Now let's try to apply the same idea to the exponential decay.
You start with some initial number of particles--N of zero seconds--and decay smoothly with that exponential curve.
If we have this area below that curve, it's easy to say that the mean lifetime equals that area
divided by the initial number of particles. Here comes a trick:
I introduce a different area. I start at a time H, close to zero. And look at this area.
Let's call that A of H, and consequently call this A of zero seconds.
The funny thing about A of H is that it's a scaled down version of that original red area.
If you multiply with the right factor, you're going to turn that red area into that green area.
You might multiply with the right number to get this curve from the blue curve,
and the area below that curve equals that green area.
The right factor is easy to figure out. It's the ratio of the number of particles present at time H
to the number of particles present initially.
So this is N of H over N of zero seconds.
For H close to zero, we can use the differential equation to get an estimate on N of H, the number of particles
present at time H. That's the initial number minus how many particles have decayed.
If you use the rate of change, then it's one over 20 seconds times the initial number, times H,
the time that we waited. That's, of course, just an estimate.
If I want this to be more accurate, I need to take care of the remainder, which is something of order H squared.
And now here's the tiny area left. This area amounts to its width, H, times its height, the initial number of particles,
where not perfectly, we're neglecting something, but that's of order H squared.
And now let's put all of that together. The complete area--the red area--equals the blue area plus the green area.
So that's the initial number of particles minus one over 20 seconds times the initial number of particles,
times H, plus something of the order of H squared, divided by the initial number of particles,
times the total area. And now look at what remains: We've got the complete area on the left-hand side,
and we've got the initial number divided by the initial number, times the complete area on the right-hand side.
We can get rid of these. Then we have terms that are linear in H, then we have terms that are of first order in H,
H times a constant, H times a constant, and we have terms that are of second order in H.
The first order terms have to match, and the second order terms have to match.
So we can get rid of the second order terms. Now we can cancel the initial number here
and the initial number there, and you see that zero equals H times the initial number, minus one over 20 seconds
times H, times the complete area. Now we can also get rid of H, to find that the area divided by the initial number
equals 20 seconds. So this ratio, which is the mean lifetime, equals, guess what? 20 seconds.
So astonishingly, this number that appears in the differential equation is nothing but the mean lifetime.
It's that easy.
Ahora intentemos aplicar la misma idea a la desintegración exponencial.
Comienza con un determinado número de partículas--N de cero segundos--y decae suavemente con esta curva exponencial.
Si consideramos este área bajo la curva, es fácil ver que la vida media es igual a este área
dividida por el número inicial de partículas. Aquí usamos un truco:
Considero un área diferente. Comienzo en el tiempo H, cerca de cero. Observa ese área.
Llámemosla A de H, y por tanto llamemos a esto A de cero segundos.
Lo curioso de A de H es que es una versión a escala reducida del área original en rojo.
Si multiplicamos por el factor apropiado, iremos convirtiendo esta área roja en esta área verde.
Podríamos multiplicar por el número apropiado para obtener esta curva a partir de la curva azul,
y el área bajo esta curva es igual al área verde.
El factor apropiado es fácil de imaginar. Será la relación entre el número de partículas presentes en el tiempo H
y el número de partículas presentes inicialmente.
Esto es N de H dividido por N de cero segundos.
Para H cercano a cero, podemos usar la ecuación diferencial para tener una estimación sobre N de H, el número de partículas
presentes en el tiempo H. Esto es el número inicial menos las partículas que se han desintegrado.
Si usamos la tasa de cambio, entonces es uno dividido 20 segundos por el número inicial, por H,
el tiempo que hemos esperado. Por supuesto, esto es solo una estimación.
Si queremos ser más precisos, debemos tener en cuenta el resto, que es algo de orden H al cuadrado.
Ahora tenemos esta pequeña área restante. Esta área vale su ancho, H, por su altura, el número inicial de partículas,
aunque no exactamente, estamos obviando algo, pero es de orden H al cuadrado.
Ahora pongamos todo esto junto. El área completa--el área roja--es igual al área azul más el área verde.
Así que el número inicial de partículas menos uno dividido 20 segundos por el número inicial de partículas,
por H, más algo de orden H al cuadrado, dividido por el número inicial de partículas,
por el área total. Y mira lo que nos queda: Tenemos el área completa a la izquierda,
y el número inicial dividido por el número inicial, por el área completa a la derecha.
Podemos eliminar esto. Entonces nos quedan términos lineales de H, tebenos términos de primer orden de H,
H por una constante, H por una constante, y tenemos términos de segundo orden de H.
Los términos de primer orden tienen que coincidir, y los términos de segundo orden tienen que coincidir.
Así que podemos eliminar los términos de segundo orden. Ahora simplificamos el número inicial aquí
con el número inicial aquí, y vemos que cero es igual a H por el número inicial, menos uno dividido 20 segundos
por H, por el área completa. También podemos eliminar H, para llegar a que el área dividida por el número inicial
es igual a 20 segundos. Así que esta relación, que es la vida media, es igual, ¿a qué? 20 segundos.
Sorprendéntemente, este número que aparece en la ecuación diferencial no es más que la vida media.
Es así de simple.
이제 똑같은 방법을 지수 함수를 따르는 붕괴에 적용해봅시다.
0초에 N개의 초기 입자수로 시작해 지수곡선을 따라 매끄럽게 붕괴합니다.
곡선 아래 넓이가 있다면 쉽게 면적이 수명과 같다는 것을 알 수 있습니다.
Теперь попробуем применить ту же идею для экспоненциального разложения.