Let's just do a ton of more examples,
just so we make sure that we're getting this trig function thing down well.
So let's construct ourselves some right triangles.
Let's construct ourselves some right triangles,
and I want to be very clear.
The way I've defined it so far, this will only work in right triangles.
So if you're trying to find the trig functions of angles that aren't part of right triangles,
we're going to see that we're going to have to construct right triangles,
but let's just focus on the right triangles for now.
So let's say that I have a triangle,
where let's say this length down here is seven,
and let's say the length of this side up here,
let's say that that is four.
Let's figure out what the hypotenuse over here is going to be.
So we know -let's call the hypotenuse, "h"-
we know that h squared is going to be equal to seven squared plus four squared,
we know that from the Pythagorean theorem,
that the hypotenuse squared is equal to
the square of each of the sum of the squares of the other two sides.
h squared is equal to seven squared plus four squared.
So this is equal to forty-nine plus sixteen,
forty-nine plus sixteen,
forty nine plus ten is fifty-nine, plus six is sixty-five.
It is sixty five. So this h squared,
let me write: h squared -that's different shade of yellow-
so we have h squared is equal to sixty-five.
Did I do that right? Forty nine plus ten is fifty nine, plus another six is sixty-five,
or we could say that h is equal to, if we take the square root of both sides,
square root
square root of sixty five. And we really can't simplify this at all.
This is thirteen.
This is the same thing as thirteen times five,
both of those are not perfect squares and
they're both prime so you can't simplify this any more.
So this is equal to the square root of sixty five.
Now let's find the trig, let's find the trig functions for this angle up here.
Let's call that angle up there theta.
So whenever you do it
you always want to write down - at least for me it works out to write down -
"soh cah toa".
soh...
...soh cah toa. I have these vague memories
of my trigonometry teacher.
Maybe I've read it in some book. I don't know - you know, some... about
some type of indian princess named "soh cah toa" or whatever,
but it's a very useful mnemonic,
so we can apply "soh cah toa".
Let's find, let's say we want to find the cosine.
We want to find the cosine of our angle.
We wanna find the cosine of our angle, you say: "soh cah toa!"
So the "cah". "Cah" tells us what to do with cosine,
the "cah" part tells us
that cosine is adjacent over hypotenuse.
Cosine is equal to adjacent over hypotenuse.
So let's look over here to theta; what side is adjacent?
Well we know that the hypotenuse,
we know that that hypotenuse is this side over here.
So it can't be that side. The only other side that's kind of adjacent to it that
isn't the hypotenuse, is this four.
So the adjacent side over here, that side is,
it's literally right next to the angle,
it's one of the sides that kind of forms the angle
it's four over the hypotenuse.
The hypotenuse we already know is square root of sixty-five.
so it's four over the square root of sixty-five.
And sometimes people will want you to rationalize the denominator which means
they don't like to have an irrational number in the denominator,
like the square root of sixty five,
and if they - if you wanna rewrite this without a irrational number in the denominator,
you can multiply the numerator and the denominator
by the square root of sixty-five.
This clearly will not change the number,
because we're multiplying it by something over itself,
so we're multiplying the number by one.
That won't change the number, but at least it gets rid of the irrational number in the denominator.
So the numerator becomes
four times the square root of sixty-five,
and the denominator, square root of 65 times square root of 65, is just going to be 65.
We didn't get rid of the irrational number, it's still there, but it's now in the numerator.
Now let's do the other trig functions
or at least the other core trig functions.
We'll learn in the future that there's actually a ton of them
but they're all derived from these.
so let's think about what the sign of theta is. Once again go to "soh cah toa".
The "soh" tells what to do with sine. Sine is opposite over hypotenuse.
Sine is equal to opposite over hypotenuse.
Sine is opposite over hypotenuse.
So for this angle what side is opposite?
We just go opposite it, what it opens into, it's opposite the seven
so the opposite side is the seven.
This is, right here - that is the opposite side
and then the hypotenuse, it's opposite over hypotenuse.
The hypotenuse is the square root of sixty-five.
Square root of sixty-five.
and once again if we wanted to rationalize this,
we could multiply times the square root of 65 over the square root of 65
and the the numerator, we will get seven square root of 65
and in the denominator we will get just sixty-five again.
Now let's do tangent!
Let us do tangent.
So if i ask you the tangent
of - the tangent of theta
once again go back to "soh cah toa".
The toa part tells us what to do with tangent
it tells us...
it tells us that tangent
is equal to opposite over adjacent
is equal to opposite over
opposite over adjacent
So for this angle, what is opposite? We've already figured it out.
it's seven. It opens into the seven.
It is opposite the seven.
So it's seven over what side is adjacent.
well this four is adjacent.
This four is adjacent. So the adjacent side is four.
so it's seven over four,
and we're done.
We figured out all of the trig ratios for theta. let's do another one.
Let's do another one.
i'll make it a little bit concrete 'cause right now we've been saying,
"oh, what's tangent of x, tangent of theta." let's make it a little bit more concrete.
Let's say...
let's say, let me draw another right triangle,
that's another right triangle here.
Everything we're dealing with, these are going to be right triangles.
let's say the hypotenuse has length four,
let's say that this side over here has length two,
and let's say that this length over here is going to be two times the square root of three.
We can verify that this works.
If you have this side squared, so you have - let me write it down -
two times the square root of three squared
plus two squared, is equal to what?
this is two. There's going to be four times three.
four times three plus four,
and this is going to be equal to twelve plus four is equal to sixteen
and sixteen is indeed four squared. So this does equal four squared,
it does equal four squared. It satisfies the pythagorean theorem
and if you remember some of your work from 30 60 90 triangles
that you might have learned in geometry,
you might recognize that this is a 30 60 90 triangle.
This right here is our right angle,
- i should have drawn it from the get go to show that this is a right triangle -
this angle right over here is our thirty degree angle
and then this angle up here, this angle up here is
a sixty degree angle,
and it's a thirty sixteen ninety because
the side opposite the thirty degrees is half the hypotenuse
and then the side opposite the 60 degrees is a squared of 3 times the other side
that's not the hypotenuse.
So that said, we're not gonna ...
this isn't supposed to be a review of 30 60 90 triangles although i just did it.
Let's actually find the trig ratios for the different angles.
So if i were to ask you or if anyone were to ask you, what is...
what is the sine of thirty degrees?
and remember 30 degrees is one of the angles in this triangle but it would apply
whenever you have a 30 degree angle and you're dealing with the right triangle.
We'll have broader definitions in the future but if you say sine of thirty degrees,
hey, this angle right over here is thirty degrees so i can use this right triangle,
and we just have to remember "soh cah toa"
We rewrite it. soh, cah, toa.
"sine tells us" (correction). soh tells us what to do with sine. sine is opposite over hypotenuse.
sine of thirty degrees is the opposite side,
that is the opposite side which is two over the hypotenuse.
The hypotenuse here is four.
it is two fourths which is the same thing as one-half.
sine of thirty degrees you'll see is always going to be equal to one-half.
now what is the cosine?
What is the cosine of thirty degrees?
Once again go back to "soh cah toa".
The cah tells us what to do with cosine.
Cosine is adjacent over hypotenuse.
So for looking at the thirty degree angle it's the adjacent.
This, right over here is adjacent. it's right next to it.
it's not the hypotenuse. it's the adjacent over the hypotenuse.
so it's two square roots of three
adjacent over...over the hypotenuse, over four.
or if we simplify that, we divide the numerator and the denominator by two
it's the square root of three over two.
Finally, let's do the tangent.
The tangent of thirty degrees,
we go back to "soh cah toa".
soh cah toa
toa tells us what to do with tangent. It's opposite over adjacent
you go to the 30 degree angle because that's what we care about, tangent of 30.
tangent of thirty. Opposite is two,
opposite is two and the adjacent is two square roots of three.
It's right next to it. It's adjacent to it.
adjacent means next to.
so two square roots of three
so this is equal to... the twos cancel out
one over the square root of three
or we could multiply the numerator and the denominator by the square root of three.
So we have square root of three over square root of three
and so this is going to be equal to the numerator square root of three and then
the denominator right over here is just going to be three.
So that we've rationalized a square root of three over three.
Fair enough.
Now lets use the same triangle to figure out the trig ratios for the sixty degrees,
since we've already drawn it.
so what is... what is the sine of the sixty degrees?
and i think you're hopefully getting the hang of it now.
Sine is opposite over adjacent. soh from the "soh cah toa".
for the sixty degree angle what side is opposite?
what opens out into the two square roots of three,
so the opposite side is two square roots of three,
and from the sixty degree angle the adj-oh sorry
its the opposite over hypotenuse, don't want to confuse you.
so it is opposite over hypotenuse
so it's two square roots of three over four. four is the hypotenuse.
so it is equal to, this simplifies to square root of three over two.
What is the cosine of sixty degrees? cosine of sixty degrees.
so remember "soh cah toa". cosine is adjacent over hypotenuse.
adjacent is the two sides, right next to the sixty degree angle.
So it's two over the hypotenuse which is four.
So this is equal to one-half
and then finally, what is the tangent?
what is the tangent of sixty degrees?
Well tangent, "soh cah toa". Tangent is opposite over adjacent
opposite the sixty degrees
is two square roots of three
two square roots of three
and adjacent to that
adjacent to that is two.
Adjacent to sixty degrees is two.
So its opposite over adjacent, two square roots of three over two
which is just equal to the square root of three.
And I just wanted to -look how these are related-
the sine of thirty degrees is the same as the cosine of sixty degrees.
The cosine of 30 degrees is the same thing as the sine of 60 degrees
and then these guys are the inverse of each other
and i think if you think a little bit about this triangle
it will start to make sense why.
we'll keep extending this and
give you a lot more practice in the next few videos.
دعونا نقوم بعدد كبير جداً من الأمثلة
و أريد أن أكون واضحاً جداً
Хайде да направим още много примери,
за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция.
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника.
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника,
като искам добре да поясня...
Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници.
Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници,
ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници,
но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници.
Да кажем, че имам един триъгълник,
при който дължината тук долу е 7,
а дължината на тази страна тук горе
е, да кажем, 4.
Нека намерим каква ще е хипотенузата ни.
Наричаме хипотенузата h – знаем,
че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат,
като знаем това от теоремата на Питагор,
която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на
корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни.
h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат.
Това е равно на 49 плюс 16,
49 плюс 16,
49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65.
Това е 65. Това е h на квадрат,
нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто –
h на квадрат е равно на 65.
Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65
или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни –
корен квадратен
от 65. И изобщо не можем да опростим това.
Това е 13.
Това е същото като 13 по 5,
като и двете от тези не са точни квадрати и
са прости числа, така че повече не можем да опростим това.
Това е равно на корен квадратен от 65.
Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук.
Нека наречем този ъгъл тита.
Когато правиш това,
винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам –
"сох ках тоа" ("soh cah toa").
сох (soh)...
...сох ках тоа (soh cah toa). Смътно си спомням
учителя си по тригонометрия.
Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква
индианска принцеса наречена Сох Ках Тоа (soh cah toa) или нещо такова,
но е много полезна мнемоника,
така че можем да приложим "сох ках тоа" (soh cah toa).
Да кажем, че искаме да намерим косинуса.
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл.
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Сох ках тоа!"
Трябва ни "ках". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса,
частта "ках" ни казва
че косинусът е прилежащият върху хипотенузата.
Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.
Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща?
Знаем, че хипотенузата
е тази страна ето тук.
Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не
е хипотенузата, това е тази, която е 4.
Прилежащата страна тук, ето тази страна,
буквално е точно до ъгъла,
тя е една от страните, която оформя ъгъла.
Това е 4 върху хипотенузата.
Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65.
Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65.
Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава,
че не искат да има ирационално число в знаменателя
като например корен квадратен от 65,
и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя,
можеш да умножиш числителя и знаменателя
по корен квадратен от 65.
Това очевидно няма да промени числото,
понеже го умножаваме по нещо върху себе си,
тоест, умножаваме числото по едно.
Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя.
Числителят става
4 по корен квадратен от 65,
а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65.
Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя.
Нека направим другите тригонометрични функции
или поне другите най-важни тригонометрични функции.
В бъдеще ще научим, че всъщност има още множество от тях,
но те произлизат от тези.
Нека помислим какъв е знакът на тита. Отново, погледни "сох ках тоа".
"Сох" ти казва какво да направиш със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.
Синусът е равен на противоположната страна върху хипотенузата.
Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата?
Коя страна е противоположна за този ъгъл?
Просто погледни в противоположна посока, той е противоположен на седмицата,
така че противоположната страна е 7.
Това тук е противоположната страна
и това е хипотенузата; противоположната страна върху хипотенузата.
Хипотенузата е корен квадратен от 65.
Корен квадратен от 65.
Отново, ако искаме да рационализираме това,
можем да умножим по корен квадратен от 65 върху корен квадратен от 65,
като в числителя ще получим 7 пъти корен квадратен от 65,
а в знаменателя просто отново ще получим 65.
Нека направим тангенса!
Нека изчислим тангенса.
Ако искам да откриеш
тангенса на тита,
отново погледни към "сох ках тоа".
Частта "тоа" ти казва какво да направиш с тангенса,
казва ни...
казва ни, че тангенсът
е равен на отсрещната страна върху прилежащата,
равен е на противоположната страна
върху прилежащата.
Коя е отсрещната за този ъгъл? Вече открихме това.
Тя е 7. Ъгълът се отваря към седмицата.
Противоположен е на седмицата.
Тоест, това е 7 върху страната, която е прилежаща.
Прилежащата страна е тази, която е 4.
Тази, която е 4, е прилежаща. Тоест, прилежащата страна е 4,
така че това е 7 върху 4
и сме готови.
Открихме всички тригонометрични съотношения за тита. Нека направим друг пример.
Нека направим още един пример.
Ще го направя малко по-точен, понеже сега просто казваме:
"какъв е тангенсът на х, тангенсът на тита?" Нека бъдем малко по-точни.
Да кажем...
Нека нарисувам друг правоъгълен триъгълник,
ето го тук.
Всичко, с което си имаме работа, ще са правоъгълни триъгълници.
Да кажем, че хипотенузата е с дължина от 4.
Да кажем, че тази страна тук има дължина от 2
и да кажем, че тази дължина тук ще е 2 по корен квадратен от 3.
Можем да се уверим, че това върши работа.
Ако имаш тази страна на квадрат – нека запиша това №
(2 по корен квадратен от три) на квадрат
плюс 2 на квадрат, на колко е равно това?
Това е 2. Ще имаш 4 по 2.
4 по 3 плюс 4,
а това ще е равно на 12 плюс 4, което е равно на 16,
а 16 всъщност е 4 на квадрат. Това е равно на
4 на квадрат, така че изпълнява Питагоровата теорема
и, ако помниш нещо от 30-60-90 триъгълниците,
което може би изучава по геометрия,
може да разпознаеш, че това е триъгълник 30-60-90.
Тази страна тук е правият ни ъгъл –
трябваше отначало да го начертая така, че да покажа, че това е правоъгълен триъгълник –
този ъгъл тук е нашият 30-градусов ъгъл,
а този ъгъл тук горе е
60-градусов ъгъл
и това е 30-60-90, понеже
противоположната на 30 градуса страна е половината от хипотенузата,
а страната, противоположна на 60-те градуса, е квадратът на 3 по другата страна,
която не е хипотенузата.
Като казахме това, няма да...
това не е преговор на триъгълниците 30-60-90, въпреки че току-що направих именно това.
Нека намерим тригонометричните съотношения за различните ъгли.
Да кажем, че някой те попита
какъв е синусът на 30 градуса.
Помни, 30 градуса е един от ъглите в този триъгълник, но това е приложимо
винаги, когато имаш 30-градусов ъгъл и работиш с правоъгълен триъгълник.
Ще имаме по-разширени определения в бъдеще, но ако просто кажеш синус на 30 градуса,
този ъгъл тук е 30 градуса, така че може да се използва този правоъгълен триъгълник
и просто трябва да си спомним "сох ках тоа".
Презаписваме го. Сох, ках, тоа.
Сох ни казва какво да правим със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.
Синусът на 30 градуса е противоположната страна,
това е тази, която е 2, върху хипотенузата.
Тук хипотенузата е 4.
Това е 2/4, което е същото като 1/2.
Синус на 30 градуса, както ще видиш, винаги ще е равен на 1/2.
Какъв е косинусът?
Какъв е косинусът на 30 градуса?
Отново, връщаме се към "сох, ках, тоа".
"Ках" ни казва какво да правим с косинуса.
Косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата.
Прилежащата към 30 градуса
е тази тук, точно до ъгъла.
Тя не е хипотенузата. Това е прилежащата страна върху хипотенузата.
Тоест, 2 корен квадратен от 3
върху хипотенузата...върху 4.
Ако опростим това, делим числителя и знаменателя на 2
и получаваме корен квадратен от 3 върху 2.
Последно, нека намерим тангенса.
Тангенсът на 30 градуса,
връщаме се към "сох ках тоа".
Сох ках тоа.
"Тоа" ни казва какво да правим с тангенса. Той е отсрещната страна върху прилежащата.
Отиваш до 30-градусовия ъгъл, понеже той ни интересува, тангенсът на 30 градуса.
Отсрещната (противоположната) е 2,
а прилежащата е 2 корен квадратен от 2.
Тя е точно до него. Тя е прилежаща.
Прилежаща означава, че е до него.
2 корен квадратен от 3,
тоест, това е равно на...двойките се изключват взаимно –
1 върху корен квадратен от 3.
Можем да умножим числителя и знаменателя по корен квадратен от 3.
Имаме корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3
и това ще е равно на – числителят ще е равен на корен квадратен от 3,
а знаменателят ще е равен просто на 3.
Така рационализирахме корен квадратен от 3 върху 3.
Добре.
Нека използваме същия триъгълник, за да намерим тригонометричните съотношения за 60-те градуса,
след като вече го начертахме.
Какъв е синусът на 60 градуса?
Надявам се, че вече започваш да разбираш.
Синусът е отсрещната върху хипотенузата – "сох" от "сох ках тоа".
Коя страна е отсрещна на 60-градусовия ъгъл?
Той гледа към 2 корен квадратен от 3,
тоест, отсрещната страна е 2 корен квадратен от 3
и от 60-градусовия ъгъл...
това е отсрещната страна върху хипотенузата.
Противоположната страна върху хипотенузата,
тоест, 2 корен квадратен от 3 върху 4. Хипотенузата е 4.
Това е равно на – това се опростява до корен квадратен от 3 върху 2.
Какъв е косинусът на 60 градуса?
Помни "сох, ках, тоа". Косинусът е прилежащата върху хипотенузата.
Прилежащата е точно до 60-градусовия ъгъл.
Той е 2 върху хипотенузата, която е 4.
Това е равно на 1/2.
Последно, какъв е тангенсът?
Какъв е тангенсът на 60 градуса?
"Сох, ках, тоа." Тангенсът е отсрещната върху прилежащата.
Отсрещната (противоположната) на 60 градуса
е 2 корен квадратен от 3.
2 корен квадратен от 3.
Прилежащата на този ъгъл
е 2.
Прилежащата на 60 градуса е 2.
Това е отсрещната страна върху прилежащата, 2 корен квадратен от 3 върху 2,
което просто е равно на корен квадратен от 3.
Просто исках да ти покажа как тези са свързани –
синусът на 30 градуса е същият като косинуса на 60 градуса.
Косинусът на 30 градуса е същият като синуса на 60 градуса,
а тези са обратни едно на друго
и ако малко повече помислиш върху този триъгълник,
ще видиш защо това е логично.
Ще продължаваме да наблягаме на това
и ще се упражняваме още в следващите няколко видеа.
Anem a fer un munt d'altres exemples,
primer cal assegurar-se de que estem entenent aquesta funció trigonomètica bé.
Anem a construir alguns triangles rectangles.
Anem a construir alguns triangles rectangles,
i vull ser molt clar.
De la manera que s'ha definit fins ara, això NOMÉS funcionarà amb triangles rectangles.
Per tant si s'intenta trobar les funcions trigonomètriques d'angles que no formen part de triangles rectangles,
veurem que hem de construir triangles rectangles,
però de moment fixem-nos únicament en triangles rectangles.
Suposem que tinc un triangle,
on, posem pel cal, que la llargada de sota és 7,
i posem que la longitud d'aquest costat d'aquí
és quatre.
Anem a veure quant valdrà la hiponenusa.
Sabem que - anomenarem a la hipotenusa "h" -
sabem que h al quadrat serà igual a set al quadrat més quatre al quadrat,
ho sabem pel teorema de Pitàgores,
Zkusme více příkladů
pro lepší pochopení trigonometrických funkcí.
Takže, zkonstruujeme několik pravoúhlých trojúhelníků.
a chci aby bylo jasné,
že základní trigonometrické funkce platí jen pro pravoúhlé trojúhelníky.
Takže pokud je budete chtít využít u obecných trojúhelníků,
uvidíte, že v nich stejně budete muset najít pravoúhlé trojúhelníky,
ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.
Řekněme, že mám trojúhelník,
ve kterém tato strana je dlouhá 7,
a délka této strany
nechť je 4.
A nyní zkusme určit délku přepony.
Takže, přeponu si označíme "h".
h na druhou se rovná 7 na druhou plus 4 na druhou.
Říká nám to Pythagorova věta,
že délka přepony na druhou se rovná
součtu druhých mocnin obou odvěsen.
h na druhou se rovná 7 na druhou plus 4 na druhou.
Takže toto se rovná 49 plus 16,
49 plus 10 je 59 plus 6 je 65.
takže h na druhou je 65,
..napíši to jiným odstínem žluté..
takže h na druhou se rovná 65.
Mám to správně? 49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65
takže h se rovná, obě strany odmocníme,
druhá odmocnina ze 65.
Toto už nemůžeme dále zjednodušit.
Tohle je totéž jako 13 krát 5,
ani jedna strana není celočíselně odmocnitelná
obojí jsou prvočísla, takže dál už to nelze zjednodušit.
Takže toto se rovná druhé odmocnině z 65.
A nyní určíme trigonometrické funkce tohoto úhlu.
Označme si tento úhel Théta.
Vždy, když používáte trigonometrii
můžete si poznamenat.. alespoň já to tak dělám..
soh cah toa
Matně si vzpomínám na svého učitele trigonometrie.
Možná jsem to viděl v nějaké knize. Nevím, znáte to?
Jedna indická princezna se jmenovala "soh cah toa", nebo tak něco...
Ale jde o velmi užitečnou mnemotechnickou pomůcku
takže použijeme "soh cah toa".
Zkusme například určit kosinus.
Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.
řeknete si "soh cah toa".
"Cah" nám říká jak spočítat kosinus,
říká, že kosinus je přilehlá proti přeponě.
(pozn., Adjacent - přilehlá, Hypotenuse - přepona)
Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.
Takže se podívejme na úhel Théta; která strana je přilehlá?
Víme, že přepona přepona je tato strana zde.
Takže ta to být nemůže. Jediná další strana, která přiléhá a
není to přepona, je tato dlouhá 4.
Takže hledaná přilehlá strana
doslova přiléhá k danému úhlu,
je to jedna ze stran, které určují úhel
takže to je 4 ku přeponě.
Již víme, že přepona je odmocnina z 65.
takže je to 4 lomeno odmocninou ze 65.
Občas lidé rádi zjednodušují zlomky
tak, aby neměli iracionální číslo ve jmenovateli
jako třeba odmocninu z 65.
Pokud to chcete upravit, tak aby nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,
můžete vynásobit čitatele i jmenovatele zlomku
odmocninou ze 65.
To samozřejmě neovlivní výsledek,
protože násobíme něčím, co vydělíme samo sebou,
takže vlastně násobíme číslem jedna.
To nezmění výsledek, ale alespoň už nemáme iracionální číslo ve jmenovateli.
Takže čitatel bude
4 krát odmocnina z 65,
a jmenovatel, odmocnina z 65 krát odmocnina z 65, to je 65.
Nyní je iracionální číslo v čitateli. Takže jsme se ho nezbavili úplně.
Nyní se podívejme na ostatní trigonometrické funkce
nebo alespoň ty základní.
Později se naučíme, že jich existuje víc,
ale všechny jsou odvozené z těchto základních.
Podívejme se nyní na sinus Théta. Opět použijeme "soh cah toa".
"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus. Sinus je protilehlá ku přeponě.
(pozn. Opposite - protilehlá)
Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.
Takže, která strana je protilehlá k tomuto úhlu?
Je to ta naproti, ke které se úhel otevírá, protilehlá je sedm.
To je zde, toto je protilehlá strana a k tomu přepona.
Je to protilehlá ku přeponě.
Přepona je odmocnina z 65.
Druhá odmocnina z 65.
A opět, pokud bychom to chtěli zjednodušit,
mohli bychom vynásobit odmocninou z 65 ku odmocnině z 65.
V čitateli dostaneme 7 krát odmocnina z 65
a ve jmenovateli bude opět 65.
Nyní zkusme tangens
Spočítáme tangens.
Takže pokud se zeptám na tangens
tangens úhlu théta
opět použijeme pomůcku "soh cah toa".
toa nám říká, jak určit tangens.
Říká nám to, že tangens
se rovná protilehlé ku přilehlé.
Která strana je protilehlá k tomuto úhlu? To jsme si již řekli.
Je to 7. Úhel se otevírá ke straně dlouhé 7.
Protilehlá je 7.
Takže je to 7 k té straně, která je přilehlá.
Tato strana, čtyřka, je přilehlá.
Tato čtyřka je přilehlá. Takže přilehlá strana je dlouhá 4
takže to je 7 ku 4
a jsme hotoví.
Určili jsme všechny trigonometrické poměry pro théta. Zkusme další.
Udělám to o trochu konkrétnější, protože dosud jsme říkali,
"co je tangens x, tangens théta." Udělejme to ještě trochu konkrétnější.
Řekněme, že...
nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,
zde je další pravoúhlý trojúhelník.
Vše, s čím pracujeme, jsou pravoúhlé trojúhelníky.
Řekněme, že přepona má délku 4,
dejme tomu, že tato strana zde má délku 2,
a dejme tomu, že tato délka zde bude 2 krát odmocnina ze 3.
Můžeme ověřit, že to funguje.
Pokud máte tuto stranu na druhou, takže máme
2 krát odmocnina ze 3 na druhou
plus 2 na druhou, to se rovná kolik?
To jsou 2. Zde bude 4 krát 3.
4 krát 3 plus 4,
to se rovná 12 plus 4, což je 16
a 16 je skutečně 4 na druhou. Takže se to rovná 4 na druhou,
Takže Pythagorova věta platí
Pokud si pamatujete něco o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90
něco z toho, co jste se naučili v geometrii,
poznáte, že toto je právě takový trojúhelník.
Zde je pravý úhel.
Jedná se o pravoúhlý trojúhelník.
Tento úhel má třicet stupňů
a pak tento úhel tady nahoře je
šedesát stupňů.
Je to třicet, šedesát a devadesát,
protože strana protilehlá k třiceti stupňům je polovina přepony
a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá odmocnina ze 3 krát druhá strana,
kterou není přepona.
