In the previous subunit I talked about
the fractal dimension of various objects
such as coastlines.
But I haven't yet told you how these
real world fractal dimensions were computed.
It was possible for us to compute
fractal dimension from the Koch curve
and the Sierpinski triangle because
these are perfect mathematical fractals,
not real world objects.
But there's a lot of interest in computing
approximate fractal dimension in the real world
because it can often reveal insights about
natural or human created systems.
There are a lot of different methods for analyzing
fractals and whole books devoted to this subject.
Here I'm going to show you one commonly used
method for estimating fractal dimension,
the box counting method.
The box counting method is
closely related to this idea that
as you change the size of the ruler
that you measure a fractal by,
you get a different length as you go
further and further into smaller and smaller length scales.
So here's what the box counting method consists of.
You take a particular object.
Here I have a picture of the British coastline.
So what we do is overlay this figure
by a grid of boxes.
Each box has a certain length of its side,
which is the scale at which we're measuring this figure.
And what we do is count
the number of boxes in which
part of the black outline of the coast appears.
For example, it does not appear in this box,
even though this is in the middle of Great Britain,
so we don't count it.
So if we follow that procedure
and count the number of boxes
containing part of this black outline,
I got 36.
The length of the side was 10 units for each box.
Now I go to the next step
and I increase the size of the boxes.
So I'm now calculating the number of boxes,
but at a different scale.
Here because the length of the side
of the box was larger, I got fewer boxes
that contained part of this figure.
Then I would go up again.
Here the size of the box is larger again, 12.
And I got 27 boxes that contained part of the figure.
So you keep doing this,
accumulating this list of numbers.
Let's look at the relationship
between Hausdorff dimension,
which we already learned about,
and box-counting dimension.
If you recall, for the Hausdorff dimension
we had a relationship that is
the number of copies of a figure
from a previous level.
If we take the log of that,
that was equal to the dimension
times the log of the reduction factor
from the previous level.
It can be shown that if you do this
box-counting method, this can be approximated
by looking at the log of the number of boxes
and that's equal to the dimension
times the log of 1 over the length of the side.
D is called the box-counting dimension
and if you want to see the derivation of this
and other details about the relationship
between these dimensions,
take a look at Chapter 4 of the Fractal Explorer
which is a website about fractals.
And there's a link from our
Course Materials page on this.
Now the question is,
how do we actually get this D from our values
from numbers of boxes and
lengths of sides.
Well if you're up on your algebra
you might have noticed that this equation
is actually the equation of a straight line.
If we plot it on a graph
where the axes are here,
the log of one over the length of the side,
this x value,
and the y axis is log of the number of boxes.
And D would be the slope of that straight line.
So what we can do is we can
take the measurements that we made
at each level for the box counting
and we can plot it, each measurement, on this graph.
So here's some hypothetical measurements
that we might have gotten,
where the number of boxes goes down
as the length of the side goes up.
Notice this is 1 over the length of the side,
so as length of the side goes up, this goes down.
You can see that if this is actually true
these should form a straight line
whose slope is the dimension.
So we can estimate the dimension
by plotting these points,
doing our measurements for the boxes
and then plotting these points.
Drawing a straight line through them,
figuring out what the slope of that line is,
and that's our measured dimension.
And that's roughly what people did
to calculate things like the
fractal dimension of coastlines.
En la sub-unidad previa hablé de la
dimensión fractal de varios objetos
como las líneas costeras , pero aún no
les he mencionado cómo estas dimensiones
fractales del mundo real son computadas.
Para nosotros fue posible computar
la dimensión fractal de la curva de Koch
y del triángulo de Sierpinsky
porque son fractales matemáticamente
perfectos, no objetos del mundo real.
Pero hay mucho interés en computar
dimensiones fractales aproximadas en el
mundo real, porque suelen ofrecer ideas
sobre sistemas naturales o creados por el hombre.
Hay variados métodos para analizar fractales
y hay libros enteros dedicados a este tema.
Aquí les mostraré un método comunmente
utilizado para estimar la dimensión fractal: el método de conteo de cajas.
El método de conteo de cajas se relaciona
cercanamente con la idea de que mientras
cambias el tamaño de la regla con la que
mides un fractal, obtienes una medida distinta
mientras vas disminuyendo las escalas de longitud.
Así que en esto consiste el método:
tomas un objeto particular.
