WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
現代の地図でケーニヒスベルクを
見つけるのは不可能です

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
しかしこの街は １つの特徴的な地形により

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
数学の分野で
最も有名な街の１つになったのです

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
この中世ドイツの街はプレーゲル川の
両側にまたがっており

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
その中心には２つの島がありました

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
２つの島と川岸はそれぞれ

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
７本の橋でつながっていました

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
数学者で後に近くの街の市長になった
カール・ゴットリーブ・エーラは

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
これらの島と橋に関する

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
１つの問題に取り付かれるようになりました

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
「どの経路なら 同じ橋を２度渡ることなく

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
７本全ての橋を渡れるのだろう？」
というものです

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
ちょっと考えてみてください

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
７

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
６

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
５

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
４

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
３

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
２

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
１

00:01:03.996 --> 00:01:05.075
降参ですか？

00:01:05.075 --> 00:01:06.198
当然です

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
不可能なのです

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
一方 その理由の説明を試みる過程で
有名な数学者レオンハルト・オイラーは

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
数学の新しい分野を生み出しました

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
カールは手紙を書き
オイラーに助けを求めました

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
オイラーは最初はこの問題は
数学に無関係として片付けました

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
しかしこの問題と格闘するほど

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
それ以上の何かがあるのではないかと
考えるようになりました

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
彼が出した答えは
それまで存在しなかった新しい幾何学の分野

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
彼自身は「位置の幾何学」と呼び

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
現在はグラフ理論というものに
関係していました

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
オイラーの最初の洞察は

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
どの経路で島や川岸を往来したかは

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
関係がないということでした

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
このように地図上の４つの土地は

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
現在我々が頂点と呼ぶ

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
１つの点として

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
橋は頂点の間の直線
もしくは辺として単純化できます

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
そしてこの簡素化されたグラフは
各頂点の次数

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
つまり各地点につながる橋の数を
数えやすくします

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
ではなぜ次数が重要なのでしょうか？

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
このクイズのルールでは

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
旅人がある橋を通って
１つの土地に到着したら

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
他の橋を通って
出て行かなければなりません

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
これはルート上にある全ての頂点で
到着と出発のための橋が

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
対になる必要があるということです

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
すなわち個々の土地につながる橋の数は

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
偶数でなければいけないということです

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
唯一例外が認められるのは

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
出発地点とゴール地点です

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
この図を見れば４箇所の頂点全てが
奇数の次数を持っていることは明らかです

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
したがってどのような道筋であっても

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
どこかの時点で橋は
２度渡らないといけないのです

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
オイラーはこの証明から
２つ以上の頂点を持つ全てのグラフに当てはまる

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
一般理論を作りました

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
全ての辺を１度だけ通るオイラー路には

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
２つのシナリオしかありません

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
最初のシナリオは
２つの頂点だけが奇数の次数を持ち

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
残りの頂点の次数が偶数のものです

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
この場合には奇数の次数を持つ
頂点の１つが出発地点となり

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
もう１つの頂点がゴール地点になります

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
２つ目のシナリオは全ての頂点が
偶数の次数を持つ場合です

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
この場合は出発地点とゴール地点は
同じ場所になり

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
オイラー閉路と呼ばれる回路を作ります

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
ではケーニヒスベルクで
オイラー路を作るにはどうしたらよいでしょうか

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
答えは簡単です

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
どれか橋を１本取り除けばいいのです

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
その後 歴史は自ら
オイラー路を作りました

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
第二次世界大戦の最中に
ソビエト空軍が街の２本の橋を破壊したため

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
オイラー路が簡単に作れるようになりました

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
公平を期して言えば ソビエトの目的は
オイラー路ではなかったでしょう

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
これらの爆撃によって
ケーニヒスベルクは正に地図から消し去られ

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
後日カリーニングラードという
ロシアの街として再建されました

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
だから７本の橋があるケーニヒスベルクの街は
もう存在しないかもしれませんが

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
他愛ないクイズから
数学の新しい分野を生み出した街として

00:04:13.361 --> 00:04:17.661
歴史的に記憶されることでしょう