WEBVTT 00:00:00.800 --> 00:00:03.017 Låt oss göra fler exempel, 00:00:03.017 --> 00:00:07.036 bara så vi se till att vi lär oss trigonometri perfekt. 00:00:07.036 --> 00:00:11.447 Så låt oss rita några räta trianglar. 00:00:11.447 --> 00:00:13.668 Så låt oss rita några räta trianglar. 00:00:13.668 --> 00:00:15.186 och jag vill vara mycket tydlig. 00:00:15.186 --> 00:00:18.042 Det sätt som jag har definierat det hittills, detta fungerar bara i rätt trianglar. 00:00:18.042 --> 00:00:23.475 Så om du försöker hitta vinklar som inte ingår i rätt trianglar, trig-funktioner 00:00:23.475 --> 00:00:25.704 Vi ska se att vi ska behöva konstruera räta trianglar, 00:00:25.704 --> 00:00:27.867 men låt oss fokusera bara på räta trianglar för nu. 00:00:27.867 --> 00:00:31.344 Så låt oss säga att jag har en triangel, 00:00:31.344 --> 00:00:33.897 där anta denna längd här nere är sju, 00:00:33.897 --> 00:00:37.757 och låt oss säga längden på denna sida här, 00:00:37.757 --> 00:00:39.452 Låt oss säga att det är fyra. 00:00:39.452 --> 00:00:42.516 Låt oss räkna ut vad hypotenusan över här kommer att bli. 00:00:42.516 --> 00:00:45.720 Så vi vet - Låt oss kalla på hypotenusan, "h"- 00:00:45.720 --> 00:00:52.200 Vi vet att h squared kommer att vara lika med sju kvadrat plus fyra kvadrat, 00:00:52.200 --> 00:00:55.194 Vi vet att från Pythagoras sats, 00:00:55.194 --> 00:00:57.469 att kvadrat på hypotenusan är lika med 00:00:57.469 --> 00:01:01.974 torget av summan av kvadraterna för de två andra sidorna. 00:01:01.974 --> 00:01:04.533 h squared är lika med sju kvadrat plus fyra kvadrat. 00:01:04.533 --> 00:01:09.776 Det är alltså lika med fyrtio-nio plus sexton, 00:01:09.776 --> 00:01:11.800 fyrtio-nio plus sexton, 00:01:11.800 --> 00:01:18.553 fyrtio nio plus tio är femtio-nio, plus sex är sextiofem. 00:01:18.553 --> 00:01:21.107 Det är 65. Så här h squared, 00:01:21.107 --> 00:01:25.705 Låt mig skriva: h kvadrat - som är olika nyanser av gult - 00:01:25.705 --> 00:01:28.818 så vi har är h i kvadrat är lika med sextiofem. 00:01:28.818 --> 00:01:33.533 Gjorde jag den rätten? Fyrtio nio plus tio är femtio nio, plus en annan sex är sextiofem, 00:01:33.533 --> 00:01:37.600 eller vi kan säga att h är lika med, om vi tar kvadratroten av båda sidor, 00:01:37.600 --> 00:01:39.200 kvadratrot 00:01:39.200 --> 00:01:42.933 kvadratroten av sextio fem. Och vi verkligen förenkla inte detta alls. 00:01:42.933 --> 00:01:44.699 Detta är tretton. 00:01:44.699 --> 00:01:47.463 Detta är samma sak som tretton gånger fem 00:01:47.463 --> 00:01:50.388 båda dessa är inte perfekt kvadrater och 00:01:50.388 --> 00:01:51.804 de är båda prime så du inte kan förenkla detta mer. 00:01:51.804 --> 00:01:55.467 Det är alltså lika med kvadratroten ur sextio fem. 00:01:55.467 --> 00:02:02.114 Nu ska vi hitta på trig, låt oss hitta trig-funktioner för denna vinkel upp här. 00:02:02.114 --> 00:02:05.457 Låt oss kalla denna vinkel upp theta. 00:02:05.457 --> 00:02:06.533 Så när du gör det 00:02:06.533 --> 00:02:09.467 du vill alltid skriva ner - åtminstone för mig fungerar det för att skriva ned- 00:02:09.467 --> 00:02:11.714 "soh cah toa". 