1
00:00:09,036 --> 00:00:13,976
Vous aurez beaucoup de mal à trouver
Königsberg sur une carte moderne

2
00:00:13,976 --> 00:00:17,415
mais une particularité géographique

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,135
a fait d'elle l'une des villes
les plus célèbres des mathématiques.

4
00:00:22,135 --> 00:00:26,214
Cette ville médiévale allemande
était traversée par la rivière Pregel.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
En son centre, il y avait
deux grandes îles.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
Ces deux îles étaient reliées 
entre elles et aux berges

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
par sept ponts.

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,256
Carl Gottlieb Ehler, un mathématicien
devenu ensuite maire d'une ville proche,

9
00:00:41,256 --> 00:00:44,395
en fit son idée fixe.

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Il en revenait toujours
à la même question :

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
quel trajet permettrait à quelqu'un
de traverser l'ensemble des sept ponts

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
en ne les franchissant chacun
qu'une seule fois ?

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,726
Réfléchissez-y un instant.

14
00:00:56,726 --> 00:00:57,686
7

15
00:00:57,686 --> 00:00:58,707
6

16
00:00:58,707 --> 00:00:59,746
5

17
00:00:59,746 --> 00:01:00,687
4

18
00:01:00,687 --> 00:01:01,726
3

19
00:01:01,726 --> 00:01:02,806
2

20
00:01:02,806 --> 00:01:03,906
1

21
00:01:03,906 --> 00:01:05,016
Vous jetez l'éponge ?

22
00:01:05,016 --> 00:01:06,168
Vous devriez.

23
00:01:06,168 --> 00:01:07,353
C'est impossible.

24
00:01:07,353 --> 00:01:12,468
En tentant d'expliquer pourquoi,
le célèbre mathématicien Leonhard Euler

25
00:01:12,468 --> 00:01:15,937
inventa une nouvelle branche
des mathématiques.

26
00:01:15,937 --> 00:01:18,648
Carl écrivit à Euler
pour lui demander son aide.

27
00:01:18,648 --> 00:01:19,767
Dans un premier temps,

28
00:01:19,767 --> 00:01:23,237
Euler écarta le problème,
qui ne concernait pas les maths.

29
00:01:23,237 --> 00:01:25,136
Mais plus il s'interrogeait,

30
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
plus il lui semblait que finalement,
il y avait là quelquechose.

31
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
Il trouva la réponse
grâce à une branche de la géométrie

32
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
qui n'existait pas encore
et qu'il nomma Géométrie de position,

33
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
désormais connue comme
la Théorie des graphes.

34
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
La première idée d'Euler

35
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
était que le trajet emprunté pour entrer
sur une île ou une berge et la quitter

36
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
n'avait pas vraiment d'importance.

37
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
Donc, la carte pouvait être simplifiée
en représentant les quatre zones de terre

38
00:01:54,427 --> 00:01:56,627

par un simple point,

39
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
que nous appellerons nœud,

40
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
reliés par des lignes ou des arcs
représentant les ponts.

41
00:02:04,198 --> 00:02:09,499
Ce graphe simplifié nous permet de compter
facilement les degrés de chaque nœud.

42
00:02:09,499 --> 00:02:12,909
C'est-à-dire le nombre de ponts
partant de chaque rive.

43
00:02:12,909 --> 00:02:14,868
Pourquoi les degrés sont-ils importants ?

44
00:02:14,868 --> 00:02:16,828
Selon les règles du défi,

45
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
une fois arrivé sur la terre par un pont,

46
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
le voyageur doit en repartir
par un autre pont.

47
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
Autrement dit, les ponts menant
d'un nœud à un autre

48
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
doivent, pour chaque parcours,
aller par paire,

49
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
ce qui signifie que le nombre de ponts
menant aux différentes berges visitées

50
00:02:34,239 --> 00:02:36,338
doit être pair.

51
00:02:36,338 --> 00:02:40,029
Les seules exceptions possibles
seraient le point de départ

52
00:02:40,029 --> 00:02:41,917
et d'arrivée du trajet.

53
00:02:41,917 --> 00:02:47,028
Sur le graphe, on voit que
les quatre nœuds ont un degré impair.

54
00:02:47,028 --> 00:02:49,187
Du coup, peu importe le trajet choisi,

55
00:02:49,187 --> 00:02:54,070
à un moment ou à un autre, l'un des ponts
devra être traversé deux fois.

56
00:02:54,070 --> 00:02:57,709
Euler mit cette preuve à profit
pour formuler une théorie générale

57
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
s'appliquant à tous les graphes
comportant au moins deux nœuds.

58
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Un chemin eulérien ne passant
qu'une fois par chaque sommet

59
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
n'est possible
que dans un cas sur deux.

60
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
Dans le premier, il y a exactement
deux nœuds de degré impair,

61
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
tous les autres étant donc pairs.

62
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Dans ce cas là, le point de départ
est l'un des nœuds impairs

63
00:03:19,659 --> 00:03:22,200
et l'autre, le point d'arrivée.

64
00:03:22,200 --> 00:03:26,091
Dans le deuxième cas, tous les nœuds
sont de degré pair.

65
00:03:26,091 --> 00:03:30,961
Le chemin eulérien commence
et s'achève alors au même point ;

66
00:03:30,961 --> 00:03:34,768
de fait, on le nomme également
cycle eulérien.

67
00:03:34,768 --> 00:03:37,917
Du coup, comment créer
un chemin eulérien à Königsberg ?

68
00:03:38,180 --> 00:03:39,202
C'est simple.

69
00:03:39,202 --> 00:03:41,402
Il suffit de supprimer l'un des ponts.

70
00:03:41,402 --> 00:03:45,810
Et il s'avère que l'Histoire
en a elle-même créé un.

71
00:03:45,810 --> 00:03:49,038
Pendant la seconde guerre mondiale,
les forces aériennes soviétiques

72
00:03:49,038 --> 00:03:53,568
ont détruit deux des ponts de la ville,
ouvrant la voie à un chemin eulérien.

73
00:03:53,568 --> 00:03:57,261
Mais, pour être honnête, ce n'était
sans doute pas intentionnel.

74
00:03:57,261 --> 00:04:00,781
Ces bombardement ont pratiquement
rayé Königsberg de la carte.

75
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
Elle fut ensuite reconstruite pour devenir
la ville russe de Kaliningrad.

76
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
Königsberg et ses sept ponts
ne sont peut-être plus aujourd'hui,

77
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
mais ils resteront dans l'Histoire
comme l'énigme en apparence triviale

78
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
à l'origine d'une branche complètement
nouvelle des mathématiques.