WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:13.976
Vous aurez beaucoup de mal à trouver
Königsberg sur une carte moderne

00:00:13.976 --> 00:00:17.415
mais une particularité géographique

00:00:17.415 --> 00:00:22.135
a fait d'elle l'une des villes
les plus célèbres des mathématiques.

00:00:22.135 --> 00:00:26.214
Cette ville médiévale allemande
était traversée par la rivière Pregel.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
En son centre, il y avait
deux grandes îles.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
Ces deux îles étaient reliées 
entre elles et aux berges

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
par sept ponts.

00:00:35.884 --> 00:00:41.256
Carl Gottlieb Ehler, un mathématicien
devenu ensuite maire d'une ville proche,

00:00:41.256 --> 00:00:44.395
en fit son idée fixe.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Il en revenait toujours
à la même question :

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
quel trajet permettrait à quelqu'un
de traverser l'ensemble des sept ponts

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
en ne les franchissant chacun
qu'une seule fois ?

00:00:55.136 --> 00:00:56.726
Réfléchissez-y un instant.

00:00:56.726 --> 00:00:57.686
7

00:00:57.686 --> 00:00:58.707
6

00:00:58.707 --> 00:00:59.746
5

00:00:59.746 --> 00:01:00.687
4

00:01:00.687 --> 00:01:01.726
3

00:01:01.726 --> 00:01:02.806
2

00:01:02.806 --> 00:01:03.906
1

00:01:03.906 --> 00:01:05.016
Vous jetez l'éponge ?

00:01:05.016 --> 00:01:06.168
Vous devriez.

00:01:06.168 --> 00:01:07.353
C'est impossible.

00:01:07.353 --> 00:01:12.468
En tentant d'expliquer pourquoi,
le célèbre mathématicien Leonhard Euler

00:01:12.468 --> 00:01:15.937
inventa une nouvelle branche
des mathématiques.

00:01:15.937 --> 00:01:18.648
Carl écrivit à Euler
pour lui demander son aide.

00:01:18.648 --> 00:01:19.767
Dans un premier temps,

00:01:19.767 --> 00:01:23.237
Euler écarta le problème,
qui ne concernait pas les maths.

00:01:23.237 --> 00:01:25.136
Mais plus il s'interrogeait,

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
plus il lui semblait que finalement,
il y avait là quelquechose.

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
Il trouva la réponse
grâce à une branche de la géométrie

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
qui n'existait pas encore
et qu'il nomma Géométrie de position,

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
désormais connue comme
la Théorie des graphes.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
La première idée d'Euler

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
était que le trajet emprunté pour entrer
sur une île ou une berge et la quitter

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
n'avait pas vraiment d'importance.

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
Donc, la carte pouvait être simplifiée
en représentant les quatre zones de terre

00:01:54.427 --> 00:01:56.627

par un simple point,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
que nous appellerons nœud,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
reliés par des lignes ou des arcs
représentant les ponts.

00:02:04.198 --> 00:02:09.499
Ce graphe simplifié nous permet de compter
facilement les degrés de chaque nœud.

00:02:09.499 --> 00:02:12.909
C'est-à-dire le nombre de ponts
partant de chaque rive.

00:02:12.909 --> 00:02:14.868
Pourquoi les degrés sont-ils importants ?

00:02:14.868 --> 00:02:16.828
Selon les règles du défi,

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
une fois arrivé sur la terre par un pont,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
le voyageur doit en repartir
par un autre pont.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
Autrement dit, les ponts menant
d'un nœud à un autre

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
doivent, pour chaque parcours,
aller par paire,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
ce qui signifie que le nombre de ponts
menant aux différentes berges visitées

00:02:34.239 --> 00:02:36.338
doit être pair.

00:02:36.338 --> 00:02:40.029
Les seules exceptions possibles
seraient le point de départ

00:02:40.029 --> 00:02:41.917
et d'arrivée du trajet.

00:02:41.917 --> 00:02:47.028
Sur le graphe, on voit que
les quatre nœuds ont un degré impair.

00:02:47.028 --> 00:02:49.187
Du coup, peu importe le trajet choisi,

00:02:49.187 --> 00:02:54.070
à un moment ou à un autre, l'un des ponts
devra être traversé deux fois.

00:02:54.070 --> 00:02:57.709
Euler mit cette preuve à profit
pour formuler une théorie générale

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
s'appliquant à tous les graphes
comportant au moins deux nœuds.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Un chemin eulérien ne passant
qu'une fois par chaque sommet

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
n'est possible
que dans un cas sur deux.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Dans le premier, il y a exactement
deux nœuds de degré impair,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
tous les autres étant donc pairs.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Dans ce cas là, le point de départ
est l'un des nœuds impairs

00:03:19.659 --> 00:03:22.200
et l'autre, le point d'arrivée.

00:03:22.200 --> 00:03:26.091
Dans le deuxième cas, tous les nœuds
sont de degré pair.

00:03:26.091 --> 00:03:30.961
Le chemin eulérien commence
et s'achève alors au même point ;

00:03:30.961 --> 00:03:34.768
de fait, on le nomme également
cycle eulérien.

00:03:34.768 --> 00:03:37.917
Du coup, comment créer
un chemin eulérien à Königsberg ?

00:03:38.180 --> 00:03:39.202
C'est simple.

00:03:39.202 --> 00:03:41.402
Il suffit de supprimer l'un des ponts.

00:03:41.402 --> 00:03:45.810
Et il s'avère que l'Histoire
en a elle-même créé un.

00:03:45.810 --> 00:03:49.038
Pendant la seconde guerre mondiale,
les forces aériennes soviétiques

00:03:49.038 --> 00:03:53.568
ont détruit deux des ponts de la ville,
ouvrant la voie à un chemin eulérien.

00:03:53.568 --> 00:03:57.261
Mais, pour être honnête, ce n'était
sans doute pas intentionnel.

00:03:57.261 --> 00:04:00.781
Ces bombardement ont pratiquement
rayé Königsberg de la carte.

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
Elle fut ensuite reconstruite pour devenir
la ville russe de Kaliningrad.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
Königsberg et ses sept ponts
ne sont peut-être plus aujourd'hui,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
mais ils resteront dans l'Histoire
comme l'énigme en apparence triviale

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
à l'origine d'une branche complètement
nouvelle des mathématiques.