Let's put all this in perspective by looking at some actual numbers.
To make things simple, let's make the length of our initial segment be one meter.
Then we can look at a table which uses our formula for curve length.
That is, four raised to the level number, divided by three raised to the level number, times one (4^N/3^N)*1.
That is one meter (1 m) here.
You can see that as the level goes up, the curve length also goes up.
Why is that?
Well, the reason is that each time we're dividing the segment length by three,
but we're multiplying the number of segments by four,
so the number of segments is going up faster than the segment length is going down.
So by Level 100, while the segment length is extremely small,
on the order of ten to the minus forty-eighth power (10^(-48)),
that's a decimal place followed by forty-eight zeros before we get to any non-zero digits
but the number of segments has gone up astronomically to the order of ten to the sixty (10^60).
So the actual curve length is 3.1 trillion meters.
What that means in more familiar terms is that the curve length at Level 100 is
three billion kilometers (3 x 10^9 km) or two billion (2 x 10^9) miles.
Now that's just amazing.
Think for a minute what that means.
What that means is that even though we have the whole curve that fits into our meter length ruler,
it's able to squeeze in, via these little nooks and crannies, like we saw on the coastline,
an enormous amount of distance.
This is not Level 100--we really couldn't see the little nooks and crannies.
But at Level 100, the curve would be able to squeeze in about two billion miles within this meter length curve.
That's just astounding.
Of course, we don't see that much being squeezed into fractal structures in nature,
but it gives us some hint as to why nature prefers fractal structures.
It's an extremely efficient way of squeezing in a huge amount of material,
whether it be tree branches, or broccoli florets, or mountain landscapes,
into a small amount of space.
That is, that the curve is what is called "space filling."
There are many other examples of space-filling structures in nature such as
the veins, arteries, and capillaries that make up the blood transport system in the body;
the roots of plants that grow in the ground; and
the structures in the brain.
In all of these examples, a sort of fractal geometry is being used
to optimize the amount of material that can be squeezed into a small amount of space.
We'll hear more about this in the unit on scaling.
Wir sollten nun den Zusammenhang herstellen, indem wir ein paar echte Zahlen einsetzen.
Um die Sache einfach zu halten, setzen wir die Länge des Anfangssegments auf 1 Meter.
Dann können wir uns eine Tabelle anschauen, welche die Formel für die Kurvenlänge enthält.
Sie lautet vier hoch Iterationen, geteilt durch drei hoch Iterationen, mal eins [ (4^n / 3^n) * 1].
In diesem Fall ein Meter (1m).
Hier sieht man, wenn die Iterationen fortschreiten, nimmt die Länge der Kurve zu.
Warum ist das so?
Nun, der Grund hierfür ist, jedesmal, wenn wir die Segmentlänge durch drei teilen,
multiplizieren wir Anzahl aller Segmente mit vier,
also steigt die Anzahl der Segmente schneller, als die Länge der Segmente abnimmt.
In der hundertsten Iteration, in der die Segmentlänge sehr klein ist,
so in der Größenordnung zehn hoch minus achtundvierzig (10^(-48)),
das ist das Dezimalkomma gefolgt von achtundvierzig Nullen bis wir zu einer nicht Nullziffer kommen,
aber die Anzahl der Segmente ist astronomisch gewachsen, bis zur Größenordnung von zehn hoch sechzig (10^60).
So dass die wirkliche Kurvenlänge 3,1 Billionen Meter beträgt.
Dies bedeutet in bekannteren Größen, dass die Kurvenlänge bei der hundertsten Iteration,
drei Milliarden Kilometer (3x10^9 km) oder zwei Milliarden Meilen (2x10^9)
Das ist faszinierend!
Denke eine Minute darüber nach, was das bedeutet?
Es bedeutet, das obwohl unsere gesamte Kurve in useren Maßstab von einem Meter länge passt,
hat sie die Fähigkeit, durch diese kleinen Ecken und Winkel, die wir auch an dem Küstenverlauf sahen,
eine extreme Länge hineinzuquetschen.
Dieses ist nicht die 100. Iteration - Wir könnten die kleinen Ecken und Winkel nicht sehen,
aber bei Iteration 100, wäre die Kurve fähig drei Milliarden Kilometer in diese einen Meter breiten Kurve hineinzupressen.
Das ist bewundernswert!
Natütlich sehen wir in der Natur keine so große Länge die in fraktale Strukturen hineingepresst wird,
aber es gibt uns einige Hinweise, warum die Natur fraktale Strukturen bevorzugt.
Es ist ein extrem effizienter Weg eine große Menge Material,
seien es Zweige von Bäumen, Broccoliröschen oder Berglandschaften,
auf engstem Raum zusammenzupressen.
