1
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
Хајде да урадимо још тону примера,

2
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
само да би се уверили да добро капирамо ове тригонометријске функције.

3
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
Дакле, хајде да конструишемо себи неке правоугле троуглове.

4
00:00:11,447 --> 00:00:13,668
Конструишимо себи неке правоугле троуглове,

5
00:00:13,668 --> 00:00:15,186
и желим да будем веома јасан.

6
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
Како сам то до сада дефинисао, важиће само за правоугли троугао.

7
00:00:18,042 --> 00:00:23,475
Тако да, ако покушате да пронађете тригонометријске функције углова који не припадају правоуглом троуглу,

8
00:00:23,475 --> 00:00:25,704
видећемо да ћемо морати да конструишемо правоугле троуглове,

9
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
али хајде да се фокусирамо на правоугле троуглове, за сада.

10
00:00:27,867 --> 00:00:31,344
Дакле, рецимо да имам троугао,

11
00:00:31,344 --> 00:00:33,897
где је, рецимо, ова дужина доле 7,

12
00:00:33,897 --> 00:00:37,757
и рецимо да је дужина ове странице овде горе,

13
00:00:37,757 --> 00:00:39,452
рецимо да је она 4.

14
00:00:39,452 --> 00:00:42,516
Хајде да пронађемо колика ће бити ова хипотенуза овде.

15
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
Значи, знамо - назовимо хипотенузу "h" -

16
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
знамо да ће h на квадрат бити једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат,

17
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
знамо то из Питагорине теореме,

18
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
да је хипотренуза на квадрат једнака

19
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
квадрату сваке, збиру квадрата остале две странице.

20
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
h на квадрат је једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат.

21
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
Значи, ово је једнако 49 + 16,

22
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
49 + 16,

23
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
49 + 10 је 59, + 6 је 65.

24
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
То је 65, дакле, ово h на квадрат,

25
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
дајте да напишем: - h на квадрат - то је друга нијанса жуте -

26
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
значи, имамо h на квадрат да је једнако 65.

27
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
Да ли сам урадио како треба? 49 + 10 је 59, + још 6 је 65,

28
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
или би могли да кажемо да је h једнако, ако извадимо корен из обе стране,

29
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
квадратни корен

30
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
квадратни корен из 65. И заиста не можемо да упростимо ово уопште.

31
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
Ово је 13.

32
00:01:44,699 --> 00:01:47,463
Ово је исто што и 13 пута 5,

33
00:01:47,463 --> 00:01:50,388
оба ова нису идеални квадрати и

34
00:01:50,388 --> 00:01:51,804
оба су прости тако да не можете ово упростити више.

35
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Дакле, ово је једнако квадратном корену из 65.

36
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
Сада, хајде да нађемо тригонометријске, пронађимо тригонометријске функције за овај угао овде горе.

37
00:02:02,114 --> 00:02:05,457
Назовимо тај угао горе тета.

38
00:02:05,457 --> 00:02:06,533
Дакле, шта год да радите

39
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
увек треба то да запишете - бар за мене, вреди написати -

40
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
"сох-ках-тоа".

41
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
"сох"...

42
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
..."сох-ках-тоа". Имам замагљена сећања

43
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
на мог наставника тригонометрије.

44
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
Можда сам их и прочитао у некој књизи. Не знам - знате, неке...о

45
00:02:21,293 --> 00:02:23,867
некој индијанској принцези која се звала "сох-ках-тоа" или тако нешто,

46
00:02:23,867 --> 00:02:26,123
али је веома користан подсетник,

47
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
тако да можемо да применимо "сох-ках-тоа".

48
00:02:27,564 --> 00:02:31,046
Хајде да нађемо, рецимо да хоћемо да нађемо косинус.

49
00:02:31,046 --> 00:02:34,436
Желимо да нађемо косинус нашег угла.

50
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
Желимо да нађемо косинус нашег угла, кажете: "сох-ках-тоа!"

51
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
Значи, "ках". "Ках" нам говори шта да радимо са косинусом,

52
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
"Ках" део нам каже

53
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
да је косинус наспрамна (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.

54
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
Косинус је једнак наспрамна кроз хипотенузу.

55
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Па, хајде да погледамо овде где је тета; која је страница налегла?

