In this section I’ll introduce the idea that a chaotic dynamical system
like the logistic equation what r equals 4
is a deterministic sources of randomness.
In order to do so we’ll have to think carefully about what randomness means.
What does it mean when we say a process or an outcome is random?
I’ll build up a series of arguments layer by layer.
None of these arguments are particularly technical
in the sense of they don’t require calculate or algebra.
However they are conceptually rich and a bit abstract.
But I think we’ll I end up with some really interesting conclusions
that will be perhaps surprising and I hope a lot of fun think about.
So let’s get start it.
I’ll start by introducing a technique known as symbolic dynamics.
The idea behind symbolic dynamics is to convert an orbit, a series of numbers,
in this case between 0 and 1, into a sequence of symbols.
and the standard way to do this is as follows,
if our iterate x is less than 0.5 , I’ll call that L
and if x is greater than or maybe equal to 0.5, I’ll call that R
so I am picturing this would be on the left half of the unit interval
and this is on the right half.
The symbols you use are completely arbitrary
You can use hearts and spades or x and y or zeros and ones.
But I’ll use L and R.
So for example, suppose we had the following itinerary
Ok, so here are the first couple iterates for the logistic equation
Again r equals 4, and initial condition is 0.613
So let’s convert this into symbolic dynamics
So 0.613 that’s greater than a half that would be an R
0.949 that’s also greater than a half that would be R
0.194 is less than a half, less than .5, I call then L
0.625 that’s greater than a half, that’s an R
This is also greater than a half, so that would be an R
So the idea is that I can take any itinerary,
any orbit a sequence of number between 0 and 1
and convert that into a sequence of symbols R R L R R in this case.
So once we have symbols sequence, the idea is that we can study
the dynamics of symbol sequence
instead of the dynamics of the original orbit.
And in many cases, one can show that properties of the orbit
are the same as the properties of the symbol sequence.
So studying the symbol sequence is just as good as the original orbit.
So let me write that
So properties are the same for the orbit and the symbol sequence.
So when I say properties what I mean is
is that say the existence of fixed points and
the stability of fixed points
the symbolical dynamical system involving
just the symbols L and R would have
the same number of fixed points
and their stability would be the same
and if the symbol sequence, the symbolic dynamical system
has say sensitive dependence on initial conditions or aperiodicity
then the original orbit, the original dynamical system would as well.
Now this isn’t an obvious statement at all.
Because it seems like by going to symbols
I am throwing out a lot of information.
After all any number that was between 0 and a half,
I decided to just turn into L
So that’s a very coarse thing to do.
There are lots of lots of numbers and
infinite number of numbers between 0 and a half.
And I just turned all of those into L
So it seems as if I am losing information
so how can these two things be the same.
Well, it turns out that for this particular way of forming symbols
one can show and argue the following
so let me do this with an example of sorts
suppose I show you a symbol sequence R R L R L L R
so then I might ask you what initial conditions could
have given rise to this particular symbol sequence.
And one can show you can kind of infer backwards
to that would correspond to pretty narrow region of initial conditions
and moreover that would just be a single connected region,
that would give rise to this
Then I could say, well, ok, what if the sequence was this
and then you could show that the possible initial conditions
that would have given rise to an orbit
whose symbol sequence is this would be smaller still.
and if I had another symbol, the possible initial conditions
that give rise to this is smaller still
And so in the limit that the symbol sequence becomes infinitely long.
The possible initial conditions that would give rise to it become infinitely small.
Another way to say this is that if you give me one single initial condition
the symbol sequence that results from that is unique.
there is one and only one symbol sequence that
that one that results from that one single initial condition
and that sort of make sense this is a deterministic dynamical system.
So the key feature here is that
there is one to one relationship between initial conditions and symbol sequences.
So if you tell me the infinitely long symbol sequences
I could know, I would know the initial condition
And if I know the initial condition of the deterministic dynamical system
that contains all the information about the orbit.
So the infinite sequence encodes for the initial condition
and the initial condition together with the dynamic tells you the orbit
and from that one can get the properties.
So I guess what I am trying to say is that the information in the symbol sequences
is the same as information in the initial conditions.
And ways of forming symbols from numbers
that have this property are called
generating in the particular scheme is sometimes called generating partition.
So I don’t want to write down a formal definition of this.
Because I think it will get us too far a field
and get us into some really difficult notation
but a partition and a partition was just to go back here
this in a sense would be that a partition the description of the symbolic dynamics
this tells me how to go from the orbit the x’s to the symbols the L and R
that this scheme would be called the generating partition
if longer and longer sequences encode for smaller and smaller
and unique non-overlapping regions of initial conditions.
