:06.038
Powinniście.

00:01:06.038 --> 00:01:07.253
To niemożliwe.

00:01:07.253 --> 00:01:12.546
Próby wyjaśnienia tej zagadki doprowadziły
słynnego matematyka Leonharda Eulera

00:01:12.546 --> 00:01:15.767
do stworzenia nowego
działu w matematyce.

00:01:15.767 --> 00:01:18.598
Carl pisał do Eulera z prośbą o pomoc.

00:01:18.598 --> 00:01:23.227
Euler początkowo zignorował
pytanie jako niezwiązane z matematyką.

00:01:23.227 --> 00:01:25.086
Jednak im więcej nad nim myślał,

00:01:25.086 --> 00:01:28.977
tym bardziej wydawało mu się,
że coś w tym jednak jest.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
Odpowiedź, na którą wpadł,
związana była z działem geometrii,

00:01:32.906 --> 00:01:35.268
który wtedy jeszcze nie istniał.

00:01:35.268 --> 00:01:41.897
Nazwał go geometrią położenia,
znaną dziś jako teoria grafów.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Euler doszedł do wniosku,

00:01:43.443 --> 00:01:48.157
że kolejność przejścia mostów

00:01:48.157 --> 00:01:50.438
nie ma tak naprawdę żadnego znaczenia.

00:01:50.438 --> 00:01:54.427
Mapę można więc ograniczyć
do przedstawienia czterech lądów,

00:01:54.427 --> 00:01:56.597
oznaczonych przez pojedyncze punkty,

00:01:56.597 --> 00:01:58.987
nazywanych dziś wierzchołkami.

00:01:58.987 --> 00:02:03.928
Linie między nimi reprezentują mosty.

00:02:03.928 --> 00:02:09.379
Ten uproszczony schemat pozwala nam
łatwo policzyć łuki każdego wierzchołka.

00:02:09.379 --> 00:02:12.909
Jest to liczba mostów,
które dotyka każdy z lądów.

00:02:12.909 --> 00:02:14.498
Dlaczego to ma takie znaczenie?

00:02:14.498 --> 00:02:16.828
Zgodnie z zasadami,

00:02:16.828 --> 00:02:20.448
jeśli człowiek wejdzie
na ląd przez jeden most,

00:02:20.448 --> 00:02:23.530
będzie musiał wejść na
kolejny most, by opuścić ląd.

00:02:23.530 --> 00:02:28.168
Innymi słowy, mosty prowadzące
na każdy ląd i z niego

00:02:28.168 --> 00:02:30.417
muszą łączyć się w pary.

00:02:30.417 --> 00:02:36.078
To oznacza, że każdy z nich musi być
połączony parzystą liczbą mostów z innymi.

00:02:36.078 --> 00:02:42.019
Jedynym wyjątkiem są
początek i koniec trasy.

00:02:42.019 --> 00:02:44.048
Po spojrzeniu na schemat okazuje się,

00:02:44.048 --> 00:02:46.968
że wszystkie lądy mają
nieparzystą ilość łuków.

00:02:46.968 --> 00:02:49.187
Obrana trasa nie ma więc znaczenia.

00:02:49.187 --> 00:02:54.020
W którymś momencie jeden most
będzie trzeba przekroczyć dwukrotnie.

00:02:54.020 --> 00:02:57.709
Euler wykorzystał ten dowód
do sformułowania ogólnej teorii

00:02:57.709 --> 00:03:01.641
odnoszącej się do wszystkich grafów
z dwoma lub większą liczbą łuków.

00:03:01.641 --> 00:03:05.790
Łańcuch Eulera, w którym
każdy most przekracza się tylko raz,

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
jest możliwy tylko w dwóch przypadkach.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Pierwszy przypadek to dokładnie dwa
wierzchołki z nieparzystą liczbą łuków,

00:03:13.769 --> 00:03:16.270
czyli że wszystkie pozostałe są parzyste.

00:03:16.270 --> 00:03:22.030
Tymi dwoma wierzchołkami są punkt
początkowy i punkt końcowy trasy.

00:03:22.030 --> 00:03:26.091
W drugim przypadku wszystkie wierzchołki
mają parzystą liczbę łuków.

00:03:26.091 --> 00:03:30.681
Droga rozpoczyna się wtedy
i kończy w tym samym miejscu,

00:03:30.681 --> 00:03:34.628
co tworzy tak zwany cykl Eulera.

00:03:34.628 --> 00:03:38.170
Jak więc stworzyć
łańcuch Eulera w Królewcu?

00:03:38.170 --> 00:03:39.062
To proste.

00:03:39.062 --> 00:03:41.402
Wystarczy usunąć jeden most.

00:03:41.402 --> 00:03:45.840
Okazuje się, że historia stworzyła
już kiedyś własny łańcuch Eulera.

00:03:45.840 --> 00:03:50.368
Podczas II wojny światowej radzieckie
lotnictwo zniszczyło dwa mosty,

00:03:50.368 --> 00:03:53.531
powodując, że łańcuch
Eulera stał się możliwy.

00:03:53.531 --> 00:03:57.051
Oczywiście nie o to chodziło
radzieckim lotnikom.

00:03:57.051 --> 00:04:00.641
Bombardowania w znacznej części
zmiotły Królewiec z powierzchni ziemi.

00:04:00.641 --> 00:04:04.840
Odbudowano go później jako
rosyjskie miasto Kaliningrad.

00:04:04.840 --> 00:04:08.973
Choć Królewca i jego
siedmiu mostów już nie ma,

00:04:08.973 --> 00:04:11.451
to zagadnienie siedmiu mostów
zapisało się w historii

00:04:11.451 --> 00:04:13.361
jako pozornie trywialna zagadka,

00:04:13.361 --> 00:04:17.732
która zapoczątkowała
nową dziedzinę matematyki.