Das ist der Grund, das die Kurve die Eigenschaft "raumfüllend" hat.
Es gibt viele weitere Beispiele für raumfüllende Strukturen in der Natur, wie
die Venen, Arterien und Kapillaren die das Bluttransportsystem im Körper bilden;
die Wurzeln von Pflanzen die in die Erde wachsen und
die Strukturen im Gehirn.
In allen diesen Beispielen kommt eine Art von fraktaler Geometrie vor
um die Menge von Material zu optimieren, die in einen kleinen Raum hineingepresst werden kann.
Hierüber erfahren wir mehr in der Lektion über Skaleneffekte.
Pongamos todo esto en perspectiva añadiendo algunos números
Para que sea más sencillo, pongamos que la longitud del segmento inicial es de 1 metro
luego fijémonos en una tabla que emplea nuestra fórmula para la longitud de la curva
esto es, 4 elevado al núemro del nivel, dividido entre 3 elevado al número del nivel, multiplicado por 1 (4^N/3^N)*1
Esto es 1 metro (1m) aquí
Podéis observar que, al aumentar el nivel, la longitud de la curva también aumenta.
¿Por qué ocurre esto?
Bueno, la razón es que en cada paso dividimos la longitud del segmento entre 3
pero, multiplicamos el número de segmentos por 4
Eso hace que el número de segmentos aumente más rápido de lo que disminuye su longitud.
Así, para el nivel 100 la longitud de cada segmento será extremadamente pequeña
del orden de 10 elevado a -48 (10^(-48))
es decir, tendremos un decimal seguido por 48 ceros antes de que aparezca un número distinto de cero
pero, el número de segmentos ha crecido astronómicamente, del orden de 10 elevado a 60 (10^60)
Así que la longitud de la curva es 3.1 billones de metros (3.1*(10^12) metros)
En términos más familiares, esto significa que la longitud de la curva en el nivel 100 es
3 mil millones de kilometros (3 x 10^9 Km) o 2 mil millones (2 x 10^9) de millas.
Es realmente impresionante.
Piensa por un momento lo que eso significa
Eso significa que, aunque nuestra curva cabe en una regla de 1 metro,
es capaz de concentrar, gracias a esos pequeños recovecos y ranuras, como vimos en la línea de costa,
una enorme cantidad de distancia.
Este no es el nivel 100 -no podríamos ver los pequeños recovecos y ranuras-
pero en el nivel 100, la curva podría concentrar alrededor de 2 mil millones de millas, en tan sólo 1 metro de longitud.
Es alucinante.
Por supuesto, no vemos esas cantidades concentradas en estructuras fractales naturales,
pero nos da una pista de por qué la naturaleza prefiere estructuras fractales.
Es una forma muy eficiente de acumular grandes cantidades de material
-ya sean ramas de árboles, cogollos de brécol, o paisajes montañosos-
en muy poco espacio.
Esta curva es lo que se llama una "llenadora de espacio"
Hay otros muchos ejemplos en la naturaleza de estructuras llenadoras de espacio como
las venas, arterias y capilares que forman el sistema de transporte sanguíneo del cuerpo;
las raíces de las plantas que crecen en el suelo; y
las estructuras cerebrales.
Todos estos ejemplos emplean algún tipo de geometría fractal
para optimizar la cantidad de material que pueden concentrar en un espacio pequeño.
Oíremos más acerca de esto en la unidad sobre escalado.
Voyons tout cela en perspective chiffrée
Pour faire simple, posons que notre segment initial a une longueur de 1 mètre.
Puis regardons un tableau appliquant la formule de calcul de la longueur de la courbe.
Soit 4 porté à la puissance de l'étape N, divisé par 3 puissance N, fois 1 ( 4^N / 3^N ) * 1....
...en référence au 1 mètre du segment ici
Constatez qu'en augmentant les étapes, la longueur de la courbe augmente aussi.
Pourquoi ?
Eh bien, en divisant à chaque étape notre segment par 3
nous le multiplions, dans le même temps, par 4,
ainsi le nombre de segments augmente plus vite que ne se réduit la longueur de segment.
Soit, à l'étape 100, alors que nous avons un segment réduit à l'extrême,
réduction d'ordre 10 puissance -48,
(un décimal ayant 48 zéros après son 1er chiffre non-nul)
mais le nombre de segment s'est accru astronomiquement, de l'ordre de 10 puissance 60.
Soit une longueur de courbe de 3100 miliards de mètres.
En termes simples, cela signifie qu'à la 100e étape, la courbe mesure
3 milliards de kilomètres (3 x 10^9 km) ou 2 milliards de miles.