00:02:11.714 --> 00:02:13.120 SoH... 00:02:13.120 --> 00:02:16.464 .. .soh cah toa. Jag har dessa vaga minnen 00:02:16.464 --> 00:02:18.786 av min lärare i trigonometri. 00:02:18.786 --> 00:02:21.293 Kanske har jag läst det i någon bok. Jag vet inte - du känner, vissa... 00:02:21.293 --> 00:02:23.867 någon typ av indisk prinsessa heter "soh cah toa" eller vad som helst, 00:02:23.867 --> 00:02:26.123 men det är en mycket användbar ramsa. 00:02:26.123 --> 00:02:27.564 så kan vi tillämpa "soh cah toa". 00:02:27.564 --> 00:02:31.046 Låt oss hitta, låt oss säga vi vill hitta cosinus. 00:02:31.046 --> 00:02:34.436 Vi vill hitta cosinus för våra vinkel. 00:02:34.436 --> 00:02:37.965 Wanna finner vi cosinus för våra vinkel, ni säger: "soh cah toa!" 00:02:37.965 --> 00:02:40.800 Så "cah". "Cah" berättar vad man ska göra med cosinus, 00:02:40.800 --> 00:02:43.027 "cah" del berättar 00:02:43.027 --> 00:02:46.371 att cosinus är intilliggande över hypotenusan. 00:02:46.371 --> 00:02:51.433 Cosinus är lika med intilliggande över hypotenusan. 00:02:51.433 --> 00:02:55.798 Så låt oss se här theta; vilken sida är intilliggande? 00:02:55.798 --> 00:02:57.702 Vi vet att hypotenusan, 00:02:57.702 --> 00:03:00.767 Vi vet att att hypotenusan är denna sida här. 00:03:00.767 --> 00:03:04.761 Så det inte kan vara den sidan. De bara andra sida som typ av gränsar till det som 00:03:04.761 --> 00:03:07.133 inte på hypotenusan, är det fyra. 00:03:07.133 --> 00:03:10.473 Så den angränsande sidan här, denna sida är, 00:03:10.473 --> 00:03:14.374 Det är bokstavligt talat rätt vid vinkel, 00:03:14.374 --> 00:03:15.754 Det är en av de sidor som typ av bildar vinkeln 00:03:15.754 --> 00:03:17.133 Det är fyra över på hypotenusan. 00:03:17.133 --> 00:03:21.108 På hypotenusan som vi redan vet är kvadratroten ur sextiofem. 00:03:21.108 --> 00:03:25.380 Det är alltså fyra över kvadratroten av sextiofem. 00:03:25.380 --> 00:03:29.142 Och ibland människor kommer vill du att rationalisera nämnaren vilket innebär 00:03:29.142 --> 00:03:32.625 de gillar att ha ett irrationellt tal i nämnaren, 00:03:32.625 --> 00:03:35.227 som kvadratroten av sextio fem, 00:03:35.227 --> 00:03:39.359 och om de - om du wanna skriva om detta utan ett irrationellt tal i nämnaren, 00:03:39.359 --> 00:03:41.634 Du kan multiplicera täljare och nämnare 00:03:41.634 --> 00:03:43.306 av kvadratroten av sextiofem. 00:03:43.306 --> 00:03:45.094 Detta kommer helt klart inte ändrar numret, 00:03:45.094 --> 00:03:48.122 eftersom vi är att multiplicera det med något över sig själv, 00:03:48.122 --> 00:03:49.111 så vi att antalet av en. 00:03:49.111 --> 00:03:52.780 Som inte ändrar numret, men åtminstone det får bli av irrationellt tal i nämnaren. 00:03:52.780 --> 00:03:54.127 Så täljaren blir 00:03:54.127 --> 00:03:57.800 fyra gånger kvadratroten av sextiofem, 00:03:57.800 --> 00:04:03.461 och nämnaren, kvadratroten av 65 gånger kvadratroten av 65, kommer bara att bli 65. 