0:00:09.036,0:00:14.106
Θα δυσκολευτείτε να βρείτε[br]το Κένινγκσμπεργκ στους σύγχρονους χάρτες,

0:00:14.106,0:00:17.415
αλλά μια ιδιαιτερότητα της γεωγραφίας του

0:00:17.415,0:00:21.375
το έκανε μία από τις πιο διάσημες[br]πόλεις στα Μαθηματικά.

0:00:22.205,0:00:25.984
Η μεσαιωνική γερμανική πόλη εκτεινόταν[br]και στις δύο όχθες του ποταμού Πρέγκελ.

0:00:26.214,0:00:28.745
Στο κέντρο του βρίσκονταν[br]δύο μεγάλα νησιά.

0:00:28.875,0:00:33.124
Τα δύο νησιά συνδέονταν μεταξύ τους[br]και με τις όχθες του ποταμού

0:00:33.124,0:00:34.864
με επτά γέφυρες.

0:00:35.884,0:00:38.396
Ο Καρλ Γκότλιμπ Έλερ, ένας μαθηματικός,

0:00:38.396,0:00:41.296
που αργότερα έγινε ο δήμαρχος[br]μιας γειτονικής πόλης,

0:00:41.296,0:00:43.935
απέκτησε εμμονή με αυτά[br]τα νησιά και τις γέφυρες.

0:00:44.395,0:00:47.205
Συνεχώς κατέληγε σε ένα απλό ερώτημα·

0:00:47.205,0:00:51.095
ποια διαδρομή θα επέτρεπε σε κάποιον[br]να διασχίσει και τις επτά γέφυρες

0:00:51.095,0:00:54.396
χωρίς να περάσει από καμία[br]περισσότερες από μία φορές;

0:00:55.136,0:00:56.466
Σκεφτείτε το για λίγο.

0:01:03.996,0:01:05.046
Να το πάρει το ποτάμι;

0:01:05.076,0:01:06.088
Καλύτερα να το πάρει.

0:01:06.198,0:01:07.123
Είναι αδύνατο.

0:01:07.513,0:01:12.636
Προσπαθώντας να εξηγήσει γιατί, ο διάσημος[br]μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ οδηγήθηκε

0:01:12.636,0:01:15.407
στην εφεύρεση ενός νέου[br]κλάδου των Μαθηματικών.

0:01:15.997,0:01:18.708
Ο Καρλ έγραψε στον Όιλερ[br]ζητώντας βοήθεια για το πρόβλημα.

0:01:18.708,0:01:23.037
Ο Όιλερ αρχικά απέρριψε την ερώτηση[br]ως άσχετης με τα Μαθηματικά.

0:01:23.367,0:01:25.136
Αλλά όσο την πάλευε,

0:01:25.136,0:01:28.597
τόσο φαινόταν ότι τελικά[br]ίσως υπήρχε κάτι.

0:01:28.977,0:01:32.906
Η απάντηση που βρήκε είχε να κάνει[br]με ένα είδος γεωμετρίας,

0:01:32.906,0:01:38.258
που δεν υπήρχε ακόμα· κάτι[br]που ονόμασε Γεωμετρία της Θέσης,

0:01:38.258,0:01:40.837
που τώρα είναι γνωστή ως Θεωρία Γράφων.

0:01:41.897,0:01:43.443
Η πρώτη ενόραση του Όιλερ

0:01:43.443,0:01:48.507
ήταν ότι η διαδρομή ανάμεσα στην είσοδο[br]και την έξοδο σε ένα νησί ή όχθη

0:01:48.507,0:01:50.168
δεν είχε σημασία.

0:01:50.578,0:01:54.427
Έτσι, ο χάρτης μπορούσε να απλοποιηθεί με[br]καθεμία από τις τέσσερις χερσαίες εκτάσεις

0:01:54.427,0:01:56.627
να αναπαρίστανται από ένα σημείο,

0:01:56.627,0:01:59.297
αυτό που σήμερα ονομάζουμε κόμβο,

0:01:59.297,0:02:03.348
και γραμμές, ή ακμές, ανάμεσά τους[br]να αναπαριστούν τις γέφυρες.

0:02:04.198,0:02:06.249
Αυτό το απλοποιημένο γράφημα μάς επιτρέπει

0:02:06.249,0:02:09.619
να μετρήσουμε εύκολα[br]τον βαθμό κάθε κόμβου,

0:02:09.619,0:02:12.699
δηλαδή τον αριθμό των γεφυρών[br]που αγγίζει κάθε χερσαία έκταση.

0:02:13.219,0:02:14.668
Γιατί έχουν σημασία οι βαθμοί;

0:02:14.668,0:02:16.828
Σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος,

0:02:16.828,0:02:20.678
από τη στιγμή που ο ταξιδιώτης έφτασε[br]σε μια χερσαία έκταση από μια γέφυρα,

0:02:20.678,0:02:23.500
θα πρέπει να φύγει[br]από μια διαφορετική γέφυρα.

