0:00:09.036,0:00:14.106
יהיה לכם קשה למצוא את קניגסברג[br]בכל מפה מודרנית בה תעיינו,

0:00:14.106,0:00:17.415
אבל מאפיין אחד מוזר בגיאוגרפיה שלה

0:00:17.415,0:00:22.205
הפך אותה לאחת הערים [br]המפורסמות ביותר בתחום המתמטיקה.

0:00:22.205,0:00:26.214
העיר הגרמנית מימי הביניים[br]שוכנת על שתי גדות נהר פרגל.

0:00:26.214,0:00:28.875
במרכזו היו שני איים גדולים.

0:00:28.875,0:00:33.124
שני האיים היו מחוברים ביניהם[br]וכן מחוברים לגדות הנהר

0:00:33.124,0:00:35.884
על ידי שבעה גשרים.

0:00:35.884,0:00:41.296
קארל גוטליב אהלר, מתמטיקאי שהפך[br]מאוחר יותר לראש העיר של עיירה סמוכה,

0:00:41.296,0:00:44.395
היה אובססיבי לגבי האיים והגשרים הללו.

0:00:44.395,0:00:47.205
הוא תמיד חזר להתחבט באותה שאלה:

0:00:47.205,0:00:51.095
איזה מסלול יאפשר [br]חצייה של כל שבעת הגשרים

0:00:51.095,0:00:55.136
מבלי לחצות אף אחד מהם פעמיים?

0:00:55.136,0:00:56.946
חישבו על כך לרגע.

0:00:56.946,0:00:57.936
7

0:00:57.936,0:00:58.947
6

0:00:58.947,0:00:59.916
5

0:00:59.916,0:01:00.847
4

0:01:00.847,0:01:01.956
3

0:01:01.956,0:01:02.886
2

0:01:02.886,0:01:03.996
1

0:01:03.996,0:01:05.076
ויתרתם?

0:01:05.076,0:01:06.198
כדאי שתוותרו.

0:01:06.198,0:01:07.513
זה בלתי אפשרי.

0:01:07.513,0:01:12.636
אבל הניסיון להוכיח זאת הוביל [br]את המתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר

0:01:12.636,0:01:15.997
לגילוי תחום חדש במתמטיקה.

0:01:15.997,0:01:18.648
קארל פנה בכתב לאוילר [br]בבקשת עזרה עם הבעיה.

0:01:18.648,0:01:23.367
אוילר טען בתחילה שלבעיה[br]אין בכלל קשר למתמטיקה,

0:01:23.367,0:01:25.136
אבל ככל שהוסיף להתחבט בבעיה,

0:01:25.136,0:01:28.977
כך הלך והתבהר לו[br]שאולי קשר שכזה אכן קיים.

0:01:28.977,0:01:32.906
הפתרון שהגיע אליו[br]התבסס על תחום בגיאומטריה

0:01:32.906,0:01:38.258
שלא היה קיים אז,[br]תחום שהוא כינה בשם גיאומטריה של מיקום,

0:01:38.258,0:01:41.897
או בשמו הנוכחי תאוריית הגרפים.

0:01:41.897,0:01:43.443
האבחנה הראשונה אליה הגיע אוילר

0:01:43.443,0:01:48.507
היא שהמסלול המסויים שבו נבחר [br]להכנס ולצאת מאי או מגדה

0:01:48.507,0:01:50.578
הינו חסר כל חשיבות.

0:01:50.578,0:01:54.427
לכן, ניתן לפשט את המפה[br]לכזו שבה כל אחת מארבע היבשות

0:01:54.427,0:01:56.627
מיוצגת על ידי נקודה בודדה,

0:01:56.627,0:01:59.297
לה אנו קוראים כיום בשם צומת,

0:01:59.297,0:02:04.198
עם קווים או קשתות המקשרות בינהם[br]ומייצגות את הגשרים.

0:02:04.198,0:02:09.619
וגרף פשוט זה, מאפשר לנו לספור בקלות[br]את הדרגה של כל צומת,

0:02:09.619,0:02:13.219
שמשמעה מספר הגשרים המחוברים לכל יבשה.

