1
00:00:03,520 --> 00:00:05,513
Dans l'unité précédente,

2
00:00:05,513 --> 00:00:08,373
J'ai parlé de la dimension fractale de divers objets

3
00:00:08,373 --> 00:00:09,580
tels que les côtes.

4
00:00:09,580 --> 00:00:12,217
Mais je ne vous ai pas encore dit comment ces

5
00:00:12,217 --> 00:00:14,857
dimensions fractales du monde réel ont été calculées.

6
00:00:14,857 --> 00:00:17,630
Il nous a été possible de calculer la dimension fractale

7
00:00:17,630 --> 00:00:20,266
de la courbe de Koch et du triangle de Sierpiński,

8
00:00:20,266 --> 00:00:23,365
parce que ce sont de parfaites fractales mathématiques

9
00:00:23,365 --> 00:00:25,563
et non pas des objets du monde réel,

10
00:00:25,563 --> 00:00:28,930
mais il y a un grand intérêt à calculer la dimension fractale approximative

11
00:00:28,930 --> 00:00:31,637
du monde réel parce que ceci peut révéler un aperçu

12
00:00:31,637 --> 00:00:33,790
des systèmes naturels ou humainement créés

13
00:00:33,790 --> 00:00:35,860
Il y a un grand nombre de méthodes

14
00:00:35,860 --> 00:00:37,501
pour analyser les fractales et

15
00:00:37,501 --> 00:00:39,724
des livres entiers sont consacrés au sujet.

16
00:00:39,724 --> 00:00:42,513
Ici je vais vous montrer une méthode couramment utilisée

17
00:00:42,513 --> 00:00:44,533
pour estimer les dimensions fractales.

18
00:00:44,533 --> 00:00:46,303
La dimension "box-counting"

19
00:00:46,303 --> 00:00:51,152
La dimension "box-counting" est en relation étroite avec l'idée que

20
00:00:51,152 --> 00:00:53,988
lorsque vous changez la taille de la règle

21
00:00:53,988 --> 00:00:55,964
avec laquelle vous mesurez une fractale,

22
00:00:55,964 --> 00:00:58,275
vous obtenez des longueurs différentes

23
00:00:58,275 --> 00:01:00,400
alors que vous allez vers des tailles

24
00:01:00,400 --> 00:01:03,189
de plus en plus petites dans l'échelle de longueur.

25
00:01:03,189 --> 00:01:05,933
Voici en quoi consiste la méthode "box-counting".

26
00:01:05,933 --> 00:01:07,995
Nous prenons un objet particulier,

27
00:01:07,995 --> 00:01:11,940
ici j'ai une image des côtes britanniques,

28
00:01:11,940 --> 00:01:14,492
et nous recouvrons cette figure

29
00:01:14,492 --> 00:01:18,737
par une grille composées de carrés. Chaque carré a

30
00:01:18,737 --> 00:01:23,230
une certaine longueur de côté qui représente l'échelle de mesure pour cette figure,

31
00:01:23,230 --> 00:01:26,854
et maintenant nous comptons le nombre de carrés

32
00:01:26,854 --> 00:01:31,899
dans lesquels la partie noire des côtes apparaît.

33
00:01:31,899 --> 00:01:34,282
Par exemple elle n'apparaît dans ce carré,

34
00:01:34,282 --> 00:01:37,707
même s'il est au milieu de la Grande Bretagne, donc nous ne le prenons pas en compte.

35
00:01:37,707 --> 00:01:39,744
Donc nous poursuivons cette procédure

36
00:01:39,744 --> 00:01:42,907
et nous comptons le nombre de carrés qui contiennent une partie de ce contour noir.

37
00:01:42,907 --> 00:01:44,270
J'ai compté 36 carrés.

38
00:01:44,270 --> 00:01:49,845
La longueur des côtés est de 10 unités pour chaque carré.

39
00:01:49,845 --> 00:01:54,235
Maintenant je passe à l'étape suivante et j'agrandis la taille des carrés.

40
00:01:54,235 --> 00:01:59,382
Je calcule le nombre de carrés mais à une échelle différente.

41
00:01:59,382 --> 00:02:02,976
Ici, parce que les côtés des carrés sont plus larges,

42
00:02:02,976 --> 00:02:07,068
j'obtiens moins de carrés contenant les parties de la figure.

43
00:02:07,068 --> 00:02:10,368
Puis je continue encore,

44
00:02:10,383 --> 00:02:13,363
ici les carrés sont encore plus larges: 12

45
00:02:13,363 --> 00:02:16,863
et j'obtiens 27 carrés contenant les parties de la figure.

