9:59:59.000,9:59:59.000
CAH

9:59:59.000,9:59:59.000
TOA

9:59:59.000,9:59:59.000
Какой катет является прилежащим?

9:59:59.000,9:59:59.000
Квадратный корень из трех

9:59:59.000,9:59:59.000
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)

9:59:59.000,9:59:59.000
Тангенс 30°...

9:59:59.000,9:59:59.000
Это будет равно равно четыре раза по три

9:59:59.000,9:59:59.000
деленное на гипотенузу.

9:59:59.000,9:59:59.000
деленное на четыре

9:59:59.000,9:59:59.000
деленному на гипотенузу.

9:59:59.000,9:59:59.000
до половины

9:59:59.000,9:59:59.000
за гипотенузу в течение четырех

9:59:59.000,9:59:59.000
за квадратный корень из трех

9:59:59.000,9:59:59.000
из шестидесяти пяти.

9:59:59.000,9:59:59.000
или кто-либо ещё спросил бы у вас:

9:59:59.000,9:59:59.000
имеет длину два

9:59:59.000,9:59:59.000
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить

9:59:59.000,9:59:59.000
квадратному корню из трех

9:59:59.000,9:59:59.000
на квадратный корень из шестидесяти пяти.

9:59:59.000,9:59:59.000
обеих сторон,

9:59:59.000,9:59:59.000
плюс шестнадцать,

9:59:59.000,9:59:59.000
половины

9:59:59.000,9:59:59.000
прямоугольными треугольниками.

9:59:59.000,9:59:59.000
скажем, что эта сторона здесь

9:59:59.000,9:59:59.000
т. е. разделить на 4.

9:59:59.000,9:59:59.000
тридцать градусов

9:59:59.000,9:59:59.000
хотя я только что это сделал…

9:59:59.000,9:59:59.000
чему равен cos 30°?

9:59:59.000,9:59:59.000
шестидесяти градусов

9:59:59.000,9:59:59.000
это 2

0:00:00.800,0:00:03.017
Давайте сделаем ещё кучу примеров, для того чтобы удостовериться, что мы полностью и хорошо освоили

0:00:03.017,0:00:07.036
эту тригонометрическую премудрость.

0:00:07.036,0:00:11.447
Так что давайте построим самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники.

0:00:11.447,0:00:13.668
Постройте самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники, и я очень хочу чтобы вам было ясно, способ, которым я это пока определил,

0:00:15.186,0:00:18.042
будет работать только в прямоугольных треугольниках, если мы хотим найти

0:00:18.042,0:00:23.475
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, нам следует посмотреть что нам нужно

0:00:25.704,0:00:27.867
иметь для построения прямоугольных треугольников, но давайте пока сосредоточимся на прямоугольных треугольниках.

0:00:27.867,0:00:31.344
Допустим, у меня есть треугольник, у которого длина вот этой стороны равна 7.

0:00:33.897,0:00:37.757
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.

0:00:39.452,0:00:42.516
Давайте выясним, чему будет равна гипотенуза.Так мы знаем...

0:00:42.516,0:00:45.720
давайте назовём гипотенузу h.

0:00:45.720,0:00:52.200
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы знаем это

0:00:52.200,0:00:55.194
из теоремы Пифагора...

0:00:55.194,0:00:57.469
что квадрат гипотенузы равен

0:00:57.469,0:01:01.974
сумме квадратов катетов,

0:01:01.974,0:01:04.533
двух других его сторон . h² = 7² + 4²,

0:01:04.533,0:01:09.776
Таким образом это равно сорок девять

0:01:09.776,0:01:11.800
сорок девять плюс шестнадцать,

0:01:11.800,0:01:18.553
сорок девять плюс десять будет пятьдесят девять, плюс шесть это

0:01:18.553,0:01:21.107
шестьдесят пять.То есть h в квадрате -это шестьдесят пять.

0:01:21.107,0:01:25.705
давайте я запишу… h в квадрате…

0:01:25.705,0:01:28.818
это другой оттенок жёлтого. Таким образом мы имеем, h в квадрате равно

0:01:28.818,0:01:33.533
шестьдесят пять. Сделал ли я это правильно? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -

0:01:33.533,0:01:37.600
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если мы извлечем квадратные корни с

0:01:37.600,0:01:39.200
квадратный корень

0:01:39.200,0:01:42.933
квадратный корень из шестидесяти пяти. И мы никак не можем это упростить все.