56
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
Па, знамо да је хипотенуза,

57
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
знамо да је хипотенуза ова страница овде.

58
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
Значи, да не може да буде та страница. Једина друга страница која је некако налегла на њега, а

59
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
да није хипотенуза, је ова 4.

60
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
Дакле, налегла страница овде, та страница је,

61
00:03:10,473 --> 00:03:14,374
она је буквално, одмах уз угао,

62
00:03:14,374 --> 00:03:15,754
она је једна од страница које формирају угао,

63
00:03:15,754 --> 00:03:17,133
то је 4 кроз хипотенузу.

64
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
За хипотенузу већ знамо да је квадратни корен из 65,

65
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
тако да је то 4 кроз квадратни корен из 65.

66
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
И понекад ће људи хтети да рационализујете именилац, што значи

67
00:03:29,142 --> 00:03:32,625
да не желе да имају ирационалан број у имениоцу,

68
00:03:32,625 --> 00:03:35,227
као што је квадратни корен из 65,

69
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
и ако они - ако желите да напишете ово без ирационалног броја у имениоцу,

70
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
можете да помножите бројилац и именилац

71
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
квадратним кореном из 65.

72
00:03:43,306 --> 00:03:45,094
Ово, јасно, неће променити број,

73
00:03:45,094 --> 00:03:48,122
зато што га множимо нечим кроз то исто,

74
00:03:48,122 --> 00:03:49,111
тако да множимо број са 1.

75
00:03:49,111 --> 00:03:52,780
То неће променити број, али се бар ослобађамо ирационалнох броја у имениоцу.

76
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
Значи да бројилац постаје

77
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
4 пута квадратни корен из 65,

78
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
а именилац, квадратни корен из 65 пута квадратни корен из 65, ће једноставно бити 65.

79
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
Нисмо се ослободили ирационалног броја, он је још увек ту, али је сада у бројиоцу.

80
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
Сада, хајде да урадимо остале тригонометријске функције

81
00:04:09,777 --> 00:04:12,401
или бар остале, основне тригонометријске функције.

82
00:04:12,401 --> 00:04:14,399
Научићемо касније да их заправо, има тона,

83
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
али су оне све изведене из ових.

84
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
Дакле, хајде да размислимо о томе шта је синус тета. Још једном на "сох-ках-тоа".

85
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
"Сох" нам каже шта да радимо са синусом. синус је супротна над хипотенузом.

86
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
Синус је једнак супротна кроз хипотенуза.

87
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
Синус је супротна кроз хипотенуза.

88
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
Па, за овај угао, која страница је супротна?

89
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
Идемо само насупрот, ка ономе ка чему се отвара, његова супротна је 7.

90
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
Значи, супротна страница је 7.

91
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
Ово, управо овде - то је супротна страница

92
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
и онда хипотенуза, то је супротна кроз хипотенуза.

93
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
Хипотенуза је квадратни корен из 65.

94
00:04:51,109 --> 00:04:52,966
Квадратни корен из 65.

95
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
И још једном, када би хтели да рационализујемо ово,

96
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
могли би да помножимо пута квадратни корен из 65 кроз квадратни корен из 65

97
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
и у бројиоцу ћемо добити 7 квадратних корена из 65,

98
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
а у бројиоцу ћемо добити само 65, поново.

99
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
Сада, хајде да урадимо тангенс!

100
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
Урадимо тангенс.

101
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
Дакле, ако вам тражим тангенс

102
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
од - тангенс од тета,

103
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
опет идемо назад на "сох-ках-тоа".

104
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
"Тоа" део нам говори шта да радимо са тангенсом.

105
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
Говори нам...

106
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
Каже нам да је тангенс

107
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
једнак супротна кроз налегла,

108
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
је једнак супротна кроз

109
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
супротна кроз налегла

110
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
Дакле, за овај угао, шта је супротна? Већ смо пронашли

111
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
да је 7. Отвара се ка 7.

112
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
Он је насупрот 7.

113
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
Значи, то је 7 кроз ону страницу која је налегла.

114
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
Па, ових 4 је налегла.

115
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
Ових 4 је налегла. Тако да је налегла страница 4.

116
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
Значи, то је 7 кроз 4,

117
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
и завршили смо.

