1 00:00:03,520 --> 00:00:05,513 Dans l'unité précédente, 2 00:00:05,513 --> 00:00:08,373 J'ai parlé de la dimension fractale de divers objets 3 00:00:08,373 --> 00:00:09,580 tels que les côtes. 4 00:00:09,580 --> 00:00:12,217 Mais je ne vous ai pas encore dit comment ces 5 00:00:12,217 --> 00:00:14,857 dimensions fractales du monde réel ont été calculées. 6 00:00:14,857 --> 00:00:17,630 Il nous a été possible de calculer la dimension fractale 7 00:00:17,630 --> 00:00:20,266 de la courbe de Koch et du triangle de Sierpiński, 8 00:00:20,266 --> 00:00:23,365 parce que ce sont de parfaites fractales mathématiques 9 00:00:23,365 --> 00:00:25,563 et non pas des objets du monde réel, 10 00:00:25,563 --> 00:00:28,930 mais il y a un grand intérêt à calculer la dimension fractale approximative 11 00:00:28,930 --> 00:00:31,637 du monde réel parce que ceci peut révéler un aperçu 12 00:00:31,637 --> 00:00:33,790 des systèmes naturels ou humainement créés 13 00:00:33,790 --> 00:00:35,860 Il y a un grand nombre de méthodes 14 00:00:35,860 --> 00:00:37,501 pour analyser les fractales et 15 00:00:37,501 --> 00:00:39,724 des livres entiers sont consacrés au sujet. 16 00:00:39,724 --> 00:00:42,513 Ici je vais vous montrer une méthode couramment utilisée 17 00:00:42,513 --> 00:00:44,533 pour estimer les dimensions fractales. 18 00:00:44,533 --> 00:00:46,303 La dimension "box-counting" 19 00:00:46,303 --> 00:00:51,152 La dimension "box-counting" est en relation étroite avec l'idée que 20 00:00:51,152 --> 00:00:53,988 lorsque vous changez la taille de la règle 21 00:00:53,988 --> 00:00:55,964 avec laquelle vous mesurez une fractale, 22 00:00:55,964 --> 00:00:58,275 vous obtenez des longueurs différentes 23 00:00:58,275 --> 00:01:00,400 alors que vous allez vers des tailles 24 00:01:00,400 --> 00:01:03,189 de plus en plus petites dans l'échelle de longueur. 25 00:01:03,189 --> 00:01:05,933 Voici en quoi consiste la méthode "box-counting". 26 00:01:05,933 --> 00:01:07,995 Nous prenons un objet particulier, 27 00:01:07,995 --> 00:01:11,940 ici j'ai une image des côtes britanniques, 28 00:01:11,940 --> 00:01:14,492 et nous recouvrons cette figure 29 00:01:14,492 --> 00:01:18,737 par une grille composées de carrés. Chaque carré a 30 00:01:18,737 --> 00:01:23,230 une certaine longueur de côté qui représente l'échelle de mesure pour cette figure, 31 00:01:23,230 --> 00:01:26,854 et maintenant nous comptons le nombre de carrés 32 00:01:26,854 --> 00:01:31,899 dans lesquels la partie noire des côtes apparaît. 33 00:01:31,899 --> 00:01:34,282 Par exemple elle n'apparaît dans ce carré, 34 00:01:34,282 --> 00:01:37,707 même s'il est au milieu de la Grande Bretagne, donc nous ne le prenons pas en compte. 35 00:01:37,707 --> 00:01:39,744 Donc nous poursuivons cette procédure 36 00:01:39,744 --> 00:01:42,907 et nous comptons le nombre de carrés qui contiennent une partie de ce contour noir. 37 00:01:42,907 --> 00:01:44,270 J'ai compté 36 carrés. 38 00:01:44,270 --> 00:01:49,845 La longueur des côtés est de 10 unités pour chaque carré. 39 00:01:49,845 --> 00:01:54,235 Maintenant je passe à l'étape suivante et j'agrandis la taille des carrés. 40 00:01:54,235 --> 00:01:59,382 Je calcule le nombre de carrés mais à une échelle différente. 41 00:01:59,382 --> 00:02:02,976 Ici, parce que les côtés des carrés sont plus larges, 42 00:02:02,976 --> 00:02:07,068 j'obtiens moins de carrés contenant les parties de la figure. 43 00:02:07,068 --> 00:02:10,368 Puis je continue encore, 44 00:02:10,383 --> 00:02:13,363 ici les carrés sont encore plus larges: 12 45 00:02:13,363 --> 00:02:16,863 et j'obtiens 27 carrés contenant les parties de la figure. 