In this section I’ll introduce the idea that a chaotic dynamical system
like the logistic equation what r equals 4
is a deterministic sources of randomness.
In order to do so we’ll have to think carefully about what randomness means.
What does it mean when we say a process or an outcome is random?
I’ll build up a series of arguments layer by layer.
None of these arguments are particularly technical
in the sense of they don’t require calculate or algebra.
However they are conceptually rich and a bit abstract.
But I think we’ll I end up with some really interesting conclusions
that will be perhaps surprising and I hope a lot of fun think about.
So let’s get start it.
I’ll start by introducing a technique known as symbolic dynamics.
The idea behind symbolic dynamics is to convert an orbit, a series of numbers,
in this case between 0 and 1, into a sequence of symbols.
and the standard way to do this is as follows,
if our iterate x is less than 0.5 , I’ll call that L
and if x is greater than or maybe equal to 0.5, I’ll call that R
so I am picturing this would be on the left half of the unit interval
and this is on the right half.
The symbols you use are completely arbitrary
You can use hearts and spades or x and y or zeros and ones.
But I’ll use L and R.
So for example, suppose we had the following itinerary
Ok, so here are the first couple iterates for the logistic equation
Again r equals 4, and initial condition is 0.613
So let’s convert this into symbolic dynamics
So 0.613 that’s greater than a half that would be an R
0.949 that’s also greater than a half that would be R
0.194 is less than a half, less than .5, I call then L
0.625 that’s greater than a half, that’s an R
This is also greater than a half, so that would be an R
So the idea is that I can take any itinerary,
any orbit a sequence of number between 0 and 1
and convert that into a sequence of symbols R R L R R in this case.
So once we have symbols sequence, the idea is that we can study
the dynamics of symbol sequence
instead of the dynamics of the original orbit.
And in many cases, one can show that properties of the orbit
are the same as the properties of the symbol sequence.
So studying the symbol sequence is just as good as the original orbit.
So let me write that
So properties are the same for the orbit and the symbol sequence.
So when I say properties what I mean is
is that say the existence of fixed points and
the stability of fixed points
the symbolical dynamical system involving
just the symbols L and R would have
the same number of fixed points
and their stability would be the same
and if the symbol sequence, the symbolic dynamical system
has say sensitive dependence on initial conditions or aperiodicity
then the original orbit, the original dynamical system would as well.
Now this isn’t an obvious statement at all.
Because it seems like by going to symbols
I am throwing out a lot of information.
After all any number that was between 0 and a half,
I decided to just turn into L
So that’s a very coarse thing to do.
There are lots of lots of numbers and
infinite number of numbers between 0 and a half.
And I just turned all of those into L
So it seems as if I am losing information
so how can these two things be the same.
Well, it turns out that for this particular way of forming symbols
one can show and argue the following
so let me do this with an example of sorts
suppose I show you a symbol sequence R R L R L L R
so then I might ask you what initial conditions could
have given rise to this particular symbol sequence.
And one can show you can kind of infer backwards
to that would correspond to pretty narrow region of initial conditions
and moreover that would just be a single connected region,
that would give rise to this
Then I could say, well, ok, what if the sequence was this
and then you could show that the possible initial conditions
that would have given rise to an orbit
whose symbol sequence is this would be smaller still.
and if I had another symbol, the possible initial conditions
that give rise to this is smaller still
And so in the limit that the symbol sequence becomes infinitely long.
The possible initial conditions that would give rise to it become infinitely small.
Another way to say this is that if you give me one single initial condition
the symbol sequence that results from that is unique.
there is one and only one symbol sequence that
that one that results from that one single initial condition
and that sort of make sense this is a deterministic dynamical system.
So the key feature here is that
there is one to one relationship between initial conditions and symbol sequences.
So if you tell me the infinitely long symbol sequences
I could know, I would know the initial condition
And if I know the initial condition of the deterministic dynamical system
that contains all the information about the orbit.
So the infinite sequence encodes for the initial condition
and the initial condition together with the dynamic tells you the orbit
and from that one can get the properties.
So I guess what I am trying to say is that the information in the symbol sequences
is the same as information in the initial conditions.
And ways of forming symbols from numbers
that have this property are called
generating in the particular scheme is sometimes called generating partition.
So I don’t want to write down a formal definition of this.
Because I think it will get us too far a field
and get us into some really difficult notation
but a partition and a partition was just to go back here
this in a sense would be that a partition the description of the symbolic dynamics
this tells me how to go from the orbit the x’s to the symbols the L and R
that this scheme would be called the generating partition
if longer and longer sequences encode for smaller and smaller
and unique non-overlapping regions of initial conditions.
