1
00:00:08,896 --> 00:00:14,106
Hiába is keresnénk Königsberget
egy mai térképen,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
különös földrajzi helyzete folytán

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
mégis az egyik leghíresebb 
várossá vált a matematikában.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
A középkori német város 
a Pregel folyó két partján terült el.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
Közepén volt két nagy sziget.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
A két szigetet egymással és a partokkal

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
hét híd kötötte össze.

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
Carl Gottlieb Ehler matematikus, 
egy közeli város későbbi polgármestere

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
e szigeteknek és hidaknak
megszállottjává vált.

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Folyton ugyanahhoz 
a kérdéshez kanyarodott vissza:

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
Melyik az az út, amely mentén 
átmehetünk minden hídon,

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
de mindegyiken csak egyszer?

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
Gondolkodjunk csak egy pillanatig.

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
7

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
6

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
5

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
4

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
3

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
2

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
1

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
Feladják?

22
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
Fel kéne.

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
Nincs ilyen.

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
Leonhard Euler, a neves matematikus, 
amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
a matematika egy új területét hozta létre.

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
Carl írt Eulernek, hogy segítsen 
megoldani a problémát.

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
Euler először elhessentette a kérdést, 
mint aminek semmi köze a matematikához.

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
de minél többet nyűglődött rajta,

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
annál inkább úgy tűnt, 
hogy talán mégis lenne valami köze.

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
A válasz, amit talált, a geometriának 
olyan ágához köthető,

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
ami ekkor még nem igazán létezett, 
és amit ő a helyek geometriájának hívott,

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
ma pedig gráfelmélet néven ismert.

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
Euler első meglátása az volt,

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
hogy nem számít, hogy a szigeteken 
és a partokon

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
milyen úton megyünk.

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon, 
hogy a négy földdarabot

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
egy-egy pont reprezentálja –

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
ezeket csúcsoknak nevezzük –,

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek, 
amelyek összekötik a pontokat.

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,719
E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi, 
hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.

41
00:02:09,719 --> 00:02:13,219
Ez a szám az adott szárazföldet 
érintő hidak száma.

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
Miért érdekes a fokszám?

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
A séta szabályai szerint

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
ha egyszer az utazó megérkezik 
a szárazföldre az egyik hídon,

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
akkor egy másikon keresztül
kell onnan távoznia.

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
Vagyis az egy csúcsba 
be- és onnan kifutó hidak

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
ami azt jelenti, hogy minden földdarabot

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
páros számú hídnak kell érintenie.

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
Kivétel ez alól csak

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
a séta kezdő- és végpontja lehet.

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik, 
hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
Bármelyik utat is választjuk tehát,

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
valamelyik pontnál az egyik hidat 
kétszer kell használjuk.

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
Euler ezt a bizonyítást használta 
egy általános tétel megfogalmazására,

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
amely igaz minden olyan gráfra, 
amelynek legalább két csúcsa van.

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Az Euler-vonal, amely minden élt 
csak egyszer használ,

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
csupán az alábbi két eset 
valamelyikében lehetséges:

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
Az első, amikor pontosan két olyan 
csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
azaz az összes többié páros.

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Ilyenkor a kezdőpont 
az egyik páratlan fokszámú csúcs,

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
a végpont pedig a másik.

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
A másik eset, amikor minden csúcs 
fokszáma páros.

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
Ilyenkor az Euler-vonal
kezdő- és végpontja megegyezik,

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
ezt Euler-körnek is nevezik.

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
Tehát hogyan tudnánk létrehozni 
egy Euler-vonalat Königsbergben?

67
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
Egyszerűen.

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
Hagyjunk el egy hidat.

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
A történelem megcsinálta 
a maga Euler-vonalát.

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
A 2. világháború alatt a szovjet légierő 
a város két hídját megsemmisítette,

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
ezzel az Euler-vonalat könnyen 
megrajzolhatóvá tette.

72
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
Az igazsághoz tartozik,
hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.

73
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
Ezek a bombák jócskán letörölték 
Königsberget a térképről.

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
hogy azután orosz városként 
épüljön újjá, Kalinyingrád néven.

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
Így, bár Königsberget és hét hídját
már nem lehet körbejárni,

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
mindenkorra emlékezetes marad
e látszólag egyszerű rejtvény révén,

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
amely a matematika egy új ágának
felbukkanásához vezetett.