Hiába is keresnénk Königsberget
egy mai térképen,
különös földrajzi helyzete folytán
mégis az egyik leghíresebb
várossá vált a matematikában.
A középkori német város
a Pregel folyó két partján terült el.
Közepén volt két nagy sziget.
A két szigetet egymással és a partokkal
hét híd kötötte össze.
Carl Gottlieb Ehler matematikus,
egy közeli város későbbi polgármestere
e szigeteknek és hidaknak
megszállottjává vált.
Folyton ugyanahhoz
a kérdéshez kanyarodott vissza:
Melyik az az út, amely mentén
átmehetünk minden hídon,
de mindegyiken csak egyszer?
Gondolkodjunk csak egy pillanatig.
7
6
5
4
3
2
1
Feladják?
Fel kéne.
Nincs ilyen.
Leonhard Euler, a neves matematikus,
amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,
a matematika egy új területét hozta létre.
Carl írt Eulernek, hogy segítsen
megoldani a problémát.
Euler először elhessentette a kérdést,
mint aminek semmi köze a matematikához.
de minél többet nyűglődött rajta,
annál inkább úgy tűnt,
hogy talán mégis lenne valami köze.
A válasz, amit talált, a geometriának
olyan ágához köthető,
ami ekkor még nem igazán létezett,
és amit ő a helyek geometriájának hívott,
ma pedig gráfelmélet néven ismert.
Euler első meglátása az volt,
hogy nem számít, hogy a szigeteken
és a partokon
milyen úton megyünk.
Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon,
hogy a négy földdarabot
egy-egy pont reprezentálja –
ezeket csúcsoknak nevezzük –,
a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek,
amelyek összekötik a pontokat.
E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi,
hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.
Ez a szám az adott szárazföldet
érintő hidak száma.
Miért érdekes a fokszám?
A séta szabályai szerint
ha egyszer az utazó megérkezik
a szárazföldre az egyik hídon,
akkor egy másikon keresztül
kell onnan távoznia.
Vagyis az egy csúcsba
be- és onnan kifutó hidak
egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,
ami azt jelenti, hogy minden földdarabot
páros számú hídnak kell érintenie.
Kivétel ez alól csak
a séta kezdő- és végpontja lehet.
Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik,
hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.
Bármelyik utat is választjuk tehát,
valamelyik pontnál az egyik hidat
kétszer kell használjuk.
Euler ezt a bizonyítást használta
egy általános tétel megfogalmazására,
amely igaz minden olyan gráfra,
amelynek legalább két csúcsa van.
Az Euler-vonal, amely minden élt
csak egyszer használ,
csupán az alábbi két eset
valamelyikében lehetséges:
Az első, amikor pontosan két olyan
csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,
azaz az összes többié páros.
Ilyenkor a kezdőpont
az egyik páratlan fokszámú csúcs,
a végpont pedig a másik.
A másik eset, amikor minden csúcs
fokszáma páros.
Ilyenkor az Euler-vonal
kezdő- és végpontja megegyezik,
ezt Euler-körnek is nevezik.
Tehát hogyan tudnánk létrehozni
egy Euler-vonalat Königsbergben?
Egyszerűen.
Hagyjunk el egy hidat.
A történelem megcsinálta
a maga Euler-vonalát.
A 2. világháború alatt a szovjet légierő
a város két hídját megsemmisítette,
ezzel az Euler-vonalat könnyen
megrajzolhatóvá tette.
Az igazsághoz tartozik,
hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.
Ezek a bombák jócskán letörölték
Königsberget a térképről.
hogy azután orosz városként
épüljön újjá, Kalinyingrád néven.
Így, bár Königsberget és hét hídját
már nem lehet körbejárni,
mindenkorra emlékezetes marad
e látszólag egyszerű rejtvény révén,
amely a matematika egy új ágának
felbukkanásához vezetett.