Aquí tengo una imagen de la línea costera británica.
Entonces lo que hacemos es cubrir esta
figura con una rejilla de cajas o cuadros.
Cada cuadro tiene una longitud de lado
que es la escala con la que estamos midiendo esta figura.
Y lo que hacemos es contar el número de cuadros en los que
parte de la línea costera aparece.
Por ejemplo, no aparece en este cuadro
aunque marca el centro de Gran Bretaña, así que no lo contamos
Si seguimos este procedimiento y contamos el número de
cuadros que contienen parte de esta línea tenemos 36.
La longitud de lado fue de 10 unidades por cuadro.
Ahora voy al siguiente paso e incremento
el tamaño de los cuadros. Así que ahora
calculo el número de cuadros pero
en una escala diferente. Aquí porque el
tamaño de un lado de un cuadro es mayor,
tengo menos cuadros que contienen parte de la imagen.
Luego subo otra vez.
Aquí el tamaño del cuadro es
mayor nuevamente, doce. Y tengo 27 cuadros
que contienen parte de la figura.
Siguen haciendo esto y acumulando esta
lista de números. Veamos la relación entre
la dimensión de Hausdorff que ya
aprendimos y el método de conteo de cuadros.
Si recuerdan, para la dimensión de Hausdorff
teníamos una relación que era el número de copias de
una figura de un nivel anterior, y tomábamos
su logaritmo, que era igual a la dimensión
por el logarimto del factor de reducción del nivel anterior.
Se puede demostrar que
si ocupas este método de conteo de cuadros
esto se puede aproximar mirando
al logarimto del número de cuadros que es
igual a la dimensión por el logaritmo de
uno sobre la longitud de lado.
"D" es la dimensión de conteo de cuadros.
Si quieren ver la derivación de esto y
otros detalles sobre la relación entre
estas dimensiones, vean el capítulo 4
del "Explorador de Fractales", que es un
sitio web sobre fractales, del cual hay un
link desde nuestra pagina de materiales de curso.
Ahora la pregunta es cómo obtenemos
esta "D" de nuestros valores de números
de cuadros y longitudes de lado.
Pueden notar que esta ecuación
es de hecho la ecuación de una
línea recta si la trazamos en una gráfico
donde los ejes aquí son el logaritmo de
uno sobre la longitud de lado - este valor x -
y el eje y es el logaritmo del número de cuadros.
"D" sería la pendiente de esta línea.
Entonces podemos tomar las
medidas que tomamos para cada nivel del
conteo de cuadros, y trazar cada medida en este gráfico.
Aquí tenemos unas medidas hipotéticas que podríamos
haber obtenido, en las que el número de cuadros disminuye
mientras aumenta la longitud de lado.
Ahora, esto es uno sobre la longitud de lado
así que mientras la longitud de lado aumenta,
esto disminuye.
Pueden ver que de ser esto verdad
debe formarse una línea recta cuya pendiente es la dimensión
por lo que podemos estimar la dimensión
tomando las medidas de nuestros cuadros y trazando estos puntos
dibujando una linea recta entre ellos y
averiguando cuál es la pendiente de esa
línea, y esa es nuestra dimensión.
Eso es, aproximadamente, lo que la gente hizo
para calcular cosas como la dimensión fractal de una línea costera.
در زیر بخش قبل
من درباره ابعاد فراکتال اشیا مختلف حرف زدم
مانند سواحل
اما هنوز چیزی به شما نگفته ام که چگونه
این ابعاد فراکتال
جهان واقعی محاسبه می شود.
این برای ما ممکن بود که
ابعاد فراکتال را
برای منحنی در مثلث سیرپینسکی محاسبه کنیم
چرا که اینها فراکتال های دقیق ریاضی هستند
نه اشیا جهان واقعی
علاقه زیادی به محاسبه تقریبی
ابعاد فراکتال در جهان واقعی وجود دارد
چرا که می تواند بینشی درباره
طبیعت و یا سیستم های
ساخت انسان را آشکار کند
روش های مختلفی برای تحلیل
فراکتال ها وجود دارد
و کتاب هایی به این موضوع
اختصاص یافته است.
