0:00:00.800,0:00:03.017
Хајде да урадимо још тону примера,

0:00:03.017,0:00:07.036
само да би се уверили да добро капирамо ове тригонометријске функције.

0:00:07.036,0:00:11.447
Дакле, хајде да конструишемо себи неке правоугле троуглове.

0:00:11.447,0:00:13.668
Конструишимо себи неке правоугле троуглове,

0:00:13.668,0:00:15.186
и желим да будем веома јасан.

0:00:15.186,0:00:18.042
Како сам то до сада дефинисао, важиће само за правоугли троугао.

0:00:18.042,0:00:23.475
Тако да, ако покушате да пронађете тригонометријске функције углова који не припадају правоуглом троуглу,

0:00:23.475,0:00:25.704
видећемо да ћемо морати да конструишемо правоугле троуглове,

0:00:25.704,0:00:27.867
али хајде да се фокусирамо на правоугле троуглове, за сада.

0:00:27.867,0:00:31.344
Дакле, рецимо да имам троугао,

0:00:31.344,0:00:33.897
где је, рецимо, ова дужина доле 7,

0:00:33.897,0:00:37.757
и рецимо да је дужина ове странице овде горе,

0:00:37.757,0:00:39.452
рецимо да је она 4.

0:00:39.452,0:00:42.516
Хајде да пронађемо колика ће бити ова хипотенуза овде.

0:00:42.516,0:00:45.720
Значи, знамо - назовимо хипотенузу "h" -

0:00:45.720,0:00:52.200
знамо да ће h на квадрат бити једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат,

0:00:52.200,0:00:55.194
знамо то из Питагорине теореме,

0:00:55.194,0:00:57.469
да је хипотренуза на квадрат једнака

0:00:57.469,0:01:01.974
квадрату сваке, збиру квадрата остале две странице.

0:01:01.974,0:01:04.533
h на квадрат је једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат.

0:01:04.533,0:01:09.776
Значи, ово је једнако 49 + 16,

0:01:09.776,0:01:11.800
49 + 16,

0:01:11.800,0:01:18.553
49 + 10 је 59, + 6 је 65.

0:01:18.553,0:01:21.107
То је 65, дакле, ово h на квадрат,

0:01:21.107,0:01:25.705
дајте да напишем: - h на квадрат - то је друга нијанса жуте -

0:01:25.705,0:01:28.818
значи, имамо h на квадрат да је једнако 65.

0:01:28.818,0:01:33.533
Да ли сам урадио како треба? 49 + 10 је 59, + још 6 је 65,

0:01:33.533,0:01:37.600
или би могли да кажемо да је h једнако, ако извадимо корен из обе стране,

0:01:37.600,0:01:39.200
квадратни корен

0:01:39.200,0:01:42.933
квадратни корен из 65. И заиста не можемо да упростимо ово уопште.

0:01:42.933,0:01:44.699
Ово је 13.

0:01:44.699,0:01:47.463
Ово је исто што и 13 пута 5,

0:01:47.463,0:01:50.388
оба ова нису идеални квадрати и

0:01:50.388,0:01:51.804
оба су прости тако да не можете ово упростити више.

0:01:51.804,0:01:55.467
Дакле, ово је једнако квадратном корену из 65.

0:01:55.467,0:02:02.114
Сада, хајде да нађемо тригонометријске, пронађимо тригонометријске функције за овај угао овде горе.

0:02:02.114,0:02:05.457
Назовимо тај угао горе тета.

0:02:05.457,0:02:06.533
Дакле, шта год да радите

0:02:06.533,0:02:09.467
увек треба то да запишете - бар за мене, вреди написати -

0:02:09.467,0:02:11.714
"сох-ках-тоа".

0:02:11.714,0:02:13.120
"сох"...

0:02:13.120,0:02:16.464
..."сох-ках-тоа". Имам замагљена сећања

0:02:16.464,0:02:18.786
на мог наставника тригонометрије.

0:02:18.786,0:02:21.293
Можда сам их и прочитао у некој књизи. Не знам - знате, неке...о

0:02:21.293,0:02:23.867
некој индијанској принцези која се звала "сох-ках-тоа" или тако нешто,

0:02:23.867,0:02:26.123
али је веома користан подсетник,

0:02:26.123,0:02:27.564
тако да можемо да применимо "сох-ках-тоа".

0:02:27.564,0:02:31.046
Хајде да нађемо, рецимо да хоћемо да нађемо косинус.