Ok, so not all symbolic encoding schemes have this nice property
So in fact if I had chose .4 as the cutoff
so if x was less than .4 I call it L
and it’s R otherwise
then that would not have this property
so it’s only special partition special ways of encoding that have this nice feature
but the one that I described does indeed have this nice feature
so it’s only one this is the case that this is true
so let me just to make things little more accurate
say, you know, if we use a generating partition
so provided that we have a generating partition which we do in this case
the properties of the orbit and the properties of symbol sequences
are in the sense I’ve described the same.
Lastly I want to mention that this technique of symbolic dynamics
is a way of proving things about dynamical systems
so I said in the last set of the lectures that it’s proved rigorously that
when r equals 4 the logistic equation has sensitive dependence
on initial conditions and the orbits are aperiodic.
The way one would go about doing that proof
and this is just a very very rough sketch
would be to do this mapping from the dynamical, original dynamical system
to symbol sequences proved properties of these symbol sequences
and then if all of this holds which it would
in this case what you prove about the symbol sequences
which is which are easier to work with
turn out to be true about the orbit as well.
In any event now that we have this idea symbolic dynamics
Let’s take a look at what symbolic dynamics
look like for the logistic equation with r equals 4.
En esta sección introduciré la idea de que un sistema dinámico caótico,
cómo la ecuación logística con r=4, es una fuente determinística de aleatoriedad.
Para poder hacerlo deberemos pensar cuidadosamente acerca de lo que significa
la aleatoriedad:
¿qué significa cuando decimos que un resultado o un proceso es aleatorio?.
Construiré una serie de argumentos capa por capa,
ninguno de estos argumentos son particularmente técnicos
en el sentido de que no requieren cálculo o álgebra,
sIn embargo son ricos conceptualmente y un poco abstractos,
pero pienso que terminaremos con algunas conclusiones muy interesantes
que serán quiza sorprendentes y espero sea divertido pensar en ellas.
Así que comencemos.
Comenzaré por introducir una técnica conocida como dinámica simbólica.
La idea detrás de la dinámica simbólica es convertir una órbita: una serie de números,
en este caso entre cero y uno, en una secuencia de símbolos,
y la manera común de hacerlo es la siguiente: si nuestro número a iterar
X es menor que 0.5 lo llamaré L, y si X es mayor o tal vez igual que 0.5
lo llamaré R.
Así que estoy visualizando que esto estaría en la mitad izquierda
del intervalo unitario y ésto está en la mitad derecha.
Los símbolos que utilizas son completamente arbitrarios,
podrias utilizar corazones y espadas, ó X y Y, ó 0 y 1,
pero yo utilizaré L y R.
Entonces, por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente itinerario (órbita).
Bien, aquí están los primeros 4 números iterados para la ecuación logística,
de nuevo r=4 y la condición inicial es 0.613, así que convirtamos
estos en dinámica simbólica. Entonces 0.613,eso es mayor que 1/2 sería una R,
0.949 también es mayor que 1/2, sería R, 0.194 es menor que 1/2,
menor que 0.5, lo llamaré L, 0.625, esto es mayor que 1/2,
es una R, esto también es mayor que 1/2 asi que sería una R.
Entonces la idea es que puedo tomar cualquier itinerario, cualquier órbita,
una secuencia de numeros entre 0 y 1, y convertir eso en una secuencia de simbolos
RRLRR en este caso.
Entonces, una vez que tenemos una secuencia de símbolos
la idea es que podemos estudiar la dinámica de la secuencia de símbolos
en lugar de la dinámica de la órbita original.
Y en muchos casos uno puede demostrar que las propiedades de la órbita original
son las mismas que las propiedades de la secuencia de símbolos.
Así que estudiar la secuencia de símbolos es igual de bueno que estudiar la órbita original.
Así que dejenme escribir esto.
Entonces: "las propiedades son las mismas para la orbita y la secuencia de símbolos".
Cuando digo propiedades, a lo que me refiero es digamos a la existencia
de puntos fijos y la estabilidad de los ṕuntos fijos.
El sistema dinámico simbólico que requiere sólo de los símbolos L y R
tendría la misma cantidad de puntos fijos y su estabilidad sería la misma.
Y si la secuencia simbólica, el sis- tema dinámico simbólico tuviera
digamos sensibilidad a las condiciones iniciales o fuera no periódico
entonces la órbita original, el sistema dinámico original la tendría también.