46
00:02:16,863 --> 00:02:20,963
Et nous continuons ainsi en complétant cette liste de nombres.

47
00:02:20,964 --> 00:02:25,130
Regardons maintenant le relation entre la dimension Hausdorff que vous connaissez déjà,

48
00:02:25,130 --> 00:02:28,064
et la dimension "box-counting".

49
00:02:28,064 --> 00:02:31,874
Si vous vous souvenez, pour la dimension Hausdorff nous avions une relation,

50
00:02:31,874 --> 00:02:36,125
constituée par le nombre de copies d'une figure au niveau précédent,

51
00:02:36,125 --> 00:02:40,094
nous prenons le log de ce qui était égal à la dimension D

52
00:02:40,094 --> 00:02:44,124
multiplié par le log du facteur de réduction du niveau précédent.

53
00:02:44,124 --> 00:02:48,473
Il peut être montré que si vous prenez cette méthode "box-counting",

54
00:02:48,473 --> 00:02:53,860
ceci peut être approché en prenant le log du nombre de boîtes

55
00:02:53,860 --> 00:02:57,386
qui est égal à la dimension D multiplié par le log

56
00:02:57,386 --> 00:03:00,386
de 1 sur une longueur d'un côté.

57
00:03:00,386 --> 00:03:03,136
D est appelé la dimension "box-counting"

58
00:03:03,136 --> 00:03:06,560
et si vous voulez en voir la dérivation et d'autre détails sur

59
00:03:06,560 --> 00:03:10,624
la relation entre ces dimensions, regardez le chapitre 4

60
00:03:10,624 --> 00:03:14,604
de l'Explorer Fractal qui est un site web sur les fractales.

61
00:03:14,606 --> 00:03:18,196
Et il y a un lien sur notre page de support de cours.

62
00:03:18,197 --> 00:03:23,727
Maintenant la question est comment obtenons-nous ce D à partir des valeurs des nombres de carrés

63
00:03:23,727 --> 00:03:26,527
et des longueurs des côtés des carrés?

64
00:03:26,527 --> 00:03:29,627
Eh bien, si vous reprenez votre algèbre, vous avez pu remarquer que

65
00:03:29,627 --> 00:03:34,957
cette équation est finalement l'équation d'une ligne droite.

66
00:03:34,979 --> 00:03:39,389
Si nous l'appliquons sur un graphe où les axes

67
00:03:39,389 --> 00:03:45,384
sont ici le log de 1 sur la longueur d'un côté, c'est l'axe des x,

68
00:03:45,384 --> 00:03:49,551
et l'axe des y est le log du nombre de carrés,

69
00:03:49,555 --> 00:03:52,608
et D serait la pente de la ligne droite.

70
00:03:52,608 --> 00:03:56,537
Donc ce que nous pouvons faire est de prendre les mesures que nous avons faites à chaque niveau

71
00:03:56,537 --> 00:03:57,991
pour compter les carrés

72
00:03:57,991 --> 00:04:01,441
et nous pouvons appliquer chaque mesure sur ce graphique.

73
00:04:01,442 --> 00:04:05,192
Donc voici quelques mesures hypothétiques que nous aurions pu avoir,

74
00:04:05,192 --> 00:04:10,199
où le nombre de carrés diminue alors que la longueur des côtés des carrés augmente.

75
00:04:10,199 --> 00:04:12,722
Voici 1 sur la longueur d'un côté des carrés

76
00:04:12,722 --> 00:04:15,328
et quand la longueur augmente cette valeur diminue.

77
00:04:15,328 --> 00:04:20,058
Vous pouvez constater que si cette équation est vraie, elle doit former une ligne droite

78
00:04:20,058 --> 00:04:21,978
dont la pente est la dimension.

79
00:04:21,987 --> 00:04:24,560
Donc nous pouvons estimer la dimension

80
00:04:24,560 --> 00:04:27,672
en répartissant ces points en fonction des mesures des carrés que nous avons faites

81
00:04:27,672 --> 00:04:29,589
et donc obtenir ces points,

82
00:04:29,589 --> 00:04:33,613
tracer une ligne droite sur ces points qui montre la pente de cette ligne

83
00:04:33,613 --> 00:04:36,153
et c'est la mesure de notre dimension.

84
00:04:36,153 --> 00:04:40,371
Et c'est que qui a été fait approximativement pour calculer des choses comme

85
00:04:40,371 --> 00:04:42,291
la dimension fractale des côtes.