1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
Königsberg ćete teško pronaći
na današnjoj zemljopisnoj karti,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
učinila ga je jednim od najslavnijih 
gradova vezanih uz matematiku.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
Srednjovjekovni njemački grad ležao je
na obje strane rijeke Pregel.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
U središtu su bila dva velika otoka.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
Dva otoka bila su povezana
međusobno i s obalama rijeke

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
pomoću sedam mostova.

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
Carl Gottlieb Ehler, matematičar koji je
postao gradonačelnik obližnjeg grada,

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
postao je opsjednut ovim otocima
i mostovima.

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Stalno se vraćao na isto pitanje:

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
na koji način netko
može prijeći svih sedan mostova

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
tako da svaki most
prijeđe samo jednom?

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
Razmislite o tome na trenutak.

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
7

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
6

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
5

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
4

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
3

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
2

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
1

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
Odustajete?

22
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
Trebali biste.

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
To nije moguće učiniti.

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
Ali pokušaj objašnjavanja zašto je tako
vodio je matematičara Leonharda Eulera

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
do stvaranja novog područja matematike.

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
Carl je pisao Euleru
moleći ga za pomoć.

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
Euler je najprije odbacio problem
jer je vjerovao da nema veze s matematikom.

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
Ali što je više razmišljao o njemu,

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
činilo se više mogućim
da se u njemu nešto krije.

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
Odgovor do kojeg je došao
imao je veze s vrstom geometrije

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
koja još nije postojala,
a koju je on nazvao Geometrija položaja,

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
a danas je poznata kao Teorija grafova.

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
Eulerova prva spoznaja

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
bila je da ruta između stupanja na otok
ili obalu rijeke i napuštanja istog

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
zapravo nije važna.

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
Prema tome, karta se može pojednostavniti
tako da se svaki od četiri kopnena čvora

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
prikaže pomoću točke,

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
koju ćemo zvati vrh,

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
a linije koje prikazuju mostove, 
zvat ćemo bridovi.

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,619
Na ovom jednostavnom grafu
lako možemo odrediti stupanj svakog vrha.

41
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
To je broj mostova
kojim je svaki kopneni čvor povezan.

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
Zašto je stupanj važan?

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
Prema pravilima izazova,

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
kad putnik stigne na kopneni čvor
pomoću jednog mosta,

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
mora ga napustiti
prelazeći preko drugog.

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
Drugim riječima, mostovi koji vode
do vrha i s njega na bilo kojoj ruti

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
moraju se pojavljivati u parovima,

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
što znači da broj mostova
koji dodiruju svaki prijeđeni čvor

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
mora biti paran.

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
Jedine moguće iznimke bile bi

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
početak i kraj šetnje.

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
Gledajući graf, postaje očito
da sva četiri vrha imaju neparan stupanj.

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
Pa koji god put odaberemo,

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
u jednom trenutku,
jedan od mostova moramo prijeći dvaput.

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
Euler je pomoću ovog dokaza
oblikovao opću teoriju

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
koja se odnosi na sve grafove
s dva i više vrha.

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Eulerova staza
kod koje se svaki vrh prelazi jednom

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
moguća je jedino u dva slučaja.

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
Prvi je kad postoje točno dva vrha
neparnog stupnja,

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
pa su svi ostali parni.

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Tada je početna točka
jedan od dva neparna vrha,

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
a kraj šetnje je drugi.

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
Drugi slučaj je kada su
svi vrhovi parnog stupnja.

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
Tad će Eulerova staza započeti
i završiti u istom vrhu,

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
što se u teoriji grafova zove
Eulerova tura.

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
Dakle, kako kreirati Eulerovu stazu
u Königsbergu?

67
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
Jednostavno je.

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
Samo treba ukloniti jedan most.

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
Dogodilo se da je povijest
sama stvorila Eulerovu stazu.

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
U II. svjetskom ratu Sovjetske zračne sile
uništile su jedan od dva gradska mosta,

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
pa je Eulerova staza postala moguća.

72
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
Doduše, to vjerojatno
nije bila njihova namjera.

73
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
Bombardiranje je gotovo
izbrisalo Königsberg s karte,

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
te je poslije ponovo izgrađen
kao ruski grad Kaliningrad.

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
Iako Königsberg i njegovih sedam mostova
više ne postoje,

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
bit će zapamćeni u povijesti
zbog naizgled trivijalne zagonetke

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
koja je vodila do stvaranja
potpuno nove grane matematike.