WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
יהיה לכם קשה למצוא את קניגסברג
בכל מפה מודרנית בה תעיינו,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
אבל מאפיין אחד מוזר בגיאוגרפיה שלה

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
הפך אותה לאחת הערים 
המפורסמות ביותר בתחום המתמטיקה.

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
העיר הגרמנית מימי הביניים
שוכנת על שתי גדות נהר פרגל.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
במרכזו היו שני איים גדולים.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
שני האיים היו מחוברים ביניהם
וכן מחוברים לגדות הנהר

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
על ידי שבעה גשרים.

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
קארל גוטליב אהלר, מתמטיקאי שהפך
מאוחר יותר לראש העיר של עיירה סמוכה,

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
היה אובססיבי לגבי האיים והגשרים הללו.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
הוא תמיד חזר להתחבט באותה שאלה:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
איזה מסלול יאפשר 
חצייה של כל שבעת הגשרים

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
מבלי לחצות אף אחד מהם פעמיים?

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
חישבו על כך לרגע.

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
7

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
6

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
5

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
4

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
3

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
2

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
1

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
ויתרתם?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
כדאי שתוותרו.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
זה בלתי אפשרי.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
אבל הניסיון להוכיח זאת הוביל 
את המתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
לגילוי תחום חדש במתמטיקה.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
קארל פנה בכתב לאוילר 
בבקשת עזרה עם הבעיה.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
אוילר טען בתחילה שלבעיה
אין בכלל קשר למתמטיקה,

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
אבל ככל שהוסיף להתחבט בבעיה,

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
כך הלך והתבהר לו
שאולי קשר שכזה אכן קיים.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
הפתרון שהגיע אליו
התבסס על תחום בגיאומטריה

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
שלא היה קיים אז,
תחום שהוא כינה בשם גיאומטריה של מיקום,

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
או בשמו הנוכחי תאוריית הגרפים.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
האבחנה הראשונה אליה הגיע אוילר

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
היא שהמסלול המסויים שבו נבחר 
להכנס ולצאת מאי או מגדה

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
הינו חסר כל חשיבות.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
לכן, ניתן לפשט את המפה
לכזו שבה כל אחת מארבע היבשות

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
מיוצגת על ידי נקודה בודדה,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
לה אנו קוראים כיום בשם צומת,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
עם קווים או קשתות המקשרות בינהם
ומייצגות את הגשרים.

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
וגרף פשוט זה, מאפשר לנו לספור בקלות
את הדרגה של כל צומת,

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
שמשמעה מספר הגשרים המחוברים לכל יבשה.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
למה הדרגה חשובה?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
ובכן, לפי חוקי המשחק,

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
ברגע שנוסע מגיע ליבשה דרך אחד הגשרים,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
הוא יאלץ לעזוב אותה דרך גשר אחר.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
במילים אחרות, הגשרים הנכנסים ויוצאים 
מכל צומת בכל מסלול שהוא

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
חייבים להתקיים בזוגות,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
כלומר, מספר הגשרים המחוברים 
לכל יבשה בה מבקרים

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
חייב להיות זוגי.

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
החריגה היחידה מתנאי זה קשורה
במיקום צומת ההתחלה

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
וצומת הסיום של המסלול.

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
במבט על הגרף, ניתן לראות
שלכל הצמתים יש דרגה אי זוגית.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
אז לא חשוב באיזה מסלול בוחרים,

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
בשלב כלשהו, נאלץ לחצות
את אותו גשר פעמיים.

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
אוילר השתמש בהוכחה זו 
לניסוח תורה שלמה

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
שתקפה עבור כל גרף שהוא
בעל שני צמתים או יותר.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
מסלול אוילר שמבקר בכל קשת
של גרף פעם אחת בדיוק

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
קיים עבור שני מצבים בלבד.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
במצב הראשון ישנם בדיוק 
שני צמתים מדרגה אי זוגית,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
וכל שאר הצמתים הם זוגיים.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
במצב זה, נקודת ההתחלה היא
באחד הצמתים האי זוגיים,

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
ונקודת הסוף היא בשנייה.

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
במצב השני כל הצמתים 
הם בעלי דרגה זוגית.

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
במצב זה, מסלול אוילר
יתחיל ויסתיים באותה נקודה,

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
לכן הוא קרוי לעיתים בשם מעגל אוילר.

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
אז איך ניתן ליצור 
מסלול אוילר בקניגסברג?

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
פשוט.

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
הסירו גשר אקראי אחד בלבד.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
והסתבר, שההיסטוריה
יצרה מסלול אוילר משלה.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
בזמן מלחמת העולם השנייה,
חיל האויר הסובייטי הרס שניים מגשרי העיר,

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
ובעשותו כך סלל את הדרך
לקיום מסלול אוילר.

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
אולם אם להיות כנים, זה ודאי 
לא נעשה בכוונה תחילה.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
ההפצצות האלו למעשה,
מחקו את קניגסברג מהמפה,

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
וזאת נבנתה לאחר מכן
כעיר הרוסייה קלינינגרד.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
אז למרות שקניגסברג ושבעת גשריה
כבר אינם קיימים

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
הם יחרטו בדפי ההיסטוריה
בשל החידה הפשוטה למראה

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
שהובילה לגילוי 
תחום חדש לגמרי במתמטיקה.