Toto nemá být přehled 30 60 90 trojúhelníků, i když jsem to právě udělal.
Určeme trigonometrické poměry pro různé úhly
Takže, kdyby se vás někdo zeptal, kolik je sinus ze 30 stupňů.
30 stupňů je jeden z úhlů v tomto trojúhelníku, ale platí to
kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů a máte pravoúhlý trojúhelník.
V budoucnu budeme mít obecnější definice, ale když řeknete sinus 30 stupňů,
a tento úhel je 30 stupňů, použiji tento pravoúhlý trojúhelník,
a pouze si musíme vzpomenout na "soh cah toa".
Napišme to. soh, cah, toa.
soh nám říká, co si počít s sinem. sinus je protilehlá ku přeponě.
Sinus 30 stupňů je protilehlá strana,
to je protilehlá strana, která je 2 ku přeponě.
Přepona je 4.
Jsou to dvě čtvrtiny, což je totéž jako jedna polovina.
Sinus třiceti stupňů se tedy vždy rovná jedné polovině.
Jak je na tom kosinus?
Kolik je kosinus třiceti stupňů?
Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".
cah nám říká, co si počít s kosinem.
Kosinus je přilehlá ku přeponě.
Takže při pohledu na třicetistupňový úhel, přilehlá je tato strana.
Hned vedle úhlu.
Není to přepona. Je to přilehlá ku přeponě.
Takže jsou to dvě odmocniny ze 3
přilehlá ku přeponě, tedy ku čtyřem.
nebo, když to zjednodušíme, vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma,
je to odmocnina ze 3 ku 2.
Nakonec zkusme tangens.
Tangens třiceti stupňů,
připomeneme si "soh cah toa".
soh cah toa
toa nám říká, jak určit tangens. Je to protilehlá ku přilehlé.
Vezměte úhel 30 stupňů, protože nás zajímá tangens 30 stupňů.
Protilehlá je 2,
protilehlá je 2 a přilehlá 2 odmocniny ze 3.
Je to hned vedle. Přilehlá.
Přilehlá znamená, že je hned vedle.
Takže dvě druhé odmocniny ze 3
To se rovná.. dvojky se vykrátí
1 lomeno odmocnina ze 3
nebo můžeme vynásobit čitatele i jmenovatele odmocninou ze 3.
Takže odmocnina ze 3 lomeno odmocnina ze 3.
Čitatel se rovná odmocnině ze 3
a jmenovatel je 3.
Takže jsme dostali odmocninu ze 3 lomeno 3.
Prima.
Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení poměrů pro šedesát stupňů,
jelikož jsme to již nakreslili.
Takže kolik je sinus šedesáti stupňů?
Doufám, že už to začínáte chápat.
Sinus je protilehlá ku přeponě.
Která strana je protilehlá úhlu šedesáti stupňů?
Otevírá se proti dvěma odmocninám ze 3,
tedy dvě odmocniny ze 3 je strana protilehlá,
a z úhlu šedesáti stupňů
jde to protilehlá ku přeponě
takže je to protilehlá ku přeponě
jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno 4. 4 je přepona.
Toto zjednodušíme na odmocninu ze 3 lomeno 2.
Kolik je kosinus 60 stupňů?
Takže pamatujte kosinus je přilehlá ku přeponě.
Přilehlé jsou dvě strany, hned vedle úhlu 60 stupňů.
Takže to je to 2 ku přeponě, a ta je 4.
Takže se to rovná jedné polovině
a pak, nakonec, kolik je tangens?
Kolik je tangens 60 stupňů?
OK tangens je protilehlá ku přilehlé
protilehlá k úhlu 60 stupňů
je 2 odmocniny ze 3
2 druhé odmocniny ze 3
a přilehlá je 2.
Přilehlá k úhlu 60 stupňů je 2.
Takže protilehlá ku přilehlé, dvě odmocniny ze 3 ku 2
to se rovná jedné odmocnině ze 3.
A ještě se podívejme, jak to spolu souvisí.
Sinus úhlu 30 stupňů je stejný jako kosinus 60 stupňů.
Kosinus 30 stupňů je totéž jako sinus 60 stupňů.
Takže tyto dva jsou vzájemně inverzní
a myslím, že pokud se trochu zamyslíte nad tímto trojúhelníkem
začne to celé dávat smysl.
V dalším videu toto budeme dále rozšiřovat,
abyste získali větší praxi.
Lad os tage en masse andre eksempler,
så vi får et godt greb om de trigonometriske funktioner.
Lad os tegne nogle retvinklede trekanter.
Lad os bygge os nogle retvinklede trekanter.
og lad mig gøre det klart .
Det jeg foreløbigt har defineret gælder kun for retvinklede trekanter.
Så hvis du forsøger at finde de trigonometriske funktioner for vinkler, i andre trekanter end retvinklede
er vi nød til først at konstruere retvinklede trekanter,
men lad os holde os til de retvinklede trekanter for nu.
Så lad os sige, at jeg har en trekant
hvor lad os sige længden hernede er syv,
og længden af siden heroppe,
lad os sige den er fire.
Lad os finde ud af, hvad hypotenusen vil være.
Lad os kalde hypotenusen, "h" -
Vi ved at kvadratet af h er lig med kvadratet af syv plus kvadratet af fire.
Det har vi fra Pythagoras læresætning,
at den kvadrerede hypotenuse er lig med
summen af kvadraterne af de to andre sider.
h kvadreret er lig med syv kvadreret plus fire kvadreret.
Det er lig med 49 plus 16,
49 plus16,
49 plus ti er 59, plus 6 er 65.
Det er 65. Så det er kvadratet af h.
Lad mig skrive: h kvadreret- med en anden gul nuance,
så vi har h kvadreret er lig med 65.
Er det rigtigt ? 49 plus10 er 59, plus yderligere 6 er 65,
eller hvis vi tager kvadratroden på begge sider, så er h er lig med,
kvadratroden
kvadratroden af 65. Og det kan ikke reduceres mere.
Det er tretten.
65 er det samme som tretten gange fem,
ingen af tallene er perfekte kvadrater og
de er begge primtal, så det kan ikke gøres mere simpelt.
Så resultatet er kvadratroden af 65.
Lad os finde de trigonometriske funktioner for denne vinkel.
Lad os kalde den theta.
så når du går i gang med det
så kan du skrive - det virker i al fald for mig
"Soh cah toa"
soh
..soh cha toa. Jeg husker svagt
min trigonometrilærer.
Måske har jeg det fra en bog. Noget med
en indianerprinsesse ved navn "Soh cah toa"
men det gør det lettere at huske det,
så vi kalder på "Soh cah toa".
Lad os sige vi vil finde cosinus.
Vi ønsker at finde cosinus til vinklen.
Du siger "Soh cah toa".
cah viser os hvad cosinus er.
Cah betyder
at cosinus er lig med adjacent (hosliggende) over hypotenuse
cosinus er lig med adjacent (hosliggende) over hypotenuse
Lad os se på theta hvilken side er adjacent (hosliggende)
Vi ved at hypotenusen,
vi ved det er hypotenusen.
Så den eneste anden side som kan være adjacent til vinklen
er ikke hypotenusen , men 4.
Så den hosliggende side er den side
der bogstaveligt ligger ved siden af vinklen
siden som er vinkelens ene ben.
Det er 4 over hypotenusen.
Hypotenusen kender vi allerede som kvadratroden til 65
Så det bliver 4 over kvadratroden til 65.
Nogle foretrækker at have et rationelt tal i nævneren,
De bryder sig ikke om irrationelle tal i nævneren,
som kvadratroden af 65,
og hvis de - hvis du vil have det uden et irrationelt tal
så kan du gange tæller og nævner
med kvadratroden af 65.
Det ændrer selvfølgelig ikke på størrelsen af tallet
for når vi ganger med samme tal i tæller og nævner
så ganger vi jo tallet med 1.
Det ændrer ikke størrelsen men befrir osi for den irrationelle nævner
Så nævneren bliver
4 gange kvadratroden af 65
og nævneren; kvadratroden af 65 gange kvadratrod 65 er lig 65.
Vi blev ikke af med det irrationelle tal, men det er nu i tælleren.
Lad os fortsætte med en anden trig funktion
Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα
Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
Και θέλω να είμαι πολύ σαφής
Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.
Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου
θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα
Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο
όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς
είναι 4
Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας
Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"
Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4
αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το
το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών
το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4
δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)
49 συν 16
σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε
Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h
Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα
έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε
Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε
ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών
τετραγωνική ρίζα
η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω
αυτή είναι δέκα τρία
Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε
και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα
και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.
Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.
Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ
Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ
Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό
εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-
ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ
ημ
Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης
από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία
Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;
Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο
αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης
έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο
Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ
Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"
το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥΠΥΠΑ" μας λέει
ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη
καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα
ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά
Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή
δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα
Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά
είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία
είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία
το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα
Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής
δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή
όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή
μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή
με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό
επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του
δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα
αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή
έτσι ο αριθμητής γίνεται
τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.
Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή
τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις
Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές
αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές
Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)
Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα
Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)
Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;
Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά
επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά
Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά
και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)
Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε
Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !
Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη
Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη
την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)
για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη
αυτό μας λέει
αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη
είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς
είναι ίση με την απέναντι πάνω
η απέναντι πάνω από την παρακείμενη
Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι
είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά
Η απέναντι είναι επτά
Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά
καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη
Αυτή η πλευρά 4είναι η παρακείμενη. Έτσι η παρακείμενη πλευρά είναι τέσσερα.
΄Ετσι είναι ο λόγος τέσσερα πρός επτά (4/7)
και έτσι έχουμε τελειώσει
Υπολογίσαμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας θ
Ας κάνουμε ακόμη μία
Θα κάνουμε αυτό λίγο πολύ σαφές.
"ΠΑ" ποιά είναι η εφαπτομένη της γωνίας χ, ποία η εφαπτομένη της γωνίας θ. Ας το κάνουμε αυτό ποίο σαφές
Ας πούμε
Ας πούμε. Ας μου επιτρέψετε να σχεδιάσω άλλο ένα ορθογώνιο τρίγωνο
Αυτό εδώ είναι ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο
Κάθε τι που θα εξετάσουμε, αυτό θα αφορά ορθογώνια τρίγωνα
Ας υποθέσουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος τέσσερα
Ας υποθέσουμε αυτή εδώ η πλευρά έχει μήκος δύο
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος αυτής εδώ της πλευράς θα είναι ίση με δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
Μπορεί να επιβεβαιώσουμε ότι αυτό εδώ είναι σωστό;
Αν πάρουμε το τετράγωνο αυτής εδώ της πλευράς, θα έχουμε, ας το γράψουμε
δυο φορές το τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας του τρία
συν το τετράγωνο του δυο, το οποίο είναι ίσον με τι;
αυτό είναι δύο. Αυτό θα είναι τέσσερες φορές το τρία
τέσσερες φορές το τρία συν τέσσερα
και αυτό εδώ θα είναι ίσο με δώδεκα συν τέσσερα που είναι ίσο με δέκα έξι
και το δέκα έξι είναι πραγματικά το τετράγωνο του τέσσερα. Δηλαδή αυτό είναι ίσον με το τετράγωνο το τέσσερα.
και αυτό μα κάνει το τετράγωνο του τέσσερα. Αυτό δηλαδή ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα
και αν θυμάστε κάποιες από τις εργασίες σας από τις γωνίες των 30,60 και 90 μοιρών
που μπορεί να έχετε μάθει στην γεωμετρία
ίσως θα μπορέσετε να αναγνωρίσετε ότι αυτό εδώ είναι ένα τρίγωνο με γωνίες 30, 60 και 90 μοιρών.
Αυτή η δεξιά γωνία είναι η γωνία των ενενήντα μοιρών
θα μπορούσα να έχω πάει να ζωγραφίσω αυτό το τρίγωνο αντί να πάω να αποδείξω ότι αυτό εδώ είναι ορθογώνιο τρίγωνο
αυτή εδώ η γωνία είναι γωνία τριάντα μοιρών
και αυτή εδώ η γωνία είναι, επάνω εδώ
είναι γωνία εξήντα μοιρών
και είναι τριάντα δεκαέξι ενενήντα επειδή
η πλευρά απέναντι από την γωνία των τριάντα μοιρών είναι η μισή από την υποτείνουσα
και τότε η πλευρά απέναντι από την γωνία των εξήντα μοιρών είναι ίση με το τρία επί το τετράγωνο του μήκους της άλλης πλευράς
αυτή εδώ δεν είναι η υποτείνουσα
Έτσι αυτό μας λέει ότι δεν τα καταφέραμε
αυτό υποθέτουμε δεν είναι μια επανάληψη του τριγώνου με γωνίες τριάντα, εξήντα, και ενενήντα μοιρών
Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των διαφορετικών γωνιών
Έτσι αν είχαμε να ρωτήσουμε εσάς ή οποιοδήποτε άλλον τι είναι
το ημίτονο των τριάντα μοιρών
και να θυμάστε γωνία 30 μοιρών είναι μία από τις γωνίες σε αυτό το τρίγωνο άρα θα πρέπει να ισχύει
κάθε φορά που έχεις γωνία τριάντα μοιρών και ασχολείσαι με ορθογώνια τρίγωνα
Θα έχουμε ευρύτερη ορισμούς στο μέλλον, αλλά αν πεις ημίτονο τριάντα μοιρών
Ουάου, αυτή εδώ η γωνία είναι τριάντα μοιρών, έτσι θα μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την ορθή γωνία
και έτσι θα πρέπει να θυμάμαι "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Γράφουμε αυτό . "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
"το ημίτονο μα λέει" (διόρθωση) το ΑΥ μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο, το ημίτονο είναι ίσο με την απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας
το ημίτονο γωνίας τριάντα μοιρών είναι η απέναντι πλευρά
αυτή είναι η απέναντι πλευρά η οποία είναι ίση με δύο δια της υποτείνουσας
Η υποτείνουσα εδώ είναι ίση με τέσσερα
είναι ίση με δύο τέταρτα που είναι το ίδιο με ένα δεύτερο
το ημίτονο των τριάντα μοιρών θα δείς ότι πάντα είναι ίσο με ένα δεύτερο
και τώρα με τι είναι ίσο το συνημίτονο
ποιό είναι το συνημίτονο των τριάντα μοιρών;
και πάλι ας πάμε πείσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
το "ΠΥ" μας λέει τι θα κάνουμε για το συνημίτονο
Το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης δια της υποτεινούσης
Έτσι όταν κοιτάζουμε την γωνία των τριάντα μοιρών αυτή η πλευρά είναι η παρακείμενη
Αυτή εδώ η πλευρά είναι η παρακείμενη. είναι αμέσως μετά
δεν είναι η υποτείνουσα. είναι η παρακείμενη δια της υποτείνουσας
είναι δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
η παράπλευρη δια της υποτείνουσας η παράπλευρη δια τέσσερα
ή αν θέλουμε να απλοποιήσουμε αυτό διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με δυο
είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
Τέλος ας βρούμε την εφαπτομένη
η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών
πάμε πάλι πείσο στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
"ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε για να υπολογίσουμε την εφαπτομένη
πηγαίνουμε στην γωνία των τριάντα μοιρών γιατί αυτή είναι η γωνία που ενδιαφερόμαστε να βρούμε την εφαπτομένη
η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών. Η απέναντι είναι δύο
η απέναντι είναι δύο και η παράπλευρη είναι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία
Είναι στην συνέχεια αυτής. Είναι παράπλευρη αυτής
Παράπλευρος σημαίνει αμέσως μετά
έτσι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία
έτσι αυτό είναι ίσο με ότι μένει αν απλοποιήσουμε τα δύο
ένα δια της τετραγωνικής ρίζας του τρία
ή μπορεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του τρία
Έτσι έχουμε τετραγωνική ρίζα του τρία δια τετραγωνική του τρία επί τετραγωνική ρίζα του τρία
έτσι θα είναι ο αριθμητής ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία
και ο παρανομαστής θα είναι ίσον με τρία
έτσι η απλοποίηση που κάναμε μας έδωσε την τετραγωνική ρίζα του τρία δια τρία
Αρκετά καλά
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το ίδιο τρίγωνο για να υπολογίσουμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την γωνία των εξήντα μοιρών
μια και έχουμε Ίδη ζωγραφίσει αυτό
έτσι ας δούμε ... ποιο είναι το ημίτονο των εξήντα μοιρών;
και νομίζω ότι μπορείτε επιτυχώς να βρείτε αυτό τώρα.
Μια και αυτό είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
για την γωνία των εξήντα μοιρών ποία είναι η απέναντι πλευρά;
αυτό που προκύπτει είναι δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία
δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι ίση με δύο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
και από την γωνία των εξήντα μοιρών η παρακείμενη πλευρά ουαου λάθος
είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας
έτσι είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας
επομένως είναι δύο επί τετραγωνική ρίζα του τρία δια τέσσερα. Τέσσερα είναι η υποτείνουσα.
επομένως είναι ίσον μετά την απλοποίηση, με τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
Και τώρα ποιό είναι το συνημίτονο των εξήντα μοιρών; το συνημίτονο των εξήντα μοιρών.
ας θυμηθούμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Το συνημίτονο είναι η παράπλευρη δια της υποτείνουσας
παρακείμενη πλευρά είναι πλευρά μήκους δύο, η κάθετη πλευρά που ορίζει την γωνία των εξήντα μοιρών
Επομένως αυτό είναι δύο δια της υποτείνουσας που είναι τέσσερα
Δηλαδή αυτό είναι ίσο με το εν δεύτερο
και τελικά πόσο είναι η εφαπτομένη;
πόσο είναι η εφαπτομένη των εξήντα μοιρών;
Καλά γνωρίζουμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Η εφαπτομένη είναι απέναντι πλευράς δια της παρακείμενης
η απέναντι πλευρά από την γωνία των εξήντα μοιρών
είναι ίση με δύο επί την τετραγωνική ρίζα του τρία
δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία
και η παρακείμενη σ' αυτή
η παρακείμενη σ' αυτή είναι ίση με δύο.
Η παρακείμενη πλευρά στην γωνία των εξήντα μοιρών είναι δύο.
Έτσι η απέναντί δια της παρακείμενης είναι, δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
η οποία είναι ακριβώς ίση με την τετραγωνική ρίζα του τρία
Και τώρα θέλουμε να δούμε πως αυτές σχετίζονται.
Το ημίτονο των τριάντα μοιρών είναι ίσον με το συνημίτονο των εξήντα μοιρών
Το συνημίτονο των 30 μοιρών είναι το ίδιο με το ημίτονο των 60 μοιρών
και αυτό μας οδηγεί να δούμε ότι το ένα είναι αντίστροφό του άλλου
και νομίζω αν σκεφτείτε λίγο για αυτό το τρίγωνο
αυτό αρχίζει να έχει νόημα. Γιατί;
θα συνεχίσουμε να επεκτείνουμε αυτό
δίνοντας σας περισσότερες ασκήσεις πρακτικής στα επόμενα βίντεο
that from the Pythagorean theorem,
a un medio
ambos lados
aunque lo acabo de hacer.
cah
de sesenta grados.
de sesenta y cinco.
digamos que este lado de aquí
dos, esto será cuatro por tres
el coseno
es dos
la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
la raíz cuadrada de tres.
la raíz de sesenta y cinco
la tangente
mide dos
más dieciséis,
o si alguien te preguntara cuánto es
raíz cuadrada de tres
sobre
sobre cuatro
sobre hipotenusa, sobre cuatro
sobre la hipotenusa.
sobre raíz cuadrada de tres
sobre tres
sobre... el lado adyacente
son triángulos rectángulos
toa
treinta grados
un medio
Hagamos unos ejemplos más para comprobar que estamos
entendiendo bien esta función trigonométrica.
Vamos a construir unos cuántos triángulos rectángulos.
Construyámonos algunos triángulos rectángulos, y quiero dejar muy clara la forma en que
lo he definido hasta ahora así que si estás intentando encontrar las funciones
trigonométricas de ángulos que no son de triángulos rectángulos, veremos que
necesitaremos construir triángulos rectángulos, pero centrémonos en los triángulos rectángulos por ahora.
Digamos que tengo un triángulo y que este lado de aquí abajo es siete,
y digamos que este lado de aquí arriba es cuatro.
Averigüemos cuánto valdrá esta hipotenusa de aquí. Sabemos
-llamemos a la hipotenusa "h"-
sabemos que "h" al cuadrado será igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado,
lo sabemos por el teorema de Pitágoras,
que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
"h" al cuadrado es igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado.
Así que es igual a cuarenta y nueve
cuarenta y nueve más dieciséis,
cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más seis es
sesenta y cinco. Es sesenta y cinco así que esta "h" al cuadrado
escribo: "h" al cuadrado
-es otro tono de amarillo- así que tenemos que "h" al cuadrado es igual a
sesenta y cinco. ¿Lo he hecho bien? Cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más otros seis
es sesenta y cinco, o podríamos decir que "h" es igual a, si tomamos la raíz cuadrada de
raíz cuadrada
raíz cuadrada de sesenta y cinco. Y no lo podemos simplificar en absoluto
esto es trece
así que es lo mismo que trece por cinco, ninguno de ellos es un cuadrado perfecto y
ambos son primos, así que no podemos simplificar más.
Esto es igual a la raíz cuadrada
Ahora encontremos las funciones trigonométricas para este ángulo de aquí arriba. Llamemos a éste angulo de aquí arriba theta.
Así que cuando lo hagas
siempre querrás escribir -al menos a mí me funciona escribirlo-
"soh cah toa" ("soh cah toa")
soh (soh)
soh cah toa (soh cah toa). Tengo un vago recuerdo
de mi
profesor de trigonometría, tal vez lo leí en algún libro, no lo recuerdo - sobre
una princesa india llamada "soh cah toa" o algo así, pero es muy útil
mnemotécnicamente, así que podemos usar "soh cah toa". Encontremos
digamos que queremos encontrar el coseno. Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo.
Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo, dices: "¡soh cah toa!"
Así que el "cah". "Cah" nos dice qué hacer con el coseno,
el "cah" nos dice
que el coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
El coseno es igual al adyacente
Veamos la theta, ¿qué lado es el adyacente?
Bueno, sabemos que la hipotenusa
sabemos que la hipotenusa es este lado de aquí
así que no puede ser ése lado. El único otro lado que es adyacente y que no es
la hipotenusa, es este cuatro.
Así que el lado adyacente de aquí, este lado está,
está literalmente pegado junto al ángulo, es uno de los lados que forma el ángulo
es cuatro
La hipotenusa que ya conocemos es la raíz cuadrada de sesenta y cinco, así que es cuatro
sobre
A veces querrán que racionalices el denominador lo que significa que no les gusta
tener un número irracional en el denominador, como la raíz de sesenta y cinco
y si quieren que reescribas esto sin un
número irracional en el denominador, puedes multiplicar el numerador y el denominador
por la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
Esto no cambiará el valor numérico, porque estamos multiplicando y dividiendo por lo mismo, así que
multiplicando el número por uno. Eso no cambiará el número, pero al menos nos libra del
número irracional del denominador. Así que el numerador se convierte
en cuatro por raíz de sesenta y cinco, y el denominador,
raíz cuadrada de sesenta y cinco por raíz cuadrada de sesenta y cinco, que simplemente es sesenta y cinco.
No nos hemos librado del número irracional, todavía está ahí, pero ahora en el numerador.
Ahora calculemos el resto de funciones trigonométricas
o al menos las otras funciones trigonométricas principales. Veremos más adelante que hay un montón
de funciones, pero que todas se derivan de éstas
así que pensemos cuál es el seno de theta. De nuevo miremos el "soh cah toa"
el "soh" nos dice qué hacer con el seno. Seno es el opuesto sobre la hipotenusa.
Seno es igual a
opuesto sobre hipotenusa. Seno es opuesto sobre hipotenusa.
¿Cuál es el lado opuesto para este ángulo?
Simplemente vamos al opuesto del ángulo, aquél al que se abre, es opuesto al de siete
así que el opuesto es el siete.
Este de aquí - este es el lado opuesto
y luego
la hipotenusa, es el opuesto sobre la hipotenusa. La hipotenusa es
y de nuevo si queremos racionalizar esto, podemos multiplicar por la raíz de sesenta y cinco
sobre la raíz de sesenta y cinco
y en el numerador, obtendremos siete por la raíz de sesenta y cinco y en el denominador tendremos
simplemente sesenta y cinco otra vez.
¡Ahora hagamos la tangente!
Hagamos la tangente.
Si pregunto la tangente
de - la tangente de theta
volvemos a "soh cah toa"
el "toa" nos dice qué hacer con la tangente
nos dice
nos dice que la tangente
es igual al opuesto sobre el adyacente. Es igual al opuesto
sobre
opuesto sobre adyacente
así que para este ángulo
el opuesto ya lo hemos encontrado antes, es el siete, que se abre al siete
el siete
así que es siete
el cuatro es el adyacente
este cuatro es adyacente así que el lado adyacente es cuatro
así que es siete
y ya está.
Como hemos encontrado todas las razones trigonométricas de theta hagamos otro
hagamos otro. Voy a hacerlo algo más concreto porque ahora mismo hemos estado diciendo
tangente de x, tangente de theta. Hagámoslo algo más concreto
digamos
déjame dibujar otro triángulo rectángulo
esto es otro triángulo rectángulo
lo único con lo que vamos a trabajar
digamos que la hipotenusa
mide cuatro
y digamos que esta distancia de aquí será el doble de la raíz de tres,
podemos verificarlo
si elevamos al cuadrado este lado, déjame escribirlo... dos por la raíz cuadrada
de tres al cuadrado
más dos al cuadrado es igual a
esto es
cuatro por tres más cuatro
será igual a doce más cuatro igual a dieciséis y dieciséis es
cuatro al cuadrado, así que esto es igual a cuatro al cuadrado.
Si es igual a cuatro al cuadrado satisface el teorema de Pitágoras
y si recuerdas algo de los triángulos de treinta sesenta noventa sobre los que puede que hayas
aprendido en geometría, puede que reconozcas que este
es un triángulo treinta sesenta noventa y que este de aquí es el ángulo rectángulo que debería
haber dibujado desde el principio para marcar que es un triángulo rectángulo
este ángulo de aquí es nuestro ángulo de treinta grados
y este ángulo de aquí arriba, este ángulo es
un ángulo de sesenta grados
y es un triángulo treinta sesenta noventa porque
el lado opuesto al de treinta grados es la mitad de la hipotenusa
y que además el lado opuesto al de sesenta grados es el cuadrado de tres por el otro lado
no es la hipotenusa
y eso es todo. Esto no pretende ser un repaso de los triángulos treinta sesenta noventa
Así que vamos a encontrar las razones trigonométricas de los diferentes ángulos
así que si te pregutara
cuánto es el seno de treinta grados
y recuerda que treinta grados es uno de los ángulos en este triángulopero esto es aplicable
siempre que tengas un ángulo de treinta grados y estés tratando con un triángulo rectángulo
tendremos definiciones más amplias en el futuro, pero si tienes seno de treinta grados
y este ángulo de aquí es de treinta grados así que puedo usar este triángulo rectángulo
y solo tenemos que recordar soh cah toa
reescribirlo de forma que
soh nos dice qué hacer con el seno. Seno es opuesto sobre hipotenusa
seno de treinta grados es el lado opuesto
que es el lado opuesto que es dos
sobre la hipotenusa. Aquí la hipotenusa es cuatro.