در اینجا من یک روش مرسوم
برای محاسبه ابعاد فراکتال را نشان می دهم :
روش شمارش جعبه
روش شمارش جعبه خیلی به این ایده
مربوط می شود که
وقتی شما اندازه خط کش، که با آن
فراکتال هارا انداره می گیرید،
را تغییر دهید
طول های متفاوتی به دست خواهید آورد
همان طور که بیشتر و بیشتر به
طول های کوچکتر و کوچکتر می روید.
این همان چیزی است که
روش شمارش جعبه از آن تشکیل شده
شما یک شیی خاص را می گیرید
اینجا من تصویری از ساحل بریتانیا را دارم
کاری که می کنیم این است که
تصویر را با شبکه ای از جعبه ها می پوشانیم
هر جعبه دارای طولی مربوط به پهنای آن است
که اسکالری است که در تصویر اندازه می گیریم
کاری که می کنیم این است که
تعداد جعبه هایی را می شماریم
که در آن بخشی از خط سیاه ساحل
معلوم باشد.
مثلا در این جعبه معلوم نیست
با این که این در میانه بریتانیا است
آن را نمی شماریم
پس این روال را ادامه می دهیم و
جعبه هایی را می شماریم که شامل
خط سیاه شوند.
من 36 به دست آوردم.
طول کناره 10 واحد برای هر جعبه است
حالا به مرحله بعدی می روم
و اندازه جعبه ها را افزایش می دهم.
بنابراین الان تعداد جعبه ها را
در یک مقیاس دیگر می شمارم.
چون طول کناره های جعبه بزرگتر است
تعداد کمتری جعبه دارم که شامل تصویر شود
حالا باز بزرکتر می کنم
اینجا اندازه جعبه ها بزرکتر شد ، 12
و من 27 جعبه به دست آوردم
که بخشی از تصویر را شامل می شود
وقتی این کار را ادامه دهیم
این لیست اعداد را انباشته می کنیم
بگذارید نگاه کنیم به رابطه بین
بعد هاوسدورف که قبلا یاد گرفته بودیم
و بعد شمارش جعبه
اگر یادتان بیاید برای بعد هاوسدورف
رابطه ای داشتیم که
تعداد کپی های تصویر از مرحله قبل
اگر از آن لگاریتم بگیریم
مساوی بعد ضربدر ضریب کاهش
مرحله قبل می شود
می توان نشان داد اگر روش شمارش جعبه
را انجام دهیم
این می تواند تقریب زده شود
با نگاه به این که لگاریتم تعداد جعبه ها
برابر می شود بعد ضربدر
یک بر روی طول کناره
D بعد شمارش جعبه ای خوانده می شود.
و اگر بخواهید به دست آوردن آن را
ببینید و جزییات دیگری از ارتباط بین دو بعد
به فصل 4 Fractal Explorer نگاه کنید
که وبسایتی درباره فراکتال ها است.
و لینکی در در صفحه مواد درسی به آن
وجود دارد
حالا سوال این است که چگونه D را از
روی مقادیر تعداد جعبه ها و طول کناره ها
اندازه بگیریم
از روی جبر ممکن است
متوجه شده باشد که این معادله
در واقع معادله یم خط صاف است.
اگر آن را در یک نمودار بکشیم
که محور ها در آن
لگاریتم 1 بر روی طول کناره ها
به عنوان مقدار x
و محور y لگاریتم تعداد جعبه ها است.
و D شیب این خط صاف است.
پس کاری که می توانیم کنیم
این است که
اندازه گیری که برای تعداد جعبه ها
در هر مرحله انجام دادیم
را می توان در این نمودار رسم کرد.
این یک اندازه گیری فرضی است که
ممکن است به دست آوریم
با بالا رفتن طول کناره ها
تعداد جعبه ها کم می شود
توجه کنید که این عکس طول کناره است.
پس وقتی طول کناره بالا می رود
این کاهش می یابد.
پس اگر این درست باشد
این یک خط صاف تشکیل می دهد
که شیب آن بعد است
بنابراین می توان D را با رسم این نقاط
با انجام اندازه گیری ها برای جعبه ها
این نقاط را رسم می کنیم
خط صافی از میان آن رسم می کنیم
با فهمیدن شیب آن ، آن بعد
اندازه گیری شده است.
و این دقیقا همان چیزی است که
مردم برای محاسبه چیز هایی مثل
ابعاد فراکتال ساحل انجام می دهند.
Dans l'unité précédente,
J'ai parlé de la dimension fractale de divers objets
tels que les côtes.
