1
00:00:00,250 --> 00:00:02,487
Zkusme více příkladů

2
00:00:02,487 --> 00:00:06,676
pro lepší pochopení
trigonometrických funkcí.

3
00:00:06,676 --> 00:00:13,358
Takže, zkonstruujeme
několik pravoúhlých trojúhelníků.

4
00:00:13,358 --> 00:00:14,616
a chci aby bylo jasné,

5
00:00:14,616 --> 00:00:17,862
že základní trigonometrické funkce platí
jen pro pravoúhlé trojúhelníky.

6
00:00:17,862 --> 00:00:22,465
Takže pokud je budete chtít využít
u obecných trojúhelníků,

7
00:00:22,465 --> 00:00:25,704
uvidíte, že v nich stejně budete
muset najít pravoúhlé trojúhelníky,

8
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.

9
00:00:27,867 --> 00:00:30,634
Řekněme, že mám trojúhelník,

10
00:00:30,634 --> 00:00:33,207
ve kterém tato strana je dlouhá 7,

11
00:00:33,207 --> 00:00:37,757
a délka této strany

12
00:00:37,757 --> 00:00:39,192
nechť je 4.

13
00:00:39,192 --> 00:00:42,286
A nyní zkusme určit délku přepony.

14
00:00:42,286 --> 00:00:45,720
Takže, přeponu si označíme "h".

15
00:00:45,720 --> 00:00:51,810
h na druhou se rovná
7 na druhou plus 4 na druhou.

16
00:00:51,810 --> 00:00:55,194
Říká nám to Pythagorova věta,

17
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
že délka přepony na druhou se rovná

18
00:00:57,469 --> 00:01:01,444
součtu druhých mocnin obou odvěsen.

19
00:01:01,444 --> 00:01:04,533
h na druhou se rovná
7 na druhou plus 4 na druhou.

20
00:01:04,533 --> 00:01:11,776
Takže toto se rovná
49 plus 16,

21
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
49 plus 10 je 59
plus 6 je 65.

22
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
takže h na druhou je 65,

23
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
..napíši to jiným odstínem žluté..

24
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
takže h na druhou se rovná 65.

25
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
Mám to správně?
49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65

26
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
takže h se rovná, obě strany odmocníme,

27
00:01:37,600 --> 00:01:40,843
druhá odmocnina ze 65.

28
00:01:40,843 --> 00:01:42,909
Toto už nemůžeme dále zjednodušit.

29
00:01:42,909 --> 00:01:46,703
Tohle je totéž jako 13 krát 5,

30
00:01:46,703 --> 00:01:48,868
ani jedna strana není
celočíselně odmocnitelná

31
00:01:48,868 --> 00:01:51,804
obojí jsou prvočísla,
takže dál už to nelze zjednodušit.

32
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Takže toto se rovná
druhé odmocnině z 65.

33
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
A nyní určíme
trigonometrické funkce tohoto úhlu.

34
00:02:02,114 --> 00:02:04,927
Označme si tento úhel Théta.

35
00:02:04,927 --> 00:02:06,533
Vždy,
když používáte trigonometrii

36
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
můžete si poznamenat..
alespoň já to tak dělám..

37
00:02:09,467 --> 00:02:14,554
soh cah toa

38
00:02:14,554 --> 00:02:18,156
Matně si vzpomínám
na svého učitele trigonometrie.

39
00:02:18,156 --> 00:02:20,593
Možná jsem to viděl v nějaké knize.
Nevím, znáte to?

40
00:02:20,593 --> 00:02:23,897
Jedna indická princezna se jmenovala
"soh cah toa", nebo tak něco...

41
00:02:23,897 --> 00:02:26,213
Ale jde o velmi užitečnou
mnemotechnickou pomůcku

42
00:02:26,213 --> 00:02:27,664
takže použijeme "soh cah toa".