0:02:13.219,0:02:14.598
למה הדרגה חשובה?

0:02:14.598,0:02:16.828
ובכן, לפי חוקי המשחק,

0:02:16.828,0:02:20.678
ברגע שנוסע מגיע ליבשה דרך אחד הגשרים,

0:02:20.678,0:02:23.800
הוא יאלץ לעזוב אותה דרך גשר אחר.

0:02:23.800,0:02:28.168
במילים אחרות, הגשרים הנכנסים ויוצאים [br]מכל צומת בכל מסלול שהוא

0:02:28.168,0:02:30.587
חייבים להתקיים בזוגות,

0:02:30.587,0:02:34.239
כלומר, מספר הגשרים המחוברים [br]לכל יבשה בה מבקרים

0:02:34.239,0:02:36.368
חייב להיות זוגי.

0:02:36.368,0:02:40.029
החריגה היחידה מתנאי זה קשורה[br]במיקום צומת ההתחלה

0:02:40.029,0:02:42.267
וצומת הסיום של המסלול.

0:02:42.267,0:02:47.218
במבט על הגרף, ניתן לראות[br]שלכל הצמתים יש דרגה אי זוגית.

0:02:47.218,0:02:49.187
אז לא חשוב באיזה מסלול בוחרים,

0:02:49.187,0:02:53.440
בשלב כלשהו, נאלץ לחצות[br]את אותו גשר פעמיים.

0:02:53.440,0:02:57.709
אוילר השתמש בהוכחה זו [br]לניסוח תורה שלמה

0:02:57.709,0:03:01.721
שתקפה עבור כל גרף שהוא[br]בעל שני צמתים או יותר.

0:03:01.721,0:03:05.790
מסלול אוילר שמבקר בכל קשת[br]של גרף פעם אחת בדיוק

0:03:05.790,0:03:09.159
קיים עבור שני מצבים בלבד.

0:03:09.159,0:03:13.769
במצב הראשון ישנם בדיוק [br]שני צמתים מדרגה אי זוגית,

0:03:13.769,0:03:16.310
וכל שאר הצמתים הם זוגיים.

0:03:16.310,0:03:19.659
במצב זה, נקודת ההתחלה היא[br]באחד הצמתים האי זוגיים,

0:03:19.659,0:03:21.770
ונקודת הסוף היא בשנייה.

0:03:21.770,0:03:26.091
במצב השני כל הצמתים [br]הם בעלי דרגה זוגית.

0:03:26.091,0:03:31.231
במצב זה, מסלול אוילר[br]יתחיל ויסתיים באותה נקודה,

0:03:31.231,0:03:34.758
לכן הוא קרוי לעיתים בשם מעגל אוילר.

0:03:34.758,0:03:38.460
אז איך ניתן ליצור [br]מסלול אוילר בקניגסברג?

0:03:38.460,0:03:39.302
פשוט.

0:03:39.302,0:03:41.402
הסירו גשר אקראי אחד בלבד.

0:03:41.402,0:03:46.080
והסתבר, שההיסטוריה[br]יצרה מסלול אוילר משלה.

0:03:46.080,0:03:50.198
בזמן מלחמת העולם השנייה,[br]חיל האויר הסובייטי הרס שניים מגשרי העיר,

0:03:50.198,0:03:53.531
ובעשותו כך סלל את הדרך[br]לקיום מסלול אוילר.

0:03:53.531,0:03:57.291
אולם אם להיות כנים, זה ודאי [br]לא נעשה בכוונה תחילה.

0:03:57.291,0:04:00.781
ההפצצות האלו למעשה,[br]מחקו את קניגסברג מהמפה,

0:04:00.781,0:04:04.910
וזאת נבנתה לאחר מכן[br]כעיר הרוסייה קלינינגרד.

0:04:04.910,0:04:09.083
אז למרות שקניגסברג ושבעת גשריה[br]כבר אינם קיימים

0:04:09.083,0:04:13.361
הם יחרטו בדפי ההיסטוריה[br]בשל החידה הפשוטה למראה

0:04:13.361,0:04:17.662
שהובילה לגילוי [br]תחום חדש לגמרי במתמטיקה.