00:04:03.461 --> 00:04:07.130 Vi avskaffa inte irrationellt tal, det finns fortfarande, men det är nu i täljaren. 00:04:07.130 --> 00:04:09.777 Nu ska vi göra andra trig-funktioner 00:04:09.777 --> 00:04:12.401 eller åtminstone andra kärnan trig funktioner. 00:04:12.401 --> 00:04:14.399 Vi lär dig i framtiden att det finns faktiskt ett ton 00:04:14.399 --> 00:04:15.443 men de är alla som härrör från dessa. 00:04:15.443 --> 00:04:19.733 så låt oss tänka vad tecknet för theta är. Än en gång gå till "soh cah toa". 00:04:19.733 --> 00:04:25.474 "soh" berättar vad man ska göra med sinus. Sinus är motsatta över hypotenusan. 00:04:25.474 --> 00:04:29.200 Sinus är lika mittemot över hypotenusan. 00:04:29.200 --> 00:04:31.372 Sinus är motsatta över hypotenusan. 00:04:31.372 --> 00:04:34.390 Vilken sida för denna vinkel är så motsatt? 00:04:34.390 --> 00:04:38.430 Vi går bara motsatt det, vad det öppnas, det är motsatta sju 00:04:38.430 --> 00:04:41.200 motsatt sida är alltså sju. 00:04:41.200 --> 00:04:44.468 Det är just här - som är motsatt sida 00:04:44.468 --> 00:04:47.800 och sedan på hypotenusan är det motsatta över hypotenusan. 00:04:47.800 --> 00:04:51.109 På hypotenusan är kvadratroten ur sextiofem. 00:04:51.109 --> 00:04:52.966 Kvadratroten av sextiofem. 00:04:52.966 --> 00:04:55.133 och än en gång om vi ville att rationalisera 00:04:55.133 --> 00:04:59.933 Vi kan multiplicera gånger kvadratroten av 65 över kvadratroten av 65 00:04:59.933 --> 00:05:04.298 och täljaren, vi kommer att få sju kvadratroten av 65 00:05:04.298 --> 00:05:07.966 och i nämnaren kommer vi få bara sextiofem igen. 00:05:07.966 --> 00:05:10.474 Nu ska vi göra tangens! 00:05:10.474 --> 00:05:12.796 Låt oss göra tangens. 00:05:12.796 --> 00:05:14.793 Så om jag ber tangens 00:05:14.793 --> 00:05:17.394 av - tangens för theta 00:05:17.394 --> 00:05:20.784 återigen gå tillbaka till "soh cah toa". 00:05:20.784 --> 00:05:23.106 Toa del berättar vad man ska göra med tangens 00:05:23.106 --> 00:05:24.800 Det berättar... 00:05:24.800 --> 00:05:27.053 Det berättar att tangens 00:05:27.053 --> 00:05:29.867 är lika med mittemot över angränsande 00:05:29.867 --> 00:05:33.137 är lika med mittemot över 00:05:33.137 --> 00:05:35.867 motsatsen över angränsande 00:05:35.867 --> 00:05:38.709 För denna vinkel, vad är motsatsen? Vi har redan räknat ut. 00:05:38.709 --> 00:05:41.124 Det är sju. Det öppnas i sju. 00:05:41.124 --> 00:05:42.533 Det ligger mittemot sju. 00:05:42.533 --> 00:05:46.372 Så det är sju över vilken sida ligger intill. 00:05:46.372 --> 00:05:48.200 väl är här fyra intilliggande. 00:05:48.200 --> 00:05:51.295 Här fyra ligger intill. Så den intilliggande sidan är fyra. 00:05:51.295 --> 00:05:54.330 så det är sju över fyra, 00:05:54.330 --> 00:05:56.133 och vi är klar. 00:05:56.133 --> 00:05:59.375 Vi tänkte ut alla trig kvoterna för theta. Låt oss göra en annan. 00:05:59.375 --> 00:06:00.416 Låt oss göra en annan. 00:06:00.416 --> 00:06:02.719 Jag ska göra det lite bit betong för rätt nu vi har sagt, 00:06:02.719 --> 00:06:06.434 "Åh, vad är tangens för x, tangens för theta." Låt oss göra det lite mer konkret. 