Es dos cuartos que es lo mismo que un medio
seno de treinta grados serás que siempre será igual
ahora, cuánto vale
cuánto es el coseno de
de nuevo volvemos a soh cah toa.
Cah nos dice qué hacer con el coseno. Coseno es adyacente sobre hipotenusa
así que para el ángulo de treinta grados es el adyacente. Este de aquí es
el adyacente, está justo al lado
no es la hipotenusa
es el adyacente sobre la hipotenusa así que es dos
adyacente
o si simplificamos dividiendo numerador y denominador por dos es la raíz cuadrada de tres
sobre dos
finalmente hacemos
tangente de treinta grados
volvemos a soh cah toa
soh cah toa
toa nos dice qué hacer con la tangente, es el opuesto sobre el adyacente
vamos al ángulo de treinta grados porque es lo que nos interesa, tangente de treinta
tangente de treinta, el opuesto es dos
el opuesto es dos y el adyacente es dos raíz cuadrada de tres que está justo al lado.
El adyacente
adyacente significa justo al lado
así que dos raíz cuadrada de tres
así que esto es igual a
los dos se cancelan, uno sobre raíz cuadrada de tres
o podemos multiplicar numerador y denominador por la raíz cuadrada de tres
así que tenemos
así que esto será igual al numerador, raíz cuadrada de tres, y luego el denominador
justo aquí será tres porque hemos racionalizado la raíz cuadrada de tres
Ahora usemos el mismo triángulo para encontrar las razones para el ángulo de sesenta
como ya lo tenemos dibujado
cuánto es
cuánto es el seno de sesenta grados y creo que ya le estás cogiendo el tranquillo
seno es el opuesto sobre el adyacente. Soh de soh cah toa. Del ángulo de sesenta grados qué lado
es el opuesto
cuál se abre a las dos raíces cuadradas de tres de forma que el lado opuesto es dos por raíz cuadrada de tres
y del ángulo de sesenta grados, el ady- oh perdón, es el
opuesto sobre la hipotenusa, no quiero confundirte.
Así que es el opuesto sobre la hipotenusa
así que es dos por raíz cuadrada de tres sobre cuatro, cuatro es la hipotenusa,
así que es igual a, esto se simplifica a raíz cuadrada de tres sobre dos.
Cuánto es el coseno de sesenta grados. Cosenos de sesenta grados.
Recuerda, soh cah toa. Coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
Adyacentes son los dos lados junto al ángulo de sesenta grados así que es dos
sobre la hipotenusa, que es cuatro,
así que es igual a
y finalmente
cuánto es la tangente, cuánto es la tangente
Soh cah toa, tangente es opuesto sobre adyacente
opuesto de sesenta grados
es dos raíz cuadrada de tres
dos raíz cuadrada de tres
y adyacente a ese
adyacente a ese
el adyacente a sesenta grados es dos
así que el opuesto sobre el adyacente
dos por raíz de tres dividido por dos, lo cuál es igual a
Solo quiero que veamos cómo están relacionados
el seno de treinta grados es lo mismo que el coseno de sesenta grados. El coseno de treinta grados es lo mismo que el seno de sesenta grados
y entonces estos son el inverso el uno del otro y creo que si piensas un poco acerca de este triángulo
empezará a cobrar sentido el porqué. Seguiremos expandiendo esto y practicando más en
los próximos vídeos
Teeme nüüd rohkem näiteid,
et uurida mida trigonomeetria funktsioonid teevad.
Teeme ise mõned täisnurksed kolmnurgad
ja tahame selgeks teha.
Viis, kuidas olen siiani määratlenud, töötab vaid täisnurksete kolmnurkade peal.
Seega, kui proovida leida trigonomeetrilisi funktsioone nurkades, mis pole täisnurkade osas
on tarvis näha et peame täisnurki koostama,
kuid praegu keskendume täisnurkadele.
Olgu mul on mingi kolmnurk,
kus selle alumise külje pikkus olgu 7,
ja vertikaalse külje pikkus siin,
olgu 4,
Vaatame, mis see hüpotenuus siin üleval oleks. Nii et me teame
Seega teame, olgu hüpotenuus h.
Teame et h^2=7^2+4^2
Pythagorose teoreemi järgi,
et hüpotenuusi ruut on võrdne
mõlema kaateti ruutude summaga.
h^2=7^2+4^2
Nii et see on 49
49+16
49+10=59, 59+6=..
..=65. Nii et h^2=65.
Las ma kirjutan: h ruudus -see teistsugune kollane
nii et meil h ruudus on võrdne 65-ga
Kas ma tegin seda õigesti? 49+10=59, pluss veel 6, saame 65
võime öelda, et h on sama, kui me võtame kahe kaatedi ruudu summa
ruutjuure
√65. Ja me ei saa seda lihtsustada üldse.
Sama lugu arvuga 13,
et kui võtta 13*5,
millest kumbki pole ruudud,
nad on mõlemad algarvud, nii et seda ei saa enam lihtsustada.
Nii et on võrdne arvuga √65
Nüüd leiame trigonomeetrilised funktsioonid selle ülemise nurga jaoks siin üleval. Kutsume seda nurka siin üleval teetaks.
Olgu see ülemine nurk theta
Nii et kunas iganes sa seda teed
sa peaks alati üles kirjutama - vähemalt minu jaoks see töötab, kui ma kirjutan üles -
meeldejätmiseks taas võtmesõnad "SVH CLH TVH".
SVH - Siinus=Vastaskaated/Hüpotenuus, KLH - Koosiinus=Lähiskaated/Hüpotenuus, TVH - Koosiinus=Vastaskaated/Lähiskaated
..SVH KLH TVH,
Trigo õpetajast mäletan või..
..ma lugesin seda nippi mingist raamatust,
milles kirjutatakse India printsessist nimega "soh cah toa" või mida iganes,
on kasulik nipp,
mida meeldejätmise juures rakendada.
oletame,
Tahame leida nurga koossiinust.
Koossiinuse leidmiseks ütleme "SVH KLH TVL!".
Nii et "KLH" ütleb,
mida koossiinusega teha,
KLH....
..."Koossiinus=Lähiskaated jagatud Hüpotenuus".
Nii et vaatame siiapoole, teeta poole; mis külg on lähskülg?
Noh, me teame, et hüpotenuus
me teame, et hüpotenuus on see külg siin
nii et see ei saa olla see külg. Ainuke külg, mis on selle lähiskülg, mis
ei ole hüpotenuus, on see 4.
Nii et lähiskülg siin, see külg on,
see on konkreetselt nurga kõrval,
see on üks nendest külgedest, mis moodustab nurga
see on 4
Hüpotenuus, me juba teame on √65,
nii et 4 on √16
Ja mõnikord inimesed tahavad, et sa ratsionaliseeriksid nimetaja, mis tähendab, et neile ei meeldi
irratsionaalsed numbrid nimetajas
nagu √65
ja kui nad -- kui sa tahad seda ümber kirjutada ilma
irratsionaalse numbrita nimetajas, sa võid korrutada lugejat ja nimetajad
arvuga √65.
See ilmselgelt ei muuda numbrit,
sest me korrutame seda millegagi, mis on jagatud iseendaga, nii et
me korrutame 1-ga.
See ei muuda numbrit, aga see vähemalt saame irratsionaalsest nimetajast lahti.
Nii et lugejast saab
4 korda √65,
ja nimetaja , √65*√65=65.
Me ei saanud lahti irratsionaalsest numbrist, see on ikka seal, aga see on nüüd lugejas.
Nüüd teeme teisi trigonomeetrilisi funktsioone
või vähemalt põhifunktsioone.
Me õpime tulevikus, et neid on terve hunnik,
aga nad on nendest
funktsioonidest tuletatud. Seega mis teeta tähendab. Kasutame taas fraasi "SVH KLH TVL",
SVH ütleb, et
Siinus=Vastaskaated/Hüpotenuus.
Nii et selle nurga jaoks milline külg on vastaskülg?
Me lähme selle vastu, mille poole see avaneb, see avaneb 7 poole
nii et vastaskaated on 7.
See siin - see on vastaskaated
ja siis üpotenuus, vastaskaated jagatud hüpotenuus
hüpotenuus on √65
ja jällegi, kui me tahaks seda ratsionaliseerida,
siis me saaksime seda korrutada arvuga √65
jagatud arvuga √65.
ja lugejas 7√65
ja nimetajas lihtsalt 65.
Nüüd leiame tangensi.
Asume tangensi juurde.
Kui ma küsiks teilt tangesit
Tangens theta..
taas fraas "SVH KLH TVL".
TVL ütleb,
mida ütleb...
.. see ütleb meile
Tangens=..
..=Vastaskaated/Lähiskaated,
Seega Tangens=Vastaskaated/Lähiskaated.
Nii et selle nurga jaoks,
See on 7,
Vastaskaated on 7
Nii et see on 7
Ja lähiskaated 4.
see 4 on lähiskülg, nii et lähiskülg on 4.
Seega 7/4,
ja meil on kõik tehtud!
Me leidsime kõik teeta trigonomeetrilised funktsiooni,
teme veel ühe.
Ma teen natuke rohkem konkreetse näite. Siiani oleme öelnud:
mis on x-i tangens, teeta tangens. Teeme selle pisut konkreetsema.
Ütleme,
Ütleme, las ma joonistan teise täisnurkse kolmnurga,
see on teine täisnurkne kolmnurk siin
kõik, millega me tegeleme,
Ütleme, et hüpotenuusi
pikkus on neli.
Ja ütleme, et see külg siin on 2√3, me saame
kinnitada, et see töötab.
Kui sul on see külg ruudus, nii et sul, las ma kirjutan selle üles,
(2√3)^2+2...
...on võrdne millega?
See on
4*3+4
ja see võrdub 12 pluss 4 on võrdne 16-ga ja 16 on tõesti
4 ruudus, nii et see tõesti võrdub 4 ruudus.
See tõesti võrdub 4 ruudus, nii et see rahuldab Pythagorose teoreemi
ja kui sa mäletad oma tööd 30, 60, 90-ste kolmnurkadega,
mida sa võisid geomeetrias õppida,
siis sulle võib see tuttav tunduda, et see
on 30, 60, 90-ene kolmnurk, see siin on meie täisnurk, ma oleksin pidanud
selle joonistama juba alguses, et näidata, et see on täisnurkne kolmnurk.
See nurk siin on meie 30° nurk
ja see nurk siin üleval, see nurk siin üleval on
60° nurk.
Ja see on 30°, 60°, 90°, sest
30° nurga vastaskaated on pool hüpotenuusi
ja siis 60° nurga vastaskaated on √3 teiset küljest
mis ei ole hüpotenuus
nii et see on see, me ei,
see ei pidanud olema 30, 60, 90-ne kolmnurkade ülevaade
Asume õige erinevate erinevate nurkade trigonomeetriliste seoste juurde.
Nii et kui ma küsiksin sult
mis on 30° siinus?
Ja pidage meeles, et 30° on üks selle kolmnurga nurkades, aga see sobib
kunaiganes sul on 30° nurk ja sul on tegemist täisnurkse kolmnurgaga.
Meil on laiemad definitsioonid tulevikus, aga kui sa ütled 30° siinus
hey, see nurk siin on 30° ja ma saan kasutada täisnurkset kolmnurka
ja meil on meeles "SVH KLH TVL"
Las ma kirjutan seda uuesti. SVH
SVH Siinus=Vastaskaated/Hüpotenuus.
Antud juhul Siinus 30°
on vastaskülg pikkusega 2..
..jagatud hüpotenuusiga pikkusega 4.
Seega 2/4 = 1/2.
Seega sin 30° on alati võrdne poolega
Nüüd,..
..mis on 30° koossiinus
Jällegi mine tagasi fraasi "SVH KLH TVL" juurde.
KLH ütleb meile...
.. et Koossiinus=Lähiskaated/Hüpotenuus
Nii et kui me vaatame 30°-st nurka, siis see on lähiskülg, see siin on
lähiskülg, kohe selle kõrval
Seega lähiskaatet jagud hüpotenuusiga
ehk √3/2
lähiskülg
või kui me lihtsustame seda, me jagame lugeja ja nimetaja 2-ga,
siis see on √3/2.
Lõpuks leiame
30° tangensi.
Meelde tuletamiseks taas
"SVH KLH TVL",
kus TVL ütleb Tangens=Vastaskaated/Lähiskaated.
Me lähme 30°-se nurga juurde, sest see huvitab meid, 30° tangens,
30° tangens. Vastaskülg on 2
ja lähiskülg on 2√3,
mis on lähiskaateti kõrval,
Lähis - tähendab, et ta asub kõrval.
Seega 2 √ 3,
nii et pärast kahtede taandamist saame
1 / √ 3.
Me võime korrutada lugeja ja nimetaja √ 3-ga,
nii et meil on
lugejaks √3
ja nimetajaks 3
Seega oleme ratsionaliseerinud arv √3.
Hea küll.
Nüüd kasutame seda sama kolmnurka leidmaks trigonomeetrilisi suhteid 60°-ste nurkade jaoks,
kuna me oleme selle juba joonistanud.
Nii et, mis on siinus 60°-st,
ja ma arvan, et sa saad sellele juba pihta.
Ja siinus on vastaskaated jagatud hüpotenuus (SVH).
60°-se nurga jaoks vastaskaated on?
Mis avaneb 2√3 poole,
nii et vastaskülg on 2√3
ja 60° nurga lähiskaated...
vabandust ikka vastaskaated..
Nii et see on vastaskaated jagatud hüpotenuusiga.
Nii et see on (2√3)/4. 4 on hüpotenuus.
Pärast lihtsustamist saame √3/2.
Mis on 60° koosinus? 60° koosinus.
Tuletades meelde fraasiga "SVH KLH TVL". KLH: Koosinus=Lähiskaatet/Hüpotenuus.
60° nurga lähiskaatet on 2.
Selle jagame hüpotenuusiga pikkusega 4.
Seega saame 1/2
Ja lõpuks tangens.
Mis on tangens? Mis on 60°
Ja tangens, "SVH KLH TVL": TVL-Tangens=Vastaskaatet/Lähiskaatet.
60°-se nurga
vastaskaated on
2√3
ja lähiskaated,
...vastaskaated seega
seega on 2.
Nii et see on vastaskülg jagatud lähisküljega.
2√3/2-ga, mis on
pärast kahtede taandamist √3.
siinus 30 ° = koosinus 60 °
Koosinus 30° = siinus 60°.
Aga need kaks on üksteise pöördväärtused
ja ma arvan, et kui sa natukene mõtled selle kolmnurga peale
saad sa aru miks.
Edaspidi me laiendame teemat ja
anname sulle palju rohkem, mida praktiseerida järgmises videotes.
Tehdään vielä joukko esimerkkejä
4 sur racine carrée de 65.
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65
Quel est le cosinus
a une longueur de 2
c'est 2
c'est-à-dire racine carrée de 3
cah
de 30 degrés
de 65.
de me dire
donc sur 4
est toujours égal à un demi
et si ce côté-ci
fois 3
la tangente
la tangente c'est 7 sur 4
même si je viens de le faire
on a "rationalisé"
plus 16,
que vaut la tangente de 60 degrés?
racine carrée de 3
si on prend la racine carrée des deux côtés,
soit 2 racine carrée de 3
sont des triangles rectangles
sur l'hypoténuse
sur l'hypoténuse (H).
sur l'hypoténuse.
sur le côté adjacent
sur racine carrée de 3
toa
un demi.
Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre
les fonctions trigonométriques.
Construisons des triangles rectangles.
Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition,
cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez
les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra
construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles.
Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7,
et disons que ce côté ici est de 4.
Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse.
nous allons appeller h l'hypoténuse
nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons
ça grâce au théorème de Pythagore,
que l'hypoténuse au carré est égale à
la somme des carrés
des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré.
Donc ceci est égal à 49
49 plus 16
49 plus 10 font 59, plus 6 font
65.
Donc h au carré
h au carré est égal à 65.
C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6
font 65, on peut aussi dire que h est égal à,
h est égal à la racine carrée de 65.
Et on ne peut pas simplifier cette expression:
65, c'est 13 fois 5,
ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits,
ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression.
Donc h est égal à la racine carrée
Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta.
Quand on fait ça,
il faut écrire - moi ça m'aide -
"soh cah toa".
soh...
...soh cah toa. Je me rappelle ça
de mon professeur de trigonométrie,
ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus,
une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa",
et c'est un moyen mnémotechnique efficace.
Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle
Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!"
Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus:
CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse
Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse.
CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A)
Revenons à théta. Quel côté est son adjacent?
Nous savons que l'hypoténuse
Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici.
Le seul côté qui est adjacent à thêta
et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici.
Le côté adjacent ici,
qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle,
c'est 4
Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65,
donc c'est 4 sur racine carrée de 65.
Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur,
ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur
donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur,
vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur
par racine carrée de 65.
Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même,
donc en fait nous multiplions par 1.
Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur.
Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65,
et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65.
Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur.
Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.
On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales.
Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa"
SOH = Sinus Opposite Hypoténuse
Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.
Pour cet angle, quel côté est l'opposé?
Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7
donc le côté opposé est le 7.
Voici donc le côté opposé
et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse,
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65
et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65
sur racine carrée de 65
alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65,
et au dénominateur, juste 65.
Et maintenant, la tangente!
Alors, la tangente.
Si je vous demande la tangente
la tangente de thêta
si on se souvient de soh cah toa
grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent
Donc la tangente est égale
au côté opposé sur le coté adjacent
la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent
donc pour cet angle
nous savons que le côté opposé est 7
puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7
donc c'est 7
et le côté adjacent, c'est 4 ici
donc puisque le côté adjacent est 4
la tangente c'est 7 sur 4
et voilà
on a trouvé toutes les fractions pour thêta.
Faisons-en un autre, un peu plus concret.
Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets
Si je dessine un autre triangle rectangle,
voilà un autre triangle rectangle
on ne parle que de triangle rectangle
tous les triangles avec lesquels on travaille
si l'hypoténuse
a une longueur de 4
et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3
on peut voir ce que ça donne
Si on met ce côté au carré,
ça donne 2 racine carrée de 3 au carré
+ 2 au carré, ça donne quoi?
2 au carré ça fait 4
4 fois 3 plus 4
donc ça fait 12 plus 4 donc 16
et 16, c'est 4 au carré
Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié.
Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90
que vous avez pu apprendre en géométrie,
vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit
J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit
et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés
et par conséquent, cet angle ici,
c'est un angle de 60 degrés
et c'est un 30 60 90 car
le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse
et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à
racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse
Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90
cherchons plutôt les fractions trigonométriques
Si je vous demande
quel est le sinus de 30 degrés
sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle
mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle
plus tard on verra des définitions plus générales
Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle
et si on se rappelle de son cah toa
soh
Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé
que voici, soit 2
sur l'hypoténuse, qui est 4 ici.
Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi
le sinus de 30 degrés
Maintenant
Quel est le cosinus
on en revient toujours à soh cah toa
Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse
donc pour l'angle de 30 degrés
voici le côté adjacent
juste à côté de l'angle
c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse
le côté adjacent
en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2,
ça donne racine carrée de 3 sur 2
Et maintenant,
la tangente de 30 degrés
on en revient toujours à soh cah toa
soh cah toa
D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent
Pour l'angle de 30 degrés,
le côté opposé c'est 2
et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3
puisque adjacent, ça veut dire à côté
voilà le côté adjacent
donc 2 racine carrée de 3
donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent)
1 sur racine carrée de 3
et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3
on aura
donc le numérateur est égal à racine carrée de 3
et le dénominateur est égal à 3
on a "rationalisé"
Maintenant, avec le même triangle
regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés
quel est le sinus de 60 degrés
je pense que vous commencez à maîtriser
le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa)
le côté opposé est ici
soit 2 racine carrée de 3
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse
ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2
et maintenant le cosinus de 60 degrés?
le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah)
l'adjacent est à côté de l'angle soit 2
sur l'hypoténuse soit 4
donc ceci est égal à
Enfin,
que vaut la tangente de 60 degrés?
la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa)
l'opposé de l'angle de 60 degrés
c'est 2 racine carrée de 3
et l'adjacent
de ce même angle
le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2
donc opposé sur adjacent, ça fait
2 racine carrés de 3 sur 2
Regardez les similitudes
Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés. Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés.
et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique.
On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices
dans les prochaines vidéos.
plus šesnaest,
Idemo napraviti moše primjera, samo da utvrdimo sa sigurnošću da ove
trigonometrijske funkcije radimo ispravno.
Dakle konstruirajmo si nekakav pravokutni trokut.
Dakle konstruirajmo si nekakav pravokutni trokutm, i želim biti jasan na način koji sam definirao do sada
ovo će samo funkcionirati kod pavokutnih trokuta, ako pokušavaš pronaći
trigonometrijsku funkciju kutova koji nisu dio pravokutnog trokuta, vidjet čemo kak ćemo morati
konstruirati pravokutne trokute, ali zasad čemo se fokusirati na praokutne trokute.
Recimo da imam trokut gdje je ova dolje dužina sedam
i duljina okomite stranice će biti četiri.
Idemo saznati koliko će iznositi hipotenuza, ovdje. Dakle znamo.
-označimo hipotenuzu sa "h".
Znamo da h kavdrirano će biti jednako sedam kvadrirano plus četiri kvadrirano,
to znamo iz Pitagorinog teorema,
kvadrat nad hipotenuzom je jednak
zbroju kvadrata na svakoj od kateta.
Osam kvadrirano je jednako, sedam na kvadrat plus četiri na kvadrat.
Znaći to je jednako četrdeset devet.
četrdeset devet plus šesnaest,
četrdeset devet plus deset je pedeset devet, plus šest je
šezdeset pet.
Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire
proprio bene queste funzioni trigonometriche.
Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo.
Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito
finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare
le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno
di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli.
Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7
e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4.
Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo ---
chiamiamo l'ipotenusa h.
Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo
dal teorema di Pitagora,
che l'ipotenusa al quadrato e' uguale
al quadrato di ogni, alla somma del quadrato
degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2.
Percio' questo e' 49,
49 + 16,
49 + 10 = 59, piu' 6 fa
65. Fa 65 quindi questo e' h^2.
Fammelo scrivere: h^2.
E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale
65. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6
fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata
Radice quadrata.
Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente.
Questo e' 13,
questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e
sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'.
Percio' questo e' uguale alla radice quadrata
Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta.
Quindi ogni volta che lo fai
vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo ---
"SOH CAH TOA".
SOH.
SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi
del mio
insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche
tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto
utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo,
diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo.
Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA!
Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno,
la parte CAH ci dice
che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa.
Coseno = adiacente
Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente?
Beh sappiamo che l'ipotenusa,
lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra
quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente
che non e' l'ipotenusa e' questo 4.
Quindi l'adiacente qui, questo lato e',
sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo,
e' 4,
L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4
fratto
E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace
avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65
e se --- se lo vuoi riscrivere senza un
numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore
per la radice quadrata di 65.
Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio'
stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del
numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa
4 per la radice quadrata di 65
e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65.
Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore.
Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche,
o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata
ma derivano tutte da queste.
Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA.
Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
Seno e' uguale a
opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa.
Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto?
Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7
quindi il lato opposto e' 7.
Questo qui --- questo e' il lato opposto
e poi
l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e'
e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65
fratto la radice quadrata di 65.
Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente
di nuovo 65.
Facciamo la tangente.
Quindi se ti chiedo la tangente
di --- la tangente di theta.
Di nuovo torniamo a SOH CAH
TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente.
Ci dice,
ci dice che la tangente
e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto
fratto,
opposto fratto adiacente.
Allora per quest'angolo
qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto
e' sette.
Quindi e' 7
Beh 4 e' adiacente.
Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4.
Percio' e' 7
e abbiamo finito.
Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro.
Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh,
tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto.
Diciamo,
diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo.
Questo qui e' un altro triangolo rettangolo.
Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare ---
Diciamo che l'ipotenusa
ha lunghezza 4.
E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo
verificare che funziona.
Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di
3 al quadrato
piu' 2^2 e' uguale a quanto.
Questo e'
4 * 3 + 4.
E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente
4^2 percio' questo e' uguale a 4^2.
E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora.
E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver
imparato in geometria magari riconosci che questo
qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto
disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo.
Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi
e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e'
un angolo di 60 gradi.
Ed e' un 30-60-90 perche'
il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa
e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato
che non e' l'ipotenusa.
Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90,
In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi.
Percio' se ti chiedessi ---
quant'e' il seno di 30 gradi.
E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe
ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo
una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi ---
hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo
e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA.
Lo riscrivo. SOH.
Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
Il seno di trenta gradi e' il lato opposto ---
e' questo il lato opposto, che e' 2,
fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4.
E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo.
Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale
Adesso, quant'e'
Quant'e' il coseno di
Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA.
Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa.
Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e'
l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato.
Non e' l'ipotenusa.
E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due
Adiacente
O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3
fratto 2.
Infine facciamo
Tangente di 30 gradi.
Torniamo a SOH CAH TOA.
SOH CAH TOA.
TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente.
Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30,
tangente di 30. L'opposto e' 2,
l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e'
adiacente.
Adiacente significa attaccato.
Quindi 2 radice quadrata di 3.
Percio' e' uguale a ---
questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3.
O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3.
Quindi abbiamo
E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore
qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3.
Va bene.
Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi
visto che l'abbiamo gia' disegnato.
Quindi quant'e'.
Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso.
Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato
opposto.
Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3
e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e'
opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere.
Allora e' opposto su ipotenusa.
Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa.
Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2.
Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi.
Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa.
L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2
sull'ipotenusa che e' 4,
quindi e' uguale a
E poi infine
quant'e' la tangente, quant'e' la tangente
Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente.
Opposto ai 60 gradi
c'e' 2 radice quadrata di 3.
2 radice quadrata di 3.
E adiacente a quello,
adiacente a quello
L'adiacente ai 60 gradi e' il 2.
Quindi opposto su adiacente.
2 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale
E voglio solo --- guarda come sono collegati.
Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi
e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo
comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo
paio di video.
확실하게 삼각함수를 다룰 수 있도록
좀 더 많은 예시들을 풀어보도록 합시다.
일단 직각삼각형을 몇 개 그려보겠습니다.
미리 설명해 두어야 할 것이 있는데
제가 이제까지 정의한 방식은 오직 '직각삼각형'에서만 통용되는 방식입니다.
그러니 직각삼각형이 아닌 삼각형에서 삼각함수를 구하기 위해서는
직각삼각형을 새롭게 그려 삼각함수를 구할 필요가 있습니다만,
지금은 직각삼각형의 경우에 대해서만 생각합시다.
여기 삼각형이 있습니다.