0:02:31.046,0:02:34.436
Желимо да нађемо косинус нашег угла.

0:02:34.436,0:02:37.965
Желимо да нађемо косинус нашег угла, кажете: "сох-ках-тоа!"

0:02:37.965,0:02:40.800
Значи, "ках". "Ках" нам говори шта да радимо са косинусом,

0:02:40.800,0:02:43.027
"Ках" део нам каже

0:02:43.027,0:02:46.371
да је косинус наспрамна (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.

0:02:46.371,0:02:51.433
Косинус је једнак наспрамна кроз хипотенузу.

0:02:51.433,0:02:55.798
Па, хајде да погледамо овде где је тета; која је страница налегла?

0:02:55.798,0:02:57.702
Па, знамо да је хипотенуза,

0:02:57.702,0:03:00.767
знамо да је хипотенуза ова страница овде.

0:03:00.767,0:03:04.761
Значи, да не може да буде та страница. Једина друга страница која је некако налегла на њега, а

0:03:04.761,0:03:07.133
да није хипотенуза, је ова 4.

0:03:07.133,0:03:10.473
Дакле, налегла страница овде, та страница је,

0:03:10.473,0:03:14.374
она је буквално, одмах уз угао,

0:03:14.374,0:03:15.754
она је једна од страница које формирају угао,

0:03:15.754,0:03:17.133
то је 4 кроз хипотенузу.

0:03:17.133,0:03:21.108
За хипотенузу већ знамо да је квадратни корен из 65,

0:03:21.108,0:03:25.380
тако да је то 4 кроз квадратни корен из 65.

0:03:25.380,0:03:29.142
И понекад ће људи хтети да рационализујете именилац, што значи

0:03:29.142,0:03:32.625
да не желе да имају ирационалан број у имениоцу,

0:03:32.625,0:03:35.227
као што је квадратни корен из 65,

0:03:35.227,0:03:39.359
и ако они - ако желите да напишете ово без ирационалног броја у имениоцу,

0:03:39.359,0:03:41.634
можете да помножите бројилац и именилац

0:03:41.634,0:03:43.306
квадратним кореном из 65.

0:03:43.306,0:03:45.094
Ово, јасно, неће променити број,

0:03:45.094,0:03:48.122
зато што га множимо нечим кроз то исто,

0:03:48.122,0:03:49.111
тако да множимо број са 1.

0:03:49.111,0:03:52.780
То неће променити број, али се бар ослобађамо ирационалнох броја у имениоцу.

0:03:52.780,0:03:54.127
Значи да бројилац постаје

0:03:54.127,0:03:57.800
4 пута квадратни корен из 65,

0:03:57.800,0:04:03.461
а именилац, квадратни корен из 65 пута квадратни корен из 65, ће једноставно бити 65.

0:04:03.461,0:04:07.130
Нисмо се ослободили ирационалног броја, он је још увек ту, али је сада у бројиоцу.

0:04:07.130,0:04:09.777
Сада, хајде да урадимо остале тригонометријске функције

0:04:09.777,0:04:12.401
или бар остале, основне тригонометријске функције.

0:04:12.401,0:04:14.399
Научићемо касније да их заправо, има тона,

0:04:14.399,0:04:15.443
али су оне све изведене из ових.

0:04:15.443,0:04:19.733
Дакле, хајде да размислимо о томе шта је синус тета. Још једном на "сох-ках-тоа".

0:04:19.733,0:04:25.474
"Сох" нам каже шта да радимо са синусом. синус је супротна над хипотенузом.

0:04:25.474,0:04:29.200
Синус је једнак супротна кроз хипотенуза.

0:04:29.200,0:04:31.372
Синус је супротна кроз хипотенуза.

0:04:31.372,0:04:34.390
Па, за овај угао, која страница је супротна?

0:04:34.390,0:04:38.430
Идемо само насупрот, ка ономе ка чему се отвара, његова супротна је 7.

0:04:38.430,0:04:41.200
Значи, супротна страница је 7.

0:04:41.200,0:04:44.468
Ово, управо овде - то је супротна страница

0:04:44.468,0:04:47.800
и онда хипотенуза, то је супротна кроз хипотенуза.

0:04:47.800,0:04:51.109
Хипотенуза је квадратни корен из 65.

0:04:51.109,0:04:52.966
Квадратни корен из 65.