Mais je ne vous ai pas encore dit comment ces
dimensions fractales du monde réel ont été calculées.
Il nous a été possible de calculer la dimension fractale
de la courbe de Koch et du triangle de Sierpiński,
parce que ce sont de parfaites fractales mathématiques
et non pas des objets du monde réel,
mais il y a un grand intérêt à calculer la dimension fractale approximative
du monde réel parce que ceci peut révéler un aperçu
des systèmes naturels ou humainement créés
Il y a un grand nombre de méthodes
pour analyser les fractales et
des livres entiers sont consacrés au sujet.
Ici je vais vous montrer une méthode couramment utilisée
pour estimer les dimensions fractales.
La dimension "box-counting"
La dimension "box-counting" est en relation étroite avec l'idée que
lorsque vous changez la taille de la règle
avec laquelle vous mesurez une fractale,
vous obtenez des longueurs différentes
alors que vous allez vers des tailles
de plus en plus petites dans l'échelle de longueur.
Voici en quoi consiste la méthode "box-counting".
Nous prenons un objet particulier,
ici j'ai une image des côtes britanniques,
et nous recouvrons cette figure
par une grille composées de carrés. Chaque carré a
une certaine longueur de côté qui représente l'échelle de mesure pour cette figure,
et maintenant nous comptons le nombre de carrés
dans lesquels la partie noire des côtes apparaît.
Par exemple elle n'apparaît dans ce carré,
même s'il est au milieu de la Grande Bretagne, donc nous ne le prenons pas en compte.
Donc nous poursuivons cette procédure
et nous comptons le nombre de carrés qui contiennent une partie de ce contour noir.
J'ai compté 36 carrés.
La longueur des côtés est de 10 unités pour chaque carré.
Maintenant je passe à l'étape suivante et j'agrandis la taille des carrés.
Je calcule le nombre de carrés mais à une échelle différente.
Ici, parce que les côtés des carrés sont plus larges,
j'obtiens moins de carrés contenant les parties de la figure.
Puis je continue encore,
ici les carrés sont encore plus larges: 12
et j'obtiens 27 carrés contenant les parties de la figure.
Et nous continuons ainsi en complétant cette liste de nombres.
Regardons maintenant le relation entre la dimension Hausdorff que vous connaissez déjà,
et la dimension "box-counting".
Si vous vous souvenez, pour la dimension Hausdorff nous avions une relation,
constituée par le nombre de copies d'une figure au niveau précédent,
nous prenons le log de ce qui était égal à la dimension D
multiplié par le log du facteur de réduction du niveau précédent.
Il peut être montré que si vous prenez cette méthode "box-counting",
ceci peut être approché en prenant le log du nombre de boîtes
qui est égal à la dimension D multiplié par le log
de 1 sur une longueur d'un côté.
D est appelé la dimension "box-counting"
et si vous voulez en voir la dérivation et d'autre détails sur
la relation entre ces dimensions, regardez le chapitre 4
de l'Explorer Fractal qui est un site web sur les fractales.
Et il y a un lien sur notre page de support de cours.
Maintenant la question est comment obtenons-nous ce D à partir des valeurs des nombres de carrés
et des longueurs des côtés des carrés?
Eh bien, si vous reprenez votre algèbre, vous avez pu remarquer que
cette équation est finalement l'équation d'une ligne droite.
Si nous l'appliquons sur un graphe où les axes
sont ici le log de 1 sur la longueur d'un côté, c'est l'axe des x,
et l'axe des y est le log du nombre de carrés,
et D serait la pente de la ligne droite.
Donc ce que nous pouvons faire est de prendre les mesures que nous avons faites à chaque niveau
pour compter les carrés
et nous pouvons appliquer chaque mesure sur ce graphique.
Donc voici quelques mesures hypothétiques que nous aurions pu avoir,
où le nombre de carrés diminue alors que la longueur des côtés des carrés augmente.
Voici 1 sur la longueur d'un côté des carrés
et quand la longueur augmente cette valeur diminue.
Vous pouvez constater que si cette équation est vraie, elle doit former une ligne droite
dont la pente est la dimension.
Donc nous pouvons estimer la dimension
en répartissant ces points en fonction des mesures des carrés que nous avons faites
et donc obtenir ces points,
tracer une ligne droite sur ces points qui montre la pente de cette ligne
et c'est la mesure de notre dimension.