밑변의 길이를 7
그리고 높이를 4라고 두고,
그리고 높이를 4라고 두면
빗변의 길이가 어떻게 될지 알아 봅시다.
일단 빗변을 h라고 둡시다.
피타고라스의 정리로부터
h의 제곱은 7의 제곱에 4의 제곱을 더한 것이라는 사실을 알 수 있습니다.
직각삼각형의 빗변의 제곱은
다른 두 변의 제곱의 합과 같기 때문이죠.
그렇기 때문에 h의 제곱은 7의 제곱 + 4의 제곱이 됩니다.
이는 곧 49+16이 되고
49+10=59, 그리고 59+6=65가 됩니다.
이렇게 우리는 h의 제곱이 65라는 사실을 알았습니다.
제가 제대로 한 게 맞죠? 49에 10을 더하면 59이고 거기에 6을 더해주면 65니까요.
이걸 다르게 쓴다면, 각 변에 제곱근을 씌우는 것으로
h는 루트 65라고 할 수 있겠네요. 답을 더 이상 간단하게 만들 수는 없습니다.
65는 13 X 5로 나타낼 수 있고
두 소인수 모두 제곱 꼴이 아니기 때문에
더 이상 간단하게 할 수 없는 거죠.
그러므로 h는 루트 65입니다.
그럼 이제는 이 각의 삼각함수들을 구해볼까 해요.
이 각은 앞으로 세타라고 부르겠습니다.
삼각함수를 구할 때면
제가 저번 시간에 말씀드린 것들을 적어두고 싶겠죠. -최소한 제가 문제 풀 때는 많은 도움이 되거든요-
"soh cah toa"
지금 흐릿하게
제 삼각함수 선생님이 생각나는데
아니, 어쩌면 책에서 읽은 걸 지도 모르겠군요. 잘 모르겠어요.
"soh cah toa"라는 인도 공주에 대한 이야기였는데...
출처가 어찌 됐던 간에, 이는 몹시 유용한 연상법이므로
삼각함수를 구할 때는 "soh cah toa"를 사용하도록 합시다.
코사인 값을 구해보겠습니다.
코사인 값을 구하고 싶을 땐 "soh cah toa!"라고 외치면 해결 됩니다.
그 중에서도 "cah"가 코사인을 다루는 법을 알려주고 있습니다.
"cah"라는 것은
코사인이 인접변을 빗변으로 나누었다는 걸 의미하죠.
코사인은 인접변을 빗변으로 나누었단 겁니다.
그래서 이 각 세타를 봤을 때, 삼각형의 어떤 변이 인접변인가요?
우선 우리는 빗변이 뭔 줄 알죠.
여기 있는 이 변이 바로 빗변이지 않습니까.
그러므로 저 변은 인접변이 아니예요.
따라서 빗변을 제외한 세타에 인접하고 있는 변은 이 길이 4의 변이죠.
따라서 인접변은 이곳입니다.
말 그대로 각에 인접하고 있습니다.
즉 각을 이루는 변이라고도 말할 수 있겠군요.
그래서 코사인은 4를 빗변으로 나눈 값입니다.
우린 이미 앞서 빗변의 값을 구했죠. 루트 65입니다.
그렇기 때문에 코사인 세타는 루트 65분의 4입니다.
가끔은 분모를 유리화해 줘야 할 필요가 있습니다.
루트 65처럼 분모에 무리수가 들어가는 걸 싫어하는 사람들이 있거든요.\
루트 65처럼 분모에 무리수가 들어가는 걸 싫어하는 사람들이 있거든요.
분모에서 무리수를 제거하기 위해서는
분모와 분자에 모두 루트 65를 곱해주면 됩니다.
이는 숫자의 값을 바꾸지 않습니다.
루트 69분의 루트 69는 당연히 1이니까요.
숫자에 1을 곱하고 있는 것뿐입니다.
그러므로 숫자의 값은 바꾸지 않습니다만, 분자에서 무리수를 제거하는 것은 가능합니다.
그렇게 하여 분자는
4 곱하기 루트 63이 되고
분모는 루트 65에 루트 65를 곱했으니 65가 되겠습니다.
무리수를 완전히 제거하지는 못했습니다. 분자에는 아직 루트가 남아 있어요.
이제 다른 삼각함수들을 구 봅시다.
최소한 핵심 삼각함수만이라도요.
여러분은 곧 엄청난 종류의 삼각함수를 배우게 되겠습니다만
그 삼각함수는 전부 이 핵심 삼각함수, 사인 코사인 탄젠트에서 유도된 것입니다.
그러니 이제 사인 세타를 구해봅시다. 다시 한 번 말하지만 "soh cah toa"입니다.
"soh"가 사인에 대한 정보를 알려주지요. 사인이란 대변을 빗변으로 나눈 값입니다.
사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이지요.
그러면 이 각에 대해서 어떤 변이 대변일까요?
그냥 이렇게 반대편으로 가주면 그곳이 대변입니다. 길이는 7이네요.
그러므로 대변의 길이는 7입니다.
다음은 빗변을 알아야겠죠. 사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이니까요.
빗변은 루트 65입니다.
루트 65입니다.
앞서 말했듯이 이 값을 유리화해 주고 싶다면
분모와 분자에 모두 루트 65를 곱해주면 됩니다.
그러면 분자는 7 곱하기 루트 65,
그리고 분모는 위의 경우와 마찬가지로 65가 되겠습니다.
이제는 탄젠트를 구할 차례입니다!
탄젠트를 해 봅시다.
제가 탄젠트를 이야기 할 때면,
탄젠트 세타를 이야기 할 때면
다시 한 번 "soh cah toa"로 돌아가면 되겠습니다.
"toa"가 탄젠트에 대한 사실들을 알려 줍니다.
탄젠트는
대변을 인접변으로 나눈 값이지요.
이 각에 대해서 대변은 뭘까요? 이미 우린 답을 구해뒀습니다.
7입니다. 반대편의 변은 7이죠.
이렇게 하여 대변은 7입니다.
그러므로 탄젠트는 인접변을 7로 나눈 값인데
인접변의 길이는 4지요.
그렇게 해서 탄젠트 세타는 4분의 7이고,
전부 끝났습니다.
이렇게 우리는 세타에 대한 삼각비를 모두 구했어요. 이제 다른 걸 시도해 봅시다.
다른 걸 해봅시다.
이제는 조금 더 구체적으로 설명해 보겠습니다. 지금까지는 그냥 막연하게
"이게 탄젠트 x고, 이게 탄젠트 세타야"라고 말했으니까요. 조금 더 구체적으로 이야기해 봅시다.
다른 직각 삼각형을 그리도록 합시다.
여기 그렸습니다.
우리가 앞으로 다룰 것은 오직 직각삼각형 뿐이예요.
빗변은 4라고 가정하고
이 변의 길이를 2로
이 변의 길이를 2 곱하기 루트 3이라고 가정합시다.
우리는 이 값들이 실제로 성립한다는 것을 증명할 수 있습니다.
이 변을 제곱하게 되면
2루트 3의 제곱에
2의 제곱을 더하면 어떤 값이 나오나요?
이건 2죠. 즉 4 곱하기 3이 될 것입니다.
4 곱하기 3에 4를 더 해주면
곧 12 더하기 4가 되므로 16이 됩니다.
그리고 당연히 16은 4의 제곱입니다.
이렇게 피타고라스의 정리를 만족하고 있어요.
그리고 만약 기하 시간에 배웠을 30도, 60도, 90도의 각을 가지고 있는 삼각형의 경우를 기억하고 계신다면
이 삼각형이 그 30도, 60도, 90도 삼각형이라는 걸 눈치채셨을지도 모르겠네요.
이 각이 물론 직각이고
여기 있는 이 각이 30도 이며
마지막으로 여기 있는 이 각이
바로 60도가 되겠습니다.
이 삼각형이 30도 60도 90도 삼각형인 이유는
30도의 값을 가진 각의 대변의 길이가 빗변의 길이의 0.5배이고
60도의 값을 가진 각의 대변의 길이가 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이의 루트 3배이기 때문입니다.
우린 30도 60도 90도 삼각형에 대해 복습하지는 않을 거예요.
제가 방금 해 버렸다는 사실은 제쳐 두고 말이죠.
다른 각에 대해서 삼각함수 값들을 알아 봅시다.
사인 30도가 무엇이었죠?
그리고 30도란 것도 결국 직각삼각형 안에서 계산한다는 사실을 알아야 합니다.
좀 더 일반적인 정의 역시 배우게 될 겁니다. 하지만 사인 30도의 경우는
이 삼각형의 이 각도가 30도이기 때문에 이 삼각형을 이용할 수 있겠군요.
그리고 앞서 말한 "soh cah toa"를 생각해 봅시다.
다시 쓸 게요. soh cah toa.
soh는 사인에 대한 사실들을 알려줍니다. 대변을 빗변으로 나눈 ㄱ밧이죠.
사인 30도란 대변을,
즉 길이가 2인 변을 빗변으로 나눈 것입니다.
그리고 빗변의 길이는 보다시피 4이죠.
그러므로 사인 30도란 4분의 2, 즉 2분의 1이라는 결과가 도출됩니다.
앞으로 보게 될 사인 30도는 항상 2분의 1입니다.
그럼 코사인은 어떨까요?
코사인 30도의 값은 무엇일까요?
또 한 번 "soh cah toa"로 돌아갑시다.
cah가 코사인에 대한 정보를 알려 주죠.
코사인은 인접변을 빗변으로 나눈 값입니다.
그래서 30도의 각을 보면, 이쪽이 인접변입니다.
이곳이 바로 인접변이죠. 보시다시피 이 각과 인접해 있습니다.
빗변은 아닙니다. 코사인은 인접변을 빗변으로 나눈 값입니다.
그러므로 인접변인 2 루트 3을
빗변인 4로 나눈 4분의 2 루트 3이 됩니다.
저 값을 약분하게 되면 분자와 분모를 모두 2로 나누어
2분의 루트 3이 됩지요.
마지막으로, 탄젠트 값을 구해 보겠습니다.
탄젠트 30도를 구하려면,
일단 "soh cah toa"로 돌아가겠습니다.
soh cah toa
toa가 탄젠트를 다루는 법을 알려 줍니다. 대변을 인접변으로 나누면 되죠.
우리는 탄젠트 30도를 구하고 있으므로 30도를 중심으로 생각하겠습니다.
탄젠트 30도죠. 대변의 길이는 2이고
대변의 길이는 2이고 인접변의 길이는 2 루트 3입니다.
30도의 바로 옆에 있죠. 인접하고 있습니다.
'인접'이란 바로 옆에 있다는 뜻이죠.
그러므로 2 루트 3...
따라서 두 개의 2는 약분 되므로
결국 루트 3분의 1이 됩니다.
아니면 분자와 분모에 루트 3을 곱하여
3분의 루트 3이라는 값을 구할 수도 있습니다.
이렇게 루트 3분의 1을 3분의 루트 3으로 유리화 하는 것이 가능합니다.
잘 되었 군요.
이제는 60도의 경우를 확인하기 위하여 방금 사용한 삼각형을 다시 한 번 써 보겠습니다.
이미 그려 뒀으니까요.
그럼 사인 60도는 뭘까요?
그리고 전 부디 지금 내용을 따라오고 있기를 바랍니다.
사인이란 대변을 인접변으로 나눈 거죠. soh cah toa 중에 soh입니다.
60도에 대해서는 어느 변이 대변일까요?
60도의 반대쪽에 있는 변은 바로 2 루트 3으로
대변은 2 루트 3이 되겠군요.
그리고 60도 각에 대한 인접... 앗, 죄송합니다.
사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이지요. 혼란스럽게 했다면 죄송합니다.
사인은 대변을 빗변으로 나눈 값이므로
4분의 2루트3이 되겠습니다. 4가 빗변입니다.
그리고 이 값은 약분하게 되면 2분의 루트 3이 되지요.
그럼 코사인 60도는 무엇일까요?
항상 "soh cah toa"는 기억해 주세요. 코사인은 인접변을 빗변으로 나눈 값이죠.
인접변은 60도의 바로 옆에 있는 변입니다.
그러므로 인접변은 2가 되고, 빗변은 4가 되는 군요.
따라서 코사인 60도는 2분의 1이 됩니다.
그러면 마지막으로, 탄젠트 60도 값은 무엇일까요?
탄젠트 60도 값은 무엇일까요?
당연히 탄젠트 역시 "soh cah toa"에 따릅니다. 탄젠트는 대변을 인접변으로 나눈 값입니다.
60도의 대변은
2루트3입니다.
2루트3이죠.
그리고 60도의 인접변은
바로 2입니다.
60도의 인접변은 2이군요.
그러므로 탄젠트 60도는 2분의 2루트3이 되어
결국 루트3으로 약분 됩니다.
이 삼각함수들이 어떤 관계인지를 한 번 보십시오.
사인 30도는 코사인 60도와 값이 같습니다.
또 코사인 30도는 사인 60도와 값이 같지요.
그리고 두 탄젠트 값은 서로의 역수 관계가 됩니다.
아마 여러분도 이 삼각형에 대해서 조금만 생각해 보시면
왜 이런 결과가 나오는지 쉽게 이해하실 수 있을 겁니다.
이 내용은 계속 진행될 것이며
추후의 영상에서 더 많은 예재들을 제공해 보겠습니다.
Mari kita buat beberapa contoh,
supaya kita boleh pastikan kita faham fungsi Trigonometri
jadi, mari kita lukis beberapa s.tiga menegak
mari kita lukis beberapa s.tiga menegak
dan saya ingin jelaskan di sini
cara saya takrifkan ia, ini akan berhasil untuk s.tiga menegak shj
Jika anda cuba mencari fungsi Trigonometri untuk sudut yang bukan s.tiga menegak
kita akan lihat bahawa kita perlu melukis s.tiga menegak
tapi mari kita fokus kepada s.tiga menegak
jadi katakan saya ada segi tiga
di mana panjang di sini adalah tujuh,
dan katakan panjang sisi ini di sini
adalah empat.
Marilah kita cari apakah hipotenus di sini.
mari kita 'panggil hipotenus ini "h" -
kita tahu Hsquared akan sama dengan 7squared tambah dengan 4squared,
kita tahu itu dari teorem Pythagoras,
bahawa hipotenus squared adalah sama dengan
punca kuasa setiap jumlah punca kuasa kedua-dua sisi yang lain.
hsquared adalah sama dengan 7squared tambah dengan 4squared..
Jadi ini sama dengan 49 tambah 16
49 + 16
49+10=50, +6 ialah 65
Ia adalah 65, jadi hsquared ini,
biar saya tulis: hsquared
jadi kita dapat hsquared sama dengan 65.
Adakah saya buat dengan betul? 49+10=50, +6=65
atau kita boleh kata yang h sama dengan, jika kita ambil punca kuasa kedua dua sisi
punca kuasa 65. Dan kita tak boleh ringkaskan ini
ini adalah tiga belas
ini adalah sama seperti 13x5,
kedua-dua bukan perfect square dan
mereka berdua perdana jadi anda tak boleh meringkaskan ini
Jadi ini adalah sama dengan punca kuasa 65
Sekarang mari kita cari trigonometri, mari kita cari fungsi trigonometri untuk sudut ini.
Mari kita panggil sudut ini theta.
Jadi setiap kali anda buat
anda sentiasa tulis
"soh cah toa".
soh...
...soh cah toa.
jadi kita boleh gunakan "soh cah toa".
katakan kita mahu mencari kosine. Kita mahu mencari kosine sudut kita.
kami ingin mencari kosine sudut kitai.
Kita nak cari kosine sudut kita, anda kata: "soh cah toa!"
Jadi "cah". "Cah" memberitahu kita apa yang perlu dilakukan dengan kosine,
bahagian "cah" memberitahu kita
bahawa kosine adalah adja per hipotenus.
Kosine adalah sama dengan adja per hypo
jadi mari lihat di sini untuk theta; apa sisi selari?
Kita tahu bahawa ini adalah hipotenus,
kita tahu bahawa hipotenus adalah ini.
Jadi ia bukan sis itu. Sisi lain yang selari untuknya
bukan hipotenus, tetapi ialah 4 di sini.
Jadi sisi selari di sini,
ia secara betul-betul bersebelahan dengan sudut,
ia adalah salah satu sisi yang membentuk sudut
ia 4 per hipotenus.
Hipotenus kita sudah tahu ialah punca kuasa 65
jadi ia empat per punca kuasa 65.
Dan kadangkala orang mahu anda merasionalkan penyebut yang bermaksud
mereka tak suka untuk mempunyai bilangan yang tidak rasional dalam penyebutnya,
seperti punca kuasa 65
jika anda mahu menulis semula ini tanpa nombor tidak rasional dalam penyebutnya,
anda boleh darab pengangka dan penyebut
dengan punca kuasa 65
Ini tidak akan menukar nombor,
kerana kita darab dengan sesuatu atas sendiri,
jadi kita mendarab nombor itu dengan satu.
Ini tidak akan menukar nombor, tetapi sekurang-kurangnya ia dapat menyingkirkan bilangan tidak rasional dalam penyebutnya.
Jadi pengangka menjadi
4 kali punca kuasa 65,
dan penyebut, punca kuasa 65 darab punca kuasa 65, hanya akan menjadi enam puluh lima.
Kita tak menyingkirkan bilangan tidak rasional, ia masih ada, tetapi kini ia berada di pengangka.
Sekarang mari kita buat fungsi Trigonometri yang lain
atau sekurang-kurangnya fungsiTrigonometri teras yang lain.
Kita akan belajar bahawa terdapat pelbagai jenis
tetapi mereka semua berasal daripada sini.
jadi mari kita fikirkan tentang apakah tanda theta. Sekali lagi pergi ke "soh cah toa".
"Soh" memberitahu apa yang perlu dilakukan dengan sine. Sine adalah oppo per hipotenus.
Sine adalah sama dengan oppo per hipotenus.
Sine adalah oppo per hipotenus.
Jadi untuk sudut ini sisi manakah terletak bertentangan dengannya?
Kami hanya pergi bertentangan itu, ia bertentangan dengan tujuh
jadi bahagian bertentangan adalah 7
Ini, di sini - itu adalah sisi yang bertentangan
dan kemudian hipotenus, ia oppo per hipotenus.
Hipotenus adalah punca kuasa 65
Punca kuasa 65
dan sekali lagi jika kita mahu merasionalkan ini,
kita boleh darab punca kuasa 65 per punca kuasa 65
dan pengangka, kita akan dapat 7 punca kuasa 65
dan dalam penyebutnya kita akan dapat 65
Sekarang mari kita buat tangen!
Mari kita buat tangen.
Jadi, jika saya meminta anda tangen
- tangen theta
sekali lagi kembali ke "soh cah toa".
Bahagian toa memberitahu kita apa yang perlu dibuat dengan tangen
ia memberitahu kita ...
ia memberitahu kita bahawa tangen
adalah sama dengan oppo per adja
adalah sama dengan oppo per
oppo per adja
Jadi untuk sudut ini, apakah oppo? Kita sudahpun tahu.
ia adalah 7. Ia membuka kepada tujuh.
Ia adalah bertentangan dengan tujuh.
Jadi ia tujuh per apa sisi selari.
empat ini adalah selari.
Empat ini ialah selari. Jadi sisi bersebelahan adalah empat.
jadi ia tujuh per empat,
dan kita sudah selesai.
Kita telah selesaikan semua nisbah Trigonometri untuk theta. mari kita buat satu lagi.
mari kita buat satu lagi.
Saya akan membuat lebih konkrit sebab 'sekarang kami telah berkata,
"oh, apakah tangen x, tangen theta." mari kita buat lebih konkrit.
Katakanlah...
katakanlah,biar saya melukis satu lagi segitiga menegak
satu lagi segitiga menegak di sini.
Semua yang kita sedang tangani, semua adalah segi tiga menegak
katakan panjang hipotenus adalah empat,
katakan bahawa panjang sisi ini adalah dua,
dan katakanlah bahawa panjang di sini akan menjadi dua darab ganda punca kuasa 3
Kita boleh mengesahkan bahawa ia boleh fungsi.
Jika anda mempunyai sisi kuasa dua, jadi anda mempunyai - biarkan saya tuliskan -
dua darab punca kuasa 3squared
tambah 2squared, adalah sama dengan apa?
ini adalah dua. akan ada empat kali tiga.
empat kali tiga tambah empat,
dan ini akan menjadi sama dengan dua belas tambah empat ialah sama dengan enam belas
dan enam belas memang adalah 4squared. Jadi ini sama dengan empat squared,
ia memang sama dengan 4 squared. Ia memenuhi teorem Pythagoras
dan jika anda masih ingat beberapa kerja anda dari s.tiga 30 60 90
yang anda belajar dalam geometri,
anda mungkin mengenali bahawa ini adalah ts.tiga 30 60 90
Di sini adalah sudut kanan kita,
- Saya sepatutnya lukiskan ia untuk menunjukkan bahawa ini adalah satu segitiga menegak -
sudut di sini adalah sudut 30 darjah kita
dan kemudian sudut di sini,
ialah sudut enam puluh darjah,
dan ia adalah 30 16 90 kerana
sisi bertentangan dengan 30 darjah adalah separuh hipotenus
dan kemudian di sisi bertentangan dengan 60 darjah adalah 3squared
itu bukan hipotenus.
ini tidak sepatutnya menjadi kajian s.tiga 30 60 90 walaupun Saya baru berbuat demikian.
Mari kita cari nisbah Trigonometri bagi sudut berbeza.
Jadi jika saya bertanya anda,
apakah sine tiga puluh darjah?
dan ingat tiga puluh darjah adalah salah satu sudut dalam segitiga ini tetapi ia akan dipakai
apabila anda mempunyai sudut tiga puluh darjah dan anda menangani dengan segi tiga menegak
Kami akan mempunyai definisi yang lebih luas pada masa akan datang tetapi jika anda berkata sine tiga puluh darjah,
sudut di sini ialah tiga puluh darjah jadi saya boleh menggunakan segi tiga menegak ini
dan kita hanya perlu ingat "soh cah toa"
Kita tulis semula. soh, cah, toa.
soh memberitahu kita apa yang harus dibuat dengan sine. sine adalah oppo per hipotenus.
sines tiga puluh darjah adalah sisi bertentangan,
sisi itu adalah bertentangan iaitu dua per hipotenus.
Hipotenus di sini ialah empat.
ia adalah 2/4 iaitu sama sebagai satu setengah.
sine tiga puluh darjah anda akan lihat ia sentiasa akan menjadi sama dengan satu-setengah
sekarang apakah kosine?
Apakah kosine tiga puluh darjah?
Sekali lagi kembali ke "toa cah soh".
Cah memberitahu kita apa yang harus dibuat dengan kosine.
Kosinus adalah adja per hipotenus.
Jadi untuk mencari sudut tiga puluh darjah ia adalah selari.
Ini, di sini ialahselari. ia betul-betul bersebelahan dengan ia.
ia bukan hipotenus. ia adalah bersebelahan atas hipotenus.
jadi ia adalah dua punca kuasa 3
adja per ... hipotenus, per empat.
atau jika kita ringkaskan ia, kita bahagikan pengangka dan penyebut dengan dua
ia adalah punca kuasa tiga per dua.
Akhirnya, mari kita buat tangen.
Tangen untuk tiga puluh darjah,
kita kembali kepada "toa cah soh".
soh cah toa
toa memberitahu kita apa yang perlu dilakukan dengan tangen. Ia oppo per adja
anda pergi ke sudut tiga puluh darjah kerana itulah apa yang kita mahu, tangen untuk tiga puluh.
tangen untuk tiga puluh. oppo adalah dua,
oppo adalah dua dan adja adalah dua punca kuasa 3.
Ia bersebelahan dengannya.
perkataan "adjacent" bermaksud bersebelahan.
jadi dua punca kuasa 3
jadi ini adalah sama dengan ... dua ini dibatalkan
satu per punca kuasa tiga
atau kita boleh darab pengangka dan penyebut dengan punca kuasa 3.
Jadi kita ada punca kuasa 3 per punca kuasa 3
maka ini akan menjadi sama dengan pengangka punca kuasa 3 dan kemudian
penyebut di sini hanya akan menjadi tiga.
Supaya kami telah merasionalisasikan punca kuasa 3 per tiga.
Cukup adil.
Sekarang, mari kita gunakan segitiga yang kita guna sebelum ini untuk cari nisbah trigonometri untuk enam puluh darjah,
jadi apakah ... apakah sine enam puluh darjah?
dan saya harap anda mula memahaminya sekarang.
Sine adalah oppo per adja. soh daripada "soh cah toa".
untuk sudut enam puluh darjah sisi yang manakah bertentangan?
apa yang terbuka kepada dua punca kuasa 3,
jadi bahagian bertentangan adalah dua punca kuasa 3
dan dari sudut enam puluh darjah -oh maaf
ia adalah oppo per hipotenus, saya tidak mahu mengelirukan anda.
Jadi ia adalah oppo atas hipotenus
jadi ia adalah dua punca kuasa 3 per empat. Empat adalah hipotenus itu.
jadi ia adalah sama dengan, ini diringkaskan menjadi punca kuasa dua 3 per dua.
Apakah kosine enam puluh darjah? kosine untuk enam puluh darjah.
jadi ingat "soh cah toa". kosine adalah bersebelahan atas hipotenus.
adja ialah kedua-dua sisi, sebelah sudut enam puluh darjah.
Jadi ini adalah dua per hipotenus iaitu empat.
Jadi ini adalah sama dengan satu setengah
dan akhirnya, apakah tangen?
apa yang tangen untuk enam puluh darjah?
Baik tangen, "soh cah toa". Tangen adalah oppo per adja
bertentangan dengan enam puluh darjah
adalah punca kuasa 3
punca kuasa dua 3
dan selari dengan itu
adja adalah dua.
selari dengan enam puluh darjah adalah dua.
Jadi oppo per adja, 2 punca kuasa 3 per 2
iaitu sama dengan punca kuasa 3.
Dan saya hanya mahu - kaji bagaimana ini berkaitan-
sine tiga puluh darjah adalah sama seperti kosine enam puluh darjah.
Kosine 30 darjah adalah perkara yang sama seperti sine 60 darjah
dan kemudian mereka adalah songsangan antara satu sama lain
dan saya fikir jika anda berfikir tentang segitiga ini
ia akan mula masuk akal.
kami akan terus melanjutkann ini dan
memberi anda lebih banyak praktis dalam beberapa video yang akan datang.
beide kanten
gedeeld door de Schuine.
plus 16
van 65.
Laten we gewoon een heleboel voorbeelden bekijken,
zodat we helemaal zeker zijn dat we de goniometrische functies helemaal snappen.
Laten we wat rechthoekige driehoeken tekenen.
Rechthoekige driehoeken, want laat ik heel duidelijk zijn,
dit werkt alleen voor rechthoekige driehoeken, dus als je
de goniometrische functies van hoeken probeert te vinden die niet bij een rechthoekige driehoek horen, zul je zien dat je dan
ook rechthoekige driehoeken moet maken, maar laten we eerst een focussen op rechthoekige driehoeken.