0:04:52.966,0:04:55.133
И још једном, када би хтели да рационализујемо ово,

0:04:55.133,0:04:59.933
могли би да помножимо пута квадратни корен из 65 кроз квадратни корен из 65

0:04:59.933,0:05:04.298
и у бројиоцу ћемо добити 7 квадратних корена из 65,

0:05:04.298,0:05:07.966
а у бројиоцу ћемо добити само 65, поново.

0:05:07.966,0:05:10.474
Сада, хајде да урадимо тангенс!

0:05:10.474,0:05:12.796
Урадимо тангенс.

0:05:12.796,0:05:14.793
Дакле, ако вам тражим тангенс

0:05:14.793,0:05:17.394
од - тангенс од тета,

0:05:17.394,0:05:20.784
опет идемо назад на "сох-ках-тоа".

0:05:20.784,0:05:23.106
"Тоа" део нам говори шта да радимо са тангенсом.

0:05:23.106,0:05:24.800
Говори нам...

0:05:24.800,0:05:27.053
Каже нам да је тангенс

0:05:27.053,0:05:29.867
једнак супротна кроз налегла,

0:05:29.867,0:05:33.137
је једнак супротна кроз

0:05:33.137,0:05:35.867
супротна кроз налегла

0:05:35.867,0:05:38.709
Дакле, за овај угао, шта је супротна? Већ смо пронашли

0:05:38.709,0:05:41.124
да је 7. Отвара се ка 7.

0:05:41.124,0:05:42.533
Он је насупрот 7.

0:05:42.533,0:05:46.372
Значи, то је 7 кроз ону страницу која је налегла.

0:05:46.372,0:05:48.200
Па, ових 4 је налегла.

0:05:48.200,0:05:51.295
Ових 4 је налегла. Тако да је налегла страница 4.

0:05:51.295,0:05:54.330
Значи, то је 7 кроз 4,

0:05:54.330,0:05:56.133
и завршили смо.

0:05:56.133,0:05:59.375
Пронашли смо све тригонометријске односе за тета. Урадимо још један.

0:05:59.375,0:06:00.416
Хајде да урадимо још један.

0:06:00.416,0:06:02.719
Направићу га мало конкретнијим, јер сада говоримо

0:06:02.719,0:06:06.434
"ох, шта је тангенс од х, тангенс од тета." Хајде да буде мало конкретнији.

0:06:06.434,0:06:08.431
Рецимо...

0:06:08.431,0:06:10.799
Рецимо, дајте да нацртам још један правоугли троугао.

0:06:10.799,0:06:13.772
То је други правоугли троугао овде.

0:06:13.772,0:06:17.533
Све са чиме радимо, односи се на правоугле троуглове.

0:06:17.533,0:06:21.109
Рецимо да хипотенуза има дужину 4,

0:06:21.109,0:06:26.357
рецимо да ова страница овде има дужину 2,

0:06:26.357,0:06:31.790
и рецимо да ће ова дужина овде бити два пута квадратни корен из 3.

0:06:31.790,0:06:33.462
Можемо проверити да ли ово важи.

0:06:33.462,0:06:36.467
Ако имате ову страницу квадрирану, тако да имате - дајте да запишем то -

0:06:36.467,0:06:38.803
2 пута квадратни корен из 3 на квадрат

0:06:38.803,0:06:42.471
+ 2 на квадрат, је једнако, чему?

0:06:42.471,0:06:46.467
Ово је 2. Биће 4 пута 3.

0:06:46.467,0:06:49.763
4 пута 3 + 4,

0:06:49.763,0:06:53.478
и ово ће бити једнако 12 + 4 је једнако 16

0:06:53.478,0:06:57.800
а 16 је заправо 4 на квадрат. Значи, ово је једнако 4 на квадрат,

0:06:57.800,0:07:01.790
то јесте једнако 4 на квадрат. Задовољава Питагорину теорему

0:07:01.790,0:07:06.133
и ако се сећате неких од задатака из 30 60 90 троуглова

0:07:06.133,0:07:07.781
које сте могли да научите у геометрији,

0:07:07.781,0:07:11.450
можда ћете препознати да је ово 30 60 90 троугао.