Absolument renversant.
Une minute de réflexion s'impose.
Cela signifie que bien que la longueur de la courbe tient en totalité dans 1 mètre,
sa bordure peut se replier, en petits coins et recoins, telle une côte maritime,
sur une distance énorme.
Nous n'en sommes pas à la 100e étape, nous ne pourrions absolument pas distinguer les minuscules replis.
Mais à la 100e étape, la courbe pourrait entortiller environ 2 milliards de miles, sur une courbe étalée sur seulement un mètre.
C'est tout simplement stupéfiant.
Bien entendu, les structures fractales naturelles ne donnent de chiffres de cette ordre,
mais partant de ces observations, nous commençons à comprendre pourquoi la nature préfère la structures fractales.
C'est une manière extrêmement efficace d'emmagasiner en replis une quantité énorme de matière,
-- que ce soit en branches d'arbres, en fleurs de broccoli ou en reliefs montagneux --
dans un espace réduit.
C'est pourquoi cette courbe s'appelle également "remplissage d'espace".
Il existe de nombreuses autres exemples de structures de remplissage d'espace dans la nature, tels
les veines, artères et capillaires qui véhiculent le sang dans le corps;
les racines des plantes qui poussent dans le sol; et
les structures à l'intérieur du cerveau.
Dans tous ces exemples,une sorte de géométrie fractale est employée
pour optimiser l'agencement de la matière à confiner dans de petits espaces.
Vous en verrez plus sur ce sujet dans la partie qui traite de mise à l'échelle.
Mettiamo tutto ciò in prospettiva passando ad un esempio numerico.
Per semplificare le cose, poniamo che la lunghezza del segmento iniziale sia pari ad un metro.
Possiamo consultare una tabella che utilizzi la nostra formula per la lunghezza della curva.
Cioè, quattro elevato al numero del livello, diviso per tre elevato al numero del livello, moltiplicato per uno (4^N/3^N)*1.
In questo caso equivale ad un metro (1 m).
Si vede che al crescere del livello cresce anche la lunghezza della curva.
Perché accade?
La ragione è che ogni volta dividiamo la lunghezza del segmento per tre,
ma moltiplichiamo il numero di segmenti per quattro,
quindi il numero di segmenti cresce più velocemente di quanto la lunghezza del segmento decresca.
A livello 100, la lunghezza del segmento è estremamente piccola,
nell'ordine di dieci elevato alla meno quarantotto (10^(-48)),
cioè un numero decimale composto da 48 zeri prima che si arrivi ad una cifra che non sia zero,
mentre il numero di segmenti è cresciuto astronomicamente nell'ordine di dieci elevato alla sessanta (10^60).
Dunque la lunghezza della curva è pari a 3,1 trilioni [= mila miliardi] di metri.
In termini più familiari, questo significa che a livello 100 la curva è lunga
tre miliardi di chilometri (3 x 10^9 km) o due miliardi (2 x 10^9) di miglia.
Questo è semplicemente fantastico.
Pensate un minuto a cosa significhi.
Questo significa che anche se abbiamo che l'intera curva sta nel nostro righello lungo un metro,
attraverso queste piccoli angoli e fessure, come abbiamo visto per la costa, è capace di concentrarsi
un'enorme quantità di distanza.
Questo non è il livello 100 -- non potremmo vedere i piccoli angoli e le fessure.
Ma a livello 100, la curva sarebbe capace di concentrare circa due miliardi di miglia in questa curva lunga un metro.
Questo è semplicemente sorprendente.
Ovviamente, nelle strutture frattali in natura non vediamo questi livelli di concentrazione,
ma questo ci suggerisce il perché la natura preferisca le strutture frattali:
sono un modo estremamente efficiente di concentrare grandi quantità di materiale
-- siano esse rami di alberi, inflorescenze di broccoli o paesaggi montani --
in piccole porzioni di spazio.
Ecco perché questa curva è di quelle dette "riempi spazio".
In natura ci sono molti altri esempi di strutture riempi-spazio, come
le vene, le arterie e i capillari che compongono il sistema di trasporto del sangue nel corpo;
le radici delle piante che crescono nel terreno; e
le strutture del cervello.
In tutti questi esempi viene utilizzata una sorta di geometria frattale
per ottimizzare la quantità di materiale che può essere concentrata in una piccola porzione di spazio.
Sentiremo di più su questo nell'unità relativa all'ingrandimento.
Vamos por tudo isso em perspectiva, ao olhar para números de verdade. Para manter as coisas simples vamos supor que o segmento incial tem 1 metro.