00:06:06.434 --> 00:06:08.431 Låt oss säga... 00:06:08.431 --> 00:06:10.799 Låt oss säga, låt mig göra en annan Rätvinklig triangel, 00:06:10.799 --> 00:06:13.772 Det är en annan Rätvinklig triangel i här. 00:06:13.772 --> 00:06:17.533 Allt vi göra med, dessa kommer att vara rätt trianglar. 00:06:17.533 --> 00:06:21.109 Låt oss har säga på hypotenusan längden fyra, 00:06:21.109 --> 00:06:26.357 Låt oss säga att denna sida här har längd två, 00:06:26.357 --> 00:06:31.790 och låt oss säga att denna längd här kommer att bli två gånger kvadratroten av tre. 00:06:31.790 --> 00:06:33.462 Vi kan verifiera att det fungerar. 00:06:33.462 --> 00:06:36.467 Om du har denna sida squared, så att du har - Låt mig skriva ned - det 00:06:36.467 --> 00:06:38.803 två gånger kvadratroten av tre kvadrat 00:06:38.803 --> 00:06:42.471 plus två squared, är lika med vad? 00:06:42.471 --> 00:06:46.467 Detta är två. Det kommer att vara fyra gånger tre. 00:06:46.467 --> 00:06:49.763 fyra gånger tre plus fyra, 00:06:49.763 --> 00:06:53.478 och detta kommer att vara lika med tolv plus fyra är lika med sexton 00:06:53.478 --> 00:06:57.800 och sexton är verkligen fyra kvadrat. Så detta lika med fyra kvadrat, 00:06:57.800 --> 00:07:01.790 det lika fyra kvadrat. Det uppfyller Pythagoras sats 00:07:01.790 --> 00:07:06.133 och om du kommer ihåg några av ditt arbete från 30 60 90 trianglar 00:07:06.133 --> 00:07:07.781 att du kanske har lärt sig i geometri, 00:07:07.781 --> 00:07:11.450 Du kanske känner igen att det är en 30 60 90 triangeln. 00:07:11.450 --> 00:07:13.133 Det är här vår rätvinkliga, 00:07:13.133 --> 00:07:15.867 -Jag borde ha dragit det av get go att visa att detta är en Rätvinklig triangel - 00:07:15.867 --> 00:07:20.366 denna vinkel höger över här är vår trettio graders vinkel 00:07:20.366 --> 00:07:23.385 och sedan denna vinkel upp här, denna vinkel upp här är 00:07:23.385 --> 00:07:26.125 en 60 graders vinkel, 00:07:26.125 --> 00:07:27.797 och det är en trettio sexton nittio eftersom 00:07:27.797 --> 00:07:31.791 sidan mittemot de trettio graderna är hälften på hypotenusan 00:07:31.791 --> 00:07:36.800 och sedan sidan mittemot 60 grader är en kvadraten av 3 gånger den andra sidan 00:07:36.800 --> 00:07:38.432 Det är inte på hypotenusan. 00:07:38.432 --> 00:07:40.159 Så att säga, we're not gonna... 00:07:40.159 --> 00:07:43.415 Detta är inte tänkt för att vara en översyn av 30 60 90 trianglar även om jag bara gjorde det. 00:07:43.415 --> 00:07:46.933 Låt oss faktiskt hitta trig kvoterna för de olika vinklarna. 00:07:46.933 --> 00:07:51.295 Så om jag skulle fråga du eller om någon skulle fråga er, vad är... 00:07:51.295 --> 00:07:54.639 Vad är sinus för trettio grader? 00:07:54.639 --> 00:07:58.447 och kom ihåg 30 grader är en av vinklarna i denna triangel men det skulle gälla 00:07:58.447 --> 00:08:01.698 När du har en 30 graders vinkel och du göra med Rätvinklig triangel. 