0:07:11.450,0:07:13.133
Ово овде је наш прав угао,

0:07:13.133,0:07:15.867
- требало је да га нацртам на почетку да бих вам показао да је ово правоугли троугао -

0:07:15.867,0:07:20.366
овај угао овде је наш угао од 30 степени

0:07:20.366,0:07:23.385
а затим овај угао овде, овај овде је

0:07:23.385,0:07:26.125
угао од 60 степени,

0:07:26.125,0:07:27.797
и то је 30 60 90 јер

0:07:27.797,0:07:31.791
страница супротна од 30 степени је половина хипотенузе,

0:07:31.791,0:07:36.800
а затим страница супротна од 60 степени ја квадрат од 3 пута друга страница

0:07:36.800,0:07:38.432
која није хипотенуза.

0:07:38.432,0:07:40.159
Дакле, то нам је рекло, ми нећемо...

0:07:40.159,0:07:43.415
Ово није предвиђено да буде анализа 30 60 90 троуглова, иако сам то управо урадио.

0:07:43.415,0:07:46.933
Хајде да заиста пронађемо тригонометријске односе за различите углове.

0:07:46.933,0:07:51.295
Дакле, ако бих вас питао или ако би вас било ко питао, колики је...

0:07:51.295,0:07:54.639
Колики је синус од 30 степени?

0:07:54.639,0:07:58.447
И сетите се да је 30 степени један од углова у овом троуглу, али може бити примењен

0:07:58.447,0:08:01.698
увек када имате угао од 30 степени и имате правоугли троугао.

0:08:01.698,0:08:05.135
Проширићемо дефиниције у будућности, али ако кажете синус од 30 степени,

0:08:05.135,0:08:09.035
хеј, овај угао овде је 30 степени, тако да могу да применим овај правоугли троугао.

0:08:09.035,0:08:12.133
И само треба да се сетимо "сох-ках-тоа"

0:08:12.133,0:08:17.116
Преписаћемо то, "сох-ках-тоа".

0:08:17.116,0:08:22.782
Синус нам говори, "сох" нам говори шта треба да радимо са синусом. Синус је супротна (оригинал: opposite) кроз хипотенузу.

0:08:22.782,0:08:26.358
Синус од 30 степени је супротна страница,

0:08:26.358,0:08:30.723
то је супротна страница, која је 2, кроз хипотенузу.

0:08:30.723,0:08:32.395
Хипотенуза је овде 4.

0:08:32.395,0:08:35.646
То је 2/4 што је исто што и 1/2.

0:08:35.646,0:08:40.800
Синус од 30 степени ће увек бити, видећете, једнак 1/2.

0:08:40.800,0:08:44.144
Сада, колики је косинус?

0:08:44.144,0:08:46.867
Колики је косинус од 30 степени?

0:08:46.867,0:08:50.135
Још једном се вратимо на "сох-ках-тоа"

0:08:50.135,0:08:52.643
"Ках" нам говори шта треба да радимо са косинусом.

0:08:52.643,0:08:56.033
Косинус је налегла (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.

0:08:56.033,0:08:59.051
Дакле, погледамо у угао од 30 степени и видимо која је налегла.

0:08:59.051,0:09:01.791
Ова, управо овде је налегла. Она је непосредно поред.

0:09:01.791,0:09:05.467
Она није хипотенуза. То је налегла кроз хипотенуза.

0:09:05.467,0:09:09.129
Значи, то је 2 квадратна корена из 3,

0:09:09.129,0:09:13.633
налегла кроз... кроз хипотенуза, кроз 4.

0:09:13.633,0:09:16.977
Или, ако упростимо то, поделимо бројилац и именилац са 2.

0:09:16.977,0:09:20.646
То је квадратни корен из 3 кроз 2.

0:09:20.646,0:09:22.782
И на крају, урадимо тангенс.

0:09:22.782,0:09:27.800
Тангенс од 30 степени,

0:09:27.800,0:09:30.305
враћамо се на "сох-ках-тоа".

0:09:30.305,0:09:31.699
"Сох-ках-тоа".

0:09:31.699,0:09:34.800
"Тоа" нам говори шта радимо са тангенсом. То је супротна кроз налегла.

0:09:34.800,0:09:38.804
Идете на угао од 30 степени зато што нас он занима, тангенс од 30.

0:09:38.804,0:09:42.101
Тангенс од 30. Супротна је 2,

0:09:42.101,0:09:46.200
супротна је 2, а налегла је 2 квадратна корена из 3.

0:09:46.200,0:09:48.045
Она је непосредно поред. Она је налегла не њега.

0:09:48.045,0:09:49.439
Налегла значи тик уз.