Então podemos ver a tabela que usa nossa fórmula para o comprimento total que é [(4^(n)) / (3^(n))] * 1 (L = 1m aqui).
Ok? Então você pode ver que o à medida que o nível aumenta, o comprimento total também aumenta. Por quê isso?
Bem, a razão é que a cada vez dividimos os segmentos por 3, mas multiplicamos o número de segmentos por 4,
Então o número de segmentos cresce mais rápido do que seus tamanhos diminuem.
Então pelo nível "100", o tamanho do segmento é extremamente pequeno, da ordem de 10^(-48): um número decimal precedido de 48 zeros...
Mas o número de segmentos tem aumentado astronomicamente, até a ordem de 10^(60). Então o comprimento da curva é de 3,1 trilhões de metros...
E o que isso significa em termos mais simples é que, o comprimento da curva no nível 100 é de três bilhões de Km. Ou 2 bilhões de milhas.
Isso fantástico, pense por um minuto no que significa. O que significa é que apesar de toda a curva caber na nossa régua de 1m,
Ela é capaz de se comprimir, pelas suas rugosidades, uma enorme quantidade de distância.
Isto não é no nível 100. Nós não poderíamos ver os detalhes ao nível 100, mas ao nível 100 a curva poderia comprimir 2 bilhões de milhas sobre a régua.
Isto é incrível. É claro que não vemos isso tanto comprimido em estruturas fractais na natureza,
mas nos dá ideia de porque a natureza prefere estruturas fractais: é uma forma extremamente eficiente de comprimir grandes somas de matéria,
sejam galhos de árvores, ou brócolis, ou superfícies montanhosas, em pequenos espaços.
Existem muitos outros exemplos de estruturas que comprimem matéria na natureza. Como as veias, artérias e capilares que transportam sangue.
As raízes das plantas que crescem no subsolo. E estruturas no cérebro.
Em todos esses exemplos, uma forma de geometria fractal esta sendo usada para otimizar a quantidade de material que é colocado em um pequeno espaço.
Vamos ouvir mais sobre isso na unidade sobre "scaling" (olhar um fenômeno sobre várias escalas).
Haideți să privim în perspectivă uitându-ne la niște numere.
Ca să facem lucrurile mai simple, să spunem că lungimea segmentului inițial este de 1 metru.
Apoi ne uităm la tabelul nostru care folosește formula privind lungimea curbei
Astfel, 4 la puterea reprezentată de numărul nivelului, împărțit la 3 ridicat la puterea reprezentată de numărul nivelului, înmulțit cu 1 (4^N/3^N)*1.
Asta înseamnă 1 metru aici.
Puteți vedea că pe măsură ce crește nivelul crește și lungimea curbei.
De ce?
Motivul este că împărțim lungimea segmentului în trei
dar multiplicăm numărul de segmente cu 4,
deci numărul de segmente crește mai repede decât scade lungimea lor.
Deci la nivelul 100, deși lungimea segmentelor este foarte mică
de ordinul 10 la puterea -48 (10^(-48)).
care înseamnă un număr cu zecimale care are 48 de 0 înainte de a avea o valoare care nu este 0
dar numărul de segmente s-a mărit în mod astronomic undeva la 10^60
Deci lungimea actuală a curbei este de 3,1 trilioane de metri.
În niște termeni mai familiari înseamnă că la Nivelul 100 lungimea curbei este
de 3 miliarde de km (3x10^9 km) sau 2 miliarde de mile (2x10^9)
Acest lucru este uimitor.
Gândiți-vă pentru un minut ce înseamnă acest lucru.
Ce înseamnă este faptul că: cu toate că avem curba care se potrivește cu rigla noastră de un metru,
ea se strecoară prin toate aceste mici colțuri și crăpături, cum am văzut în cazul liniei de coastă,
și acoperă o distanță enormă.
Acesta nu este nivelul 100, chiar nu am putea vedea micile colțuri și crăpături.
Dar la nivelul 100, curba ar fi capabilă să acopere 2 miliarde de mile pornind de la un segment de un metru.
Este uimitor.
Sigur nu vedem atât de multe înglobate într-un fractal în natură,
dar acum avem o idee de ce natura preferă structurile de tip fractal.
Este un mod extrem de eficient de a strânge la un loc o mare cantitate de material,
într-un spațiu mic,
chiar dacă este vorba despre ramurile unui copac, sau buchete de broccoli, sau lanțuri muntoase
Astfel curba este ceea ce denumim ”umplere de spațiu”.
