WEBVTT

00:00:00.250 --> 00:00:02.487
Zkusme více příkladů

00:00:02.487 --> 00:00:06.676
pro lepší pochopení
trigonometrických funkcí.

00:00:06.676 --> 00:00:13.358
Takže, zkonstruujeme
několik pravoúhlých trojúhelníků.

00:00:13.358 --> 00:00:14.616
a chci aby bylo jasné,

00:00:14.616 --> 00:00:17.862
že základní trigonometrické funkce platí
jen pro pravoúhlé trojúhelníky.

00:00:17.862 --> 00:00:22.465
Takže pokud je budete chtít využít
u obecných trojúhelníků,

00:00:22.465 --> 00:00:25.704
uvidíte, že v nich stejně budete
muset najít pravoúhlé trojúhelníky,

00:00:25.704 --> 00:00:27.867
ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.

00:00:27.867 --> 00:00:30.634
Řekněme, že mám trojúhelník,

00:00:30.634 --> 00:00:33.207
ve kterém tato strana je dlouhá 7,

00:00:33.207 --> 00:00:37.757
a délka této strany

00:00:37.757 --> 00:00:39.192
nechť je 4.

00:00:39.192 --> 00:00:42.286
A nyní zkusme určit délku přepony.

00:00:42.286 --> 00:00:45.720
Takže, přeponu si označíme "h".

00:00:45.720 --> 00:00:51.810
h na druhou se rovná
7 na druhou plus 4 na druhou.

00:00:51.810 --> 00:00:55.194
Říká nám to Pythagorova věta,

00:00:55.194 --> 00:00:57.469
že délka přepony na druhou se rovná

00:00:57.469 --> 00:01:01.444
součtu druhých mocnin obou odvěsen.

00:01:01.444 --> 00:01:04.533
h na druhou se rovná
7 na druhou plus 4 na druhou.

00:01:04.533 --> 00:01:11.776
Takže toto se rovná
49 plus 16,

00:01:11.800 --> 00:01:18.553
49 plus 10 je 59
plus 6 je 65.

00:01:18.553 --> 00:01:21.107
takže h na druhou je 65,

00:01:21.107 --> 00:01:25.705
..napíši to jiným odstínem žluté..

00:01:25.705 --> 00:01:28.818
takže h na druhou se rovná 65.

00:01:28.818 --> 00:01:33.533
Mám to správně?
49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65

00:01:33.533 --> 00:01:37.600
takže h se rovná, obě strany odmocníme,

00:01:37.600 --> 00:01:40.843
druhá odmocnina ze 65.

00:01:40.843 --> 00:01:42.909
Toto už nemůžeme dále zjednodušit.

00:01:42.909 --> 00:01:46.703
Tohle je totéž jako 13 krát 5,

00:01:46.703 --> 00:01:48.868
ani jedna strana není
celočíselně odmocnitelná

00:01:48.868 --> 00:01:51.804
obojí jsou prvočísla,
takže dál už to nelze zjednodušit.

00:01:51.804 --> 00:01:55.467
Takže toto se rovná
druhé odmocnině z 65.

00:01:55.467 --> 00:02:02.114
A nyní určíme
trigonometrické funkce tohoto úhlu.

00:02:02.114 --> 00:02:04.927
Označme si tento úhel Théta.

00:02:04.927 --> 00:02:06.533
Vždy,
když používáte trigonometrii

00:02:06.533 --> 00:02:09.467
můžete si poznamenat..
alespoň já to tak dělám..

00:02:09.467 --> 00:02:14.554
soh cah toa

00:02:14.554 --> 00:02:18.156
Matně si vzpomínám
na svého učitele trigonometrie.

00:02:18.156 --> 00:02:20.593
Možná jsem to viděl v nějaké knize.
Nevím, znáte to?

00:02:20.593 --> 00:02:23.897
Jedna indická princezna se jmenovala
"soh cah toa", nebo tak něco...

00:02:23.897 --> 00:02:26.213
Ale jde o velmi užitečnou
mnemotechnickou pomůcku

00:02:26.213 --> 00:02:27.664
takže použijeme "soh cah toa".

00:02:27.674 --> 00:02:30.566
Zkusme například určit kosinus.

00:02:30.566 --> 00:02:36.046
Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.

00:02:36.046 --> 00:02:37.965
řeknete si "soh cah toa".

