1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
Heute findet man die Stadt Königsberg
nicht mehr auf der Karte,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
aber eine besondere Eigenheit
in ihrer geografischen Struktur

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
machte sie zu einer der bekanntesten
Städte in der Mathematik.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
Die mittelalterliche deutsche Stadt
lag auf beiden Seiten des Pregel.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
Im Stadtzentrum gab es zwei große Inseln.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
Diese zwei Inseln waren miteinander
und mit den Flussufern

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
durch sieben Brücken verbunden.

8
00:00:35,884 --> 00:00:38,046
Der Mathematiker Carl Gottlieb Ehler,

9
00:00:38,046 --> 00:00:41,296
der später Bürgermeister
einer benachbarten Stadt wurde,

10
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
war von diesen Inseln
und Brücken fasziniert.

11
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
Er stellte sich immer wieder
eine einzige Frage:

12
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
Welche Strecke muss man gehen,
um alle 7 Brücken zu überqueren,

13
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
ohne auch nur eine davon
mehr als einmal zu überqueren?

14
00:00:55,136 --> 00:00:56,926
Denke einen Moment darüber nach.

15
00:00:56,926 --> 00:00:57,926
7

16
00:00:57,936 --> 00:00:58,937
6

17
00:00:58,947 --> 00:00:59,946
5

18
00:00:59,946 --> 00:01:00,947
4

19
00:01:00,947 --> 00:01:01,946
3

20
00:01:01,946 --> 00:01:02,946
2

21
00:01:02,946 --> 00:01:03,996
1

22
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
Du gibst auf?

23
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
Das solltest du auch.

24
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
Denn es ist nicht möglich.

25
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
Aber mit den Erklärungsversuchen entdeckte
der berühmte Mathematiker Leonhard Euler

26
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
ein neues Gebiet der Mathematik.

27
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
Ehler schrieb an Euler
und bat ihn um Hilfe.

28
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
Euler lehnte die Frage zunächst ab,
da sie nichts mit Mathematik zu tun hatte.

29
00:01:23,367 --> 00:01:25,366
Aber umso mehr er mit der Frage rang,

30
00:01:25,366 --> 00:01:28,977
umso mehr schien es, dass da
doch ein Zusammenhang bestand.

31
00:01:28,977 --> 00:01:34,626
Die Antwort, die er fand, hatte nichts
mit der existierenden Geometrie zu tun;

32
00:01:34,626 --> 00:01:38,258
es war die Geometrie der Lage,

33
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
die heute als Graphentheorie bekannt ist.

34
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
Euler erstes Erkenntnis:

35
00:01:43,443 --> 00:01:47,737
Die Strecke zwischen dem Betreten
einer Insel oder einem Flussufer

36
00:01:47,737 --> 00:01:50,578
und dem Verlassen derer,
tat nichts zur Sache.

37
00:01:50,578 --> 00:01:53,437
Also konnte die Karte vereinfacht werden:

38
00:01:53,437 --> 00:01:56,627
Jede der vier Landmassen
wird als ein einziger Punkt dargestellt,

39
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
was wir heute "Knoten" nennen,

40
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
mit Linien, oder Kanten, zwischen ihnen,
um die Brücken darzustellen.

41
00:02:04,198 --> 00:02:06,619
Dieser vereinfachte Graph erlaubt es uns,

42
00:02:06,619 --> 00:02:09,619
die Grade eines jeden Knotens
ganz leicht zu zählen.

43
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
Das ist die Anzahl der Brücken,
die jede Landmasse berührt.

44
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
Warum sind die Grade wichtig?

45
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
Den Regeln der Herausforderung zufolge

46
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
müssen Personen, die über eine Brücke
an einer Landmasse ankommen,

47
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
diese über eine andere Brücke
wieder verlassen.

48
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
Die Brücken, die auf einer Strecke zu
und von jedem Knoten hin- und wegführen,

49
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
müssen in verschiedenen Paaren auftreten,

50
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
d. h. die Anzahl der Brücken,
die jede besuchte Landmasse berühren,

51
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
muss eine gerade Zahl sein.

52
00:02:36,368 --> 00:02:39,189
Die einzig möglichen Ausnahmen

53
00:02:39,189 --> 00:02:42,267
sind der Anfang und das Ende des Wegs.

54
00:02:42,267 --> 00:02:44,648
Sieht man sich den Graph an,
wird offensichtlich:

55
00:02:44,648 --> 00:02:47,218
Alle vier Knoten haben
einen ungeraden Grad.

56
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
Ganz gleich, welcher Weg gewählt wird,

57
00:02:49,187 --> 00:02:53,300
an irgendeinem Punkt muss
eine Brücke zweimal überquert werden.

58
00:02:54,070 --> 00:02:57,859
Euler nutzte diesen Beweis, um eine
allgemeine Theorie zu formulieren,

59
00:02:57,859 --> 00:03:01,721
die für alle Graphen
mit zwei oder mehr Knoten gilt.

60
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
Ein Eulerischer Weg,
der jede Kante nur einmal betritt,

61
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
ist nur in einem von 2 Szenarios möglich.

62
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
Erstens, wenn es genau zwei Knoten
mit ungeraden Grad gibt,

63
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
was bedeutet,
die anderen sind alle gerade.

64
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
Dann ist der Ausgangspunkt
einer der ungeraden Knoten

65
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
und der Endpunkt der andere.

66
00:03:22,500 --> 00:03:26,091
Zweitens, wenn alle Knoten
einen geraden Grad haben.

67
00:03:26,091 --> 00:03:30,711
Dann beginnt und endet
der Eulerische Weg am selben Ort,

68
00:03:30,711 --> 00:03:34,758
wodurch ein sogenannter
Eulerischer Rundgang entsteht.

69
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
Wie könntest du also einen Eulerischen Weg
in Königsberg entstehen lassen?

70
00:03:38,460 --> 00:03:39,562
Ganz einfach:

71
00:03:39,562 --> 00:03:41,402
Entferne einfach eine Brücke.

72
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
Sogar die Geschichte schaffte sich
ihren eigenen Eulerischen Weg.

73
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
Im Zweiten Weltkrieg zerstörte
die sowjetische Luftwaffe zwei der Brücken

74
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
und ermöglichte somit
einen Eulerischen Weg.

75
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
Aber zugegeben, das war
bestimmt nicht ihre Absicht.

76
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
Diese Bombardierungen radierten
Königsberg fast von der Karte aus.

77
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
Später wurde sie als die russische Stadt
Kaliningrad wieder aufgebaut.

78
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
Obgleich die Stadt Königsberg
und ihre 7 Brücken nicht mehr existieren,

79
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
wird man sich wegen eines scheinbar
trivialen Rätsels immer an sie erinnern,

80
00:04:13,361 --> 00:04:18,092
das zu einem neuen Gebiet
der Mathematik geführt hat.