Ahora, esta no es para nada una afirmación obvia, porque pareciera
que al pasar a simbolos estoy perdiendo una gran cantidad de
información.
Despues de todo, para cualquier número que se encontraba entre 0 y 0.5
he decidido simplemente convertirlo en L entonces, hacer esto es algo muy tosco.
Hay muchos números una cantidad infinita de números entre 0 y 1/2 y yo sólo convertí
todos ellos a L, asi que pareciera que estoy perdiendo información, entonces
¿Cómo pueden estás dos cosas ser lo mismo?
Bueno, resulta que para esta manera particular de formar símbolos
uno puede mostrar y argumentar lo siguiente
Asi que dejenme hacer esto con una especie de ejemplo
supongamos que te muestro una secuencia de símbolos RRLRLLR
Entonces luego podría preguntarte ¿que condiciones iniciales pudiesen
haber dado lugar a esta secuencia particular de símbolos?
y uno puede mostrar , puedes en cierta forma inferir hacia atrás
que eso (la secuencia) corresponderia a una región bastante angosta de
condiciones iniciales , y por otro lado sólo sería una única región conectada
que daría lugar a esto y entonces yo podria decir:
bien, ¿que pasaría si la secuencia fuera digamos esta?
y luego podrias mostrar que las condiciones iniciales posibles
que habrían dado lugar a una orbita cuya secuencia de símbolos es esta
sería incluso mas pequeña
y si agrego otro símbolo las posibles condiciones iniciales que dan lugar
a esto sería incluso menor y entonces en el límite en que la secuencia de símbolos
se vuelve infinitamente larga, las posibles condiciones iniciales que darian lugar a ella
se volverian infinitamente acotadas.
Otra forma de decir esto es que si me das una condición inicial
específica, la secuencia de símbolos que resulta de ella es única,
hay una y sólo una secuencia de símbolos que resulta de esa condición inicial,
y eso en cierta forma tiene sentido, este es un sistema dinámico determinístico.
Entonces, la característica clave aquí es que hay una relación uno a uno entre
condiciones iniciales y secuencias de símbolos,
así que si me dices la secuencia de símbolos infinitamente larga
yo conocería la condición inicial, y si conozco la condición inicial
de un sistema dinámico determinístico, eso contiene toda la información
acerca de la órbita.
Asi que la secuencia infinita codifica para la condición inicial
y la condición inicial junto con la dinámica te dice la órbita
y a partir de ello se pueden obtener las propiedades.
Supongo que lo que quiero decir es que la información en las secuencias
de símbolos es la misma que la información de las condiciones iniciales.
Y las maneras de formar símbolos a partir de números, que cumplen esta
propiedad se llaman generadoras, y el esquema particular se conoce a veces
como una partición generadora.
No quiero escribir una definición formal de esto ,porque pienso que nos
alejará demasiado de lugar y nos conducirá a una notación muy
complicada, pero una partición, y una partición era simplemente...
volviendo aqui, esto en cierto sentido sería la partición, la descripción
de la dinámica simbólica, esto me dice como ir de la orbita, las equis,
a los simbolos L y R, este esquema se llamará una partición generadora
si secuencias cada vez mas largas codifican para regiones cada vez mas
delimitadas, unicas y que no se traslapan de condiciones iniciales.
Bien, entonces no todos los esquemas simbólicos de codificación tienen esta propiedad,
de hecho si hubiera elegido 0.4 como el punto de corte,
que si X fuera menor que 0.4 lo llamara L y es R en los demas casos,
entonces eso no tendría esta propiedad, asi que son sólo particiones especiales,
formas especiales de codificar las que cumplen esta agradable propiedad.
Pero la que describí ciertamente tiene esta propiedad.
Asi que es sólo cuando éste es el caso que esto (las propiedades son las mismas para la órbita y la secuencia) es verdad.
Asi que dejenme para hacer las cosas un poco mas precisas decir:
"si utilizamos una partición generadora".
Entonces dado que tengamos una partición generadora, que sí tenemos en este caso,
las propiedades de la órbita y las propiedades de las secuencias
de símbolos son en el sentido que he descrito las mismas.