00:08:01.698 --> 00:08:05.135 Vi ska ha bredare definitioner i framtiden men om ni säger sinus för trettio grader, 00:08:05.135 --> 00:08:09.035 Hej, är denna vinkel höger över här trettio grader så jag kan använda denna Rätvinklig triangel, 00:08:09.035 --> 00:08:12.133 och vi måste bara komma ihåg "soh cah toa" 00:08:12.133 --> 00:08:17.116 Vi skriva om den. SoH, cah, toa. 00:08:17.116 --> 00:08:22.782 "sine berättar" (korrigering). SoH säger oss vad till sinus. sinus är motsatta över hypotenusan. 00:08:22.782 --> 00:08:26.358 sinus för trettio grader är den motsatta sidan, 00:08:26.358 --> 00:08:30.723 Det är den motsatta sidan som är två över på hypotenusan. 00:08:30.723 --> 00:08:32.395 På hypotenusan här är fyra. 00:08:32.395 --> 00:08:35.646 Det är två fjärdedelar som är samma sak som hälften. 00:08:35.646 --> 00:08:40.800 sinus för trettio grader ser du alltid kommer att vara lika med hälften. 00:08:40.800 --> 00:08:44.144 Vad är nu cosinus? 00:08:44.144 --> 00:08:46.867 Vad är cosinus för trettio grader? 00:08:46.867 --> 00:08:50.135 Återigen gå tillbaka till "soh cah toa". 00:08:50.135 --> 00:08:52.643 Cah berättar vad man ska göra med cosinus. 00:08:52.643 --> 00:08:56.033 Cosinus är intilliggande över hypotenusan. 00:08:56.033 --> 00:08:59.051 Så titta på trettio graders vinkel är det den intilliggande. 00:08:59.051 --> 00:09:01.791 Detta är rätt över här intilliggande. Det är rätt bredvid. 00:09:01.791 --> 00:09:05.467 Det är inte på hypotenusan. Det är den intilliggande över på hypotenusan. 00:09:05.467 --> 00:09:09.129 så det är två square rötter av tre 00:09:09.129 --> 00:09:13.633 intilliggande över... över på hypotenusan, över fyra. 00:09:13.633 --> 00:09:16.977 eller om vi förenklar att vi dela täljaren och nämnaren med två 00:09:16.977 --> 00:09:20.646 Det är kvadratroten ur tre över två. 00:09:20.646 --> 00:09:22.782 Slutligen, låt oss göra tangens. 00:09:22.782 --> 00:09:27.800 Tangens för trettio grader, 00:09:27.800 --> 00:09:30.305 Vi går tillbaka till "soh cah toa". 00:09:30.305 --> 00:09:31.699 SoH cah toa 00:09:31.699 --> 00:09:34.800 TOA berättar vad man ska göra med tangens. Det är motsatta över angränsande 00:09:34.800 --> 00:09:38.804 du går till 30 graders vinkel eftersom det är vad vi bryr oss om, tangerande 30. 00:09:38.804 --> 00:09:42.101 tangens för trettio. Motsatsen är två, 00:09:42.101 --> 00:09:46.200 mittemot är två och den intilliggande är två square rötter av tre. 00:09:46.200 --> 00:09:48.045 Det är rätt bredvid. Det angränsar till det. 00:09:48.045 --> 00:09:49.439 intilliggande innebär bredvid. 00:09:49.439 --> 00:09:52.039 så två square rötter av tre 00:09:52.039 --> 00:09:54.454 ... är detta lika med avbryta de parvisa objekt 00:09:54.454 --> 00:09:56.776 en över kvadratroten av tre 00:09:56.776 --> 00:10:00.723 eller vi kan multiplicera täljare och nämnare med kvadratroten av tre. 00:10:00.723 --> 00:10:05.367 Så vi har kvadratroten av tre över kvadratroten av tre 00:10:05.367 --> 00:10:08.804 och så detta kommer att vara lika med täljaren kvadratroten av tre och sedan 00:10:08.804 --> 00:10:12.473 nämnaren rätt över här kommer bara att bli tre. 00:10:12.473 --> 00:10:15.800 Så att vi har rationaliserad en kvadratrot tre över tre. 00:10:15.800 --> 00:10:17.442 Tillräckligt rättvis. 