Et c'est que qui a été fait approximativement pour calculer des choses comme
la dimension fractale des côtes.
Na subunidade anterior eu falei sobre a dimensão fractal
de vários objetos como por exemplo linhas costeiras.
Mas eu ainda não disse como as dimensões desses fractais do mundo real foram calculadas.
É possível calcular as dimensões da curva de Koch e do triângulo de Sierpinski porque eles são
fractais matemáticos perfeitos, não são objetos do mundo real.
Mas existe um grande interesse em computar dimensões aproximadas de fractais no mundo real
porque isto pode fornecer "insights" sobre sistemas naturais
e sobre sistemas criados pelo homem.
Existem muitos métodos diferentes para analisar fractais
e livros inteiros são dedicados a esse assunto.
Aqui eu vou mostrar um método comumente utilizado para estimar
a dimensão de fractais: o método da contagem de caixas.
O método da contagem de caixas está fortemente relacionado de que
a medida que você muda o tamanho da régua com a qual você mede o fractal
você obtém um comprimento diferente, a medida que você avança
cada vez usando réguas menores.
Eis em que consiste o método da contagem de caixas:
Dado um objeto em particular, aqui temos uma figura da costa britânica,
o que fazemos e sobrepor essa figura com uma grade de caixas.
Cada caixa tem um certo comprimento que serve como escala para medirmos a figura.
O que fazemos é contar a quantidade de caixas onde
a linha preta do contorno da costa aparece.
Por exemplo, ela não aparece nesta caixa, ainda que ela esteja no meio da Grã-Bretanha, não contamos com ela.
Seguindo esse procedimento e contando a quantas caixas contém o contorno preto, temos 36
o comprimento do lado é de 10 unidades, pra cada caixa.
Agora vou para o próximo passo e aumento o tamanho das caixas,
eu contarei as caixas mas usando uma escala diferente.
Aqui, devido o aumento do comprimento da caixa, temos menos caixas
que contenham partes da figura.
Aumento mais uma vez, agora o comprimento das caixas é de 12, está ainda mais largo,
e contei 27 caixas que contenham partes da figura.
Continuamos o processo, guardando os valores obtidos.
Vamos ver a relação entre a dimensão de Hausdorff, a qual já aprendemos,
e a dimensão por contagem de caixas.
Se você se lembra, na dimensão de Hausdorff, temos uma relação
que consiste no número de cópias de uma figura em um nível anterior.
O logaritmo desse valor é igual a dimensão vezes o logaritmo do fator de redução do nível anterior.
Pode ser demonstrado que, se usarmos o método da contagem de caixas,
tal valor pode ser aproximado se fizermos o logaritmo do número de caixas
igual ao produto da dimensão pelo logaritmo de 1 sobre o comprimento do lado.
O valor D é chamado a dimensão por contagem de caixas.
Se você quiser ver a derivação disso e outros detalhes sobre a relação
entre essas duas dimensões, dê uma olhada no capítulo 4
do "Fractal Explorer" que é um site sobre fractais.
Tem um link para ele nos materiais do curso.
Agora a pergunta é, como nós obtemos esses valores na prática, a partir de nossos valores,
quantidades de caixas e comprimentos das caixas.
Bem se você se lembrar de um pouco de álgebra, deve ter notado que esta equação
é na verdade a equação de uma linha reta.
Se traçarmos um gráfico,
onde os eixo x é o log(1 / comprimento da caixa)
este valor aqui.
e o eixo y é o log(número de caixas)
e D é a inclinação da reta.
Então o que podemos fazer é pegar as medidas que calculamos a cada nível e plotar cada medida neste gráfico.
Aqui estão algumas medições hipotéticas,
o número de caixas diminui a medida que o comprimento das caixas aumenta.
como aqui temos 1 / comprimento da caixa, quando o comprimento aumenta, este valor diminui.
Podemos ver que se essa equação é verdadeira isso deve formar uma linha reta cuja inclinação é a dimensão.
Assim podemos estimar a dimensão traçando esses pontos, através das nossas medições,
Passando uma linha reta por eles, calculando o valor da inclinação da reta.
Esta é a nossa dimensão calculada.
Esta é o meio que as pessoas usam para calcular a dimensão das linhas costeiras.
In capitolul anterior am discutat despre
dimensiunea fractala a diverselor obiecte
cum ar fi liniile de coasta.