We nemen een driehoek, waarvan deze zijde 7 is,
en deze zijde hier, 4.
Laten we uitzoeken wat welke zijde de schuine zijde is. Dus we weten
- laten we de schuine zijde 'h' noemen -
we weten dat h^2 gelijk is aan 7^2 + 4^2, want dat
is de stelling van Pythagoras,
dat de schuine zijde in het kwadraat gelijk is
aan de som van het kwadraat van elk van de andere zijdes.
8 kwadraat is gelijk aan 7 kwadraat plus 4 kwadraat.
Dus dit is gelijk aan aan 49
49 plus 16
49 + 10 = 59, 59 + 6 = 65.
Dus 65 is h kwadraat,
laten we het opschrijven: h^2
- dit is een andere kleur geel - dus we hebben h^2 =
65. Is dat wel goed? 49 + 10 = 65, plus nog 6
is 65, met andere woorden, h is gelijk aan, als we de wortel nemen van
wortel
wortel van 65. En dat kunnen we niet vereenvoudigen.
dit is 13
dat is hetzelfde als 13 x 5, dat zijn beide geen kwadraatgetallen
en het zijn allebei priemgetallen dus dit kun je niet verder vereenvoudigen.
Dus dit is gelijk aan de wortel
Laten we nu de goniometrische functies vinden voor deze hoek. Laten we die hoek theta noemen.
Dus als je dit doet
moet je altijd opschrijven - tenminste voor mij werkt het het beste als ik het opschrijf -
"sos cas toa".
sos...
...sos cas toa. Ik heb van die vage herinneringen
van mijn
wiskunde leraar, of misschien uit een boek, ik weet niet - over een of andere
indiaanse prinses die 'soscastoa' heette, maar dat helpt wel
zo'n ezelsbruggetje, dus we kunnen nu soscastoa gebruiken.
Stel, je wil de cosinus vinden. We willen de cosinus vinden van deze hoek.
Je wil de cosinus van deze hoek vinden, dus roep je: "soscastoa!".
Dus "cas". "Cas" vertelt ons wat we met de cosinus moeten doen,
"cas" vertelt ons
dat Cosinus de Aanliggende gedeeld door de Schuine is
Cosinus is gelijk aan de Aanliggende
Laten we eens naar de hoek theta kijken, wat is dan de aanliggende zijde?
We weten dat de schuine zijde
deze zijde hier is
dus het kan niet deze zijn. De enige andere zijde die soort van daarnaast ligt
is niet de schuine, dat is deze 4.
Po prostu zróbmy całe mnóstwo przykładów,
aby być pewnym, że rozumiemy dobrze funkcje trygonometryczne.
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych.
Skonstruujmy kilka trójkątów prostokątnych
bo chcę, żeby było to jasne,
że ten sposób działa jedynie w trójkątach prostokątnych,
Jeśli próbujemy wyznaczyć funkcje trygonometryczne w innych trójkątach,
to musimy skonstruować trójkąty prostokątne,
Skupmy się więc na trójkątach prostokątnych.
Powiedzmy, że mamy trójkąt,
w którym ta długość wynosi siedem
i powiedzmy, że długość tego boku
wynosi cztery.
Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że
— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —
wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,
wiemy z twierdzenia Pitagorasa,
że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy
sumie kwadratów
pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.
Jest to równe 49
49 + 16,
49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi
65. A więc h podniesione do kwadratu
napiszmy: h do kwadratu
— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe
65. Czy zrobiłem to poprawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6
wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy
Pierwiastek kwadratowy
pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać
to jest 13
to to samo co 13 razy 5,
obydwie nie są kwadratami
oraz obydwie są liczbami pierwszymi, więc nie można uprościć zapisu bardziej.
Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu
Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta.
Nazwijmy ten kąt theta.
Zawsze kiedy to robicie
możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —
„soh cah toa”.
soh...
...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia
mojego
nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś
jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatny
skrót pamięciowy,
więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy
powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus.
Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.
Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”
Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,
część „cah” mówi nam,
że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej (ang. adjacent) do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]
Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta
Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?
Wiemy, że przeciwprostokątna
wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony,
więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który
nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.
A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,
jest dokładnie obok kąta,
jest jednym z boków tworzących kąt.
Jest równa 4
Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4
podzielone przez
Czasem potrzebne jest uproszczenie mianownika, co oznacza, że
w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna,
jak pierwiastek z 65.
Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie
usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik
przez pierwiastek kwadratowy z 65.
To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ
mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc
w istocie mnożymy przez 1.
To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się niewymierności z mianownika.
Licznik przyjmie postać
4 razy pierwiastek z 65,
a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.
Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.
Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,
a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi.
Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,
ale one wszystkie pochodzą z funkcji podstawowych,
więc pomyślmy, co jest znakiem theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”.
„Soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]
Sinus jest równy
stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?
Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7,
a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.
Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,
a następnie
przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość
Pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć
Ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65
podzielony przez pierwiastek z 65
i w liczniku otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu
ponownie 65.
Teraz zajmijmy się tangensem!
Zajmijmy się tangensem.
Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens
tangens kąta theta,
wracamy ponownie do soh cah
toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens.
Mówi on nam,
mówi nam, że tangens
jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej
do
przyprostokątnej przeciwległej do przyległej, [ang. opposite, adjacent]
więc dla tego kąta
wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest naprzeciw boku
o długości 7,
więc to bok o długości 7
Cóż, ten o długości 4 jest przyległy
bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4.
A więc jest to 7
I zakończyliśmy.
Wyliczyliśmy wszystkie wartości dla kąta theta, zabierzmy się za następny.
Zabierzmy się za następny.
Zrobię to bardziej konkretnie, bo teraz mówiłem o
tangensie x, tangensie theta. Zróbmy to dla konkretnej wartości.
Powiedzmy
Powiedzmy, że narysuję kolejny trójkąt prostokątny
Oto kolejny trójkąt prostokątny.
Wszystko, z czym mamy do czynienia,
Powiedzmy, że przeciwprostokątna
ma długość 4.
i powiedzmy, że ten bok tutaj ma długość równą dwa pierwiastki kwadratowe z trzech. Możemy
zweryfikować, że tak jest,
jeżeli podniesiemy tę stronę do kwadratu, zapiszę: 2 pierwiastki kwadratowe z
trzech, podniesione do kwadratu
dodać dwa do kwadratu jest równe czemu?
To jest
4 razy 3 dodać 4
i to będzie 12 dodać 4, co jest równe 16, a 16 to w istocie
4 do kwadratu, a więc to się równa 4 do kwadratu,
równa się 4 do kwadratu i spełnia twierdzenie Pitagorasa.
Jeżeli pamiętacie zadania z trójkątami z kątami 30,60,90 stopni,
o których być może uczyliście się na geometrii,
możecie rozpoznać, że to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni;
tutaj jest nasz kąt prosty, powinienem
przeciągnąć go, aby pokazać, że to trójkąt prostokątny.
Ten kąt tutaj jest 30-stopniowy,
a ten tutaj, ten kąt jest
kątem 60-stopniowym
i to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni, ponieważ
bok naprzeciw kąta o mierze 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej,
a bok naprzeciwko kąta o mierze 60 stopni jest równy pierwiastkowi z trzech pomnożonemu przez drugi bok
nie będący przeciwprostokątną,
więc nie będziemy się nim zajmować,
to nie jest przegląd trójkątów z kątami 30,60,90 stopni.
Obecnie znajdźmy funkcje trygonometryczne dla innych kątów.
Więc jeśli zostaniecie poproszeni
ile wynosi sinus 30 stopni
i pamiętacie, że jeden z kątów tego trójkąta ma 30 stopni, ale dotyczy to
każego 30-stopniowego kąta. Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, będziemy
mieć szersze definicje w przyszłości, ale jeśli mówimy o sinusie 30 stopni,
to nie jest złotą regułą, tutaj jest 30 stopni, więc mogę użyć tego trójkąta prostokątnego
i wystarczy pamiętać soh cah toa,
więc przepiszę to
Soh wskazuje, jak uzyskać sinus. Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
Sinus 30 stopni jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej,
która to jest bokiem o długości 2,
do przeciwprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątna ma długość 4.
Wynosi to dwie czwarte, czyli jedna druga.
Jak widać, sinus 30 stopni zawsze jest równy
Teraz, ile wynosi
Ile wynosi cosinus
Raz jeszcze wróćmy do soh cah toa.
Cah wskazuje, jak uzyskać cosinus.
Cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.
Rozpatrując kąt 30 stopni, to jest przyprostokątna przyległa, ten bok tutaj to
przyprostokątna przyległa, przylega do kąta
i nie jest to przeciwprostokątna.
Stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej jest równy dwa
Stosunek przyprostokątnej przyległej
Jeżeli uprościmy wyrażenie, podzielimy licznik i mianownik przez dwa, będzie to pierwiastek kwadratowy z trzech
podzielony przez 2.
Na koniec obliczmy
Tangens 30 stopni.
Wracamy do soh cah toa.
soh cah toa
Toa mówi nam, jak uzyskać tangens. To stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
Patrzymy na kąt 30 stopni, ponieważ nim się zajmujemy. Tangens 30 stopni
tangens 30 stopni, przyprostokątna przeciwległa ma długość 2
przyprostokątna przeciwległa ma długość 2, a przyległa ma długość dwa pierwiastki z trzech, leży ona w sąsiedztwie
kąta
oznacza to, że przylega do kąta.
Więc dwa pierwiastki kwadratowe z trzech
co jest równe
dwójki się upraszczają, więc to 1 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z trzech.
Możemy pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy z trzech,
więc otrzymujemy:
co jest równe licznikowi wynoszącemu pierwiastek z trzech,
a mianownik tutaj jest równy po prostu 3,
a więc jest liczbą wymierną.
W porządku.
Teraz użyjmy tego samego trójkąta, aby zobaczyć, jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla 60 stopni,
ponieważ już go sporządziliśmy.
A więc ile wynosi
ile wynosi sinus 30 stopni i myślę, że pojmujecie istotę rzeczy.
Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, soh z soh cah toa. Dla kąta 60 stopni, który bok
jest przyprostokątną przeciwległą?
który leży naprzeciw
i z kąta 60 stopni przyprostokątna przy... och, przepraszam, to stosunek
przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, nie chciałem Was zdezorientować.
A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej,
który wynosi dwa pierwiastki z trzech podzielone na cztery. Cztery to długość przeciwprostokątnej.
Jest to równe, po uproszczeniu, pierwiastek z trzech przez dwa,
co jest wartością cosinusa 60 stopni. Cosinus 60 stopni.
A więc pamiętajcie soh cah toa. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.
Przyprostokątna przyległa jest po drugiej stronie obok kąta 60 stopni, więc jest to dwa
podzielone przez przeciwprostokątną o długości 4
a więc jest to równe
I w końcu
ile wynosi tangens, ile wynosi tangens
Cóż, tangens, soh cah toa, tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
Przyprostokątna przeciwległa do kąta 60 stopni
ma długość dwa pierwiastki z trzech.
Dwa pierwiastki z trzech,
a przyprostokątna przyległa do kąta,
przyległa do kąta
przyprostokątna przyległa do kąta 60 stopni ma długość 2.
A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
Dwa pierwiastki kwadratowe z 3 podzielone przez 2 jest równe
Do czego zmierzałem — spójrzcie, jak funkcje są ze sobą powiązane.
Sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 stopni.
Cosinus 30 stopni jest równy sinusowi 60 stopni.
Te funkcje są przestawione [dla tych kątów]
i myślę, że jeśli pomyślicie trochę o tym trójkącie,
zacznie być jasne, dlaczego tak jest.
Będziemy to rozszerzać i zrobimy
więcej ćwiczeń praktycznych w następnych kilku filmach.
Vamos fazer mais um bocado de exemplos,
para ter certeza que entenderemos bem essa coisa de Função Trigonométrica.
Então vamos construir alguns triângulos de angulo reto.
Vamos construir os triângulos
e eu quero deixar isso claro.
A maneira como eu defini até agora, só funcionará em triângulos retângulos.
então se você estiver tentando encontrar a função trigonométrica de ângulos que não fazem parte de triângulos retângulos,
veremos que teremos que construir primeiro triângulos retângulos,
mas por hora foquemos nos triângulos retângulos.
Digamos que eu tenha um triângulo,
onde essa distância aqui seja 7
e digamos que essa outra distância aqui,
digamos que seja 4.
Vamos descobrir qual será a hipotenusa aqui.
Então sabemos - chamaremos a hipotenusa de "h" -
sabemos que h ao quadrado será igual 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado,
sabemos isso pelo Teorema de Pitágoras,
que o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos valores dos outros dois lados.
h ao quadrado é igual a 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado.
Então o resultado é 49,
49 mais 16,
49 mais 10 é 59, mais 6 é 65.
Então h ao quadrado é 65,
deixe eu escrever: h ao quadrado - esse amarelo é diferente -
então temos h ao quadrado é igual a 65.
Fiz certo? 49 mais 10 é 59, mais 6 é 65,
ou poderíamos dizer que h é igual a, se tirarmos a raiz quadrada
dos dois lados,
raiz quadrada de 65. E não podemos simplificar mais do que isso
Aqui é 13.
É a mesma coisa de 13 vezes 5,
ambos não tem raízes perfeitas e
ambos são primos, por isso não dá pra simplificar mais do que isso.
Então isso é igual à raíz quadrada de 65.
Agora, vamos encontrar a função trigonométrica desse ângulo aqui em cima.
Vamos chamar esse ângulo de Theta.
Quando você for calcular
sempre anote tudo - para mim sempre dá certo quando faço anotações -
"Soh cah toa"
Soh...
...soh cah toa. Eu tenho memórias vagas
do meu professor de trigonometria.
Ou talvez eu tenha lido em algum livro, não sei - algo... sobre
algum tipo de princesa indiana chamada "Soh cah toa" ou algo assim,
mas é uma mnemônica muito útil,
então podemos aplicar "soh cah toa".
Vamos encontrar por exemplo o Cosseno.
Queremos encontrar o Cosseno do nosso ângulo.
para encotrar o Cosseno do ângulo, você diz: "soh cah toa!"
Então o "cah". "Cah" nos mostra o que fazer com o Cosaeno,
o "cah" nos diz
que o Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Cosseno significa cateto adjacente sobre hipotenusa.
Então olhemos Theta; qual lado é o adjacente?
Bem, sabemos que a hipotenusa,
sabemos que a hipotenusa é esse lado aqui.
Então não pode ser aquele lado. O único outro lado que é adjacente é o que
não é a hipotenusa, é este 4.
E o outro lado adjacente, esse lado está,
literalmente junto ao ângulo,
é um dos lados que forma o ângulo,
é 4 sobre a hipotenusa.
Já sabemos que a hipotenusa é a raiz quadrada de 65,
então faremos 4 sobre a raiz quadrada de 65.
E algumas vezes você terá que racionalizar o denominador, o que significa
que eles não gostam de ter um número irracional no denominador, como a raíz quadrada de 65
como a raiz quadrada de 65,
e se eles - e caso você queira reescrever isso sem o número irracional no denominador,
você pode multiplicar o numerador e o denominador
pela raiz quadrada de 65.
Certamente isso não alterará o número,
pois o multiplicaremos por algo sobre si mesmo,
então estamos multiplicando o número por 1.
Isso não mudará o número, mas pelo menos eliminará o o número irracional do denominador.
Então o numerador recebe
4 vezes a raiz quadrada de 65.
e o denominador, raiz quadrada de 65 vezes raiz quadrada de 65, que será apenas 65.
Nós não nos livramos do número irracional, ele ainda está aí, só que agora no mumerador.
Agora vamos fazer outras funcões trignométricas
os tipos principais de funções.
Aprenderemos no futuro que existem várias delas
mas todas se derivam dessas.
então vejamos o que é o Theta. Mais uma vez diga "soh cah toa".
O "soh" mostra o que fazer com o Seno.
Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa.
Então para esse ângulo, qual lado é o seu oposto?
Apenas seguimos oposto a ele, pra onde ele abre, e o seu oposto é o 7
entao, o seu lado oposto é o 7.
Isso aqui - que é o lado oposto
e entao na hipotenusa, é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
A hipotenusa é a raiz quadrada de 65.
Raiz quadrada de 65.
e mais uma vez se quisermos racionalizar isso,
podemos multiplicar pela raíz quadrada de 65 sobre a raiz quadrada de 65
e o numerador, será 7 raiz quadrada de 65
e no denominador teremos apenas 65 novamente.
Agora faremos a Tangente!
Vamos fazer a Tangente.
Entao, se eu te perguntar a Tangente
de - a Tangente de Theta
mais uma vez repita "soh cah toa".
O "toa" nos mostra como fazer a Tangente
nos diz...
Nos diz que a Tangente
é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente.
É igual ao oposto sobre...
O oposto sobre o adjacente.
Então para esse ângulo, o que é o oposto? Isso nós já descobrimos.
É o 7. Pois abre pro 7.
Ele está oposto ao 7.
Então é 7 sobre o lado que é adjacente.
Bem, esse 4 é adjacente.
Esse 4 é adjacente. Então o lado adjacente é 4.
Então isso é 7 sobre 4,
e nós terminamos.
Descobrimos todos os tipos de relações trigonométricas para o Theta. Vamos fazer mais um.
Vamos fazer mais um.
Vou fazer esse um pouco mais concreto porque até agora só falamos sobre,
"Oh, Tangente de x, Tangente de Theta." Vamos fazer um exemplo mais concreto. mais concreto
Digamos assim...
Digamos, deixe-me desenhar outro triângulo retângulo,
eis aqui outro triângulo retângulo bem aqui.
Em tudo o que estamos fazendo, tudo isso está sendo em triângulos retângulos.
Digamos que a Hipotenusa tem 4 de comprimento,
e digamos que esse comprimento aqui seja de 2,
e digamos que este comprimento bem aqui vá ser 2 vezes a raiz quadrada de 3.
Podemos verificar que isso funciona.
Se você elevar esse lado ao quadrado, então você terá - .deixe-me escrever isso -
2 vezes a raiz quadrada de 3 ao quadrado
mais 2 ao quadrado é igual a quê?
Isto é um 2. Isso irá ser 4 vezes 3.
4 vezes 3 mais 4,
que vai dar 12 mais 4, que é igual a 16.
E 16 é na verdade 4 ao quadrado. Então isso resulta em 4 ao quadrado,
que é igual a quatro ao quadrado. E satisfaz o Teorema de Pitágoras
e se você se lembrar, alguns dos seus exercícios sobre os triângulos de ângulos 30, 60 e 90 graus
que você deve ter aprendido em Geometria,
você reconhecerá que esse é um triângulo com ângulos de 30, 60 e 90 graus.
E esse aqui é o nosso ângulo reto.
- eu deveria ter marcado desde o começo para mostrar que este é um triângulo retângulo -
este ângulo aqui é o nosso ângulo de 30 graus
e esse aqui em cima, esse ângulo aqui é
o ângulo de 60 graus,
e ele é o 30-60-90 porquê
o Cateto oposto ao ângulo de 30 é a metade da Hipotenusa
e o lado oposto ao ângulo de 60 é a raiz de 3 vezes o outro lado
que não é a Hipotenusa.
Então assim, nós não iríamos...
Não era pra eu fazer uma revisão dos triângulos de 30, 60 e 90 graus.
Vamos encontrar os valores trigonométricos para ângulos diferentes.
Então se eu te pergunto, ou alguém vai lhe perguntar, qual é...
Qual é o Seno de 30 graus?
E lembrando que 30 graus é um dos ângulos desse triângulo, mas você aplicaria
em qualquer lugar onde houvesse um ângulo de 30 graus e que você está lidando como triângulos retângulos.
Iremos ter definições mais amplas no futuro, mas se você disser Seno de 30 graus,
ei, esse ângulo aqui tem 30 graus, então vou fazer uso da técnica do triângulo retângulo,
e nós nos lembramos do "Soh cah toa"
Vamos reescrever isso. "Soh cah toa".
"Seno nos diz" (correção). Soh nos diz o que fazer com o Seno. Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Seno de 30 graus é o cateto oposto,
este é o cateto oposto que é 2 sobre a hipotenusa.
A hipotenusa aqui é quatro.
Que é 2 sobre 4, que é o mesmo que 1 sobre 2, ou 1/2.
Seno de 30 será sempre igual a 1/2.
Agora qual é o Cosseno?
Qual é o Cosseno de 30 graus?
Mais uma vez use "Soh cah toa".
O "cah" nos diz o que fazer com o Cosseno.
Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Então olhando para o ângulo de 30 graus é o adjacente.
Este, bem aqui é o cateto adjacente. Está bem aqui o adjacente está junto dele.
Ele não é a hipotenusa. É o adjacente sobre a hipotenusa.
Então é 2 raiz quadrada de 3...
Adjacente sobre... Sobre a Hipotrenusa, sobre 4.
E se simplificarmos e dividirmos o numerador e o denominador por 2,
teremos a raiz quadrada de 3 sobre 2.
E por fim, vamos fazer a Tangente.
A Tangente de 30 graus,
de novo ao "Soh cah toa".
"Soh cah toa"
"toa" nos diz como fazer com a Tangente. É o oposto sobre o adjacente.
Você vai para o ângulo de 30 graus porque é o que necessitamos, Tangente de 30.
Tangente de 30 graus. O oposto é 2,
o oposto é 2 o adjacente é 2 raiz quadrada de 3.
é o bem perto, junto a ele. É o adjacente a ele.
Adjacente significa "perto de".
Então 2 raiz quadrada de 3...
É igual a... Os 2s se cancelam...
1 sobre raiz quadrada de 3
ou podemos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 3.
Então teremos raiz quadrada de 3 sobre raiz quadrada de 3
que será igual ao numerador raiz quadrada de 3 e então
o denominador bem aqui irá ser 3.
Então nós racionalizamos a raiz quadrada de 3 sobre 3.
Muito bem.
Agora vams usar o mesmo triângulo para descobrir os valores para o ângulo de 60 graus,
que já está desenhado.
Então qual é... Qual é o Seno de 60 graus?
e eu espero que você esteja começando a entender agora.
Seno é o cateto oposto sobre o adjacente. "Soh" do "Soh cah toa".
Qual lado é o cateto oposto para o ângulo de 60 graus?
Qual abre para o 2 raiz quadrada de 3,
então o oposto é 2 raiz quadrada de 3,
e para o ângulo de 60 graus o cateto adj... Ah, desculpe-me!
É o oposto sobre a hipotenusa. Eu não quero te confundir.
Então é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Então fica 2 raiz quadrada de 3 sobre 4. 4 é a hipotenusa.
E o resultado é, simplicando, raiz quadrada de 3 sobre 2.
Qual o Cosseno de 60 graus? Cosseno de 60 graus.
Lembre-se de "Soh cah toa". Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
adjacentes são os dois lados, bem perto do ângulo de 60 graus.
Então isso é 2 sobre a hipotenusa que é 4.
Então isso é igual a 1/2.
E finalmente, qual é a Tangente?
Qual a Tangente de 60 graus?
Bem, Tangente, "Soh cah toa". Tangente é o cateto oposto sobre o adjacente.
O oposto ao ângulo de 60 graus
é 2 raíz quadrada de 3
2 raiz quadrada de 3
e o adjacente a isso.
Adjacente que é 2.
O adjacente ao ângulo de 60 graus é 2.
Então, o oposto sobre cateto adjacente, 2 raiz quadrada de 3 sobre 2,
que é igual a raiz quadrada de 3.
Veja como eles se relacionam!
O Seno de 30 é igual ao Cosseno de 60 graus!
O Cosesno de 30 graus é igual ao Seno de 60!
E esses caras aqui são o inverso um do outro!
Se você pensar um pouco sobre esse triângulo
tudo começa a fazer sentido.
Amprofundaremos no assunto
e praticaremos um pouco mais nos próximos vídeos.
1 supra 2
a lui 65
acesta este triunghiul dreptunghic
adică 2 ori radical din 3 (produsul dintre 2 şi radical din 3)
ambii factori sunt
are lungimea 2
cosinus
căutăm
de 30 de grade?
deşi doar am stabilit
este
este egal cu
ka
pentru unghiuri care nu fac parte din triunghiul dreptunghic, vom urmări să construim triunghiuri dreptunghice
plus 16
radical din 3
radical din 65
rădăcina pătrată (radical) a lui 65.
sau dacă altcineva te întreabă
supra
supra 4
supra cateta alăturată
supra ipotenuza cu lungimea 4
supra ipotenuză
supra ipotenuză.
supra radical din 3
să spunem că acestă catetă din acestă parte
tangenta
toa
va deveni de 4 ori 3
în ambele părţi
Hai să dăm mai multe exemple, doar aşa suntem mai siguri că
vom înţelege aceste funcţii trigonometrice.
Deci, hai să construim propriul nostru trinunghi dreptunghic.
Să construim propriul nostru triunghi dreptunghic şi îmi doresc să fie foarte clar modul de definire
mai departe vom lucra în triunghiul dreptunghic, deci dacă încerci să găseşti
funcţia trigonometrică
dar acum să ne concentrăm pe triunghiul dreptunghic.
Deci să zicem că avem un triunghi dreptunghic în care cateta de jos are lungimea 7
şi cealaltă catetă de sus are lungimea 4.
Să aflăm ce lungime are ipotenuza. Deci ştim că
- notăm ipotenuza cu "h"-
ştim că pătratul lui h este egal cu pătratul lui 7 plus pătratul lui 4, ştim acest lucru
din forma teoremei lui Pitagora.
Deci pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu
suma pătratelor lungimilor celor două catete
aflate de o parte şi de alta a unghiului drept. Pătratul lui "h" este egal cu pătratul lui 7 plus pătratul lui 4.
Deci este egal cu 49
49 plus 16
49 plus zece este 59, plus 6 este
65. 65 este deci pătratul lui h,
deci pătratul lui h,
aici este o altă nuanţă de galben, deci pătratul ipotenuzei h este egal cu
65. Am făcut acest lucru corect? 49 plus 10 este este egal cu 59, plus 6
este egal cu 65, sau putem vedea că h este egal cu, dacă aplicăm rădăcina pătrată
rădăcina pătrată
rădăcina pătrată a lui 65. Şi putem intr-adevăr încerca să simplificăm totul
acesta este 13
aici 65 este acelaşi lucru cu produsul dintre 13 şi 5, ambii factori sunt pătrate perfecte
factori primi deci nu putem simplifica deloc
deci h este egal cu rădăcina pătrată
acum să găsim funcţiile trigonometrice pentru unghiul de sus, să notăm acest unghi cu teta.
Deci ori de căte ori scrii
totdeauna vrei să scrii jos - sau cel puţin pentru mine obişnuinţa este să scriu jos-
să spunem că vrem să găsim cosinusul, vrem să găsim cosinusul unghiului,
vrem să găsim cosinusul unghiului, poţi spune: "soh cah toa"
deci "cah" ne spune ce să facem cu cosinus,
partea "cah" ne spune
acest cosinus este raportul dintre cateta alăturată şi ipotenuză
cosinusul este egal cu cateta alăturată
deci să privim peste unghiul teta; care este cateta alăturată?
