Lo pasarás mal si buscas Köningsberg
en un mapa moderno.
Pero un rasgo particular de su geografía
la hizo una de las ciudades
más famosas en matemáticas.
Esta ciudad alemana medieval descansaba
en ambos lados del río Pregel.
En el centro tenía dos grandes islas.
Ambas estaban conectadas entre sí
y hacia las orillas del río
por siete puentes.
Carl Gottlieb Ehler, matemático devenido
en alcalde de un pueblo cercano,
se obsesionó con esas islas y puentes.
Seguía repitiéndose una sola pregunta:
¿Qué ruta le permitiría a alguien
cruzar los siete puentes
atravesando cada uno una sola vez?
Piénsalo por un momento.
7
6
5
4
3
2
1
¿Te rindes?
Deberías.
Es imposible.
Al intentar explicar por qué
el célebre matemático Leonhard Euler
creó un nuevo campo en las matemáticas.
Carl le escribió a Euler pidiendo
ayuda con el problema.
Euler primero ignoró la pregunta al
no tener nada que ver con las matemáticas.
Pero entre más enfrentaba el problema
más le parecía que podría haber algo
allí después de todo.
La respuesta con la que lo resolvió
tenía que ver con un tipo de geometría
que no existía aún, la llamó
la Geometría de la Posición,
ahora conocida como Teoría de Grafos.
La primera percepción de Euler
fue que el camino que se tomaba
para entrar a una isla y salir de ella
no importaba realmente.
Así, el mapa podía ser simplificado
con cada una de las 4 masas de tierra
representadas con un punto,
es lo que ahora llamamos nodo,
y líneas, o arcos, entre ellos
para representar los puentes.
Este grafo simplificado nos permite
fácilmente contar el grado de cada nodo.
O sea la cantidad de puentes
que toca cada masa de tierra.
¿Por qué importan los grados?
Bien, según las reglas del desafío,
una vez que los viajeros lleguen
a tierra por un puente,
tendrán que salir de la misma
por otro puente.
O sea, los puentes que conducen desde
y hacia cada nodo en cualquier ruta
deben pasar en distintos pares,
es decir que la cantidad de puentes
que toca cada masa de tierra visitada
debe ser par.
Las únicas posibles excepciones
podrían ser al principio
y al final del paseo.
Viendo el grafo, se observa que
los cuatro nodos tienen grados impares.
Así que en cualquier camino que se tome,
en un punto, habrá que cruzar
un puente dos veces.
Euler usó esta prueba para formular
una teoría general
que se aplica a todos los grafos
que dos o más nodos.
Un camino euleriano que visita
cada arco solo una vez
solo es posible en uno de dos escenarios.
El primero es cuando hay exactamente
dos nodos de grado impar
lo que significa que los demás son pares.
Así, el punto de partida
es uno de los nodos impares,
y el punto de llegada es el otro.
El segundo escenario es cuando
todos los nodos son de grado par.
Entonces, el camino euleriano empezará
y terminará en el mismo lugar,
lo que crea algo conocido
como ciclo euleriano.
Entonces ¿cómo crearías un camino
euleriano en Königsberg?
Es muy simple.
Solo quitamos cualquier puente.
Resulta que la historia creó
un camino euleriano por sí misma.
En la 2da Guerra Mundial, los soviéticos
destruyeron dos puentes de la ciudad,
haciendo posible un camino euleriano.
Aunque, para ser justos, esa no era
probablemente su intención.
Estos bombardeos casi borraron
Königsberg del mapa,
y luego fue reconstruida como
la ciudad rusa de Kaliningrado.
Aunque Königsberg y sus siete puentes
ya no estén con nosotros,
serán recordados en la historia
por el acertijo aparentemente trivial
que llevo a la creación de un campo
totalmente nuevo en las matemáticas.