Dar inca nu v-am spus cum dimensiunile
fractale
ale obiectelor reale sunt computerizate.
Am putut sa computerizam curba lui Koch
sau triunghiul lui Serpinski
pentru ca acestia sunt fractali matematici
perfecti, nu obiecte reale.
Dar exista un interes pronuntat in a
computeriza dimensiuni fractale
aproximative ale obiectelor reale
Pentru ca ne poate oferi o privire mai
apropiata despre sistemele
create in mod natural sau de catre om.
Exista diferite metode de a analiza
fractalii si foarte multe carti
ce trateaza acest subiect.
Aici va voi arata o metoda des intalnita
pentru a analiza dimensiunea fractala:
Metoda numararii cutiilor.
Metoda numararii cutiilor este in
stransa legatura cu ideea ca
Pe masura ce schimbi dimensiunea riglei
cu care masori un fractal
obtii o lungime diferita
pe masura ce mergi din ce in ce
mai departe
cu scari de lungime
din ce in ce mai mici.
Iata, deci, ce inseamna metoda numararii
cutiilor:
Iei un anume obiect, aici am o imagine
cu coasta Marii Britanii.
Punem pe deasupra acestei imagini
o grila cu patrate (cutii),
fiecare cutie avand o anumita lungime
a laturii si reprezinta
scara cu care masuram aceasta figura
si in continuare numaram in cate cutii
sunt
parti din linia coastei, trasata cu negru.
De exemplu, in aceasta cutie nu apare,
Desi este in mijlocul Marii Britanii, deci
cu o punem la socoteala.
Daca continuam cu acest algoritm si
numaram cutiile ce contin
parti din acest contur,
Eu am obtinut 36,
Lungimea unei laturi este de 10 unitati
pentru fiecare patrat.
Apoi trec la pasul urmator
Si maresc latura cutiilor.
Deci calculez din nou numarul de cutii,
dar la o scara diferita.
Aici, pentru ca lungimea laturii a fost
mai mare,
am obtinut mai putine cutii care contin
parti din figura.
Si apoi maresc din nou.
Aici lungimea laturii unei cutii
este 12
si am obtinut 27 de cutii care contin
parti din contur.
Si continuand asa, obtinem aceste numere.
Haideti sa ne uitam la relatia dintre
dimensiunea Hausdorff, despre care am
invatat deja
si metoda numararii cutiilor.
Daca va amintiti, pentru dimensiunea
Hausdorff
aveam o relatie dintre numarul de copii
de la pasul anterior
din care scoatem logaritm zecimal
si este egal cu dimensiunea ori
logaritmul zecimal din
factorul de reducere de la pasul
anterior.
Se poate arata ca daca folosim metoda
numararii cutiilor,
Asta se poate aproxima ca fiind logaritm
zecimal din numarul
cutiilor
care este egal cu dimensiunea ori
logaritm zecimal din 1 supra lungimea
unei laturi.
D se mai numeste si dimensiunea numararii
cutiilor
Si daca vreti sa vedeti derivarea
acesteia
Si alte detalii despre relatia dintre
aceste dimensiuni
uitati-va la capitolul 4 din Fractal
Explorer, care este
un site despre fractali.
Exista un link catre el la materialele
pentru curs.
Acum intrebarea este cum mai exact
obtinem acest D.
Din valorile noastre pentru numarul
de cutii si lungimile laturilor.
Daca va aduceti aminte de la algebra,
aceasta ecuatie este ecuatia unei drepte.
Daca o punem pe un grafic
pe axa de aici avem log din lungimea
unei laturi, aceasta valoare a lui x,
iar pe axa y avem log din numarul de cutii
iar D va fi panta acestei linii.
Deci ceea ce putem face este sa
luam valorile obtinute la fiecare pas
cand am numarat cutiile
si le reprezentam pe grafic.
Deci aici avem niste valori ipotetice pe
care le-am obtinut,
pe masura ce numarul de cutii scade,
lungimea laturii creste.
Observati ca aici avem 1/latura,
deci pe masura ce lungimea laturii creste,
asta scade.
Se poate vedea ca daca asta e adevarat,
aici obtinem o dreapta
a carei panta este dimensiunea.
Putem estima dimensiunea desenand
aceste puncte pe grafic,
trasam o dreapta printre ele, ii aflam
panta
si asta este dimensiunea noastra.