46 00:02:16,863 --> 00:02:20,963 Et nous continuons ainsi en complétant cette liste de nombres. 47 00:02:20,964 --> 00:02:25,130 Regardons maintenant le relation entre la dimension Hausdorff que vous connaissez déjà, 48 00:02:25,130 --> 00:02:28,064 et la dimension "box-counting". 49 00:02:28,064 --> 00:02:31,874 Si vous vous souvenez, pour la dimension Hausdorff nous avions une relation, 50 00:02:31,874 --> 00:02:36,125 constituée par le nombre de copies d'une figure au niveau précédent, 51 00:02:36,125 --> 00:02:40,094 nous prenons le log de ce qui était égal à la dimension D 52 00:02:40,094 --> 00:02:44,124 multiplié par le log du facteur de réduction du niveau précédent. 53 00:02:44,124 --> 00:02:48,473 Il peut être montré que si vous prenez cette méthode "box-counting", 54 00:02:48,473 --> 00:02:53,860 ceci peut être approché en prenant le log du nombre de boîtes 55 00:02:53,860 --> 00:02:57,386 qui est égal à la dimension D multiplié par le log 56 00:02:57,386 --> 00:03:00,386 de 1 sur une longueur d'un côté. 57 00:03:00,386 --> 00:03:03,136 D est appelé la dimension "box-counting" 58 00:03:03,136 --> 00:03:06,560 et si vous voulez en voir la dérivation et d'autre détails sur 59 00:03:06,560 --> 00:03:10,624 la relation entre ces dimensions, regardez le chapitre 4 60 00:03:10,624 --> 00:03:14,604 de l'Explorer Fractal qui est un site web sur les fractales. 61 00:03:14,606 --> 00:03:18,196 Et il y a un lien sur notre page de support de cours. 62 00:03:18,197 --> 00:03:23,727 Maintenant la question est comment obtenons-nous ce D à partir des valeurs des nombres de carrés 63 00:03:23,727 --> 00:03:26,527 et des longueurs des côtés des carrés? 64 00:03:26,527 --> 00:03:29,627 Eh bien, si vous reprenez votre algèbre, vous avez pu remarquer que 65 00:03:29,627 --> 00:03:34,957 cette équation est finalement l'équation d'une ligne droite. 66 00:03:34,979 --> 00:03:39,389 Si nous l'appliquons sur un graphe où les axes 67 00:03:39,389 --> 00:03:45,384 sont ici le log de 1 sur la longueur d'un côté, c'est l'axe des x, 68 00:03:45,384 --> 00:03:49,551 et l'axe des y est le log du nombre de carrés, 69 00:03:49,555 --> 00:03:52,608 et D serait la pente de la ligne droite. 70 00:03:52,608 --> 00:03:56,537 Donc ce que nous pouvons faire est de prendre les mesures que nous avons faites à chaque niveau 71 00:03:56,537 --> 00:03:57,991 pour compter les carrés 72 00:03:57,991 --> 00:04:01,441 et nous pouvons appliquer chaque mesure sur ce graphique. 73 00:04:01,442 --> 00:04:05,192 Donc voici quelques mesures hypothétiques que nous aurions pu avoir, 74 00:04:05,192 --> 00:04:10,199 où le nombre de carrés diminue alors que la longueur des côtés des carrés augmente. 75 00:04:10,199 --> 00:04:12,722 Voici 1 sur la longueur d'un côté des carrés 76 00:04:12,722 --> 00:04:15,328 et quand la longueur augmente cette valeur diminue. 77 00:04:15,328 --> 00:04:20,058 Vous pouvez constater que si cette équation est vraie, elle doit former une ligne droite 78 00:04:20,058 --> 00:04:21,978 dont la pente est la dimension. 79 00:04:21,987 --> 00:04:24,560 Donc nous pouvons estimer la dimension 80 00:04:24,560 --> 00:04:27,672 en répartissant ces points en fonction des mesures des carrés que nous avons faites 81 00:04:27,672 --> 00:04:29,589 et donc obtenir ces points, 82 00:04:29,589 --> 00:04:33,613 tracer une ligne droite sur ces points qui montre la pente de cette ligne 83 00:04:33,613 --> 00:04:36,153 et c'est la mesure de notre dimension. 84 00:04:36,153 --> 00:04:40,371 Et c'est que qui a été fait approximativement pour calculer des choses comme 85 00:04:40,371 --> 00:04:42,291 la dimension fractale des côtes.