00:02:37.965 --> 00:02:40.800
"Cah" nám říká jak spočítat kosinus,

00:02:40.800 --> 00:02:43.027
říká,
že kosinus je přilehlá proti přeponě.

00:02:43.027 --> 00:02:46.371
(pozn., Adjacent - přilehlá,
Hypotenuse - přepona)

00:02:46.371 --> 00:02:51.433
Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.

00:02:51.433 --> 00:02:55.798
Takže se podívejme na úhel Théta;
která strana je přilehlá?

00:02:55.798 --> 00:03:00.752
Víme, že přepona přepona
je tato strana zde.

00:03:00.767 --> 00:03:04.501
Takže ta to být nemůže.
Jediná další strana, která přiléhá a

00:03:04.501 --> 00:03:06.983
není to přepona, je tato dlouhá 4.

00:03:06.983 --> 00:03:10.243
Takže hledaná přilehlá strana

00:03:10.243 --> 00:03:11.784
doslova přiléhá k danému úhlu,

00:03:11.784 --> 00:03:14.044
je to jedna ze stran, které určují úhel

00:03:14.044 --> 00:03:16.663
takže to je 4 ku přeponě.

00:03:16.663 --> 00:03:20.768
Již víme, že přepona
je odmocnina z 65.

00:03:20.768 --> 00:03:24.990
takže je to 4 lomeno
odmocninou ze 65.

00:03:24.990 --> 00:03:29.142
Občas lidé rádi zjednodušují zlomky

00:03:29.142 --> 00:03:32.095
tak, aby neměli
iracionální číslo ve jmenovateli

00:03:32.095 --> 00:03:34.037
jako třeba odmocninu z 65.

00:03:34.037 --> 00:03:39.119
Pokud to chcete upravit, tak aby
nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,

00:03:39.119 --> 00:03:41.324
můžete vynásobit čitatele
i jmenovatele zlomku

00:03:41.324 --> 00:03:43.026
odmocninou ze 65.

00:03:43.026 --> 00:03:44.604
To samozřejmě neovlivní výsledek,

00:03:44.604 --> 00:03:47.042
protože násobíme něčím,
co vydělíme samo sebou,

00:03:47.042 --> 00:03:48.801
takže vlastně násobíme číslem jedna.

00:03:48.801 --> 00:03:52.780
To nezmění výsledek, ale alespoň už nemáme
iracionální číslo ve jmenovateli.

00:03:52.780 --> 00:03:54.127
Takže čitatel bude

00:03:54.127 --> 00:03:57.800
4 krát odmocnina z 65,

00:03:57.800 --> 00:04:03.251
a jmenovatel, odmocnina z 65
krát odmocnina z 65, to je 65.

00:04:03.251 --> 00:04:06.950
Nyní je iracionální číslo v čitateli.
Takže jsme se ho nezbavili úplně.

00:04:06.950 --> 00:04:09.377
Nyní se podívejme
na ostatní trigonometrické funkce

00:04:09.377 --> 00:04:11.231
nebo alespoň ty základní.

00:04:11.231 --> 00:04:13.289
Později se naučíme,
že jich existuje víc,

00:04:13.289 --> 00:04:15.453
ale všechny jsou
odvozené z těchto základních.

00:04:15.453 --> 00:04:19.733
Podívejme se nyní na sinus Théta.
Opět použijeme "soh cah toa".

00:04:19.733 --> 00:04:22.474
"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus.
Sinus je protilehlá ku přeponě.

00:04:22.474 --> 00:04:25.474
(pozn. Opposite - protilehlá)

00:04:25.474 --> 00:04:31.360
Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.

00:04:31.380 --> 00:04:34.390
Takže, která strana je
protilehlá k tomuto úhlu?

00:04:34.390 --> 00:04:41.190
Je to ta naproti, ke které se
úhel otevírá, protilehlá je sedm.

00:04:41.200 --> 00:04:44.468
To je zde, toto je protilehlá strana
a k tomu přepona.

00:04:44.468 --> 00:04:47.800
Je to protilehlá ku přeponě.

00:04:47.800 --> 00:04:51.109
Přepona je odmocnina z 65.

00:04:51.109 --> 00:04:52.966
Druhá odmocnina z 65.

00:04:52.966 --> 00:04:55.133
A opět, pokud bychom
to chtěli zjednodušit,

00:04:55.133 --> 00:04:59.933
mohli bychom vynásobit odmocninou
z 65 ku odmocnině z 65.