ştim clar care este ipotenuza
ştim că ipotenuza este opusă unghiului drept adică este in această parte
deci nu poate fi pe acestă parte. Doar cealaltă parte este adiacentă
nu este ipotenuza, este latura cu lungimea 4.
Deci partea adiacentă aici, acestă parte este,
este chiar lângă unghi, este una dintre laturile care formează unghiul
este latura cu lungimea 4
Ipotenuza deja ştim, este rădăcina pătrată a lui 65, deci este 4
supra
Şi căteodată oamenii vor să raţionalizeze numitorul ceea ce înseamnă că nu le place
să aibă un număr iraţional la numitor, ca rădăcina pătrată a lui 65
şi dacă faci ca ei - dacă vrei să rescrii fără
numărul iraţional la numitor, poţi multiplica numărătorul şi numitorul
cu rădăcina pătrată a lui 65.
Acest lucru sigur nu va schimba numărul, deoarece noi multiplicăm cu ceva împărţit la el însuşi, deci noi
multiplicăm numărul cu 1. Acest lucru nu schimbă numărul iniţial, dar rămânem fără
numărul iraţional la numitor. Deci numărătorul devine
produsul dintre 4 şi rădăcina pătrată a lui 65 (4 ori radical din 65)
şi numitorul devine produsul dintre rădăcina pătrată a lui 65 şi rădăcina pătrată a lui 65 (produsul dintre radical din 65 şi radical din 65)
Noi nu am scăpat de numărul iraţional, este încă acolo, dar acum este la numărător.
Acum să calculăm altă funcţie trigonometrică
sinus
cateta opusă supra ipotenuză
deci pentru acesta
cateta opusă care este 7
deci partea opusă este 7 aceasta este
chiar aici este cateta opusă
şi apoi
ipotenuza este radical din 65
şi încă o dată, dacă vrem să raţionalizăm numitorul, multiplicăm fracţia cu radical din 65
supra radical din 65
numărătorul devine 7 înmulţit cu radical din 65 şi numitorul devine
65 din nou
să învăţăm despre tangentă
ce ne spune tangenta
deci dacă vă întreb despre tangentă
"toa" ne spune ce face tangenta
dacă ne spune
dacă ne spune că acestă tangentă
dacă este egală cu cateta opusă supra cateta alăturată unghiului este egală cu cateta opusă
supra
cateta alăturată
deci pentru asta
care este opusă ştim deja este evident cateta cu lungimea 7
7
deci este 7
ei bine aceasta este cateta alăturată
este cateta alăturată cu lungimea 4
deci este 7
deci am rezolvat
Hai să facem alt exemplu
să rezolvăm alt exemplu concret deoarece chiar acum putem înţelege mai bine
să luăm un exemplu mai concret
să spunem
să spunem, adică să desenăm alt triunghi dreptunghic
să realizăm alt triunghi dreptunghic aici
totul se face cu
să spunem că lungimea ipotenuzei este 4
are lungimea 4
şi să spunem că acestă latură va fi (2 ori radical din 3) produsul dintre 2 şi radical din 3
să verificăm acest lucru
dacă ai această latură la pătrat să scriu 2 ori radical din 3 la pătrat
plus 2 la pătrat este egal cu
acesta este
de 4 ori 3 plus 4
şi acesta va fi egal cu 12 plus 4 şi obţinem 16, iar 16 este într-adevăr
pătratul lui 4
această egalitate satisface teorema lui Pitagora
Dacă îţi aminteşti ceva din ce ai învăţat despre unghiurile cu mărimea de 30, 60, 90 de grade triunghiul va avea
ai învăţat la geometrie, poţi recunoaşte aceste unghiuri
care sunt unghiurile de 30, 60, 90 de grade pentru triunghiul dreptunghic de aici,
unghiul aflat chiar aici este unghiul de 30 de grade
şi celălalt unghi care apare aici are
60 de grade
şi avem unghiuri de 30, 60, 90 de grade deoarece
cateta opusă unghiului de 30 de grade are lungimea jumătate din lungimea ipotenuzei
şi cateta opusă unghiului de 60 de grade este radical din 3 din lungimea celeilalte catete
nu din ipotenuză
deci de aceea avem unghiurile de 30, 60, 90 de grade în acest triunghi
să actualizăm problemele legate de functiile trigonometrice pentru diferite unghiuri
deci dacă te întreb
cât este sinusul de 30 de grade?
şi îţi aminteşti 30 de grade are acest unghi aici în acest triunghi, dar poate fi şi în alt triunghi
în orice triunghi dreptunghic ar fi unghiul de 30 de grade
avem aceeaşi definiţie, dar vezi că sinus de 30 de grade
acest unghi de aici are 30 de grade, deci pot folosi acest triunghi
şi va trebui să-mi amintesc expresia "soh cah toa"
deci voi rescrie
sinus ne spune că este egal cu cateta opusă supra ipotenuză
sinus de 30 de grade este cateta opusă
aceasta este cateta opusă, adică 2
supra ipotenuză, iar ipotenuza aici este 4
este 2 supra 4 care este acelaşi lucru cu 1 supra 2
sinus de 30 de grade mereu va fi egal cu
acum cât este
cât este cosinus
ne întoarcem din nou la "soh cah toa"
această expresie ne spune cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză
deci dacă vom calcula cosinusul pentru unghiul de 30 de grade
cateta alăturată este chiar aici lângă unghi
nu este ipotenuza
cosinus este cateta alăturată supra ipotenuză
cateta alăturată
sau dacă simplificăm expresia se divide
prin 2 şi obţinem radical din 3 supra 2.
În final să calculăm tangenta
de 30 de grade
ne întoarcem la expresia "soh cah toa"
deci
tangenta este raportul dintre cateta opusă supra cateta alăturată
ne întoarcem la unghiul de 30 de grade, deci
tangenta de 30 de grade este raportul dintre
cateta opusă este 2, iar cateta alăturată este 2 ori radical din 3
aşa că
înseamnă că tangenta de 30 de grade este egală cu
deci 2 supra 2 radical din 3
simplificăm expresia cu 2
obţinem 1 supra 3
apoi raţionalizăm numitorul înmulţind cu raportul radical din 3 supra radical din 3
deci avem
şi obţinem numărătorul egal cu radical din 3 şi numitorul este 3
CAH
TOA
Какой катет является прилежащим?
Квадратный корень из трех
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)
Тангенс 30°...
Это будет равно равно четыре раза по три
деленное на гипотенузу.
деленное на четыре
деленному на гипотенузу.
до половины
за гипотенузу в течение четырех
за квадратный корень из трех
из шестидесяти пяти.
или кто-либо ещё спросил бы у вас:
имеет длину два
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить
квадратному корню из трех
на квадратный корень из шестидесяти пяти.
обеих сторон,
плюс шестнадцать,
половины
прямоугольными треугольниками.
скажем, что эта сторона здесь
т. е. разделить на 4.
тридцать градусов
хотя я только что это сделал…
чему равен cos 30°?
шестидесяти градусов
это 2
Давайте сделаем ещё кучу примеров, для того чтобы удостовериться, что мы полностью и хорошо освоили
эту тригонометрическую премудрость.
Так что давайте построим самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники.
Постройте самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники, и я очень хочу чтобы вам было ясно, способ, которым я это пока определил,
будет работать только в прямоугольных треугольниках, если мы хотим найти
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, нам следует посмотреть что нам нужно
иметь для построения прямоугольных треугольников, но давайте пока сосредоточимся на прямоугольных треугольниках.
Допустим, у меня есть треугольник, у которого длина вот этой стороны равна 7.
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.
Давайте выясним, чему будет равна гипотенуза.Так мы знаем...
давайте назовём гипотенузу h.
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы знаем это
из теоремы Пифагора...
что квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов,
двух других его сторон . h² = 7² + 4²,
Таким образом это равно сорок девять
сорок девять плюс шестнадцать,
сорок девять плюс десять будет пятьдесят девять, плюс шесть это
шестьдесят пять.То есть h в квадрате -это шестьдесят пять.
давайте я запишу… h в квадрате…
это другой оттенок жёлтого. Таким образом мы имеем, h в квадрате равно
шестьдесят пять. Сделал ли я это правильно? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если мы извлечем квадратные корни с
квадратный корень
квадратный корень из шестидесяти пяти. И мы никак не можем это упростить все.
это ведь тринадцать
это тоже самое, что тринадцать на пять. Каждое из них не является квадратом целого числа и
они оба простые числа, поэтому мы не можем упростить это как-нибудь еще.
Таким образом это равно квадратному корню
Теперь давайте найдем значения тригонометрических функций, давайте найдем значения тригонометрических функций вот этого верхнего угла. Давайте назовём его θ.
Итак, как бы вы это не делали,
вам всегда стоит записать… по крайней мере, мне помогает,
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.
soh ...
...soh cah toa. У меня сохранились смутные воспоминания
о моем
учителе по тригонометрии…А может, я прочитал это в какой-то книге. Я не знаю,знаете вы что-нибудь о
какой-то индийской принцессе по имени "Soh cah toa", или нет, но это очень полезная
мнемоника, такая что мы сможем пользоваться этой "soh cah toa". Давайте найдем...
скажем, мы хотим найти косинус. Мы хотим найти косинус нашего угла.
мы хотим найти косинус нашего угла, вы произносите: "soh cah toa!"
"cah" говорит нам о том, как найти косинус.
Слог "cah" говорит нам
о том, что косинус(cosine) - это отношение прилежащего катета(adjacent) к гипотенузе(hypotenuse).
Т.е. косинус равен прилежащему катету,
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.
мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая прилежит к этому углу,
и не является гипотенузой -
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.
Это 4
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. Таким образом это будет 4
деленное
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.
И если бы вы хотели записать это без иррационального
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель
на √65.
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от
иррациональности в знаменателе.
Числитель становится равен 4√65,
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле
очень много, но они все выведены из основных
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.Опять же, обратимся к SOH CAH TOA.
SOH говорит нам о том, как найти синус.
Синус(Sine) - это
отношение противолежащего катета(opposite) к гипотенузе(hypotenuse).Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?
Он находится напротив стороны 7.
Так, противолежащий катет равен 7.
Это противолежащий катет.
И гипотенуза равна √65.
И опять же, если бы мы хотели избавиться от
это на √65, деленный на √65.
на квадратный корень из шестидесяти пяти
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.
шестьдесят пять раз.
Теперь давайте найдём тангенс.
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…
Так что, если я задать вам касательной
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.
еще раз вернуться к SOH CAH
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.
Она говорит нам,
Она говорит нам, что тангенс
равен противолежащему катету деленному на прилежащий, равен противолежащему.
деленному на..
противолежащему на прилежащий
Так вот для этого угла,
что является противолежащим, мы уже выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу 7 -
лежит напротив 7.
Поэтому это 7 разделить на...
Это катет длиной 4 - прилежащий.
Прилежащий катет - это 4.
Поэтому это семь
и мы все сделали!
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.
Давайте сделаем ещё один пример. Я сделаю немного более конкретный пример. До сих пор мы говорили:
Чему равен tan x? Чему равен tan θ? Давайте сделаем это немного более конкретным
Скажем... .
Скажем..,давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...
Сейчас мы имеем дело только с
Скажем, гипотенуза
имеет длину четыре
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.
Проверим, что это подходит.
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я напишу это внизу внизу. Два умноженное на корень квадратный
из трех в квадрате
плюс два в квадрате равно…
вот этому
четыре раза по три плюс четыре
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.
А 16 - это действительно 4².
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.
Этот угол - это наш угол в 30°.
И этот угол наверху - это угол в 60°.
шестьдесят градусов угол
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на
другую сторону, не гипотенузу.
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.
Если бы я у вас спросил,
Чему равен sin 30°?
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.
Давайте я запишу это ещё раз. SOH
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
Sin 30° - это противолежащий катет…
это противолежащий катет, который равен 2,
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.
Это 2/4, или 1/2.
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.
Теперь чему равен косинус,
то, что косинус
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это прилежащий катет, деленный на гипотенузу.
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.
это не гипотенузы
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.
разделить на гипотенузу,
Или если мы упростим это, разделив числитель и знаменатель на 2,
получится √3/2.
Наконец, давайте найдем тангенс.
Тангенс тридцать градусов
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.
SOH CAH тоа
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. Противолежащий - это 2.
Тангенс 30°..
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.
Итак, 2√3.
Значит, это равно...
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.
Мы избавились от корня квадратного из три
Хорошо.
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,
так как мы его уже нарисовали.
Итак
... чему равен sin 60°? я думаю, что вы, несомненно, приобретете навык вычисления этого сейчас
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. Для угла в 60° какой катет
является противолежащим?
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
Или 2√3 разделить на 4. 4 - это гипотенуза.
И это равно, если сократить, √3/2.
Чему равен cos 60°? cos 60°…
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.
Т. е. это равно 1/2.
И, наконец...
Чему равен тангенс?
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
противолежащий углу в 60°.
это 2√3
2√3,
и прилежащий к этому
прилежащий к этому
Катет, прилежащий к углу в 60° -это 2.
Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.
2√3 разделить на 2, что просто равно
И я только хотел обратить ваше внимание- посмотрите какие здесь соотношение
синус 30° - это то же самое, что и косинус 60°. Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.
А вот эти два парня(тангенс 60 и тангенс 30) - взаимно обратны и , я думаю, если вы немного подумаете об этом треугольнике,
вам станет ясно почему это так. Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим вам возможность еще попрактиковаться
в следующих видеоуроках.
Le te bejme me shume shembuj
vetem per t'u siguruar qe po ecim mire
Te ndertojme ca trekendesha kenddrejte
dhe dua te jem shume i qarte.
Ajo qe kam thene vlen vetem per kenddrejte
Ne raste funksionesh trig. te kendeve jo ne trekendesha kenddrejte
duhet te ndertosh trekendesha kenddrejte
Por te perqendrohemi tek kenddrejtet tani
Pra, kemi nje trekendesh,
le te themi gjatesia ketu eshte shtate
dhe gjatesia ne kete ane ketu lart
eshte, te themi, kater.
Le te gjejme sa do te jete hipotenuza.
Le ta quajme hipotenuzen "h,"
h ne katror = 7 ne katror dhe 4 ne katror,
e dime nga teorema e Pitagores,
qe hipotenuza ne katror
eshte sa shuma e katroreve te dy brinjeve.
h ne katror =7 ne katror plus 4 ne katror.
Pra, kjo eshte 49 plus 16,
49 plus 16,
49 plus 10 eshte 59, plus 6 eshte 65.
Eshte 65. Pra, h ne katror,
ta shkruaj: h ne katror, tjeter e verdhe,
pra, kemi h ne katror baraz me 65.
E bera mire? 49 plus 10 = 59, plus 6 = 65,
ose h eshte =, me rrenjet e te 2 aneve,
rrenja katrore
rrenja e 65. Dhe s'mund ta thjeshtojme.
Kjo eshte 13.
Kjo eshte njesoj si 13 here 5,
te dyja jane katrore perfekte dhe
dhe jane numra prime, s'i thjeshtojme dot.
Kjo eshte baraz me rrenjen e 65es.
Tani gjejme funk. trig. per kete kend.
Ta quajme kendim ketu lart theta.
Kurdo qe ta beni
gjithmone ta shkruani, une keshtu e bej,
"sph knh tpn"
sph...
...sph knh tpn. Kam disa kujtime
nga mesuesja e trigonometrise.
Do ta kem lexuar diku. S'e di, ndoshta...
1 princeshe indiane "Soh Kah Toa," s'e di
por ia vlen ta mbani mend,
mund te zbatojme "sph knh tpn"
Ta zeme se duam te gjeme kosinusin.
Duam te gjejme kosinusin e kendit tone.
Te gjejme cos e kendit me "sph knh tpn!"
P.sh., "knh." "Knh" per kosinusin,
"Knh" na thote
kosinusi = brinja Ngjitur mbi Hipotenuze
Cos eshte Ngjitur permbi Hipotenuze (knh)
Shohim theten; cila eshte brinja ngjitur?
E dime qe hipotenuza,
E dime qe hipotenuza eshte kjo brinja ketu
S'eshte ana tjeter. E vetmja ngjitur qe s'eshte
hipotenuza, eshte kjo katra.
Brinja ngjitur ketu, kjo brinje eshte,
eshte tamam ngjitur me kendin,
eshte nja nga brinjet qe krijon kendin
eshte 4 pjestuar me hipotenuze
Hipotenuza eshte rrenja e 65es.
Pra, eshte 4 permbi rrenjen e 65es.
Hiq rrenjen nga emeruesi, dmth
s'na pelqen te kemi rrenje ne emerues,
si rrenja e 65es,
nese do ta shkruash pa rrenje ne emerues,
shumezo numeruesin me emeruesin,
pra, me rrenjen e 65es.
Kjo s'e ndryshon numrin,
Se shumezon e pjeston me te njejtin numer,
pra, po shumezojme me 1.
Numri s'ndryshon, por emeruesi s'ka rrenje
Numeruesi eshte
4 here rrenja e 65es.
dhe numeruesi, rrenja e 65es here vetveten eshte 65.
S' shpetuam nga rrenja, eshte ende aty, por ne numerues.
Te bejme funksione te tjera trigonometrike
ose te pakten nje tjeter funksion baze.
Do te mesojme me vone qe ka shume prej tyre
por te gjitha vijne nga keto.
C'shenje ka theta. "Sph knh tpn."
"Spn" per sin. Sin = brinja perballe/hipotenuze
Sinusi = brinja perballe mbi hipotenuze.
Per kete kend cila eshte brinja perballe?
Shohim perballe, eshte perballe shtates
Shtata eshte brinja perballe.
Ja, kjo, kjo eshte brinja perballe
dhe pastaj hipotenuza, perballe mbi h.
Hipotenuza eshte rrenja e 65es.
Rrenja e 65es
dhe nese do te heqim rrenjen nga emeruesi
shumezojme me rrenjen e 65 /rrenjen e 65
dhe tek numeruesi del 7 here rrenja e 65es
dhe emeruesi del 65 perseri.
Tani te gjejme tangentin!
Te gjejme tangentin.
Nese ju pyes per tangentin
e kendit theta
kthehemi tek "sph knh tpn."
"Tpn" na tregon per tangentin
na tregon...
qe tangenti
eshte brinja perballe mbi ate ngjitur
eshte brinja perballe permbi
brinja perballe permbi ate ngjitur
Per kete kend, cila eshte brinja perballe?
Eshte 7. Eshte 7.
Kendi eshte perballe 7es.
Pra, 7 permbi brinjen ngjitur.
Kjo katra eshte ajo ngjitur.
Katra eshte ngjitur. Brinja ngjitur 4.
Pra, 7 permbi 4
dhe mbaruam.
I gjetem funk. trig. te thetes. Nje tjeter
Bejme nje tjeter.
Ta bej me konkrete, se tani vetem thame:
"Cili eshte tg i x apo thetes?" Me konkret
Te themi...
te vizatojme nje trekendesh kenddrejte,
nje tjeter kenddrejte.
Do te kemi te bejme vetem me kenddrejte.
Ta zeme hipotenuza eshte 4
dhe kjo brinja eshte 2
dhe kjo brinja eshte 2 here rrenja e 3.
Ta verifikojme.
Nqs kjo brinja ngrihet ne katror, kemi...
2 here rrenja e 3shit e gjitha ne katror
plus 2 ne katror baraz me cfare?
Kjo eshte 2. 4 here 3.
kater here tre plus kater
dhe kjo do te jete 12 plus 4 baraz me 16
e 16 = 4 ne katror. Kjo eshte 4 ne katror
eshte 4 ne katror. Sipas Pitagores
dhe i kujtoni trekendeshat 30, 60, 90
qe mund te keni mesuar ne gjeometri,
shihni qe ky eshte trekendesh 30, 60, 90.
Ky trekendeshi ketu,
duhet ta kisha vizatuar si kenddrejte
ky eshte kendi yne 30 grade
dhe ky ketu, ky kendi ketu eshte
kend 60 grade
dhe eshte 30, 60, 90, sepse
brinja perballe 30 eshte 1/2 e hipotenuzes
brinja perballe 60 eshte rrenja e 3 here tjetren
Kjo s'eshte hipotenuza.
Ne nuk do te...
Qellimi s'eshte 30, 60, 90 dhe pse e permenda.
Gjejme funksionet trig. per kende te tjera
Nese dikush ju pyet...
cili eshte sinusi i 30 gradeshit?
Kujtoni 30 eshte kend i ketij trekendeshi
Por kurdo keni kend 30 dhe rast kenddrejte
Te flasim per perkufizime, por sin. i 30
ky eshte 30, qe te perdor kenddrejtin
dhe te mbajme mend "sph knh tpn"
Ta rishkruajme "sph, knh, tpn."
"sinusi na thote" (jo) sph = perballe/hipo
sinusi i 30 eshte kendi perballe,
kendi perballe, pra, 2 permbi hipotenuze
Hipotenuza eshte 4 ketu.
Eshte 2/4, pra 1/2.
Sinusi i 30 gradeve do e shihni = 1/2.
Po kosinusi?
Cili eshte kosinusi i 30 gradeve?
Kthehemi tek "sph knh tpn."
"Knh" na ndihmon per kosinusin.
Kosinusi = brinja ngjitur/hipotenuze.
Per kendin 30 gradet kemi brinjen ngjitur.
Kjo eshte brinja ngjitur. Afer kendit.
S'eshte hipotenuza, por prane hipotenuzes.
Eshte 2 here rrenja e treshit
brinja ngjitur permbi hipotenuzen, permbi
Pjestojme numeruesin dhe emeruesin me 2
rrenja e 2shit permbi 2.
Tani, bejme tangentin.
Tangenti i 30 gradeve,
kthehemi tek "sph knh tpn."
"sph knh tpn"
"tpn" per tg. Brinja perballe asaj ngjitur
tg. i 30 gradeve, se ajo na duhet, tg i 30
tg i 30. Brinja perballe eshte 2
perballe ka 2 dhe ngjitur 2 rrenja e 3
Ngjitur. Eshte ngjitur me te.
Ngjitur, pra, brinja afer.
2 here rrenja e 3shit
kjo eshte...dyshat ikin
1 mbi rrenjen katrore te 3shit
shumezim numerues dhe emerues me rrenj. 3
Kemi rrenjen e 3shit mbi rrenjen e 3shit
kjo eshte sa numeruesi rrenja e treshit
emeruesi del 3
Pra, e beme racional me rrenj. 3 / rrenj.3
Mire.
Perdorim kete trekendesh dhe per 60 grade,
meqe e vizatuam.
sa...sa eshte kosinusi i 60 gradeve?
Dhe shpresoj ta dini tani.
Sinusi eshte perballe / hipotenuze. "Sph"
Per 60 grade, cila eshte brinja perballe?
Cili kend ka perballe 2 rrenja e 3shit?
Pra, brinja perballe eshte 2 rrenja e 3
dhe nga kendi 60 grade mbi ate ngjitur..jo
mbi hipotenuzen, s'dua t'ju ngaterroj.
Pra, mbi hipotenuze
2 rrenja e 3 mbi 4. 4 per hipotenuzen.
Pra, behet rrenja e 3 permbi 2.
Sa eshte cos i 60 gradeve? Cos i 60
"Sph tnh tpn." Cos = ngjit./hipotenuze
ngjitur jane 2 brinjet, ngjitur me 60 .
Pra, eshte 2 mbi hipotenuzen, qe eshte 4.
Kjo eshte 1/2
dhe ne fund, sa eshte tangenti?
Tg i 60 gradeve?
"Sph knh tpn." Tg eshte perballe/ngjitur
perballe 60 gradeve
eshte 2 rrenja e 3shit
2 rrenja e 3shit
dhe ngjitur me te
ngjitur me te eshte 2shi.
Ngjitur 60 gradeve eshte 2shi.
Perballe/ngjitur, 2 rrenja e 2shit mbi 2
qe eshte rrenja e 3shit.
Doja te ... si lidhen keto?
Sinusi i 30 eshte sa kosinusi i 60 gradeve
Cos i 30 eshte sa sinusi i 60
pra, jane te anasjellet e njeri-tjetrit
dhe nese mendoni pak per kete trekendesh
do ta kuptoni pse.
Do te vazhdojme mbi kete teme dhe
do te bejme me praktike ne videot e tjera.
Хајде да урадимо још тону примера,
само да би се уверили да добро капирамо ове тригонометријске функције.
Дакле, хајде да конструишемо себи неке правоугле троуглове.
Конструишимо себи неке правоугле троуглове,
и желим да будем веома јасан.
Како сам то до сада дефинисао, важиће само за правоугли троугао.
Тако да, ако покушате да пронађете тригонометријске функције углова који не припадају правоуглом троуглу,
видећемо да ћемо морати да конструишемо правоугле троуглове,
али хајде да се фокусирамо на правоугле троуглове, за сада.
Дакле, рецимо да имам троугао,
где је, рецимо, ова дужина доле 7,
и рецимо да је дужина ове странице овде горе,
рецимо да је она 4.
Хајде да пронађемо колика ће бити ова хипотенуза овде.
Значи, знамо - назовимо хипотенузу "h" -
знамо да ће h на квадрат бити једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат,
знамо то из Питагорине теореме,
да је хипотренуза на квадрат једнака
квадрату сваке, збиру квадрата остале две странице.
h на квадрат је једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат.
Значи, ово је једнако 49 + 16,
49 + 16,
49 + 10 је 59, + 6 је 65.
То је 65, дакле, ово h на квадрат,
дајте да напишем: - h на квадрат - то је друга нијанса жуте -
значи, имамо h на квадрат да је једнако 65.
Да ли сам урадио како треба? 49 + 10 је 59, + још 6 је 65,
или би могли да кажемо да је h једнако, ако извадимо корен из обе стране,
квадратни корен
квадратни корен из 65. И заиста не можемо да упростимо ово уопште.
Ово је 13.
Ово је исто што и 13 пута 5,
оба ова нису идеални квадрати и
оба су прости тако да не можете ово упростити више.
Дакле, ово је једнако квадратном корену из 65.
Сада, хајде да нађемо тригонометријске, пронађимо тригонометријске функције за овај угао овде горе.
Назовимо тај угао горе тета.
Дакле, шта год да радите
увек треба то да запишете - бар за мене, вреди написати -
"сох-ках-тоа".
"сох"...
..."сох-ках-тоа". Имам замагљена сећања
на мог наставника тригонометрије.
Можда сам их и прочитао у некој књизи. Не знам - знате, неке...о
некој индијанској принцези која се звала "сох-ках-тоа" или тако нешто,
али је веома користан подсетник,
тако да можемо да применимо "сох-ках-тоа".
Хајде да нађемо, рецимо да хоћемо да нађемо косинус.
Желимо да нађемо косинус нашег угла.
Желимо да нађемо косинус нашег угла, кажете: "сох-ках-тоа!"
Значи, "ках". "Ках" нам говори шта да радимо са косинусом,
"Ках" део нам каже
да је косинус наспрамна (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.
Косинус је једнак наспрамна кроз хипотенузу.
Па, хајде да погледамо овде где је тета; која је страница налегла?