Ok, so not all symbolic encoding schemes have this nice property
So in fact if I had chose .4 as the cutoff
so if x was less than .4 I call it L
and it’s R otherwise
then that would not have this property
so it’s only special partition special ways of encoding that have this nice feature
but the one that I described does indeed have this nice feature
so it’s only one this is the case that this is true
so let me just to make things little more accurate
say, you know, if we use a generating partition
so provided that we have a generating partition which we do in this case
the properties of the orbit and the properties of symbol sequences
are in the sense I’ve described the same.
Lastly I want to mention that this technique of symbolic dynamics
is a way of proving things about dynamical systems
so I said in the last set of the lectures that it’s proved rigorously that
when r equals 4 the logistic equation has sensitive dependence
on initial conditions and the orbits are aperiodic.
The way one would go about doing that proof
and this is just a very very rough sketch
would be to do this mapping from the dynamical, original dynamical system
to symbol sequences proved properties of these symbol sequences
and then if all of this holds which it would
in this case what you prove about the symbol sequences
which is which are easier to work with
turn out to be true about the orbit as well.
In any event now that we have this idea symbolic dynamics
Let’s take a look at what symbolic dynamics
look like for the logistic equation with r equals 4.
En esta sección introduciré la idea
de que un sistema dinámico caótico,
cómo la ecuación logística con r=4, es una
fuente determinística de aleatoriedad.
Para poder hacerlo deberemos pensar
cuidadosamente acerca de lo que significa
la aleatoriedad:
¿qué significa cuando decimos que un
resultado o un proceso es aleatorio?.
Construiré una serie de argumentos
capa por capa,
ninguno de estos argumentos son
particularmente técnicos
en el sentido de que no requieren cálculo o
álgebra,
sIn embargo son ricos conceptualmente
y un poco abstractos,
pero pienso que terminaremos con
algunas conclusiones muy interesantes
que serán quiza sorprendentes
y espero sea divertido pensar en ellas.
Así que comencemos.
Comenzaré por introducir una técnica
conocida como dinámica simbólica.
La idea detrás de la dinámica simbólica
es convertir una órbita: una serie de números,
en este caso entre cero y uno,
en una secuencia de símbolos,
y la manera común de hacerlo es
la siguiente: si nuestro número a iterar
X es menor que 0.5 lo llamaré L,
y si X es mayor o tal vez igual que 0.5
lo llamaré R.
Así que estoy visualizando que esto
estaría en la mitad izquierda
del intervalo unitario y ésto está
en la mitad derecha.
Los símbolos que utilizas son
completamente arbitrarios,
podrias utilizar corazones y espadas,
ó X y Y, ó 0 y 1,
pero yo utilizaré L y R.
Entonces, por ejemplo, supongamos que tenemos
el siguiente itinerario (órbita).
Bien, aquí están los primeros 4 números
iterados para la ecuación logística,
de nuevo r=4 y la condición inicial es
0.613, así que convirtamos
estos en dinámica simbólica. Entonces
0.613,eso es mayor que 1/2 sería una R,
0.949 también es mayor que 1/2,
sería R, 0.194 es menor que 1/2,
menor que 0.5, lo llamaré L,
0.625, esto es mayor que 1/2,
es una R, esto también es mayor que
1/2 asi que sería una R.
Entonces la idea es que puedo tomar
cualquier itinerario, cualquier órbita,
una secuencia de numeros entre 0 y 1,
y convertir eso en una secuencia de simbolos
RRLRR en este caso.
Entonces, una vez que tenemos una
secuencia de símbolos
la idea es que podemos estudiar la dinámica
de la secuencia de símbolos
en lugar de la dinámica de la
órbita original.
Y en muchos casos uno puede demostrar
que las propiedades de la órbita original
son las mismas que las propiedades de
la secuencia de símbolos.
Así que estudiar la secuencia de símbolos
es igual de bueno que estudiar la órbita original.
Así que dejenme escribir esto.
Entonces: "las propiedades son las mismas
para la orbita y la secuencia de símbolos".
Cuando digo propiedades, a lo que me
refiero es digamos a la existencia
de puntos fijos y la estabilidad de los
ṕuntos fijos.
El sistema dinámico simbólico que
requiere sólo de los símbolos L y R
tendría la misma cantidad de puntos fijos
y su estabilidad sería la misma.
Y si la secuencia simbólica, el sis-
tema dinámico simbólico tuviera
digamos sensibilidad a las condiciones
iniciales o fuera no periódico
entonces la órbita original, el sistema
dinámico original la tendría también.