00:04:59.933 --> 00:05:04.048
V čitateli dostaneme
7 krát odmocnina z 65

00:05:04.048 --> 00:05:07.966
a ve jmenovateli bude opět 65.

00:05:07.966 --> 00:05:10.294
Nyní zkusme tangens

00:05:10.294 --> 00:05:12.626
Spočítáme tangens.

00:05:12.626 --> 00:05:14.793
Takže pokud se zeptám na tangens

00:05:14.793 --> 00:05:17.274
tangens úhlu théta

00:05:17.274 --> 00:05:20.784
opět použijeme pomůcku "soh cah toa".

00:05:20.784 --> 00:05:23.197
toa nám říká, jak určit tangens.

00:05:23.197 --> 00:05:27.053
Říká nám to, že tangens

00:05:27.053 --> 00:05:35.617
se rovná protilehlé ku přilehlé.

00:05:35.617 --> 00:05:38.709
Která strana je protilehlá k tomuto úhlu?
To jsme si již řekli.

00:05:38.709 --> 00:05:41.124
Je to 7.
Úhel se otevírá ke straně dlouhé 7.

00:05:41.124 --> 00:05:42.533
Protilehlá je 7.

00:05:42.533 --> 00:05:46.372
Takže je to 7 k té straně,
která je přilehlá.

00:05:46.372 --> 00:05:48.200
Tato strana, čtyřka, je přilehlá.

00:05:48.200 --> 00:05:51.295
Tato čtyřka je přilehlá.
Takže přilehlá strana je dlouhá 4

00:05:51.295 --> 00:05:54.330
takže to je 7 ku 4

00:05:54.330 --> 00:05:55.543
a jsme hotoví.

00:05:55.543 --> 00:06:00.116
Určili jsme všechny trigonometrické
poměry pro théta. Zkusme další.

00:06:00.116 --> 00:06:02.999
Udělám to o trochu konkrétnější,
protože dosud jsme říkali,

00:06:02.999 --> 00:06:06.434
"co je tangens x, tangens théta."
Udělejme to ještě trochu konkrétnější.

00:06:06.434 --> 00:06:08.431
Řekněme, že...

00:06:08.431 --> 00:06:10.799
nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,

00:06:10.799 --> 00:06:13.772
zde je další pravoúhlý trojúhelník.

00:06:13.772 --> 00:06:17.533
Vše, s čím pracujeme,
jsou pravoúhlé trojúhelníky.

00:06:17.533 --> 00:06:21.109
Řekněme, že přepona má délku 4,

00:06:21.109 --> 00:06:26.357
dejme tomu,
že tato strana zde má délku 2,

00:06:26.357 --> 00:06:31.790
a dejme tomu, že tato délka zde
bude 2 krát odmocnina ze 3.

00:06:31.790 --> 00:06:33.462
Můžeme ověřit, že to funguje.

00:06:33.462 --> 00:06:36.467
Pokud máte tuto stranu na druhou,
takže máme

00:06:36.467 --> 00:06:38.803
2 krát odmocnina ze 3 na druhou

00:06:38.803 --> 00:06:42.471
plus 2 na druhou, to se rovná kolik?

00:06:42.471 --> 00:06:46.467
To jsou 2. Zde bude 4 krát 3.

00:06:46.467 --> 00:06:49.763
4 krát 3 plus 4,

00:06:49.763 --> 00:06:53.478
to se rovná 12 plus 4,
což je 16

00:06:53.478 --> 00:06:57.800
a 16 je skutečně 4 na druhou.
Takže se to rovná 4 na druhou,

00:06:57.800 --> 00:07:01.790
Takže Pythagorova věta platí

00:07:01.790 --> 00:07:06.133
Pokud si pamatujete něco
o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90

00:07:06.133 --> 00:07:07.781
něco z toho,
co jste se naučili v geometrii,

00:07:07.781 --> 00:07:11.450
poznáte,
že toto je právě takový trojúhelník.

00:07:11.450 --> 00:07:13.133
Zde je pravý úhel.

00:07:13.133 --> 00:07:15.867
Jedná se o pravoúhlý trojúhelník.

00:07:15.867 --> 00:07:20.366
Tento úhel má třicet stupňů

00:07:20.366 --> 00:07:23.385
a pak tento úhel tady nahoře je

00:07:23.385 --> 00:07:26.125
šedesát stupňů.

