WEBVTT

00:00:08.970 --> 00:00:14.106
현대의 지도에서 쾨니스버그를 
찾으려면 어려울 겁니다.

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
하지만 지리적으로 매우 
특이한 곳이었기 때문에

00:00:17.415 --> 00:00:21.695
이곳은 수학적으로 가장 유명한 
도시 중 하나가 되었습니다.

00:00:21.965 --> 00:00:26.214
중세 독일에 있던 이 도시는 
프레겔 강의 양변에 놓여 있었어요.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
그 중심에는 두 개의 큰 섬이 있었고

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
두 섬 사이와 두 섬과 
강의 양쪽 둑 사이를

00:00:33.124 --> 00:00:35.464
일곱 개의 다리가 연결하고 있었어요.

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
훗날 인근 마을의 시장인 된 
칼 고트립 일러라는 수학자가

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
차츰 그 섬과 다리에 관해 
고민하게 되었어요.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
그는 단 한가지 문제에 계속 골몰했죠.

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
어떤 경로로 가면 일곱 개의 
다리를 모두 건너면서도

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
각 다리를 단 한 번씩만 건너게 될까?

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
여러분도 잠시 생각해 보세요.

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
7

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
6

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
5

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
4

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
3

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
2

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
1

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
포기할 건가요?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
당연히 그래야죠.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
그건 불가능하니까요.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
하지만 왜 불가능한지를 설명하는 와중에,
유명한 수학자 레온하드 오일러는

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
수학의 새로운 분야를 
창시하게 되었어요.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
칼은 오일러에게 문제 푸는 걸 
도와달라고 편지를 썼어요.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
오일러는 처음에는 이 문제가 수학과는
무관하다고 생각해 무시했고요.

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
하지만 그 문제와 씨름을 거듭할수록

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
뭔가 중요한 사실이 있을 것만 같았죠.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
그가 찾아낸 해답은 일종의 
기하학과 관련이 있었는데

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
아직 존재하지 않았던 분야였기 때문에, 
그는 이를 위상 기하학이라 불렀어요

00:01:38.258 --> 00:01:41.407
현대에는 그래프 이론이라고 하죠.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
오일러가 처음 통찰했던 사실은

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
둘 중 한 섬이나 한 쪽 강둑으로 들어갔다
나올 때 어떤 경로를 취할 것이냐는

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
전혀 중요하지 않다는 점이었어요.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
그리하여 네 개의 땅을 
결절(노드)이라 하는 하나의 점으로

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
각각 표시하고

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
땅덩어리 사이를 연결하는 다리를

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
선으로 표시하는 방식으로 
지도를 단순화할 수 있었죠

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
이처럼 단순화된 그래프를 이용하면 
각 결절의 등급을 헤아리기가 쉽습니다.

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
등급이란 각 땅이 맞닿는 
다리의 수를 말합니다.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
등급이 왜 중요할까요?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
문제에서 제시된 규칙에 따르면

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
보행자가 일단 한 다리를 이용해서 
어떤 땅에 도착하고 나면

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
반드시 다른 다리를 통해 
그곳을 떠나야만 합니다.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
달리 말하면, 어떤 경로를 택하든 
각 결절에 연결되는 다리는

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
반드시 분리된 쌍으로 
존재해야만 합니다.

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
결국 도착한 땅에 연결된 다리의 수가

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
반드시 짝수여야만 한다는 말입니다.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
유일한 예외라면 여정의 출발 지점과

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
종료 지점일 겁니다.

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
그래프를 보면 네 개의 결절 모두 
홀수의 등급을 가지고 있는게 확실하죠.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
따라서 어떤 경로를 택하든 관계없이

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
어느 지점에선가는 한 다리를 두 번 
건널 수밖에 없을 것입니다.

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
오일러는 이러한 증거를 이용해서 
두 개 이상의 결절을 지닌

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
모든 그래프에 적용되는 
일반화된 규칙을 수립했습니다.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
각 경로를 오직 한 번만 
지나게 되는 오일러의 길은

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
다음 두 경우에만 가능합니다.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
첫째, 홀수 등급의 결절이 정확히 
두 개만 존재하는 경우입니다.

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
나머지는 모두 짝수란 얘기겠죠.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
이 경우 두 홀수 결절 중 
하나가 출발점이고

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
나머지 하나는 종료점입니다.

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
둘째는 모든 결절이 
짝수 등급인 경우입니다.

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
이런 오일러의 길에서는 
출발점과 종료점이 같아집니다.

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
그래서 이런 길을 
오일러의 순환로라고 부릅니다.

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
쾨니스버그에 오일러의 길을 
만들려면 어떻게 하면 될까죠?

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
간단합니다.

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
아무 다리나 하나를 없애면 됩니다.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
사실 역사상 오일러의 길이 그곳에
만들어진 적이 있었습니다.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
이차대전 중에 소련의 공군이 
이 도시의 다리 중 두 개를 폭파했거든요.

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
그 결과 오일러의 길이 
간단하게 만들어졌죠.

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
물론 그들이 그러려고 
했던 건 아니었겠지만요.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
이 폭격으로 인해 쾨니스버그는 
지도상에서 거의 사라지게 되었고

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
나중에 그곳은 러시아의 칼리닌그라드라는
도시로 재건되었습니다.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
쾨니스버그와 그 일곱 다리는 
더 이상 존재하지 않지만

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
사람들 기억속에는 영원히 남을 겁니다.
사소해 보이는 수수께기 하나 때문에

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
수학적으로 완전히 새로운 
분야 하나가 탄생했으니까요.