Ahora, esta no es para nada una
afirmación obvia, porque pareciera
que al pasar a simbolos estoy
perdiendo una gran cantidad de
información.
Despues de todo, para cualquier número
que se encontraba entre 0 y 0.5
he decidido simplemente convertirlo en L
entonces, hacer esto es algo muy tosco.
Hay muchos números una cantidad infinita
de números entre 0 y 1/2 y yo sólo convertí
todos ellos a L, asi que pareciera que
estoy perdiendo información, entonces
¿Cómo pueden estás dos cosas ser lo mismo?
Bueno, resulta que para esta manera
particular de formar símbolos
uno puede mostrar y argumentar
lo siguiente
Asi que dejenme hacer esto
con una especie de ejemplo
supongamos que te muestro una secuencia
de símbolos RRLRLLR
Entonces luego podría preguntarte
¿que condiciones iniciales pudiesen
haber dado lugar a esta secuencia
particular de símbolos?
y uno puede mostrar , puedes en
cierta forma inferir hacia atrás
que eso (la secuencia) corresponderia
a una región bastante angosta de
condiciones iniciales , y por otro lado
sólo sería una única región conectada
que daría lugar a esto y entonces
yo podria decir:
bien, ¿que pasaría si la secuencia fuera
digamos esta?
y luego podrias mostrar que las
condiciones iniciales posibles
que habrían dado lugar a una orbita
cuya secuencia de símbolos es esta
sería incluso mas pequeña
y si agrego otro símbolo las posibles
condiciones iniciales que dan lugar
a esto sería incluso menor y entonces
en el límite en que la secuencia de símbolos
se vuelve infinitamente larga, las posibles
condiciones iniciales que darian lugar a ella
se volverian infinitamente acotadas.
Otra forma de decir esto es que
si me das una condición inicial
específica, la secuencia de símbolos
que resulta de ella es única,
hay una y sólo una secuencia de símbolos
que resulta de esa condición inicial,
y eso en cierta forma tiene sentido,
este es un sistema dinámico determinístico.
Entonces, la característica clave aquí es
que hay una relación uno a uno entre
condiciones iniciales y secuencias
de símbolos,
así que si me dices la secuencia de
símbolos infinitamente larga
yo conocería la condición inicial,
y si conozco la condición inicial
de un sistema dinámico determinístico,
eso contiene toda la información
acerca de la órbita.
Asi que la secuencia infinita codifica
para la condición inicial
y la condición inicial junto con la
dinámica te dice la órbita
y a partir de ello se pueden obtener
las propiedades.
Supongo que lo que quiero decir es
que la información en las secuencias
de símbolos es la misma que la
información de las condiciones iniciales.
Y las maneras de formar símbolos
a partir de números, que cumplen esta
propiedad se llaman generadoras, y
el esquema particular se conoce a veces
como una partición generadora.
No quiero escribir una definición formal
de esto ,porque pienso que nos
alejará demasiado de lugar y nos
conducirá a una notación muy
complicada, pero una partición, y
una partición era simplemente...
volviendo aqui, esto en cierto sentido
sería la partición, la descripción
de la dinámica simbólica, esto me dice
como ir de la orbita, las equis,
a los simbolos L y R, este esquema
se llamará una partición generadora
si secuencias cada vez mas largas
codifican para regiones cada vez mas
delimitadas, unicas y que no se traslapan
de condiciones iniciales.
Bien, entonces no todos los esquemas simbólicos
de codificación tienen esta propiedad,
de hecho si hubiera elegido 0.4
como el punto de corte,
que si X fuera menor que 0.4 lo llamara L
y es R en los demas casos,
entonces eso no tendría esta propiedad,
asi que son sólo particiones especiales,
formas especiales de codificar las que
cumplen esta agradable propiedad.
Pero la que describí ciertamente
tiene esta propiedad.
Asi que es sólo cuando éste es el caso
que esto (las propiedades son las mismas para
la órbita y la secuencia) es verdad.
Asi que dejenme para hacer las cosas un poco
mas precisas decir:
"si utilizamos una partición generadora".
Entonces dado que tengamos una partición
generadora, que sí tenemos en este caso,
las propiedades de la órbita y
las propiedades de las secuencias
de símbolos son en el sentido
que he descrito las mismas.
Por último quiero mencionar que ésta
técnica de dinámica símbolica
es una manera de demostrar cosas
acerca de los sistemas dinámicas,
dije en las últimas clases que
se demuestra rigurosamente que cuando
r=4 la ecuación logística tiene sensibilidad
a las condiciones iniciales y sus orbitas son
no periódicas, la manera en que uno haría
esta demostración, y esto es sólo un
bosquejo aproximado, sería realizar
este mapeo (función) desde el sistema
dinámico original a secuencias simbólicas,
demostrar propiedades de dichas secuencias
y luego si todo ésto se cumple , que
si sucedería en este caso,
lo que demuestres acerca de la secuencia
símbolos, con la cual es mas fácil trabajar,
sería verdadero para la órbita también.