0:02:23.800,0:02:28.168
Με άλλα λόγια, οι γέφυρες, που οδηγούν[br]προς και από κάθε κόμβο σε κάθε διαδρομή,

0:02:28.168,0:02:30.587
πρέπει να σχηματίζουν διακριτά ζευγάρια,

0:02:30.587,0:02:34.239
που σημαίνει ότι το πλήθος των γεφυρών[br]που ακουμπούν σε κάθε χερσαία έκταση

0:02:34.239,0:02:35.658
πρέπει να είναι άρτιο.

0:02:36.368,0:02:40.029
Οι μόνες δυνατές εξαιρέσεις θα μπορούσαν[br]να είναι οι τοποθεσίες της εκκίνησης

0:02:40.029,0:02:41.797
και τερματισμού της διαδρομής.

0:02:42.267,0:02:46.968
Αν δούμε το γράφημα, είναι φανερό ότι και[br]οι τέσσερις κόμβοι έχουν περιττό βαθμό.

0:02:47.218,0:02:49.507
Έτσι, ανεξάρτητα από[br]το ποια διαδρομή επιλεγόταν,

0:02:49.507,0:02:52.810
κάποια στιγμή, μια γέφυρα[br]θα έπρεπε να διασχιστεί δύο φορές.

0:02:54.170,0:02:57.789
Ο Όιλερ χρησιμοποίησε αυτήν την απόδειξη[br]για να διατυπώσει μια γενική θεωρία,

0:02:57.789,0:03:01.371
που εφαρμόζεται σε όλα τα γραφήματα[br]με δύο ή περισσότερους κόμβους.

0:03:01.721,0:03:05.790
Ένα μονοπάτι Όιλερ, που περνά[br]από κάθε ακμή ακριβώς μία φορά

0:03:05.790,0:03:08.769
είναι δυνατό σε μία[br]από τις δύο περιπτώσεις.

0:03:09.159,0:03:13.769
Η πρώτη είναι όταν υπάρχουν ακριβώς[br]δύο κόμβοι με περιττό βαθμό,

0:03:13.769,0:03:15.940
δηλαδή όλοι οι υπόλοιποι είναι άρτιοι.

0:03:16.310,0:03:19.659
Εκεί, το σημείο εκκίνησης είναι[br]ένας από τους περιττούς κόμβους

0:03:19.659,0:03:21.490
και το τερματικό σημείο είναι το άλλο.

0:03:21.770,0:03:25.771
Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν[br]όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό.

0:03:26.091,0:03:31.221
Τότε το μονοπάτι Όιλερ ξεκινά[br]και σταματά στην ίδια τοποθεσία,

0:03:31.231,0:03:33.728
που το κάνει κάτι[br]που ονομάζεται κύκλωμα Όιλερ.

0:03:34.758,0:03:38.110
Πώς, λοιπόν, θα δημιουργούσατε[br]ένα μονοπάτι Όιλερ στο Κένινγκσμπεργκ;

0:03:38.460,0:03:39.302
Είναι απλό.

0:03:39.302,0:03:41.292
Απλά αφαιρέστε μια από τις γέφυρες.

0:03:41.402,0:03:45.440
Τελικά, η Ιστορία δημιούργησε[br]ένα μονοπάτι Όιλερ από μόνη της.

0:03:46.080,0:03:48.078
Κατά τη διάρκεια[br]του Β' Παγκοσμίου Πολέμου,

0:03:48.078,0:03:51.038
η Σοβιετική Αεροπορία κατέστρεψε[br]δύο από τις γέφυρες της πόλης,

0:03:51.038,0:03:53.151
καθιστώντας το μονοπάτι Όιλερ δυνατό.

0:03:53.531,0:03:56.761
Αν και, για να είμαστε δίκαιοι,[br]μάλλον δεν ήταν αυτή η πρόθεσή της.

0:03:57.291,0:04:00.781
Αυτοί οι βομβαρδισμοί λίγο-πολύ[br]έσβησαν το Κένινγκσμπεργκ από τον χάρτη

0:04:00.781,0:04:04.720
και ξαναχτίστηκε αργότερα[br]ως η ρωσική πόλη Καλίνινγκραντ.

0:04:04.910,0:04:09.083
Έτσι, ενώ το Κένινγκσμπεργκ και[br]οι επτά γέφυρές του δεν υπάρχουν πια,

0:04:09.083,0:04:13.361
θα μείνουν για πάντα στην Ιστορία[br]χάρη στον φαινομενικά τετριμμένο γρίφο

0:04:13.361,0:04:17.662
που οδήγησε στην εμφάνιση[br]ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών.