WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
Heute findet man die Stadt Königsberg
nicht mehr auf der Karte,

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
aber eine besondere Eigenheit
in ihrer geografischen Struktur

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
machte sie zu einer der bekanntesten
Städte in der Mathematik.

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
Die mittelalterliche deutsche Stadt
lag auf beiden Seiten des Pregel.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
Im Stadtzentrum gab es zwei große Inseln.

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
Diese zwei Inseln waren miteinander
und mit den Flussufern

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
durch sieben Brücken verbunden.

NOTE Paragraph

00:00:35.884 --> 00:00:38.046
Der Mathematiker Carl Gottlieb Ehler,

00:00:38.046 --> 00:00:41.296
der später Bürgermeister
einer benachbarten Stadt wurde,

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
war von diesen Inseln
und Brücken fasziniert.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Er stellte sich immer wieder
eine einzige Frage:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
Welche Strecke muss man gehen,
um alle 7 Brücken zu überqueren,

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
ohne auch nur eine davon
mehr als einmal zu überqueren?

00:00:55.136 --> 00:00:56.926
Denke einen Moment darüber nach.

00:00:56.926 --> 00:00:57.926
7

00:00:57.936 --> 00:00:58.937
6

00:00:58.947 --> 00:00:59.946
5

00:00:59.946 --> 00:01:00.947
4

00:01:00.947 --> 00:01:01.946
3

00:01:01.946 --> 00:01:02.946
2

00:01:02.946 --> 00:01:03.996
1

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
Du gibst auf?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
Das solltest du auch.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
Denn es ist nicht möglich.

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
Aber mit den Erklärungsversuchen entdeckte
der berühmte Mathematiker Leonhard Euler

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
ein neues Gebiet der Mathematik.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
Ehler schrieb an Euler
und bat ihn um Hilfe.

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
Euler lehnte die Frage zunächst ab,
da sie nichts mit Mathematik zu tun hatte.

00:01:23.367 --> 00:01:25.366
Aber umso mehr er mit der Frage rang,

00:01:25.366 --> 00:01:28.977
umso mehr schien es, dass da
doch ein Zusammenhang bestand.

00:01:28.977 --> 00:01:34.626
Die Antwort, die er fand, hatte nichts
mit der existierenden Geometrie zu tun;

00:01:34.626 --> 00:01:38.258
es war die Geometrie der Lage,

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
die heute als Graphentheorie bekannt ist.

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
Euler erstes Erkenntnis:

00:01:43.443 --> 00:01:47.737
Die Strecke zwischen dem Betreten
einer Insel oder einem Flussufer

00:01:47.737 --> 00:01:50.578
und dem Verlassen derer,
tat nichts zur Sache.

00:01:50.578 --> 00:01:53.437
Also konnte die Karte vereinfacht werden:

00:01:53.437 --> 00:01:56.627
Jede der vier Landmassen
wird als ein einziger Punkt dargestellt,

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
was wir heute "Knoten" nennen,

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
mit Linien, oder Kanten, zwischen ihnen,
um die Brücken darzustellen.

00:02:04.198 --> 00:02:06.619
Dieser vereinfachte Graph erlaubt es uns,

00:02:06.619 --> 00:02:09.619
die Grade eines jeden Knotens
ganz leicht zu zählen.

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
Das ist die Anzahl der Brücken,
die jede Landmasse berührt.

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
Warum sind die Grade wichtig?

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
Den Regeln der Herausforderung zufolge

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
müssen Personen, die über eine Brücke
an einer Landmasse ankommen,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
diese über eine andere Brücke
wieder verlassen.

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
Die Brücken, die auf einer Strecke zu
und von jedem Knoten hin- und wegführen,

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
müssen in verschiedenen Paaren auftreten,

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
d. h. die Anzahl der Brücken,
die jede besuchte Landmasse berühren,

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
muss eine gerade Zahl sein.

00:02:36.368 --> 00:02:39.189
Die einzig möglichen Ausnahmen

00:02:39.189 --> 00:02:42.267
sind der Anfang und das Ende des Wegs.

00:02:42.267 --> 00:02:44.648
Sieht man sich den Graph an,
wird offensichtlich:

00:02:44.648 --> 00:02:47.218
Alle vier Knoten haben
einen ungeraden Grad.

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
Ganz gleich, welcher Weg gewählt wird,

00:02:49.187 --> 00:02:53.300
an irgendeinem Punkt muss
eine Brücke zweimal überquert werden.

00:02:54.070 --> 00:02:57.859
Euler nutzte diesen Beweis, um eine
allgemeine Theorie zu formulieren,

00:02:57.859 --> 00:03:01.721
die für alle Graphen
mit zwei oder mehr Knoten gilt.

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
Ein Eulerischer Weg,
der jede Kante nur einmal betritt,

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
ist nur in einem von 2 Szenarios möglich.

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
Erstens, wenn es genau zwei Knoten
mit ungeraden Grad gibt,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
was bedeutet,
die anderen sind alle gerade.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Dann ist der Ausgangspunkt
einer der ungeraden Knoten

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
und der Endpunkt der andere.

00:03:22.500 --> 00:03:26.091
Zweitens, wenn alle Knoten
einen geraden Grad haben.

00:03:26.091 --> 00:03:30.711
Dann beginnt und endet
der Eulerische Weg am selben Ort,

00:03:30.711 --> 00:03:34.758
wodurch ein sogenannter
Eulerischer Rundgang entsteht.

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
Wie könntest du also einen Eulerischen Weg
in Königsberg entstehen lassen?

00:03:38.460 --> 00:03:39.562
Ganz einfach:

00:03:39.562 --> 00:03:41.402
Entferne einfach eine Brücke.

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
Sogar die Geschichte schaffte sich
ihren eigenen Eulerischen Weg.

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
Im Zweiten Weltkrieg zerstörte
die sowjetische Luftwaffe zwei der Brücken

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
und ermöglichte somit
einen Eulerischen Weg.

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
Aber zugegeben, das war
bestimmt nicht ihre Absicht.

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
Diese Bombardierungen radierten
Königsberg fast von der Karte aus.

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
Später wurde sie als die russische Stadt
Kaliningrad wieder aufgebaut.

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
Obgleich die Stadt Königsberg
und ihre 7 Brücken nicht mehr existieren,

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
wird man sich wegen eines scheinbar
trivialen Rätsels immer an sie erinnern,

00:04:13.361 --> 00:04:18.092
das zu einem neuen Gebiet
der Mathematik geführt hat.