En cualquier caso, ahora que tenemos esta
idea de la dinámica simbólica
veamos como se vé la dinámica simbólica para
la ecuación logística con r=4.
In dit onderdeel introduceer ik het
idee dat een chaotisch, dynamisch systeem,
zoals de logistische functie met
r = 4,
een deterministische bron
van willekeurigheid is.
Om dit te kunnen doen,
moeten we eerst goed
nadenken over
willekeur behelst.
Wat betekent het eigenlijk
wanneer wij zeggen dat
uitkomst of proces willekeurig is?
Ik zal laagje voor laagje een setje
argumenten hiervoor opbouwen.
Geen van die argumenten is op zich
nogal technisch van aard,
met andere woorden, er is geen calculus
of algebra bij nodig, maar
ze zijn van conceptueel rijk
en een beetje abstract.
Toch denk ik dat wij zullen eindigen
met een aantal hele interessant conclusies
die wellicht verrassend en
heel plezierig zijn om over na te denken.
Laten we dus starten!
Ik start met een techniek die bekend
staat als 'symbolische dynamica'.
Het idee achter 'symbolisch dynamica'
is het omzetten van een baan,
in dit geval dus een serie van nummers,
in dit geval tussen 0 en 1,
in een reeks van symbolen.
En de standaardwijze hierbij
is alsvolgt:
Wanneer onze iteratief x< 0.5
dan noem ik die 'L".
En wanneer x > of x = 0.5
dan noem ik dat "R".
Ik stel me voor dat deze aan de
linkerkant van het interval zit
en deze aan de rechterkant.
De symbolen die ik gebruik zijn
volstrekt willekeurig.
Ik had ook harten en schoppen
of x en y of 0 en 1 kunnen gebruiken,
maar ik gebruik L en R.
Voorbeeld: Stel, ik heb de volgende route
OK, hier zijn de eerste iteraties voor
de logistische functie,
nogmaals r = 4 en de initiële conditie
is 0.613.
Laten wij deze nu omzetten in
symbolische dynamica.
0.613, dat is > dan 0.5 dus dat
wordt een R.
0.949, dat is ook > 0.5 dus dat is
ook een R.
0.194, is < 0.5,
dus noem ik die L.
0.625, dat is > 0.5 dus
dat is een R.
En deze is ook > 0.5
dus dat zal een R zijn.
Dus het idee is dat ik elke route,
elke baan, een volgorde van nummers
tussen 0 en 1 en deze kan omzetten
in een serie symbolen,
RRLRR in dit geval.
Nu we de
symbolen volgorde kennen,
is het idee dat wij nu de dynamica
van de reeks van de symbolen,
in plaats van de dynamica van de baan
kunnen bestuderen.
En in veel gevallen kan men laten zien
dat de kenmerken van de banen,
hetzelfde zijn als de kenmerken
van de symbolen reeks.
Dus het bestuderen van de symbolen reeks
is net zo goed als de originele baan.
Laat ik dat even noteren.
Dus; kenmerken zijn gelijk voor de baan
en de symbolen reeks.
Wanneer ik het heb over 'kenmerken',
dan bedoel ik de aanwezigheid
van vaste punten
en de stabiliteit van vaste punten.
Het symbolische, dynamische systeem met
alleen de symbolen L en R,
zal hetzelfde aantal vaste punten hebben
en de stabiliteit zou hetzelfde zijn,
En wanneer de symbolische reeks
gevoeligheid voor initiële condities kent,
oftewel aperiodiciteit, dan zal
de originele baan,
het originele dynamische systeem
dat tevens hebben.
Dit is overigens ook weer niet een
voor de hand liggende conclusie,
want het lijkt er op dat ik met
de keuze van de symbolen
veel informatie weggooi.
Immers, elk nummer tussen 0 en 0,5
heb ik gewoon in een L omgezet.
Dat is best wel grof om te doen.
Er zijn oneindig veel getallen tussen
0 en 0.5 en die zet ik allemaal om in L.
Dus, het lijkt erop dat ik informatie
verlies, dus hoe
kunnen die twee dingen nu
hetzelfde zijn.
Wel, wat blijkt is dat deze manier
in het bijzonder,
van het vormen van symbolen,
kan men het volgende laten zien
en beargumenteren.