0:01:42.933,0:01:44.699
это ведь тринадцать

0:01:44.699,0:01:47.463
это тоже самое, что тринадцать на пять. Каждое из них не является квадратом целого числа и

0:01:50.388,0:01:51.804
они оба простые числа, поэтому мы не можем упростить это как-нибудь еще.

0:01:51.804,0:01:55.467
Таким образом это равно квадратному корню

0:01:55.467,0:02:02.114
Теперь давайте найдем значения тригонометрических функций, давайте найдем значения тригонометрических функций вот этого верхнего угла. Давайте назовём его θ.

0:02:05.457,0:02:06.533
Итак, как бы вы это не делали,

0:02:06.533,0:02:09.467
вам всегда стоит записать… по крайней мере, мне помогает,

0:02:09.467,0:02:11.714
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.

0:02:11.714,0:02:13.120
soh ...

0:02:13.120,0:02:16.464
...soh cah toa. У меня сохранились смутные воспоминания

0:02:16.464,0:02:18.786
о моем

0:02:18.786,0:02:21.293
учителе по тригонометрии…А может, я прочитал это в какой-то книге. Я не знаю,знаете вы что-нибудь о

0:02:21.293,0:02:23.867
какой-то индийской принцессе по имени "Soh cah toa", или нет, но это очень полезная

0:02:26.123,0:02:27.564
мнемоника, такая что мы сможем пользоваться этой "soh cah toa". Давайте найдем...

0:02:27.564,0:02:31.046
скажем, мы хотим найти косинус. Мы хотим найти косинус нашего угла.

0:02:34.436,0:02:37.965
мы хотим найти косинус нашего угла, вы произносите:[br]"soh cah toa!"

0:02:37.965,0:02:40.800
"cah" говорит нам о том, как найти косинус.

0:02:40.800,0:02:43.027
Слог "cah" говорит нам

0:02:43.027,0:02:46.371
о том, что косинус(cosine) - это отношение прилежащего катета(adjacent) к гипотенузе(hypotenuse).

0:02:46.371,0:02:51.433
Т.е. косинус равен прилежащему катету,

0:02:51.433,0:02:55.798
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?

0:02:55.798,0:02:57.702
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.

0:02:57.702,0:03:00.767
мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь

0:03:00.767,0:03:04.761
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая прилежит к этому углу,

0:03:04.761,0:03:07.133
и не является гипотенузой -

0:03:07.133,0:03:10.473
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…

0:03:10.473,0:03:14.374
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.

0:03:15.754,0:03:17.133
Это 4

0:03:17.133,0:03:21.108
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. Таким образом это будет 4

0:03:21.108,0:03:25.380
деленное

0:03:25.380,0:03:29.142
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно

0:03:29.142,0:03:32.625
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.

0:03:35.227,0:03:39.359
И если бы вы хотели записать это без иррационального

0:03:39.359,0:03:41.634
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель

0:03:41.634,0:03:43.306
на √65.

0:03:43.306,0:03:45.094
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,

0:03:48.122,0:03:49.111
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от

0:03:52.780,0:03:54.127
иррациональности в знаменателе.

0:03:54.127,0:03:57.800
Числитель становится равен 4√65,

0:03:57.800,0:04:03.461
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.

0:04:03.461,0:04:07.130
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.

0:04:07.130,0:04:09.777
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.

0:04:09.777,0:04:12.401
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле

0:04:14.399,0:04:15.443
очень много, но они все выведены из основных

0:04:15.443,0:04:19.733
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.Опять же, обратимся к SOH CAH TOA.

0:04:19.733,0:04:25.474
SOH говорит нам о том, как найти синус.

0:04:25.474,0:04:29.200
Синус(Sine) - это

0:04:29.200,0:04:31.372
отношение противолежащего катета(opposite) к гипотенузе(hypotenuse).Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.

0:04:31.372,0:04:34.390
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?

0:04:34.390,0:04:38.430
Он находится напротив стороны 7.

0:04:38.430,0:04:41.200
Так, противолежащий катет равен 7.

0:04:41.200,0:04:44.468
Это противолежащий катет.

0:04:44.468,0:04:47.800
И гипотенуза равна √65.

0:04:47.800,0:04:51.109
И опять же, если бы мы хотели избавиться от

0:04:52.966,0:04:55.133
это на √65, деленный на √65.