Па, знамо да је хипотенуза,
знамо да је хипотенуза ова страница овде.
Значи, да не може да буде та страница. Једина друга страница која је некако налегла на њега, а
да није хипотенуза, је ова 4.
Дакле, налегла страница овде, та страница је,
она је буквално, одмах уз угао,
она је једна од страница које формирају угао,
то је 4 кроз хипотенузу.
За хипотенузу већ знамо да је квадратни корен из 65,
тако да је то 4 кроз квадратни корен из 65.
И понекад ће људи хтети да рационализујете именилац, што значи
да не желе да имају ирационалан број у имениоцу,
као што је квадратни корен из 65,
и ако они - ако желите да напишете ово без ирационалног броја у имениоцу,
можете да помножите бројилац и именилац
квадратним кореном из 65.
Ово, јасно, неће променити број,
зато што га множимо нечим кроз то исто,
тако да множимо број са 1.
То неће променити број, али се бар ослобађамо ирационалнох броја у имениоцу.
Значи да бројилац постаје
4 пута квадратни корен из 65,
а именилац, квадратни корен из 65 пута квадратни корен из 65, ће једноставно бити 65.
Нисмо се ослободили ирационалног броја, он је још увек ту, али је сада у бројиоцу.
Сада, хајде да урадимо остале тригонометријске функције
или бар остале, основне тригонометријске функције.
Научићемо касније да их заправо, има тона,
али су оне све изведене из ових.
Дакле, хајде да размислимо о томе шта је синус тета. Још једном на "сох-ках-тоа".
"Сох" нам каже шта да радимо са синусом. синус је супротна над хипотенузом.
Синус је једнак супротна кроз хипотенуза.
Синус је супротна кроз хипотенуза.
Па, за овај угао, која страница је супротна?
Идемо само насупрот, ка ономе ка чему се отвара, његова супротна је 7.
Значи, супротна страница је 7.
Ово, управо овде - то је супротна страница
и онда хипотенуза, то је супротна кроз хипотенуза.
Хипотенуза је квадратни корен из 65.
Квадратни корен из 65.
И још једном, када би хтели да рационализујемо ово,
могли би да помножимо пута квадратни корен из 65 кроз квадратни корен из 65
и у бројиоцу ћемо добити 7 квадратних корена из 65,
а у бројиоцу ћемо добити само 65, поново.
Сада, хајде да урадимо тангенс!
Урадимо тангенс.
Дакле, ако вам тражим тангенс
од - тангенс од тета,
опет идемо назад на "сох-ках-тоа".
"Тоа" део нам говори шта да радимо са тангенсом.
Говори нам...
Каже нам да је тангенс
једнак супротна кроз налегла,
је једнак супротна кроз
супротна кроз налегла
Дакле, за овај угао, шта је супротна? Већ смо пронашли
да је 7. Отвара се ка 7.
Он је насупрот 7.
Значи, то је 7 кроз ону страницу која је налегла.
Па, ових 4 је налегла.
Ових 4 је налегла. Тако да је налегла страница 4.
Значи, то је 7 кроз 4,
и завршили смо.
Пронашли смо све тригонометријске односе за тета. Урадимо још један.
Хајде да урадимо још један.
Направићу га мало конкретнијим, јер сада говоримо
"ох, шта је тангенс од х, тангенс од тета." Хајде да буде мало конкретнији.
Рецимо...
Рецимо, дајте да нацртам још један правоугли троугао.
То је други правоугли троугао овде.
Све са чиме радимо, односи се на правоугле троуглове.
Рецимо да хипотенуза има дужину 4,
рецимо да ова страница овде има дужину 2,
и рецимо да ће ова дужина овде бити два пута квадратни корен из 3.
Можемо проверити да ли ово важи.
Ако имате ову страницу квадрирану, тако да имате - дајте да запишем то -
2 пута квадратни корен из 3 на квадрат
+ 2 на квадрат, је једнако, чему?
Ово је 2. Биће 4 пута 3.
4 пута 3 + 4,
и ово ће бити једнако 12 + 4 је једнако 16
а 16 је заправо 4 на квадрат. Значи, ово је једнако 4 на квадрат,
то јесте једнако 4 на квадрат. Задовољава Питагорину теорему
и ако се сећате неких од задатака из 30 60 90 троуглова
које сте могли да научите у геометрији,
можда ћете препознати да је ово 30 60 90 троугао.
Ово овде је наш прав угао,
- требало је да га нацртам на почетку да бих вам показао да је ово правоугли троугао -
овај угао овде је наш угао од 30 степени
а затим овај угао овде, овај овде је
угао од 60 степени,
и то је 30 60 90 јер
страница супротна од 30 степени је половина хипотенузе,
а затим страница супротна од 60 степени ја квадрат од 3 пута друга страница
која није хипотенуза.
Дакле, то нам је рекло, ми нећемо...
Ово није предвиђено да буде анализа 30 60 90 троуглова, иако сам то управо урадио.
Хајде да заиста пронађемо тригонометријске односе за различите углове.
Дакле, ако бих вас питао или ако би вас било ко питао, колики је...
Колики је синус од 30 степени?
И сетите се да је 30 степени један од углова у овом троуглу, али може бити примењен
увек када имате угао од 30 степени и имате правоугли троугао.
Проширићемо дефиниције у будућности, али ако кажете синус од 30 степени,
хеј, овај угао овде је 30 степени, тако да могу да применим овај правоугли троугао.
И само треба да се сетимо "сох-ках-тоа"
Преписаћемо то, "сох-ках-тоа".
Синус нам говори, "сох" нам говори шта треба да радимо са синусом. Синус је супротна (оригинал: opposite) кроз хипотенузу.
Синус од 30 степени је супротна страница,
то је супротна страница, која је 2, кроз хипотенузу.
Хипотенуза је овде 4.
То је 2/4 што је исто што и 1/2.
Синус од 30 степени ће увек бити, видећете, једнак 1/2.
Сада, колики је косинус?
Колики је косинус од 30 степени?
Још једном се вратимо на "сох-ках-тоа"
"Ках" нам говори шта треба да радимо са косинусом.
Косинус је налегла (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.
Дакле, погледамо у угао од 30 степени и видимо која је налегла.
Ова, управо овде је налегла. Она је непосредно поред.
Она није хипотенуза. То је налегла кроз хипотенуза.
Значи, то је 2 квадратна корена из 3,
налегла кроз... кроз хипотенуза, кроз 4.
Или, ако упростимо то, поделимо бројилац и именилац са 2.
То је квадратни корен из 3 кроз 2.
И на крају, урадимо тангенс.
Тангенс од 30 степени,
враћамо се на "сох-ках-тоа".
"Сох-ках-тоа".
"Тоа" нам говори шта радимо са тангенсом. То је супротна кроз налегла.
Идете на угао од 30 степени зато што нас он занима, тангенс од 30.
Тангенс од 30. Супротна је 2,
супротна је 2, а налегла је 2 квадратна корена из 3.
Она је непосредно поред. Она је налегла не њега.
Налегла значи тик уз.
Значи, 2 квадратна корена из 3.
дакле, ово је једнако... двојке се поништавају
1 кроз квадратни корен из 3
Или можемо помножити бројилац и именилац квадратним кореном из 3.
Тако да имамо квадратни корен из 3 кроз квадратни корен из 3.
И значи, ово ће бити једнако у бројиоцу, квадратни корен из 3 и онда
у имениоцу, овде ће бити само 3.
Тако да смо рационализовали квадратни корен из 3 кроз 3.
Довољно добро.
Сада, хајде да употребимо исти троугао да пронађемо тригонометријске односе за 60 степени,
пошто смо га већ нацртали.
Дакле, колики је... колики је синус од 60 степени?
И надам се да хватате прикључак.
Синус је супротна кроз хипотенуза. "Сох" из "сох-ках-тоа".
За угао од 60 степени, која је страница супротна,
она према којој се отвара је 2 квадратна корена из 3.
Дакле, супротна страница је 2 квадратна корена из 3,
и за угао од 60 степени, нал... - ох, извините,
то је супротна кроз хипотенузу, не желим да вас збуним.
Значи, то је супротна кроз хипотенузу.
Дакле, то је 2 квадратна корена из 3 кроз 4. 4 је хипотенуза.
Значи, то је једнако, ово се упрости на квадратни корен из 3 кроз 2.
Колики је косинус од 60 степени? Косинус од 60 степени.
Па, сетите се "сох-ках-тоа". Косинус је налегла кроз хипотенуза.
Налегла је страница 2, непосредно уз угао од 60 степени.
Дакле, то је 2 кроз хипотенуза, која је 4.
Значи, ово је једнако 1/2.
И онда, на крају, колики је тангенс?
Колики је тангенс од 60 степени?
Па, тангенс, "сох-ках-тоа". Тангенс је супротна кроз налегла.
Супротна од 60 степени
је 2 квадратна корена из 3,
2 квадратна корена из 3,
а налегла на угао,
налегла на угао је 2.
Налегла на 60 степени је 2.
Дакле, то је супротна кроз налегла, 2 квадратна корена из 3 кроз 2,
што је једнако само квадратном корену из 3.
И само сам хтео да - погледајте како се ови односе -
синус од 30 степени је исто што и косинус од 60 степени.
Косинус од 30 степени је исто што и синус од 60 степени.
И затим, ови момци су инверзни један другом.
И мислим да ако размислите мало о овом троуглу
да ће почети да има смисла зашто је то тако.
Прошириваћемо ово и
дати вам много више примера за вежбање у следећих неколико снимака.
Låt oss göra fler exempel,
bara så vi se till att vi lär oss trigonometri perfekt.
Så låt oss rita några räta trianglar.
och jag vill vara mycket tydlig.
Det sätt som jag har definierat det hittills, detta fungerar bara i rätt trianglar.
Så om du försöker hitta vinklar som inte ingår i rätt trianglar, trig-funktioner
Vi ska se att vi ska behöva konstruera räta trianglar,
men låt oss fokusera bara på räta trianglar för nu.
Så låt oss säga att jag har en triangel,
där anta denna längd här nere är sju,
och låt oss säga längden på denna sida här,
Låt oss säga att det är fyra.
Låt oss räkna ut vad hypotenusan över här kommer att bli.
Så vi vet - Låt oss kalla på hypotenusan, "h"-
Vi vet att h squared kommer att vara lika med sju kvadrat plus fyra kvadrat,
Vi vet att från Pythagoras sats,
att kvadrat på hypotenusan är lika med
torget av summan av kvadraterna för de två andra sidorna.
h squared är lika med sju kvadrat plus fyra kvadrat.
Det är alltså lika med fyrtio-nio plus sexton,
fyrtio-nio plus sexton,
fyrtio nio plus tio är femtio-nio, plus sex är sextiofem.
Det är 65. Så här h squared,
Låt mig skriva: h kvadrat - som är olika nyanser av gult -
så vi har är h i kvadrat är lika med sextiofem.
Gjorde jag den rätten? Fyrtio nio plus tio är femtio nio, plus en annan sex är sextiofem,
eller vi kan säga att h är lika med, om vi tar kvadratroten av båda sidor,
kvadratrot
kvadratroten av sextio fem. Och vi verkligen förenkla inte detta alls.
Detta är tretton.
Detta är samma sak som tretton gånger fem
båda dessa är inte perfekt kvadrater och
de är båda prime så du inte kan förenkla detta mer.
Det är alltså lika med kvadratroten ur sextio fem.
Nu ska vi hitta på trig, låt oss hitta trig-funktioner för denna vinkel upp här.
Låt oss kalla denna vinkel upp theta.
Så när du gör det
du vill alltid skriva ner - åtminstone för mig fungerar det för att skriva ned-
"soh cah toa".
SoH...
.. .soh cah toa. Jag har dessa vaga minnen
av min lärare i trigonometri.
Kanske har jag läst det i någon bok. Jag vet inte - du känner, vissa...
någon typ av indisk prinsessa heter "soh cah toa" eller vad som helst,
men det är en mycket användbar ramsa.
så kan vi tillämpa "soh cah toa".
Låt oss hitta, låt oss säga vi vill hitta cosinus.
Vi vill hitta cosinus för våra vinkel.
Wanna finner vi cosinus för våra vinkel, ni säger: "soh cah toa!"
Så "cah". "Cah" berättar vad man ska göra med cosinus,
"cah" del berättar
att cosinus är intilliggande över hypotenusan.
Cosinus är lika med intilliggande över hypotenusan.
Så låt oss se här theta; vilken sida är intilliggande?
Vi vet att hypotenusan,
Vi vet att att hypotenusan är denna sida här.
Så det inte kan vara den sidan. De bara andra sida som typ av gränsar till det som
inte på hypotenusan, är det fyra.
Så den angränsande sidan här, denna sida är,
Det är bokstavligt talat rätt vid vinkel,
Det är en av de sidor som typ av bildar vinkeln
Det är fyra över på hypotenusan.
På hypotenusan som vi redan vet är kvadratroten ur sextiofem.
Det är alltså fyra över kvadratroten av sextiofem.
Och ibland människor kommer vill du att rationalisera nämnaren vilket innebär
de gillar att ha ett irrationellt tal i nämnaren,
som kvadratroten av sextio fem,
och om de - om du wanna skriva om detta utan ett irrationellt tal i nämnaren,
Du kan multiplicera täljare och nämnare
av kvadratroten av sextiofem.
Detta kommer helt klart inte ändrar numret,
eftersom vi är att multiplicera det med något över sig själv,
så vi att antalet av en.
Som inte ändrar numret, men åtminstone det får bli av irrationellt tal i nämnaren.
Så täljaren blir
fyra gånger kvadratroten av sextiofem,
och nämnaren, kvadratroten av 65 gånger kvadratroten av 65, kommer bara att bli 65.
Vi avskaffa inte irrationellt tal, det finns fortfarande, men det är nu i täljaren.
Nu ska vi göra andra trig-funktioner
eller åtminstone andra kärnan trig funktioner.
Vi lär dig i framtiden att det finns faktiskt ett ton
men de är alla som härrör från dessa.
så låt oss tänka vad tecknet för theta är. Än en gång gå till "soh cah toa".
"soh" berättar vad man ska göra med sinus. Sinus är motsatta över hypotenusan.
Sinus är lika mittemot över hypotenusan.
Sinus är motsatta över hypotenusan.
Vilken sida för denna vinkel är så motsatt?
Vi går bara motsatt det, vad det öppnas, det är motsatta sju
motsatt sida är alltså sju.
Det är just här - som är motsatt sida
och sedan på hypotenusan är det motsatta över hypotenusan.
På hypotenusan är kvadratroten ur sextiofem.
Kvadratroten av sextiofem.
och än en gång om vi ville att rationalisera
Vi kan multiplicera gånger kvadratroten av 65 över kvadratroten av 65
och täljaren, vi kommer att få sju kvadratroten av 65
och i nämnaren kommer vi få bara sextiofem igen.
Nu ska vi göra tangens!
Låt oss göra tangens.
Så om jag ber tangens
av - tangens för theta
återigen gå tillbaka till "soh cah toa".
Toa del berättar vad man ska göra med tangens
Det berättar...
Det berättar att tangens
är lika med mittemot över angränsande
är lika med mittemot över
motsatsen över angränsande
För denna vinkel, vad är motsatsen? Vi har redan räknat ut.
Det är sju. Det öppnas i sju.
Det ligger mittemot sju.
Så det är sju över vilken sida ligger intill.
väl är här fyra intilliggande.
Här fyra ligger intill. Så den intilliggande sidan är fyra.
så det är sju över fyra,
och vi är klar.
Vi tänkte ut alla trig kvoterna för theta. Låt oss göra en annan.
Låt oss göra en annan.
Jag ska göra det lite bit betong för rätt nu vi har sagt,
"Åh, vad är tangens för x, tangens för theta." Låt oss göra det lite mer konkret.
Låt oss säga...
Låt oss säga, låt mig göra en annan Rätvinklig triangel,
Det är en annan Rätvinklig triangel i här.
Allt vi göra med, dessa kommer att vara rätt trianglar.
Låt oss har säga på hypotenusan längden fyra,
Låt oss säga att denna sida här har längd två,
och låt oss säga att denna längd här kommer att bli två gånger kvadratroten av tre.
Vi kan verifiera att det fungerar.
Om du har denna sida squared, så att du har - Låt mig skriva ned - det
två gånger kvadratroten av tre kvadrat
plus två squared, är lika med vad?
Detta är två. Det kommer att vara fyra gånger tre.
fyra gånger tre plus fyra,
och detta kommer att vara lika med tolv plus fyra är lika med sexton
och sexton är verkligen fyra kvadrat. Så detta lika med fyra kvadrat,
det lika fyra kvadrat. Det uppfyller Pythagoras sats
och om du kommer ihåg några av ditt arbete från 30 60 90 trianglar
att du kanske har lärt sig i geometri,
Du kanske känner igen att det är en 30 60 90 triangeln.
Det är här vår rätvinkliga,
-Jag borde ha dragit det av get go att visa att detta är en Rätvinklig triangel -
denna vinkel höger över här är vår trettio graders vinkel
och sedan denna vinkel upp här, denna vinkel upp här är
en 60 graders vinkel,
och det är en trettio sexton nittio eftersom
sidan mittemot de trettio graderna är hälften på hypotenusan
och sedan sidan mittemot 60 grader är en kvadraten av 3 gånger den andra sidan
Det är inte på hypotenusan.
Så att säga, we're not gonna...
Detta är inte tänkt för att vara en översyn av 30 60 90 trianglar även om jag bara gjorde det.
Låt oss faktiskt hitta trig kvoterna för de olika vinklarna.
Så om jag skulle fråga du eller om någon skulle fråga er, vad är...
Vad är sinus för trettio grader?
och kom ihåg 30 grader är en av vinklarna i denna triangel men det skulle gälla
När du har en 30 graders vinkel och du göra med Rätvinklig triangel.
Vi ska ha bredare definitioner i framtiden men om ni säger sinus för trettio grader,
Hej, är denna vinkel höger över här trettio grader så jag kan använda denna Rätvinklig triangel,
och vi måste bara komma ihåg "soh cah toa"
Vi skriva om den. SoH, cah, toa.
"sine berättar" (korrigering). SoH säger oss vad till sinus. sinus är motsatta över hypotenusan.
sinus för trettio grader är den motsatta sidan,
Det är den motsatta sidan som är två över på hypotenusan.
På hypotenusan här är fyra.
Det är två fjärdedelar som är samma sak som hälften.
sinus för trettio grader ser du alltid kommer att vara lika med hälften.
Vad är nu cosinus?
Vad är cosinus för trettio grader?
Återigen gå tillbaka till "soh cah toa".
Cah berättar vad man ska göra med cosinus.
Cosinus är intilliggande över hypotenusan.
Så titta på trettio graders vinkel är det den intilliggande.
Detta är rätt över här intilliggande. Det är rätt bredvid.
Det är inte på hypotenusan. Det är den intilliggande över på hypotenusan.
så det är två square rötter av tre
intilliggande över... över på hypotenusan, över fyra.
eller om vi förenklar att vi dela täljaren och nämnaren med två
Det är kvadratroten ur tre över två.
Slutligen, låt oss göra tangens.
Tangens för trettio grader,
Vi går tillbaka till "soh cah toa".
SoH cah toa
TOA berättar vad man ska göra med tangens. Det är motsatta över angränsande
du går till 30 graders vinkel eftersom det är vad vi bryr oss om, tangerande 30.
tangens för trettio. Motsatsen är två,
mittemot är två och den intilliggande är två square rötter av tre.
Det är rätt bredvid. Det angränsar till det.
intilliggande innebär bredvid.
så två square rötter av tre
... är detta lika med avbryta de parvisa objekt
en över kvadratroten av tre
eller vi kan multiplicera täljare och nämnare med kvadratroten av tre.
Så vi har kvadratroten av tre över kvadratroten av tre
och så detta kommer att vara lika med täljaren kvadratroten av tre och sedan
nämnaren rätt över här kommer bara att bli tre.
Så att vi har rationaliserad en kvadratrot tre över tre.
Tillräckligt rättvis.
Nu kan använda samma triangeln för att räkna ut trig kvoterna för de 60 graderna,
eftersom vi har redan ritat den.
så vad is... Vad är sinus för 60 grader?
och jag tror att du förhoppningsvis får en introduktion till det nu.
Sinus är motsatta över angränsande. SoH från "soh cah toa".
de sextio graden vinkel i vilken sida är motsatta?
Vad öppnas i två square rötterna till tre,
så den motsatta sidan är två square rötter av tre,
och från den sextio graden vinkel adj-oh sorry
dess motsatsen över hypotenusan, vill inte blanda ihop du.
så det är motsatta över hypotenusan
Det är alltså två square rötter tre över fyra. fyra är på hypotenusan.
så det är lika, förenklar detta till kvadratroten av tre över två.
Vad är cosinus för 60 grader? cosinus för 60 grader.
så minns "soh cah toa". cosinus är intilliggande över hypotenusan.
intill ligger två sidorna, direkt vid 60 graders vinkel.
Det är alltså två över på hypotenusan är fyra.
Så detta är lika med hälften
och slutligen, vad är tangens?
Vad är tangens för 60 grader?
Väl tangerande, "soh cah toa". Tangens är motsatta över angränsande
mittemot de 60 graderna
är två square rötter av tre
två torg rötter av tre
och intill den
intill som är två.
Angränsande till 60 grader är två.
Så rötter dess motsatta över angränsande, två torg tre över två
som är precis lika kvadratroten av tre.
Och jag ville bara - ser hur dessa hör-
sinus för trettio grader är samma som cosinus för 60 grader.
Cosinus för 30 grader är samma sak som sinus av 60 grader
och sedan dessa killar är inversen av varandra
och jag tror att om du tycker lite om denna triangel
Det kommer att börja vettigt varför.
Vi ska hålla utvidga detta och
ger dig mycket mer praxis i nästa några videor.
ลองดูตัวอย่างกันดีกว่า
แค่ให้เรามั่นใจว่าเราเข้าใจฟังก์ชันตรีโกณฯ นี่ดีพอ
ลองสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมา
ผมอยากให้มันชัดเจน
วิธีที่ผมนิยามมันขึ้นมา, มันใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
หากคุณพยายามหาฟังก์ชันตรีโกณฯ ของมุมที่ไม่ได้อยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉาก,
เราจะเห็นว่าเราต้องสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน,
แต่ตอนนี้ดูแค่สามเหลี่ยมมุมฉากก่อนนะ
สมมุติว่าผมมีสามเหลี่ยม
โดยสมมุติว่าความยาวนี่ตรงนี้คือ 7,
และสมมุติว่าความยาวด้านนี่บนนี้,
สมมุติว่ายาว 4
ลองหาว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเท่าไหร่
เรารู้ว่า -- เรียกด้านตรงข้ามมุมฉากว่า 'h' แล้วกัน --
เรารู้ว่า h กำลังสอง จะเท่ากับ 7 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง
เรารู้มาจากทฤษฎีบทปีทาโกรัส
ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง เท่ากับ
กำลังสองของแต่ละด้าน ผลรวมของแต่ละด้านที่เหลือกำลังสอง
h กำลังสอง เท่ากับ 7 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง
นี่ก็เท่ากับ 49 บวก 16
49 บวก 16
49 บวก 10 คือ 49, บวก 6 ได้ 65
มันคือ 65
ขอผมเขียนลงไปนะ: h กำลังสอง -- นั่นคืดสีเหลืองอีกแบบนึง --
เราได้ h กำลังสอง เท่ากับ 65
ผมทำถูกไหม? 49 บวก 10 ได้ 59, บวก 6 อีก ได้ 65,
หรือเราอาจบอกว่า h เท่ากับ, หากเราใส่สแควร์รูททั้งสองข้าง,
สแควร์รูท
สแควร์รูทของ 65 แล้วเราทำต่อไปไม่ได้อีก
นี่คือ 13
นี่เหมือนกับ 13 คูณ 5,
ทั้งสองตัวนี้ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ และ
ทั้งคู่ก็เป็นจำนวนเฉพาะ คุณเลยลดรูปมันอีกไม่ได้แล้ว
นี่เลยเท่ากับสแควร์รูทของ 65
ทีนี้ลองหาตรีโกณฯ, ลองหาฟังก์ชันตรีโกณฯ สำหรับมุมนี่ตรงนี้กัน
เรียกมุมบนนี้ว่า ทีต้า นะ
เมื่อไหร่ก็ตามที่คุณทำ
คุณควรเขียนลงไป -- อย่างน้อยสำหรับผม ควรเขียนลงไป --
"SOH CAH TOA"
SOH...
...SOH CAH TOA ผมจำได้เลือนราง
จากครูสอนตรีโกณมิติของผม
บางทีผมอาจจำมาจากหนังสือ ไม่รู้สิ -- คุณก็รู้, พวก...
เจ้าชายอินเดียชื่อ "SOH CAH TOA" หรืออะไรก็ช่าง,
แต่มันวลีช่วยจำที่มีประโยชน์,
เราก็ใช้ "SOH CAH TOA"
ลองหา, สมมุติว่าเราอยากหาโคไซน์
เราอยากหาโคไซน์ของมุมนี้
เราอยากหาโคไซน์ของมุมนี้, คุณก็บอกว่า "SOH CAH TOA!"
งั้น "CAH", "CAH" บอกเราว่าจะคิดโคไซน์ยังไง
"CAH" บอกเราว่า
โคไซน์คือด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์เท่ากับด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ลองดูตรงนี้ที่ทีต้า, ด้านไหนคือด้านประชิด?
เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก,
เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านนี่ตรงนี้
มันเป็นด้านนั้นไม่ได้ อีกด้านก็อยู่ชิดกับมัน เลยไม่ใช่
ด้านตรงข้ามมุมฉาก, คือ 4 นี่
ดังนั้นด้านประชิดตรงนี้, ด้านนั่น,
มันก็คือด้านที่ติดกับมุม
มันคือด้านด้านหนึ่งที่ประกอบเป็นมุม
มันคือ 4 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
เรารู้แล้วว่าด้านตรงข้ามมุมฉากคือสแควร์รูทของ 65
มันก็คือ 4 ส่วนสแควร์รูทของ 65
บางครั้งคนชอบให้คุณทำส่วนเป็นตรรกยะ ซึ่งหมายความว่า
เขาไม่ชอบให้เลขอตรรกยะอยู่เป็นตัวส่วน
อย่างเช่นสแควร์รูทของ 65
และหากเขา -- หากคุณอยากเขียนนี่ใหม่โดยไม่ให้ตัวส่วนเป็นอตรรกยะ,
คุณก็คูณทั้งเศษและส่วน
ด้วยสแควร์รูทของ 65
นี่จะไม่เปลี่ยนค่าตัวเลช
เพราะเราคูณมันด้วย อะไรสักอย่างส่วนตัวเอง,
มันเลยเหมือนคุณด้วยหนึ่ง
มันไม่เปลี่ยนเลข, แต่อย่างน้อยมันกำจัดเลขอตรรกยะในตัวส่วน
ตัวเศษจะกลายเป็น
4 คูณสแควร์รูทของ 65
และตัวส่วน, สแควร์รูทของ 65 คูณสแควร์รูทของ 65, จะเท่ากับ 65
เราไม่ได้กำจัดเลขอตรรกยะ, มันยังอยู่, แต่ตอนนี้มันอยู่ที่ตัวเศษ
ทีนี้ลองดูฟังก์ชันตรีโกณฯ อื่น
หรืออย่างน้อยก็ฟังก์ชันตรีโกณฯ พื้นฐานตัวอื่นกัน
เราจะเรียนต่อไปว่ามันยังมีอีกเยอะ
แต่พวกมันมาจากเจ้าพวกนี้
ลองนึกว่าไซน์ของทีต้าคืออะไร เหมือนเดิม ดูที่ "SOH CAH TOA"
"SOH" บอกวิธีจัดการไซน์ ไซน์คือ ตรงข้าม ส่วน ตรงข้ามมุมฉาก
ไซน์เท่ากับด้านตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ไซน์คือ ข้าม ส่วน ฉาก
สำหรับมุมนี้ ด้านไหนคือด้านตรงข้าม?