Sunt multe alte exemple de structuri care umplu spațiul în natură precum:
venele, arterele și capilarele care formează sistemul de transport al sângelui în corp;
rădăcinile plantelor care cresc în pământ; și
structurile care se formează pe creier,
În cazul tuturor acestor exemple este folosită un anume fel de geometrie a fractalilor
pentru a optimiza cantitatea de material care poate fi strânsă la un loc într-un spațiu foarte mic.
Vom afla mai multe despre aceasta în lecția referitoare la factorii de demultiplicare.
Давайте разберёмся во всём этом на конкретном примере.
Для упрощения, примем длину нашего начального сегмента за один метр.
Теперь обратимся к таблице, которая использует нашу формулу длины кривой Коха.
То есть четыре в степени номера уровня, делённое на три в степени номера уровня...
...и всё это умноженное на единицу: (4^N/3^N)*1.
Единица - это один метр, вот он.
Видно, что с повышением уровня длина кривой Коха возрастает.
Почему же?
Всё дело в том, что каждый раз мы делим длины сегментов на три,
а количество сегментов умножаем на четыре.
Поэтому количество сегментов увеличивается быстрее, чем уменьшается их длина.
Таким образом, к 100-ому уровню длина сегментов становится крайне маленькой,
-порядка десяти в минус сорок восьмой- 10^(-48)
(это сорок восемь нулей после запятой) 0,0000000000...000000000000000000001
но их количество возрастает астроно- мически до десяти в шестидесятой (10^60).
В результате, общая длина кривой достигает 3.1 триллиона метра.
Для наглядности, длина кривой Коха при уровне 100 равна
трём миллиардам километров (3 х 10^9 км) или двум миллиардам миль.
Поразительно!
Задумайтесь на минутку.
Благодаря крошечным впячиваниям (подобно береговым линиям, которые мы видели ранее)
кривая Коха, по размеру сопоставимая с метровой линейкой,
способна вместить в себе огромную дистанцию.
Это не сотый уровень; в любом случае мельчайших впячиваний мы бы не заметили.
Но при сотом уровне, кривая сжимала бы около двух миллиардов миль в одном метре.
Феноменально!
Разумеется, такого экстремального сжатия
не наблюдается в природных фракталах,
но это объясняет высокую распространённость фракталов в природе.
Это крайне эффективный способ сжатия огромного количества материи,
будь то ветви деревьев, или цветочки брокколи, или горный ландшафт,
в малый объём пространства.
По этой причине кривую Коха называют "заполняющей пространство".
Существует множество других примеров подобных "заполняющих" природных структур:
вены, артерии и капилляры,составляющие сердечно-сосудистую систему теплокровных;
корни растений, растущих в почве;
структуры головного мозга.
Во всех этих примерах фракталоподобная геометрия используется
для оптимизации количества вещества, сжимаемого в небольшое пространство.
Мы поговорим об этом подробнее в главе о масштабировании.
为了让大家更好理解，我们用实际的数字来一次。
为简单起见，设曲线的起始长度为1米。
然后我们来看看表格里曲线长度的计算公式：
4的N（N是迭代次数）次方除以3的N次方乘以1。
1在这里就表示1米。
可见随着迭代次数的上升，曲线长度也会增加。
为什么？
嗯，其原因是每次我们在将线段长度三等分的同时，
会将线段数量变成原来的四倍。
所以线段数量的增长快于线段长度的减少。
所以到了100重迭代，虽然线段长度非常短，
短到10的负48次方量级，
这相当于小数点后跟了48个零，然后才到非零数字，
但线段的数量却如天文数字般增大，达到10的60次方量级。
这样实际上线段的长度是3.1万亿米。
说得更简单些，在100重迭代下，曲线长度是
30亿千米，或者说20亿英里。
很惊人吧！
想想这意味着什么？
这意味着虽然整条曲线的尺寸和一把米尺相当，
它曲曲折折如同我们之前见到的海岸线，
但这些微小的曲折却暗藏了无比巨大的长度。
虽然这还不是100重迭代，但这些曲折已经小得看不见了。
但在100重迭代下，这条米尺大小的曲线却能包含20亿英里的长度。
实在是让人吃惊。
当然，我们不可能在自然界里看见这么极端的分形。
但是它提示我们为什么大自然偏好分形。
这是将巨量物质——
不管是树枝，花菜还是山峰的地貌——
压缩到微小空间的极有效的方法。
之所以这条曲线被叫做“空间填充”也正是如此。
自然界还有很多“空间填充”的例子，比如
人体里组成血液运输系统的静脉，动脉和毛细血管；
比如植物深入地下的根；
比如大脑的结构。
所有这些例子都使用了一种叫做分形几何的方法
来优化一个微小空间能容纳的物质的量。
我们会在叫做尺度的单元里知道更多。