WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
Königsberg ćete teško pronaći
na današnjoj zemljopisnoj karti,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
učinila ga je jednim od najslavnijih 
gradova vezanih uz matematiku.

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
Srednjovjekovni njemački grad ležao je
na obje strane rijeke Pregel.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
U središtu su bila dva velika otoka.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
Dva otoka bila su povezana
međusobno i s obalama rijeke

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
pomoću sedam mostova.

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
Carl Gottlieb Ehler, matematičar koji je
postao gradonačelnik obližnjeg grada,

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
postao je opsjednut ovim otocima
i mostovima.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Stalno se vraćao na isto pitanje:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
na koji način netko
može prijeći svih sedan mostova

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
tako da svaki most
prijeđe samo jednom?

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
Razmislite o tome na trenutak.

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
7

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
6

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
5

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
4

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
3

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
2

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
1

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
Odustajete?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
Trebali biste.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
To nije moguće učiniti.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
Ali pokušaj objašnjavanja zašto je tako
vodio je matematičara Leonharda Eulera

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
do stvaranja novog područja matematike.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
Carl je pisao Euleru
moleći ga za pomoć.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
Euler je najprije odbacio problem
jer je vjerovao da nema veze s matematikom.

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
Ali što je više razmišljao o njemu,

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
činilo se više mogućim
da se u njemu nešto krije.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
Odgovor do kojeg je došao
imao je veze s vrstom geometrije

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
koja još nije postojala,
a koju je on nazvao Geometrija položaja,

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
a danas je poznata kao Teorija grafova.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Eulerova prva spoznaja

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
bila je da ruta između stupanja na otok
ili obalu rijeke i napuštanja istog

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
zapravo nije važna.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
Prema tome, karta se može pojednostavniti
tako da se svaki od četiri kopnena čvora

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
prikaže pomoću točke,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
koju ćemo zvati vrh,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
a linije koje prikazuju mostove, 
zvat ćemo bridovi.

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
Na ovom jednostavnom grafu
lako možemo odrediti stupanj svakog vrha.

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
To je broj mostova
kojim je svaki kopneni čvor povezan.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
Zašto je stupanj važan?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
Prema pravilima izazova,

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
kad putnik stigne na kopneni čvor
pomoću jednog mosta,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
mora ga napustiti
prelazeći preko drugog.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
Drugim riječima, mostovi koji vode
do vrha i s njega na bilo kojoj ruti

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
moraju se pojavljivati u parovima,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
što znači da broj mostova
koji dodiruju svaki prijeđeni čvor

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
mora biti paran.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
Jedine moguće iznimke bile bi

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
početak i kraj šetnje.

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
Gledajući graf, postaje očito
da sva četiri vrha imaju neparan stupanj.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
Pa koji god put odaberemo,

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
u jednom trenutku,
jedan od mostova moramo prijeći dvaput.

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
Euler je pomoću ovog dokaza
oblikovao opću teoriju

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
koja se odnosi na sve grafove
s dva i više vrha.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Eulerova staza
kod koje se svaki vrh prelazi jednom

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
moguća je jedino u dva slučaja.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Prvi je kad postoje točno dva vrha
neparnog stupnja,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
pa su svi ostali parni.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Tada je početna točka
jedan od dva neparna vrha,

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
a kraj šetnje je drugi.

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
Drugi slučaj je kada su
svi vrhovi parnog stupnja.

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
Tad će Eulerova staza započeti
i završiti u istom vrhu,

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
što se u teoriji grafova zove
Eulerova tura.

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
Dakle, kako kreirati Eulerovu stazu
u Königsbergu?

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
Jednostavno je.

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
Samo treba ukloniti jedan most.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
Dogodilo se da je povijest
sama stvorila Eulerovu stazu.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
U II. svjetskom ratu Sovjetske zračne sile
uništile su jedan od dva gradska mosta,

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
pa je Eulerova staza postala moguća.

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
Doduše, to vjerojatno
nije bila njihova namjera.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
Bombardiranje je gotovo
izbrisalo Königsberg s karte,

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
te je poslije ponovo izgrađen
kao ruski grad Kaliningrad.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
Iako Königsberg i njegovih sedam mostova
više ne postoje,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
bit će zapamćeni u povijesti
zbog naizgled trivijalne zagonetke

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
koja je vodila do stvaranja
potpuno nove grane matematike.