0:04:55.133,0:04:59.933
на квадратный корень из шестидесяти пяти

0:04:59.933,0:05:04.298
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.

0:05:04.298,0:05:07.966
шестьдесят пять раз.

0:05:07.966,0:05:10.474
Теперь давайте найдём тангенс.

0:05:10.474,0:05:12.796
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…

0:05:12.796,0:05:14.793
Так что, если я задать вам касательной

0:05:14.793,0:05:17.394
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.

0:05:17.394,0:05:20.784
еще раз вернуться к SOH CAH

0:05:20.784,0:05:23.106
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.

0:05:23.106,0:05:24.800
Она говорит нам,

0:05:24.800,0:05:27.053
Она говорит нам, что тангенс

0:05:27.053,0:05:29.867
равен противолежащему катету деленному на прилежащий, равен противолежащему.

0:05:29.867,0:05:33.137
деленному на..

0:05:33.137,0:05:35.867
противолежащему на прилежащий

0:05:35.867,0:05:38.709
Так вот для этого угла,

0:05:38.709,0:05:41.124
что является противолежащим, мы уже выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу[br]7 -

0:05:41.124,0:05:42.533
лежит напротив 7.

0:05:42.533,0:05:46.372
Поэтому это 7 разделить на...

0:05:46.372,0:05:48.200
Это катет длиной 4 - прилежащий.

0:05:48.200,0:05:51.295
Прилежащий катет - это 4.

0:05:51.295,0:05:54.330
Поэтому это семь

0:05:54.330,0:05:56.133
и мы все сделали!

0:05:56.133,0:05:59.375
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.

0:06:00.416,0:06:02.719
Давайте сделаем ещё один пример. Я сделаю немного более конкретный пример. До сих пор мы говорили:

0:06:02.719,0:06:06.434
Чему равен tan x? Чему равен tan θ? Давайте сделаем это немного более конкретным

0:06:06.434,0:06:08.431
Скажем... .

0:06:08.431,0:06:10.799
Скажем..,давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.

0:06:10.799,0:06:13.772
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...

0:06:13.772,0:06:17.533
Сейчас мы имеем дело только с

0:06:17.533,0:06:21.109
Скажем, гипотенуза

0:06:21.109,0:06:26.357
имеет длину четыре

0:06:26.357,0:06:31.790
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.

0:06:31.790,0:06:33.462
Проверим, что это подходит.

0:06:33.462,0:06:36.467
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я напишу это внизу внизу. Два умноженное на корень квадратный

0:06:36.467,0:06:38.803
из трех в квадрате

0:06:38.803,0:06:42.471
плюс два в квадрате равно…

0:06:42.471,0:06:46.467
вот этому

0:06:46.467,0:06:49.763
четыре раза по три плюс четыре

0:06:49.763,0:06:53.478
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.

0:06:53.478,0:06:57.800
А 16 - это действительно 4².

0:06:57.800,0:07:01.790
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.

0:07:01.790,0:07:06.133
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с[br]углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,

0:07:07.781,0:07:11.450
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это

0:07:11.450,0:07:13.133
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.

0:07:13.133,0:07:15.867
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.

0:07:15.867,0:07:20.366
Этот угол - это наш угол в 30°.

0:07:20.366,0:07:23.385
И этот угол наверху - это угол в 60°.

0:07:23.385,0:07:26.125
шестьдесят градусов угол

0:07:26.125,0:07:27.797
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что

0:07:27.797,0:07:31.791
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

0:07:31.791,0:07:36.800
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на

0:07:36.800,0:07:38.432
другую сторону, не гипотенузу.

0:07:38.432,0:07:40.159
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,

0:07:43.415,0:07:46.933
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.

0:07:46.933,0:07:51.295
Если бы я у вас спросил,

0:07:51.295,0:07:54.639
Чему равен sin 30°?

0:07:54.639,0:07:58.447
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°

0:07:58.447,0:08:01.698
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол [br]30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.

0:08:01.698,0:08:05.135
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…

0:08:05.135,0:08:09.035
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный

0:08:09.035,0:08:12.133
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.

0:08:12.133,0:08:17.116
Давайте я запишу это ещё раз. SOH

0:08:17.116,0:08:22.782
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

0:08:22.782,0:08:26.358
Sin 30° - это противолежащий катет…

0:08:26.358,0:08:30.723
это противолежащий катет, который равен 2,

0:08:30.723,0:08:32.395
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.