118
00:05:56,133 --> 00:05:59,375
Пронашли смо све тригонометријске односе за тета. Урадимо још један.

119
00:05:59,375 --> 00:06:00,416
Хајде да урадимо још један.

120
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
Направићу га мало конкретнијим, јер сада говоримо

121
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
"ох, шта је тангенс од х, тангенс од тета." Хајде да буде мало конкретнији.

122
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Рецимо...

123
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
Рецимо, дајте да нацртам још један правоугли троугао.

124
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
То је други правоугли троугао овде.

125
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
Све са чиме радимо, односи се на правоугле троуглове.

126
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
Рецимо да хипотенуза има дужину 4,

127
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
рецимо да ова страница овде има дужину 2,

128
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
и рецимо да ће ова дужина овде бити два пута квадратни корен из 3.

129
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
Можемо проверити да ли ово важи.

130
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Ако имате ову страницу квадрирану, тако да имате - дајте да запишем то -

131
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
2 пута квадратни корен из 3 на квадрат

132
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
+ 2 на квадрат, је једнако, чему?

133
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
Ово је 2. Биће 4 пута 3.

134
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
4 пута 3 + 4,

135
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
и ово ће бити једнако 12 + 4 је једнако 16

136
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
а 16 је заправо 4 на квадрат. Значи, ово је једнако 4 на квадрат,

137
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
то јесте једнако 4 на квадрат. Задовољава Питагорину теорему

138
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
и ако се сећате неких од задатака из 30 60 90 троуглова

139
00:07:06,133 --> 00:07:07,781
које сте могли да научите у геометрији,

140
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
можда ћете препознати да је ово 30 60 90 троугао.

141
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
Ово овде је наш прав угао,

142
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
- требало је да га нацртам на почетку да бих вам показао да је ово правоугли троугао -

143
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
овај угао овде је наш угао од 30 степени

144
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
а затим овај угао овде, овај овде је

145
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
угао од 60 степени,

146
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
и то је 30 60 90 јер

147
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
страница супротна од 30 степени је половина хипотенузе,

148
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
а затим страница супротна од 60 степени ја квадрат од 3 пута друга страница

149
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
која није хипотенуза.

150
00:07:38,432 --> 00:07:40,159
Дакле, то нам је рекло, ми нећемо...

151
00:07:40,159 --> 00:07:43,415
Ово није предвиђено да буде анализа 30 60 90 троуглова, иако сам то управо урадио.

152
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
Хајде да заиста пронађемо тригонометријске односе за различите углове.

153
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
Дакле, ако бих вас питао или ако би вас било ко питао, колики је...

154
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
Колики је синус од 30 степени?

155
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
И сетите се да је 30 степени један од углова у овом троуглу, али може бити примењен

156
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
увек када имате угао од 30 степени и имате правоугли троугао.

157
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
Проширићемо дефиниције у будућности, али ако кажете синус од 30 степени,

158
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
хеј, овај угао овде је 30 степени, тако да могу да применим овај правоугли троугао.

159
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
И само треба да се сетимо "сох-ках-тоа"

160
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
Преписаћемо то, "сох-ках-тоа".

161
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
Синус нам говори, "сох" нам говори шта треба да радимо са синусом. Синус је супротна (оригинал: opposite) кроз хипотенузу.

162
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
Синус од 30 степени је супротна страница,

163
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
то је супротна страница, која је 2, кроз хипотенузу.

164
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
Хипотенуза је овде 4.

165
00:08:32,395 --> 00:08:35,646
То је 2/4 што је исто што и 1/2.

166
00:08:35,646 --> 00:08:40,800
Синус од 30 степени ће увек бити, видећете, једнак 1/2.

167
00:08:40,800 --> 00:08:44,144
Сада, колики је косинус?

168
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
Колики је косинус од 30 степени?

169
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
Још једном се вратимо на "сох-ках-тоа"

170
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
"Ках" нам говори шта треба да радимо са косинусом.

171
00:08:52,643 --> 00:08:56,033
Косинус је налегла (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.

172
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
Дакле, погледамо у угао од 30 степени и видимо која је налегла.

173
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
Ова, управо овде је налегла. Она је непосредно поред.

174
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
Она није хипотенуза. То је налегла кроз хипотенуза.