0:09:49.439,0:09:52.039
Значи, 2 квадратна корена из 3.

0:09:52.039,0:09:54.454
дакле, ово је једнако... двојке се поништавају

0:09:54.454,0:09:56.776
1 кроз квадратни корен из 3

0:09:56.776,0:10:00.723
Или можемо помножити бројилац и именилац квадратним кореном из 3.

0:10:00.723,0:10:05.367
Тако да имамо квадратни корен из 3 кроз квадратни корен из 3.

0:10:05.367,0:10:08.804
И значи, ово ће бити једнако у бројиоцу, квадратни корен из 3 и онда

0:10:08.804,0:10:12.473
у имениоцу, овде ће бити само 3.

0:10:12.473,0:10:15.800
Тако да смо рационализовали квадратни корен из 3 кроз 3.

0:10:15.800,0:10:17.442
Довољно добро.

0:10:17.442,0:10:20.693
Сада, хајде да употребимо исти троугао да пронађемо тригонометријске односе за 60 степени,

0:10:20.693,0:10:22.457
пошто смо га већ нацртали.

0:10:22.457,0:10:28.328
Дакле, колики је... колики је синус од 60 степени?

0:10:28.328,0:10:30.166
И надам се да хватате прикључак.

0:10:30.166,0:10:34.253
Синус је супротна кроз хипотенуза. "Сох" из "сох-ках-тоа".

0:10:34.253,0:10:36.668
За угао од 60 степени, која је страница супротна,

0:10:36.668,0:10:39.315
она према којој се отвара је 2 квадратна корена из 3.

0:10:39.315,0:10:42.566
Дакле, супротна страница је 2 квадратна корена из 3,

0:10:42.566,0:10:45.306
и за угао од 60 степени, нал... - ох, извините,

0:10:45.306,0:10:47.999
то је супротна кроз хипотенузу, не желим да вас збуним.

0:10:47.999,0:10:50.507
Значи, то је супротна кроз хипотенузу.

0:10:50.507,0:10:54.315
Дакле, то је 2 квадратна корена из 3 кроз 4. 4 је хипотенуза.

0:10:54.315,0:10:59.981
Значи, то је једнако, ово се упрости на квадратни корен из 3 кроз 2.

0:10:59.981,0:11:05.507
Колики је косинус од 60 степени? Косинус од 60 степени.

0:11:05.507,0:11:10.244
Па, сетите се "сох-ках-тоа". Косинус је налегла кроз хипотенуза.

0:11:10.244,0:11:13.667
Налегла је страница 2, непосредно уз угао од 60 степени.

0:11:13.667,0:11:17.907
Дакле, то је 2 кроз хипотенуза, која је 4.

0:11:17.907,0:11:20.972
Значи, ово је једнако 1/2.

0:11:20.972,0:11:24.176
И онда, на крају, колики је тангенс?

0:11:24.176,0:11:27.984
Колики је тангенс од 60 степени?

0:11:27.984,0:11:32.349
Па, тангенс, "сох-ках-тоа". Тангенс је супротна кроз налегла.

0:11:32.349,0:11:34.671
Супротна од 60 степени

0:11:34.671,0:11:36.400
је 2 квадратна корена из 3,

0:11:36.400,0:11:38.000
2 квадратна корена из 3,

0:11:38.000,0:11:39.919
а налегла на угао,

0:11:39.919,0:11:42.733
налегла на угао је 2.

0:11:42.733,0:11:44.800
Налегла на 60 степени је 2.

0:11:44.800,0:11:48.650
Дакле, то је супротна кроз налегла, 2 квадратна корена из 3 кроз 2,

0:11:48.650,0:11:52.644
што је једнако само квадратном корену из 3.

0:11:52.644,0:11:54.641
И само сам хтео да - погледајте како се ови односе -

0:11:54.641,0:11:57.984
синус од 30 степени је исто што и косинус од 60 степени.

0:11:57.984,0:12:01.333
Косинус од 30 степени је исто што и синус од 60 степени.

0:12:01.333,0:12:03.966
И затим, ови момци су инверзни један другом.

0:12:03.966,0:12:05.635
И мислим да ако размислите мало о овом троуглу

0:12:05.635,0:12:07.105
да ће почети да има смисла зашто је то тако.

0:12:07.105,0:12:08.461
Прошириваћемо ово и

0:12:08.461,0:12:10.900
дати вам много више примера за вежбање у следећих неколико снимака.