เราแค่ไปตรงข้าม, มันเปิดไปหา, มันตรงข้ามกับ 7
งั้นด้านตรงข้ามคือ 7
นี่คือ, ตรงนี้ -- นั่นคือด้านตรงข้าม
แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก, มันอยู่ตรงข้ามมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ สแควร์รูทของ 65
สแควร์รูทของ 65
เหมือนเดิม หากเราทำส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ,
เราก็คูณมันด้วยสแควร์รูทของ 65 ส่วนสแควร์รูทของ 65
และตัวเศษ, เราจะได้ 7 ส่วนสแควร์รูทของ 65
แล้วตัวส่วน เราจะได้ 65 เหมือนเดิม
ทีนี้ลองทำแทนเจนต์กัน!
ลองหาแทนเจนต์กัน
หากผมถามคุณว่าแทนเจนต์
แทนเจนต์ของทีต้า
เหมือนเดิม กลับไปที่ "SOH CAH TOA"
TOA บอกเราว่าทำยังไงกับแทนเจนต์
มันบอกเราว่า...
มันบอกเราว่าแทนเจนต์
เท่ากับด้านตรงข้าม ส่วนด้านประชิด
เท่ากับด้านตรงข้าม ส่วน
ด้านตรงข้าม ส่วน ด้านประชิด
สำหรับมุมนี้, ด้านตรงข้ามคืออะไร? เราหาไปแล้ว
มันคือ 7, มันเปิดหาด้าน 7
มันตรงข้ามกับ 7
มันก็คือ 7 ส่วนด้วย ด้านไหนคือด้านประชิด
4 นี่คือด้านประชิด
4 นี่คือชิด ด้านประชิดก็คือ 4
มันเลยเป็น 7 ส่วน 4,
แล้วเราก็ได้แล้ว
เราหาอัตราส่วนตรีโกณฯ ทั้งหมดของทีต้าได้แล้ว ลองทำอีกอันนึง
ลองดูอีกตัวอย่างนึง
ผมจะทำให้มันชัดเจนกว่านี้หน่อย เพราะตอนนี้เราบอกว่า,
"โอ้, แทนเจนต์ของ x คืออะไร แทนเจนต์ของทีต้าคืออะไร" ลองดูตัวอย่างที่เจาะจงกว่านี้ดีกว่า
สมมุติว่า...
สมมุติว่า, ขอผมวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันนึง
นั่นคือสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันตรงนี้
ทุกอย่างที่เราสนใจ, นี่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
สมมุติว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 4,
สมมุติว่าด้านนี่ตรงนี้ยาว 2,
และสมมุติว่าความยาวตรงนี้เป็น 2 เท่าของสแควร์รูท 3
เราทดสอบได้ว่ามันจริงหรือเปล่า
หากคุณเอาด้านนี้กำลังสอง, แล้วได้ -- ขอผมเขียนลงไปนะ --
2 คูณสแควร์รูทของ 3 กำลังสอง
บวก 2 กำลังสอง, เท่ากับอะไร?
นี่คือ 2 มันจะได้ 4 คูณ 3
4 คูณ 3 บวก 4,
นี่จะเท่ากับ 12 บวก 4 เท่ากับ 16
และ 16 ก็คือ 4 กำลังสอง นี่ก็เท่ากับ 4 กำลังสอง
มันเท่ากับ 4 กำลังสอง มันเลยเป็นไปตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส
หากคุณจำที่คุณทำไว้ทำสามเหลี่ยม 30 60 90
คุณอาจเรียนในเรขาคณิต
คุณอาจจำได้ว่านี่คือ สามเหลี่ยม 30 60 90
นี่ตรงนี้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก,
ผมควรวาดมันจากตรงนี้เพื่อให้เห็นว่านี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก --
มุมนี่ตรงนี้ คือมุม 30 องศา
และมุมนี่ตรงนี้, มุมนี่บนนี้คือ
60 องศา,
และมันคือ 30 60 90 เพราะ
ด้านตรงข้ามมุม 30 องศา เป็นครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก
และด้านตรงข้ามมุม 60 องศา เป็น สแควร์รูท 3 เท่าของอีกด้าน
ที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ตามที่บอก, เราจะไม่ --
นี่ไม่ใช่การทบทวนสามเหลี่ยม 30 60 90 องศา แม้ว่าผมเพิ่งทำไป
ลองหาอัตราส่วนตรีโกณฯ สำหรับมุมต่าง ๆ กัน
หากผมถามคุณ หรือใครก็ตามถามคุณว่า
ไซน์ของ 30 องศาเป็นเท่าไหร่?
จำไว้ว่า 30 องศาเป็นหนึ่งในมุมของสามเหลี่ยมนี้ แต่มันใช้ได้
เมื่อใดก็ตามที่คุณมีมุม 30 องศา และคุณยุ่งกับสามเหลี่ยมมุมฉาก
เราจะได้นิยามที่ทั่วไปกว่านี้ในอนาคต แต่หากคุณบอกว่า ไซน์ของ 30 องศา,
เฮ้, มุมนี่ตรงนี้คือ 30 องศา ผมเลยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากนี่
เราแค่ต้องจำ "SOH CAH TOA"
เราเขียนมันใหม่ SOH, CAH, TOA
"ไซน์บอกเรา" (แก้ไข) SOH บอกเราว่าให้ทำยังไงกับไซน์ ไซน์คือตรงข้ามส่วนตรงข้ามมุมฉาก
ไซน์ของ 30 องศา คือด้านตรงข้าม,
นั่นคือด้านตรงข้าม เท่ากับ 2 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ 4
มันคือ 2 ส่วน 4 ซึ่งเท่ากับ ครึ่งหนึ่ง พอดี
ไซน์ของ 30 องศา คุณจะเห็นว่าเท่ากับ ครึ่งหนึ่ง พอดี
ทีนี้โคไซน์เป็นเท่าไหร่?
โคไซน์ของ 30 องศา คืออะไร?
เหมือนเดิม กลับไปที่ "SOH CAH TOA"
CAH บอกเราว่าทำยังไงกับโคไซน์
โคไซน์คือ ประชิด ส่วน ตรงข้ามมุมฉาก
เมื่อดูจากมุม 30 องศา มันคือด้านประชิด
นี่, ใช่, ตรงนี้คือด้านประชิด มันอยู่ติดกัน
มันไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก มันคือด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันเลยเป็น 2 สแควร์รูท 3
ประชิดส่วน... ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก, ส่วน 4
หรือหากเราจัดรูป, เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2
มันคือสแควร์รูทของ 3 ส่วน 2
สุดท้าย, ลองหาแทนเจนต์กัน
แทนเจนต์ของ 30 องศา,
เรากลับไปที่ "SOH CAH TOA"
SOH CAH TOA
TOA บอกเราว่าทำยังไงกับแทนเจนต์ มันคือตรงข้าม ส่วนประชิด
คุณก็ไปที่ มุม 30 องศา เพราะนั่นคือสิ่งที่เราสนใจ, แทนเจนต์ของ 30
แทนเจนต์ของ 30 ตรงข้ามคือ 2
ตรงข้ามคือ 2 และประชิดคือ 2 สแควร์รูทของ 3
มันอยู่ติดกัน มันประชิดกับมุมนั้น
ประชิดหมายถึงติดกัน
งั้น 2 สแควร์รูทของ 3
นี่ก็เท่ากับ,,, 2 ตัดกัน
1 ส่วนสแควร์รูท 3
หรือเราอาจคูณทั้งเศษและส่วนด้วยสแควร์รูท 3
เราก็ได้สแควร์รูท 3 ส่วนสแควร์รูท 3
แล้วนี่จะเท่ากับตัวเศษ สแควร์รูท 3 แล้ว
ตัวส่วนตรงนี้จะเป็น 3
นั่นคือเราได้ทำส่วนเป็นตรรกยะ ได้ สแควร์รูทของ 3 ส่วน 3
ใช้ได้
ทีนี้ลองใช้สามเหลี่ยมเดิมนี้ หาอัตราส่วนตรีโกณฯ ของมุม 60 องศา
เพราะเราวาดมันไปแล้ว
ทีนี้อะไร... ไซน์ของ 60 องศาคืออะไร?
ผมว่าคุณคงเริ่มคุ้นแล้ว
ไซน์คือ ข้าม ส่วน ชิด SOH มาจาก "SOH CAH TOA"
สำหรับมุม 60 องศา ด้านไหนคือด้านตรงข้าม?
มันเปิดไปหา 2 สแควร์รูท 3
ดังนั้นด้านตรงข้ามคือ 2 สแควร์รูทของ 3,
จากมุม 60 องศา ประชิด โอ้ โทษที
มันคือข้ามส่วนฉาก, ไม่อยากให้คุณงงเลย
มันคือด้านตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันก็คือ 2 สแควร์รูทของ 3 ส่วน 4, 4 คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันจะเท่ากับ, มันทอนลงเหลือสแควร์รูทของ 3 ส่วน 2
แล้วโคไซน์ของ60 องศาล่ะ? โคไซน์ของ 60 องศา
จำไว้ "soh cah toa" โคไซน์คือประชิดส่วนฉาก
ประชิดมีสองด้าน, อันที่ติดกับมุม 60 องศา
มันก็คือ 2 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ 4
นี่เลยเท่ากับ ครึ่งหนึ่ง
แล้วสุดท้าย, แทนเจนต์คืออะไร?
แทนเจนต์ของ 60 องศาคืออะไร?
แทนเจนต์ "soh cah toa" แทนเจนต์คือ ข้าม ส่วน ชิด
ตรงข้าม 60 องศา
คือ 2 สแควร์รูทของ 3
2 สแควร์รูท 3
และที่ติดกัน
ด้านประชิด คือ 2
ประชิดกับมุม 60 องศา คือ 2
งั้นตรงข้ามส่วนประชิด, 2 สแควร์รูทของ 3 ส่วน 2
ซึ่งเท่ากับ สแควร์รูทของ 3
ผมแค่อยากให้ - ดูว่ามันเกี่ยวข้องกันอย่างไร -
ไซน์ของ 30 องศา เท่ากับโคไซน์ของ 60 องศา
โคไซน์ของ 30 องศา เท่ากับไซน์ของ 60 องศา
แล้วพวกนี้เป็นอินเวอร์สของกันและกัน
ผมว่าหากคุณคิดถึงสามเหลี่ยมนี่หน่อย
มันจะเริ่มเชื่อมโยงกันว่าทำไม
เราจะทำพวกนี้ต่อ
ให้คุณฝึกทำเยอะ ๆ ในวิดีโอต่อ ๆ ไป
.
让我们来做大量的习题
只是想确保我们把基本三角函数掌握得很好
让我们来构思一些直角三角形
让我们来构思些直角三角形
而且我想把它解释得十分清楚
目前为止，它们只适用于直角三角形
所以如果你正在找一些非直角三角形里的角的三角函数
我们将看到 必须要构建直角三角形
但现在我们只集中注意力在直角三角形
因此我们说，我有一个三角形
而且假设这里的长度是7
也假设，这条边的长度
假设是4
让我们找出这里的斜边将会是多少
因此我们知道 让我们把斜边叫做“h”
我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方
这从勾股定理中来
斜边的平方等于
其他两条边的平方的总和
h的平方 = 7的平方 + 4的平方
这就等于49+16
49+16
49+10=59，加上6等于65
所以这是√65 这是 h平方
让我写下：h平方 - 这是不同的阴影的黄色
因此我们有一个数的平方是等于65
我做得对吗？49+10=59，加上另外的6等于65
或者我们能说h等于，如果我们把两边的开方
开方
65的平方根，而且我们真的不能把它化简了
这是13
这跟13乘以5一样
他们都不能完全平方
它们都是素数 所以你不能再化简它们
这就等于65的平方根
现在让我们找，让我们这个角的的三角函数
假设这个角叫做Θ
所以每当你做它
你总是想要把它写下来--至少对我来说，写下来它起作用
soh cah toa
soh
soh cah toa。我有些模糊的记忆
从我的三角学老师
也许我已经在几本书里读过它了，我不知道 — — 你知道，关于
一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的
但它是一个非常有用的助记符
这样我们可以应用"soh cah toa"
假设我们要找余弦值
我们想要找角的余弦值
我们想找角的余弦值，你说："soh cah toa ！"
所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值
"cah"这部分告诉我们
余弦值是 邻边比斜边
余弦值等于邻边
现在，让我们看一遍 Θ ； 哪条是邻边？
我们都知道，斜边
我们知道，斜边是这条
所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边
不是斜边，是4
所以邻边在这里，这条是
这恰好是靠近角的旁边
这是构成这个三角形的一条边之一
这是4
斜边我们已经知道了是 √65
因此是4除以√65
有时候人们会希望你把分母有理化，意思是
他们不喜欢分母是一个无理数
就象√65一样
如果他们-如果你想重写使它分母里没有无理数
你可以乘以分子和分母
用√65
这显然不会更改数字
因为我们上下乘以同样的数
所以我们把用1乘以这个数字
这不会改变数，而且至少它可以去除分母中的无理数
所以分子变成
4x √65
而且分母，√65 乘以 √65，等于65
我们没有去掉无理数，它依然在那里，只是在分子那里
现在让我们来做其他三角函数
或者其他重要的三角函数
将来我们将要学很多这些
但它们都是从这些中延伸出来的
因此让我们想Θ的符号是什么。再一次，用到 soh cah toa
soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边
正弦值等于对边比斜边
正弦值是对边比斜边
因此，哪条是这个角的对边呢？
我们从它走向对面，它面对什么，它面对着7
所以，对边是7
正好在这，这是对边
然后在斜边，它是对边比斜边
斜边是√65
65的平方根
再一次如果我们想使它有理化
我们可以乘以√65分之√65
然后分子，我们会得到7√65
在分母我们得到65
现在让我们来做正切值
让我们来做正切值
因此，如果我问你正切值
θ的正切值
再一次回到soh cah
toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值
它告诉我们
正切值等于对边
等于对边比
对边比邻边
所以对这个角来说 我们已经找出了对边
是7，它对着7
这条对边是7
所以，是7
嗯，4是邻边
这个4是邻边，所以邻边是4
因此是7比4
我们完成了
我们找出了所有三角形内θ的所有比率
让我们做另一题
让我们做另一题。我将把它具体化，因为现在我们已经说过
x的正切值，θ的正切值。让我把题目弄得复杂点
假设
假设，让我画另一个直角三角形
这是另一个直角三角形
我们正解决的一切题目
假设，斜边的长度是4
假设这条边的长度将会是2
假设这条边的长度将会是2√3
我们能证明这个结果
如果你把这条边平方 所以你会有，让我把它写下来
2乘以3的平方根之积的平方
加上2的平方等于
这是2 这将是4x3
4x3+4
这将会=12+4 = 16
16确实是4的平方，因此这真的等于4的平方
它等于4的平方，它满足勾股定理
如果你记得你在30，60，90三角形中，
你可能会学习到几何
你可能会认出这个是一个30，60，90度三角形
这个是直角
我应该把它画出来，表示出这是一个直角三角形
这里的这个是30度的角
然后这个角
是60度角
它们是30 60 90 因为
30度角所对的边=斜边的一半
60度角的对边比另一条边的值是√3
不是比斜边
因此我们不准备
这个的目的不是复习30 60 90三角形 尽管我刚做过
让我们真正地找三角形不同角的比值
因此如果我问你
什么是30度角的正弦值
记得30度是三角形的其中一个角，但它可以满足
当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题
我们将来会有广泛的定义，但如果你说30度的正弦值
这里的这个角是30度，因此我能用这个直角
因此我们只需要记得 soh cah toa
重写它 soh cah toa
正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边
30度的正弦值是对边
对边是2比斜边
斜边是4
这是4分之二，也就等于二分之一
30度的正弦值，你会看见这总是等于
现在，什么是
什么是余弦值
再一次回到 soh cah toa
cah告诉我们怎样做余弦值
余弦值是邻边比斜边
因此，对于30度角来说，它的邻边是这条
邻边是正好与它相邻
不是斜边 是邻边比斜边
因此是2x√3
邻边除以斜边 除以4
或者如果我们简化它，我们用分子和分母同时除以2
是√3/2
最后我们做正切值
30度角的
我们回到soh cah toa
soh cah toa
toa 告诉我们怎样做正切值，是对边比邻边
你找到30度角，因为我们关注30度角的正切值
30度角的正切值，对边是2
对边是2，邻边是2√3
它正好与它的邻边相邻
邻边的意思是旁边
因此2√3
这就等于抵消两个2
得出1/√3
或者我们可以同时用√3乘以分子和分母
因此，我们有√3/√3
因此这分子将会等于√3
然后分母等于3
因此我们已经使 √3/3
十分公平
现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率
因为我们已经画好了
因此什么是什么是60度角的正弦值?
我想你现在已经掌握诀窍了
正弦值是 对边比邻边，soh从soh cah toa中来
从60度角看那哪条是对边
就是对着2√3
因此对边是 2√3
而且从60度角，邻边是 对不起
应该是对边比斜边，不想把你弄糊涂
因此它是对边比斜边
是2√3 / 4，4是斜边
因此它等于，简化就是√3/2
60度的余弦值是多少
因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边
邻边是与60度角相邻的两条边
因此它是2比斜边4
因此这等于1/2
最后 什么是正切值？
什么是60度的正切值？
好的，正切值，soh cah toa 正切值是对边比邻边
60度的对边是
2√3
然后邻边是
邻边是2
60度的邻边是2
因此它的对边比邻边 2√3/2
等于√3
然后我只是想--看看它们之间的关系
30度的正弦值等于60度的余弦值
30度的余弦值等于60度的正弦值。
然后这些东西都和对方相反
我想如果你想想这个三角形
它将会言之有理地解释原因
我们将会继续延伸这个
并且给你更多的练习在接下来的一些视频中
讓我們來做大量的習題
只是想確保我們把基本三角函數掌握得很好
讓我們來構思一些直角三角形
讓我們來構思些直角三角形
而且我想把它解釋得十厘清楚
目前爲止，它們只適用於直角三角形
所以如果你正在找一些非直角三角形裏的角的三角函數
我們將看到 必須要構建直角三角形
但現在我們只集中注意力在直角三角形
因此我們說，我有一個三角形
而且假設這裡的長度是7
也假設，這條邊的長度
假設是4
讓我們找出這裡的斜邊將會是多少
因此我們知道 讓我們把斜邊叫做“h”
我們知道h的平方將等於 7的平方+4的平方
這從勾股定理中來
斜邊的平方等於
其他兩條邊的平方的總和
h的平方 = 7的平方 + 4的平方
這就等於49+16
49+16
49+10=59，加上6等於65
所以這是√65 這是 h平方
讓我寫下：h平方 - 這是不同的陰影的黃色
因此我們有一個數的平方是等於65
我做得對嗎？49+10=59，加上另外的6等於65
或者我們能說h等於，如果我們把兩邊的開方
開方
65的平方根，而且我們真的不能把它化簡了
這是13
這跟13乘以5一樣
他們都不能完全平方
它們都是質數 所以你不能再化簡它們
這就等於65的平方根
現在讓我們找，讓我們這個角的的三角函數
假設這個角叫做Θ
所以每當你做它
你總是想要把它寫下來--至少對我來說，寫下來它起作用
soh cah toa
soh
soh cah toa。我有些模糊的記憶
從我的三角學老師
也許我已經在幾本書裏讀過它了，我不知道 — — 你知道，關於
一些類型的印度公主命名爲"soh cah toa" 或什麽的
但它是一個非常有用的助記符
這樣我們可以應用"soh cah toa"
假設我們要找餘弦值
我們想要找角的餘弦值
我們想找角的餘弦值，你說："soh cah toa ！"
所以"cah". "Cah"告訴我們如何處理餘弦值
"cah"這部分告訴我們
餘弦值是 鄰邊比斜邊
餘弦值等於鄰邊
現在，讓我們看一遍 Θ ； 哪條是鄰邊？
我們都知道，斜邊
我們知道，斜邊是這條
所以它不能是那條。其他僅有的一條相鄰的邊
不是斜邊，是4
所以鄰邊在這裡，這條是
這恰好是靠近角的旁邊
這是構成這個三角形的一條邊之一
這是4
斜邊我們已經知道了是 √65
因此是4除以√65
有時候人們會希望你把分母有理化，意思是
他們不喜歡分母是一個無理數
就象√65一樣
如果他們-如果你想重寫使它分母裏沒有無理數
你可以乘以分子和分母
用√65
這顯然不會更改數字
因爲我們上下乘以同樣的數
所以我們把用1乘以這個數字
這不會改變數，而且至少它可以去除分母中的無理數
所以分子變成
4x √65
而且分母，√65 乘以 √65，等於65
我們沒有去掉無理數，它依然在那裏，只是在分子那裏
現在讓我們來做其他三角函數
或者其他重要的三角函數
將來我們將要學很多這些
但它們都是從這些中延伸出來的
因此讓我們想Θ的符號是什麽。再一次，用到 soh cah toa
soh 告訴怎麽做正弦值。正弦值是對邊比斜邊
正弦值等於對邊比斜邊
正弦值是對邊比斜邊
因此，哪條是這個角的對邊呢？
我們從它走向對面，它面對什麽，它面對著7
所以，對邊是7
正好在這，這是對邊
然後在斜邊，它是對邊比斜邊
斜邊是√65
65的平方根
再一次如果我們想使它有理化
我們可以乘以√65分之√65
然後分子，我們會得到7√65
在分母我們得到65
現在讓我們來做正切值
讓我們來做正切值
因此，如果我問你正切值
θ的正切值
再一次回到soh cah
toa, toa這一部分告訴我們怎樣做正切值
它告訴我們
正切值等於對邊
等於對邊比
對邊比鄰邊
所以對這個角來說 我們已經找出了對邊
是7，它對著7
這條對邊是7
所以，是7
嗯，4是鄰邊
這個4是鄰邊，所以鄰邊是4
因此是7比4
我們完成了
我們找出了所有三角形內θ的所有比率
讓我們做另一題
讓我們做另一題。我將把它具體化，因爲現在我們已經說過
x的正切值，θ的正切值。讓我把題目弄得複雜點
假設
假設，讓我畫另一個直角三角形
這是另一個直角三角形
我們正解決的一切題目
假設，斜邊的長度是4
假設這條邊的長度將會是2
假設這條邊的長度將會是2√3
我們能證明這個結果
如果你把這條邊平方 所以你會有，讓我把它寫下來
2乘以3的平方根之積的平方
加上2的平方等於
這是2 這將是4x3
4x3+4
這將會=12+4 = 16
16確實是4的平方，因此這真的等於4的平方
它等於4的平方，它滿足勾股定理
如果你記得你在30，60，90三角形中，
你可能會學習到幾何
你可能會認出這個是一個30，60，90度三角形
這個是直角
我應該把它畫出來，表示出這是一個直角三角形
這裡的這個是30度的角
然後這個角
是60度角
它們是30 60 90 因爲
30度角所對的邊=斜邊的一半
60度角的對邊比另一條邊的值是√3
不是比斜邊
因此我們不準備
這個的目的不是複習30 60 90三角形 盡管我剛做過
讓我們真正地找三角形不同角的比值
因此如果我問你
什麽是30度角的正弦值
記得30度是三角形的其中一個角，但它可以滿足
當你有一個30度角而且你正在解決直角三角形的問題
我們將來會有廣泛的定義，但如果你說30度的正弦值
這裡的這個角是30度，因此我能用這個直角
因此我們只需要記得 soh cah toa
重寫它 soh cah toa
正弦值soh告訴我們怎樣做正弦值。正弦值是對邊比斜邊
30度的正弦值是對邊
對邊是2比斜邊
斜邊是4
這是4分之二，也就等於二分之一
30度的正弦值，你會看見這總是等於
現在，什麽是
什麽是餘弦值
再一次回到 soh cah toa
cah告訴我們怎樣做餘弦值
餘弦值是鄰邊比斜邊
因此，對於30度角來說，它的鄰邊是這條
鄰邊是正好與它相鄰
不是斜邊 是鄰邊比斜邊
因此是2x√3
鄰邊除以斜邊 除以4
或者如果我們簡化它，我們用分子和分母同時除以2
是√3/2
最後我們做正切值
30度角的
我們回到soh cah toa
soh cah toa
toa 告訴我們怎樣做正切值，是對邊比鄰邊
你找到30度角，因爲我們關注30度角的正切值
30度角的正切值，對邊是2
對邊是2，鄰邊是2√3
它正好與它的鄰邊相鄰
鄰邊的意思是旁邊
因此2√3
這就等於抵消兩個2
得出1/√3
或者我們可以同時用√3乘以分子和分母
因此，我們有√3/√3
因此這分子將會等於√3
然後分母等於3
因此我們已經使 √3/3
十分公平
現在讓我們用相同的三角形 算出60度的三角形比率
因爲我們已經畫好了
因此什麽是什麽是60度角的正弦值?
我想你現在已經掌握訣竅了
正弦值是 對邊比鄰邊，soh從soh cah toa中來
從60度角看那哪條是對邊
就是對著2√3
因此對邊是 2√3
而且從60度角，鄰邊是 對不起
應該是對邊比斜邊，不想把你弄糊塗
因此它是對邊比斜邊
是2√3 / 4，4是斜邊
因此它等於，簡化就是√3/2
60度的餘弦值是多少
因此記住soh cah toa. 餘弦值是鄰邊比斜邊
鄰邊是與60度角相鄰的兩條邊
因此它是2比斜邊4
因此這等於1/2
最後 什麽是正切值？
什麽是60度的正切值？
好的，正切值，soh cah toa 正切值是對邊比鄰邊
60度的對邊是
2√3
然後鄰邊是
鄰邊是2
60度的鄰邊是2
因此它的對邊比鄰邊 2√3/2
等於√3
然後我只是想--看看它們之間的關係
30度的正弦值等於60度的餘弦值
30度的餘弦值等於60度的正弦值。
然後這些東西都和對方相反
我想如果你想想這個三角形
它將會言之有理地解釋原因
我們將會繼續延伸這個
並且給你更多的練習在接下來的一些影片中