00:10:17.442 --> 00:10:20.693 Nu kan använda samma triangeln för att räkna ut trig kvoterna för de 60 graderna, 00:10:20.693 --> 00:10:22.457 eftersom vi har redan ritat den. 00:10:22.457 --> 00:10:28.328 så vad is... Vad är sinus för 60 grader? 00:10:28.328 --> 00:10:30.166 och jag tror att du förhoppningsvis får en introduktion till det nu. 00:10:30.166 --> 00:10:34.253 Sinus är motsatta över angränsande. SoH från "soh cah toa". 00:10:34.253 --> 00:10:36.668 de sextio graden vinkel i vilken sida är motsatta? 00:10:36.668 --> 00:10:39.315 Vad öppnas i två square rötterna till tre, 00:10:39.315 --> 00:10:42.566 så den motsatta sidan är två square rötter av tre, 00:10:42.566 --> 00:10:45.306 och från den sextio graden vinkel adj-oh sorry 00:10:45.306 --> 00:10:47.999 dess motsatsen över hypotenusan, vill inte blanda ihop du. 00:10:47.999 --> 00:10:50.507 så det är motsatta över hypotenusan 00:10:50.507 --> 00:10:54.315 Det är alltså två square rötter tre över fyra. fyra är på hypotenusan. 00:10:54.315 --> 00:10:59.981 så det är lika, förenklar detta till kvadratroten av tre över två. 00:10:59.981 --> 00:11:05.507 Vad är cosinus för 60 grader? cosinus för 60 grader. 00:11:05.507 --> 00:11:10.244 så minns "soh cah toa". cosinus är intilliggande över hypotenusan. 00:11:10.244 --> 00:11:13.667 intill ligger två sidorna, direkt vid 60 graders vinkel. 00:11:13.667 --> 00:11:17.907 Det är alltså två över på hypotenusan är fyra. 00:11:17.907 --> 00:11:20.972 Så detta är lika med hälften 00:11:20.972 --> 00:11:24.176 och slutligen, vad är tangens? 00:11:24.176 --> 00:11:27.984 Vad är tangens för 60 grader? 00:11:27.984 --> 00:11:32.349 Väl tangerande, "soh cah toa". Tangens är motsatta över angränsande 00:11:32.349 --> 00:11:34.671 mittemot de 60 graderna 00:11:34.671 --> 00:11:36.400 är två square rötter av tre 00:11:36.400 --> 00:11:38.000 två torg rötter av tre 00:11:38.000 --> 00:11:39.919 och intill den 00:11:39.919 --> 00:11:42.733 intill som är två. 00:11:42.733 --> 00:11:44.800 Angränsande till 60 grader är två. 00:11:44.800 --> 00:11:48.650 Så rötter dess motsatta över angränsande, två torg tre över två 00:11:48.650 --> 00:11:52.644 som är precis lika kvadratroten av tre. 00:11:52.644 --> 00:11:54.641 Och jag ville bara - ser hur dessa hör- 00:11:54.641 --> 00:11:57.984 sinus för trettio grader är samma som cosinus för 60 grader. 00:11:57.984 --> 00:12:01.333 Cosinus för 30 grader är samma sak som sinus av 60 grader 00:12:01.333 --> 00:12:03.966 och sedan dessa killar är inversen av varandra 00:12:03.966 --> 00:12:05.635 och jag tror att om du tycker lite om denna triangel 00:12:05.635 --> 00:12:07.105 Det kommer att börja vettigt varför. 00:12:07.105 --> 00:12:08.461 Vi ska hålla utvidga detta och 00:12:08.461 --> 99:59:59.999 ger dig mycket mer praxis i nästa några videor.