Si cam asta este, mai grosier spus,
ceea ce se foloseste pentru a calcula
dimensiunea fractala pentru obiecte cum
ar fi liniile de coasta.
В предыдущем видео я говорил о
фрактальной размерности различных объектов
таких как береговые линии.
Но я еще не говорил вам как подсчитываютсялись
эти объекты нашего мира.
Мы могли посчитать
фактальную размерность кривой Коха
и треугольника Серпински потому что
это идеальные математические фракталы,
но не объекты реального мира.
Существует множество, вычисленных приблизительно,
фрактальных размерностей в реальном мире
потому что часто можно понять
естественные или созданные человеком системы.
Существует большое количество различных методов анализа
фракталов и книг посвященных этой теме.
Здесь я собираюсь показать тебе один общий
метод для оценки размерности фрактала
коробочный метод подсчета.
Коробочный метод подсчета
тесно связан с этой идеей такоей
как изменения размера линейки
которую вы измеряете как фрактал
вы получаете другую длину когда вы идете дальше
и дальше в к меньшему и меньшему масштаба.
Т.о. коробочный метод рассчета состоит.
Вы берете конкретный объект.
Здесь у меня есть картинка береговой линии Британии.
Т. о. мы перекрываем это изображение
сеткой
Каждая клетка имеет точную длину стороны,
которая в масштабе в котором мы измеряем это изображение.
И что мы считаем
количество клеток в которое
попадает часть береговой линии.
Например эта не попадает в клетку,
даже если она в середине Великобритании,
т.о мы не считаем ее.
Если следовать этой процедуре
и считать количество клеток.
содержащих часть черной линии,
Я получил 36
Длина размера была 10 единиц на каждую клетку.
Сей час я делаю следующий шаг
и увеличиваю размер клетки.
И так я сей час считаю число клеток
но с другим масштабом.
Потому что длина стороны
клетки была больше я получил меньше клеток
содержащих часть этого изображения.
Тогда я хотел бы проделать это снова.
Размер клетки снова больше и равен 12.
Я получил 27 клеток которая содержит часть изображения.
Таким образом, вы продолжаете делать это.
накапливать этот список чисел.
Давайте посмотрим на отношения
между размерностью Хаусдорфа,
о которые мы уже узнали,
и клеточным измерением.
Если вы помните, для размерности Хаусдорфа
у нас были отношения, что являющиеся
количеством копий изображения
от предыдущего уровня.
Если мы возьмем логарифм, такой чтобы
был равен размерности
умноженной на логарифм фактора уменьшения
из предыдущего уровня.
Это может быть показано, что если вы делаете это
коробочным методом, это может быть приблизительно
рассмотрением логарифма от количества клеток
и это равно размерности
умноженной на логарифм 1 на длину стороны
D называется размерностью коробочного подсчета
и если вы хотите увидеть производную от нее
и другие детали связи
между этими размерностями,
посмотрите Часть 4 Fractal Explorer
который является сайтом о фракталах.
На странице с материалами курса
есть ссылка на него.
Сейчас ответим на вопрос
как мы получаем D из наших величин
из количества клеток и
длин сторон.
Хорошо если вы разбираетесь в алгебре
и может заметить что это уравнение
действительно уравнение прямой линии.
Если мы нарисуем график
где расположить оси
логарифм единицы к длине стороны
это значение x,
и ось y логарифм количества клеток.
А D было бы склоном прямой линии.
Т. о. что мы можем сделать мы можем
взять измерения которые мы делаем
каждый уровень для коробочного счета
и мы можем построить каждое измерение на этом график
Т.о. здесь некоторый гипотетические измерения
которые мы могли бы получить,
где количество клеток идет вниз
как длина стороны идет вниз.
Обратите внимание, что длина стороны равна 1,
таким образом, длина стороны идет вверх, когда он идет вниз.
Вы можете видеть, что если это действительно так
они должны составлять прямую линию
наклона измерения.
Таким образом, мы можем оценить измерение
откладывая эти точки
делая наши измерения для клеток
и тогда откладываем эти точки.
Рисуемя через них прямую линию,
выясняем, что наклон этой линии,
и есть наша полученная размерность.
И это примерно то же, что сделал человек
посчитавший такие вещи как
фрактальная размерность береговой линии.