Por último quiero mencionar que ésta técnica de dinámica símbolica
es una manera de demostrar cosas acerca de los sistemas dinámicas,
dije en las últimas clases que se demuestra rigurosamente que cuando
r=4 la ecuación logística tiene sensibilidad a las condiciones iniciales y sus orbitas son
no periódicas, la manera en que uno haría esta demostración, y esto es sólo un
bosquejo aproximado, sería realizar este mapeo (función) desde el sistema
dinámico original a secuencias simbólicas, demostrar propiedades de dichas secuencias
y luego si todo ésto se cumple , que si sucedería en este caso,
lo que demuestres acerca de la secuencia símbolos, con la cual es mas fácil trabajar,
sería verdadero para la órbita también.
En cualquier caso, ahora que tenemos esta idea de la dinámica simbólica
veamos como se vé la dinámica simbólica para la ecuación logística con r=4.
In dit onderdeel introduceer ik het idee dat een chaotisch, dynamisch systeem,
zoals de logistische functie met r = 4,
een deterministische bron van willekeurigheid is.
Om dit te kunnen doen,
moeten we eerst goed nadenken over
willekeur behelst.
Wat betekent het eigenlijk wanneer wij zeggen dat
uitkomst of proces willekeurig is?
Ik zal laagje voor laagje een setje argumenten hiervoor opbouwen.
Geen van die argumenten is op zich nogal technisch van aard,
met andere woorden, er is geen calculus of algebra bij nodig, maar
ze zijn van conceptueel rijk en een beetje abstract.
Toch denk ik dat wij zullen eindigen
met een aantal hele interessant conclusies
die wellicht verrassend en heel plezierig zijn om over na te denken.
Laten we dus starten!
Ik start met een techniek die bekend staat als 'symbolische dynamica'.
Het idee achter 'symbolisch dynamica' is het omzetten van een baan,
in dit geval dus een serie van nummers, in dit geval tussen 0 en 1,
in een reeks van symbolen.
En de standaardwijze hierbij is alsvolgt:
Wanneer onze iteratief x< 0.5 dan noem ik die 'L".
En wanneer x > of x = 0.5 dan noem ik dat "R".
Ik stel me voor dat deze aan de linkerkant van het interval zit
en deze aan de rechterkant.
De symbolen die ik gebruik zijn volstrekt willekeurig.
Ik had ook harten en schoppen of x en y of 0 en 1 kunnen gebruiken,
maar ik gebruik L en R.
Voorbeeld: Stel, ik heb de volgende route
OK, hier zijn de eerste iteraties voor de logistische functie,
nogmaals r = 4 en de initiële conditie is 0.613.
Laten wij deze nu omzetten in symbolische dynamica.
0.613, dat is > dan 0.5 dus dat wordt een R.
0.949, dat is ook > 0.5 dus dat is ook een R.
0.194, is < 0.5, dus noem ik die L.
0.625, dat is > 0.5 dus dat is een R.
En deze is ook > 0.5 dus dat zal een R zijn.
Dus het idee is dat ik elke route, elke baan, een volgorde van nummers
tussen 0 en 1 en deze kan omzetten in een serie symbolen,
RRLRR in dit geval.
Nu we de symbolen volgorde kennen,
is het idee dat wij nu de dynamica van de reeks van de symbolen,
in plaats van de dynamica van de baan kunnen bestuderen.
En in veel gevallen kan men laten zien dat de kenmerken van de banen,
hetzelfde zijn als de kenmerken van de symbolen reeks.
Dus het bestuderen van de symbolen reeks is net zo goed als de originele baan.
Laat ik dat even noteren.
Dus; kenmerken zijn gelijk voor de baan en de symbolen reeks.
Wanneer ik het heb over 'kenmerken', dan bedoel ik de aanwezigheid
van vaste punten en de stabiliteit van vaste punten.
Het symbolische, dynamische systeem met alleen de symbolen L en R,
zal hetzelfde aantal vaste punten hebben en de stabiliteit zou hetzelfde zijn,
En wanneer de symbolische reeks gevoeligheid voor initiële condities kent,
oftewel aperiodiciteit, dan zal de originele baan,
het originele dynamische systeem dat tevens hebben.
Dit is overigens ook weer niet een voor de hand liggende conclusie,
want het lijkt er op dat ik met de keuze van de symbolen
veel informatie weggooi.
Immers, elk nummer tussen 0 en 0,5 heb ik gewoon in een L omgezet.
Dat is best wel grof om te doen.
Er zijn oneindig veel getallen tussen 0 en 0.5 en die zet ik allemaal om in L.
Dus, het lijkt erop dat ik informatie verlies, dus hoe
kunnen die twee dingen nu hetzelfde zijn.
Wel, wat blijkt is dat deze manier in het bijzonder,
van het vormen van symbolen, kan men het volgende laten zien
en beargumenteren.