0:08:32.395,0:08:35.646
Это 2/4, или 1/2.

0:08:35.646,0:08:40.800
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.

0:08:40.800,0:08:44.144
Теперь чему равен косинус,

0:08:44.144,0:08:46.867
то, что косинус

0:08:46.867,0:08:50.135
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:

0:08:50.135,0:08:52.643
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это[br]прилежащий катет, деленный на гипотенузу.

0:08:56.033,0:08:59.051
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,

0:08:59.051,0:09:01.791
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.

0:09:01.791,0:09:05.467
это не гипотенузы

0:09:05.467,0:09:09.129
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.

0:09:09.129,0:09:13.633
разделить на гипотенузу,

0:09:13.633,0:09:16.977
Или если мы упростим это, разделив числитель[br]и знаменатель на 2,

0:09:16.977,0:09:20.646
получится √3/2.

0:09:20.646,0:09:22.782
Наконец, давайте найдем тангенс.

0:09:22.782,0:09:27.800
Тангенс тридцать градусов

0:09:27.800,0:09:30.305
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.

0:09:30.305,0:09:31.699
SOH CAH тоа

0:09:31.699,0:09:34.800
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.

0:09:34.800,0:09:38.804
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. [br]Противолежащий - это 2.

0:09:38.804,0:09:42.101
Тангенс 30°..

0:09:42.101,0:09:46.200
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.

0:09:46.200,0:09:48.045
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.

0:09:48.045,0:09:49.439
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.

0:09:49.439,0:09:52.039
Итак, 2√3.

0:09:52.039,0:09:54.454
Значит, это равно...

0:09:54.454,0:09:56.776
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.

0:09:56.776,0:10:00.723
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..

0:10:00.723,0:10:05.367
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.

0:10:05.367,0:10:08.804
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.

0:10:12.473,0:10:15.800
Мы избавились от корня квадратного из три

0:10:15.800,0:10:17.442
Хорошо.

0:10:17.442,0:10:20.693
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы[br]найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,

0:10:20.693,0:10:22.457
так как мы его уже нарисовали.

0:10:22.457,0:10:28.328
Итак

0:10:28.328,0:10:30.166
... чему равен sin 60°? я думаю, что вы, несомненно, приобретете навык вычисления этого сейчас

0:10:30.166,0:10:34.253
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. Для угла в 60° какой катет

0:10:34.253,0:10:36.668
является противолежащим?

0:10:36.668,0:10:39.315
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.

0:10:42.566,0:10:45.306
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,

0:10:45.306,0:10:47.999
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…

0:10:47.999,0:10:50.507
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

0:10:50.507,0:10:54.315
Или 2√3 разделить на 4. 4 - это гипотенуза.

0:10:54.315,0:10:59.981
И это равно, если сократить, √3/2.

0:10:59.981,0:11:05.507
Чему равен cos 60°? cos 60°…

0:11:05.507,0:11:10.244
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

0:11:10.244,0:11:13.667
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.

0:11:13.667,0:11:17.907
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.

0:11:17.907,0:11:20.972
Т. е. это равно 1/2.

0:11:20.972,0:11:24.176
И, наконец...

0:11:24.176,0:11:27.984
Чему равен тангенс?

0:11:27.984,0:11:32.349
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

0:11:32.349,0:11:34.671
противолежащий углу в 60°.

0:11:34.671,0:11:36.400
это 2√3

0:11:36.400,0:11:38.000
2√3,

0:11:38.000,0:11:39.919
и прилежащий к этому

0:11:39.919,0:11:42.733
прилежащий к этому

0:11:42.733,0:11:44.800
Катет, прилежащий к углу в 60° -это 2.

0:11:44.800,0:11:48.650
Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.

0:11:48.650,0:11:52.644
2√3 разделить на 2, что просто равно

0:11:52.644,0:11:54.641
И я только хотел обратить ваше внимание- посмотрите какие здесь соотношение

0:11:54.641,0:11:57.984
синус 30° - это то же самое, что и косинус 60°.[br]Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.

0:12:01.333,0:12:03.966
А вот эти два парня(тангенс 60 и тангенс 30) - взаимно обратны и , я думаю, если вы немного подумаете об этом треугольнике,

0:12:05.635,0:12:07.105
вам станет ясно почему это так. Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим вам возможность еще попрактиковаться

0:12:07.105,0:12:08.461
в следующих видеоуроках.