00:07:26.125 --> 00:07:27.797
Je to třicet, šedesát a
devadesát,

00:07:27.797 --> 00:07:31.791
protože strana protilehlá k třiceti
stupňům je polovina přepony

00:07:31.791 --> 00:07:36.800
a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá
odmocnina ze 3 krát druhá strana,

00:07:36.800 --> 00:07:38.589
kterou není přepona.

00:07:38.589 --> 00:07:42.955
Toto nemá být přehled 30 60 90
trojúhelníků, i když jsem to právě udělal.

00:07:42.955 --> 00:07:46.933
Určeme trigonometrické
poměry pro různé úhly

00:07:46.933 --> 00:07:54.645
Takže, kdyby se vás někdo zeptal, kolik je
sinus ze 30 stupňů.

00:07:54.645 --> 00:07:58.447
30 stupňů je jeden z úhlů
v tomto trojúhelníku, ale platí to

00:07:58.447 --> 00:08:01.538
kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů
a máte pravoúhlý trojúhelník.

00:08:01.538 --> 00:08:05.135
V budoucnu budeme mít obecnější definice,
ale když řeknete sinus 30 stupňů,

00:08:05.135 --> 00:08:09.035
a tento úhel je 30 stupňů,
použiji tento pravoúhlý trojúhelník,

00:08:09.035 --> 00:08:12.133
a pouze si musíme
vzpomenout na "soh cah toa".

00:08:12.133 --> 00:08:17.116
Napišme to. soh, cah, toa.

00:08:17.116 --> 00:08:22.782
soh nám říká, co si počít s sinem.
sinus je protilehlá ku přeponě.

00:08:22.782 --> 00:08:26.358
Sinus 30 stupňů je protilehlá strana,

00:08:26.358 --> 00:08:30.723
to je protilehlá strana,
která je 2 ku přeponě.

00:08:30.723 --> 00:08:32.395
Přepona je 4.

00:08:32.395 --> 00:08:35.645
Jsou to dvě čtvrtiny,
což je totéž jako jedna polovina.

00:08:35.645 --> 00:08:40.799
Sinus třiceti stupňů
se tedy vždy rovná jedné polovině.

00:08:40.799 --> 00:08:44.144
Jak je na tom kosinus?

00:08:44.144 --> 00:08:46.867
Kolik je kosinus třiceti stupňů?

00:08:46.867 --> 00:08:50.135
Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".

00:08:50.135 --> 00:08:52.643
cah nám říká, co si počít s kosinem.

00:08:52.643 --> 00:08:56.033
Kosinus je přilehlá ku přeponě.

00:08:56.033 --> 00:09:00.431
Takže při pohledu na třicetistupňový úhel,
přilehlá je tato strana.

00:09:00.431 --> 00:09:01.791
Hned vedle úhlu.

00:09:01.791 --> 00:09:05.467
Není to přepona.
Je to přilehlá ku přeponě.

00:09:05.467 --> 00:09:09.129
Takže jsou to dvě odmocniny ze 3

00:09:09.129 --> 00:09:13.633
přilehlá ku přeponě, tedy ku čtyřem.

00:09:13.633 --> 00:09:16.977
nebo, když to zjednodušíme,
vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma,

00:09:16.977 --> 00:09:20.646
je to odmocnina ze 3 ku 2.

00:09:20.646 --> 00:09:22.782
Nakonec zkusme tangens.

00:09:22.782 --> 00:09:27.800
Tangens třiceti stupňů,

00:09:27.800 --> 00:09:30.305
připomeneme si "soh cah toa".

00:09:30.305 --> 00:09:31.699
soh cah toa

00:09:31.699 --> 00:09:34.800
toa nám říká, jak určit tangens.
Je to protilehlá ku přilehlé.

00:09:34.800 --> 00:09:38.804
Vezměte úhel 30 stupňů,
protože nás zajímá tangens 30 stupňů.

00:09:38.804 --> 00:09:42.101
Protilehlá je 2,

00:09:42.101 --> 00:09:46.200
protilehlá je 2 a
přilehlá 2 odmocniny ze 3.

00:09:46.200 --> 00:09:47.715
Je to hned vedle. Přilehlá.

00:09:47.715 --> 00:09:49.439
Přilehlá znamená, že je hned vedle.