Laat ik dit voorbeeld laten zien, zoiets als dit.
Stel dat ik je de volgende reeks aan symbolen liet zien
RRLRLLR
Dan kan ik je vragen naar de initiële condities
hebben geleid tot deze specifieke reeks symbolen.
Men kan laten zien, door terug te redeneren, dat dit past bij
een vrij smalle band aan initiële condities.
Sterker nog, het zou zelfs een eenzijdig gebonden band zijn
die hieraan ten grondslag zou liggen.
En dan zou ik kunnen zeggen, OK, wat als de volgorde zo zou zijn.
Dan zou ik zeggen dat de initiële condities die hieraan
ten grondslag liggen nog altijd een hele smalle band vormen.
En nu voeg ik nog een symbool toe.
De mogelijke initiële condities die hieraan ten grondslag liggen,
is nog altijd smal.
Dus binnen de beperking dat de reeks symbolen oneindig langer wordt,
worden de mogelijke initiële condities die hieraan ten grondslag liggen
oneindig kleiner.
Een andere manier om dit te verwoorden, is dat wanneer jij mij
een bepaalde initiële conditie geeft,
de symbolen reeks die daaruit voortkomt, uniek is.
Er is één en slechts één symbolenreeks, die uit die bepaalde
initiële conditie voortkomt.
Dat is logisch want dit is een deterministisch en
dynamisch systeem.
Dus, het belangrijkste kenmerk hier is, dat er een 1 op 1 relatie bestaat tussen
de initiële condities en reeks aan symbolen.
Dus wanneer je me de oneindig lange symbolen reeks verteld,
dan kan daaruit de initiële condities halen en wanneer ik die weet
dan heb ik ook meteen alle informatie over de omloopbaan.
Dus, de oneindige reeks codeert voor de initiële condities en de
initiële condities, in samenhang met de dynamica, vertellen ons de
omloopbaan en van daaruit kunnen we de kenmerken afleiden.
Wat ik dus wil zeggen, is dat informatie in de symbolen reeks gelijk is
aan die van de initiële condities.
Manieren om getallen in symbolen om te zetten
die deze kenmerken hebben, worden aangeduid als
´generating partition´.
Ik wil geen formele definitie noteren, want dat gaat hier te ver en
dan wordt de notitie nodeloos ingewikkeld, maar
een partitie is gewoon, terugkijkend, dit stukje hier, dat is
in essentie een partitie.
De omschrijving van de symbolische notatie dat verteld hoe
van x naar symbolische notatie te gaan, dus L en R.
Dit schema heet de genererende partitie mits langere en langere
reeksen coderen voor smallere, unieke en niet overlappende
gebieden van initiële omstandigheden.
Niet alle symbolische codeerreeksen hebben deze fijne kenmerken.
Wanneer ik had gekozen voor 0.4 als afscheiding, dus wanneer x < 0.4 was,
dan had ik het L genoemd en anders R, dan had het
niet deze specifieke kenmerken gehad.
Dus alleen unieke manieren van coderen,
hebben deze mooie kenmerken.
Maar dat wat ik heb beschreven, heeft inderdaad de mooie kenmerken.
Alleen wanneer dit van toepassing is, is dit waar.
Laat ik wat dingen een beetje nauwkeuriger maken:
Mits wij een genererende partitie gebruiken.
Dus op voorwaarde dat wij een genererende partitie hebben,
dat is zo in dit geval,
dan zijn de kenmerken van de omloopbanen en
kenmerken van de symbolen reeks, zoals eerder beschreven,
gelijk aan elkaar.
Tenslotte wil ik nog benoemen dat de techniek van
symbolische dynamica een manier is om dingen
over dynamische systemen te bewijzen.
Zoals ik eerder zei, in de voorgaande lessen,
dat het grondig bewezen is dat wanneer r = 4
de logistische functie gevoeligheid voor
initiële condities kent en de banen aperiodisch zijn.
Om dit te bewijzen, bij wijze ruwe schets,
zou zijn van het originele systeem naar de symbolenreeks in kaart te brengen
en dan de kenmerken van die symbolenreeks achterhalen
en dan bewijzen dat die kenmerken, mits dit alles van toepassing is,
dat wat je bewijst voor de reeks, die makkelijker te hanteren is,
ook geldt voor originele omloopbaan.
Nu wij het idee van symbolische dynamica onder de knie hebben,
kunnen we gaan kijken hoe de symbolische dynamica
eruitziet wanneer r in de logische functie gelijk is aan 4.