Laat ik dit voorbeeld laten zien,
zoiets als dit.
Stel dat ik je de volgende
reeks aan symbolen liet zien
RRLRLLR
Dan kan ik je vragen
naar de initiële condities
hebben geleid tot deze
specifieke reeks symbolen.
Men kan laten zien, door terug
te redeneren, dat dit past bij
een vrij smalle band aan
initiële condities.
Sterker nog, het zou zelfs een
eenzijdig gebonden band zijn
die hieraan ten grondslag
zou liggen.
En dan zou ik kunnen zeggen, OK,
wat als de volgorde zo zou zijn.
Dan zou ik zeggen dat de
initiële condities die hieraan
ten grondslag liggen nog
altijd een hele smalle band vormen.
En nu voeg ik nog een symbool toe.
De mogelijke initiële condities
die hieraan ten grondslag liggen,
is nog altijd smal.
Dus binnen de beperking dat
de reeks symbolen oneindig langer wordt,
worden de mogelijke initiële condities
die hieraan ten grondslag liggen
oneindig kleiner.
Een andere manier om dit te
verwoorden, is dat wanneer jij mij
een bepaalde initiële conditie geeft,
de symbolen reeks die daaruit voortkomt,
uniek is.
Er is één en slechts één symbolenreeks,
die uit die bepaalde
initiële conditie voortkomt.
Dat is logisch want dit is een
deterministisch en
dynamisch systeem.
Dus, het belangrijkste kenmerk hier is,
dat er een 1 op 1 relatie bestaat tussen
de initiële condities en
reeks aan symbolen.
Dus wanneer je me de oneindig
lange symbolen reeks verteld,
dan kan daaruit de initiële condities
halen en wanneer ik die weet
dan heb ik ook meteen alle
informatie over de omloopbaan.
Dus, de oneindige reeks codeert voor
de initiële condities en de
initiële condities, in samenhang met
de dynamica, vertellen ons de
omloopbaan en van daaruit
kunnen we de kenmerken afleiden.
Wat ik dus wil zeggen, is dat informatie
in de symbolen reeks gelijk is
aan die van de initiële condities.
Manieren om getallen in
symbolen om te zetten
die deze kenmerken hebben,
worden aangeduid als
´generating partition´.
Ik wil geen formele definitie noteren,
want dat gaat hier te ver en
dan wordt de notitie nodeloos
ingewikkeld, maar
een partitie is gewoon, terugkijkend,
dit stukje hier, dat is
in essentie een partitie.
De omschrijving van de symbolische
notatie dat verteld hoe
van x naar symbolische notatie
te gaan, dus L en R.
Dit schema heet de genererende
partitie mits langere en langere
reeksen coderen voor smallere,
unieke en niet overlappende
gebieden van initiële omstandigheden.
Niet alle symbolische codeerreeksen
hebben deze fijne kenmerken.
Wanneer ik had gekozen voor 0.4
als afscheiding, dus wanneer x < 0.4 was,
dan had ik het L genoemd
en anders R, dan had het
niet deze specifieke kenmerken gehad.
Dus alleen unieke manieren van
coderen,
hebben deze mooie kenmerken.
Maar dat wat ik heb beschreven,
heeft inderdaad de mooie kenmerken.
Alleen wanneer dit van toepassing is,
is dit waar.
Laat ik wat dingen een beetje
nauwkeuriger maken:
Mits wij een genererende partitie
gebruiken.
Dus op voorwaarde dat wij een
genererende partitie hebben,
dat is zo in dit geval,
dan zijn de kenmerken van de
omloopbanen en
kenmerken van de symbolen reeks,
zoals eerder beschreven,
gelijk aan elkaar.
Tenslotte wil ik nog benoemen
dat de techniek van
symbolische dynamica een
manier is om dingen
over dynamische systemen
te bewijzen.
Zoals ik eerder zei, in de
voorgaande lessen,
dat het grondig bewezen is
dat wanneer r = 4
de logistische functie
gevoeligheid voor
initiële condities kent en de
banen aperiodisch zijn.
Om dit te bewijzen, bij wijze ruwe schets,
zou zijn van het originele systeem
naar de symbolenreeks in kaart te brengen
en dan de kenmerken
van die symbolenreeks achterhalen
en dan bewijzen dat die kenmerken,
mits dit alles van toepassing is,
dat wat je bewijst voor de reeks,
die makkelijker te hanteren is,
ook geldt voor originele omloopbaan.
Nu wij het idee van symbolische
dynamica onder de knie hebben,
kunnen we gaan kijken hoe
de symbolische dynamica
eruitziet wanneer r
in de logische functie gelijk is aan 4.