175
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
Значи, то је 2 квадратна корена из 3,

176
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
налегла кроз... кроз хипотенуза, кроз 4.

177
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
Или, ако упростимо то, поделимо бројилац и именилац са 2.

178
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
То је квадратни корен из 3 кроз 2.

179
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
И на крају, урадимо тангенс.

180
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
Тангенс од 30 степени,

181
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
враћамо се на "сох-ках-тоа".

182
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
"Сох-ках-тоа".

183
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
"Тоа" нам говори шта радимо са тангенсом. То је супротна кроз налегла.

184
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
Идете на угао од 30 степени зато што нас он занима, тангенс од 30.

185
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
Тангенс од 30. Супротна је 2,

186
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
супротна је 2, а налегла је 2 квадратна корена из 3.

187
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
Она је непосредно поред. Она је налегла не њега.

188
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
Налегла значи тик уз.

189
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
Значи, 2 квадратна корена из 3.

190
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
дакле, ово је једнако... двојке се поништавају

191
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
1 кроз квадратни корен из 3

192
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
Или можемо помножити бројилац и именилац квадратним кореном из 3.

193
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
Тако да имамо квадратни корен из 3 кроз квадратни корен из 3.

194
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
И значи, ово ће бити једнако у бројиоцу, квадратни корен из 3 и онда

195
00:10:08,804 --> 00:10:12,473
у имениоцу, овде ће бити само 3.

196
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
Тако да смо рационализовали квадратни корен из 3 кроз 3.

197
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
Довољно добро.

198
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
Сада, хајде да употребимо исти троугао да пронађемо тригонометријске односе за 60 степени,

199
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
пошто смо га већ нацртали.

200
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
Дакле, колики је... колики је синус од 60 степени?

201
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
И надам се да хватате прикључак.

202
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
Синус је супротна кроз хипотенуза. "Сох" из "сох-ках-тоа".

203
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
За угао од 60 степени, која је страница супротна,

204
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
она према којој се отвара је 2 квадратна корена из 3.

205
00:10:39,315 --> 00:10:42,566
Дакле, супротна страница је 2 квадратна корена из 3,

206
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
и за угао од 60 степени, нал... - ох, извините,

207
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
то је супротна кроз хипотенузу, не желим да вас збуним.

208
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
Значи, то је супротна кроз хипотенузу.

209
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
Дакле, то је 2 квадратна корена из 3 кроз 4. 4 је хипотенуза.

210
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
Значи, то је једнако, ово се упрости на квадратни корен из 3 кроз 2.

211
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
Колики је косинус од 60 степени? Косинус од 60 степени.

212
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
Па, сетите се "сох-ках-тоа". Косинус је налегла кроз хипотенуза.

213
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
Налегла је страница 2, непосредно уз угао од 60 степени.

214
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
Дакле, то је 2 кроз хипотенуза, која је 4.

215
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
Значи, ово је једнако 1/2.

216
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
И онда, на крају, колики је тангенс?

217
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
Колики је тангенс од 60 степени?

218
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
Па, тангенс, "сох-ках-тоа". Тангенс је супротна кроз налегла.

219
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
Супротна од 60 степени

220
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
је 2 квадратна корена из 3,

221
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
2 квадратна корена из 3,

222
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
а налегла на угао,

223
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
налегла на угао је 2.

224
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
Налегла на 60 степени је 2.

225
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
Дакле, то је супротна кроз налегла, 2 квадратна корена из 3 кроз 2,

226
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
што је једнако само квадратном корену из 3.

227
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
И само сам хтео да - погледајте како се ови односе -

228
00:11:54,641 --> 00:11:57,984
синус од 30 степени је исто што и косинус од 60 степени.

229
00:11:57,984 --> 00:12:01,333
Косинус од 30 степени је исто што и синус од 60 степени.

230
00:12:01,333 --> 00:12:03,966
И затим, ови момци су инверзни један другом.

231
00:12:03,966 --> 00:12:05,635
И мислим да ако размислите мало о овом троуглу

232
00:12:05,635 --> 00:12:07,105
да ће почети да има смисла зашто је то тако.

233
00:12:07,105 --> 00:12:08,461
Прошириваћемо ово и

234
00:12:08,461 --> 00:12:10,900
дати вам много више примера за вежбање у следећих неколико снимака.