00:09:49.439 --> 00:09:52.039
Takže dvě druhé odmocniny ze 3

00:09:52.039 --> 00:09:54.454
To se rovná.. dvojky se vykrátí

00:09:54.454 --> 00:09:56.776
1 lomeno odmocnina ze 3

00:09:56.776 --> 00:10:00.723
nebo můžeme vynásobit čitatele
i jmenovatele odmocninou ze 3.

00:10:00.723 --> 00:10:05.367
Takže odmocnina ze 3
lomeno odmocnina ze 3.

00:10:05.367 --> 00:10:08.804
Čitatel se rovná odmocnině ze 3

00:10:08.804 --> 00:10:12.473
a jmenovatel je 3.

00:10:12.473 --> 00:10:15.800
Takže jsme dostali
odmocninu ze 3 lomeno 3.

00:10:15.800 --> 00:10:16.902
Prima.

00:10:16.902 --> 00:10:20.283
Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení
poměrů pro šedesát stupňů,

00:10:20.283 --> 00:10:22.457
jelikož jsme to již nakreslili.

00:10:22.457 --> 00:10:28.328
Takže kolik je sinus šedesáti stupňů?

00:10:28.328 --> 00:10:30.166
Doufám, že už to začínáte chápat.

00:10:30.166 --> 00:10:34.253
Sinus je protilehlá ku přeponě.

00:10:34.253 --> 00:10:36.668
Která strana je
protilehlá úhlu šedesáti stupňů?

00:10:36.668 --> 00:10:39.315
Otevírá se proti dvěma odmocninám ze 3,

00:10:39.315 --> 00:10:42.566
tedy dvě odmocniny ze 3
je strana protilehlá,

00:10:42.566 --> 00:10:45.306
a z úhlu šedesáti stupňů

00:10:45.306 --> 00:10:47.999
jde to protilehlá ku přeponě

00:10:47.999 --> 00:10:50.507
takže je to protilehlá ku přeponě

00:10:50.507 --> 00:10:54.315
jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno 4.
4 je přepona.

00:10:54.315 --> 00:10:59.981
Toto zjednodušíme na odmocninu
ze 3 lomeno 2.

00:10:59.981 --> 00:11:05.507
Kolik je kosinus 60 stupňů?

00:11:05.507 --> 00:11:10.244
Takže pamatujte kosinus
je přilehlá ku přeponě.

00:11:10.244 --> 00:11:13.667
Přilehlé jsou dvě strany,
hned vedle úhlu 60 stupňů.

00:11:13.667 --> 00:11:17.907
Takže to je to 2 ku přeponě,
a ta je 4.

00:11:17.907 --> 00:11:20.972
Takže se to rovná jedné polovině

00:11:20.972 --> 00:11:24.176
a pak, nakonec, kolik je tangens?

00:11:24.176 --> 00:11:27.984
Kolik je tangens 60 stupňů?

00:11:27.984 --> 00:11:32.349
OK tangens je protilehlá ku přilehlé

00:11:32.349 --> 00:11:34.671
protilehlá k úhlu 60 stupňů

00:11:34.671 --> 00:11:36.400
je 2 odmocniny ze 3

00:11:36.400 --> 00:11:38.000
2 druhé odmocniny ze 3

00:11:38.019 --> 00:11:42.733
a přilehlá je 2.

00:11:42.733 --> 00:11:44.800
Přilehlá k úhlu 60 stupňů je 2.

00:11:44.800 --> 00:11:48.650
Takže protilehlá ku přilehlé,
dvě odmocniny ze 3 ku 2

00:11:48.650 --> 00:11:52.644
to se rovná jedné odmocnině ze 3.

00:11:52.644 --> 00:11:54.641
A ještě se podívejme,
jak to spolu souvisí.

00:11:54.641 --> 00:11:57.984
Sinus úhlu 30 stupňů je stejný
jako kosinus 60 stupňů.

00:11:57.984 --> 00:12:01.143
Kosinus 30 stupňů je totéž
jako sinus 60 stupňů.

00:12:01.143 --> 00:12:02.936
Takže tyto dva jsou vzájemně inverzní

00:12:02.936 --> 00:12:05.835
a myslím, že pokud se trochu
zamyslíte nad tímto trojúhelníkem

00:12:05.835 --> 00:12:07.105
začne to celé dávat smysl.

00:12:07.105 --> 00:12:09.481
V dalším videu toto budeme
dále rozšiřovat,

00:12:09.481 --> 00:12:11.034
abyste získali větší praxi.