43
00:02:27,674 --> 00:02:30,566
Zkusme například určit kosinus.

44
00:02:30,566 --> 00:02:36,046
Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.

45
00:02:36,046 --> 00:02:37,965
řeknete si "soh cah toa".

46
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
"Cah" nám říká jak spočítat kosinus,

47
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
říká,
že kosinus je přilehlá proti přeponě.

48
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
(pozn., Adjacent - přilehlá,
Hypotenuse - přepona)

49
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.

50
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Takže se podívejme na úhel Théta;
která strana je přilehlá?

51
00:02:55,798 --> 00:03:00,752
Víme, že přepona přepona
je tato strana zde.

52
00:03:00,767 --> 00:03:04,501
Takže ta to být nemůže.
Jediná další strana, která přiléhá a

53
00:03:04,501 --> 00:03:06,983
není to přepona, je tato dlouhá 4.

54
00:03:06,983 --> 00:03:10,243
Takže hledaná přilehlá strana

55
00:03:10,243 --> 00:03:11,784
doslova přiléhá k danému úhlu,

56
00:03:11,784 --> 00:03:14,044
je to jedna ze stran, které určují úhel

57
00:03:14,044 --> 00:03:16,663
takže to je 4 ku přeponě.

58
00:03:16,663 --> 00:03:20,768
Již víme, že přepona
je odmocnina z 65.

59
00:03:20,768 --> 00:03:24,990
takže je to 4 lomeno
odmocninou ze 65.

60
00:03:24,990 --> 00:03:29,142
Občas lidé rádi zjednodušují zlomky

61
00:03:29,142 --> 00:03:32,095
tak, aby neměli
iracionální číslo ve jmenovateli

62
00:03:32,095 --> 00:03:34,037
jako třeba odmocninu z 65.

63
00:03:34,037 --> 00:03:39,119
Pokud to chcete upravit, tak aby
nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,

64
00:03:39,119 --> 00:03:41,324
můžete vynásobit čitatele
i jmenovatele zlomku

65
00:03:41,324 --> 00:03:43,026
odmocninou ze 65.

66
00:03:43,026 --> 00:03:44,604
To samozřejmě neovlivní výsledek,

67
00:03:44,604 --> 00:03:47,042
protože násobíme něčím,
co vydělíme samo sebou,

68
00:03:47,042 --> 00:03:48,801
takže vlastně násobíme číslem jedna.

69
00:03:48,801 --> 00:03:52,780
To nezmění výsledek, ale alespoň už nemáme
iracionální číslo ve jmenovateli.

70
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
Takže čitatel bude

71
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
4 krát odmocnina z 65,

72
00:03:57,800 --> 00:04:03,251
a jmenovatel, odmocnina z 65
krát odmocnina z 65, to je 65.

73
00:04:03,251 --> 00:04:06,950
Nyní je iracionální číslo v čitateli.
Takže jsme se ho nezbavili úplně.

74
00:04:06,950 --> 00:04:09,377
Nyní se podívejme
na ostatní trigonometrické funkce

75
00:04:09,377 --> 00:04:11,231
nebo alespoň ty základní.

76
00:04:11,231 --> 00:04:13,289
Později se naučíme,
že jich existuje víc,

77
00:04:13,289 --> 00:04:15,453
ale všechny jsou
odvozené z těchto základních.

78
00:04:15,453 --> 00:04:19,733
Podívejme se nyní na sinus Théta.
Opět použijeme "soh cah toa".

79
00:04:19,733 --> 00:04:22,474
"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus.
Sinus je protilehlá ku přeponě.

80
00:04:22,474 --> 00:04:25,474
(pozn. Opposite - protilehlá)

81
00:04:25,474 --> 00:04:31,360
Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.

82
00:04:31,380 --> 00:04:34,390
Takže, která strana je
protilehlá k tomuto úhlu?

83
00:04:34,390 --> 00:04:41,190
Je to ta naproti, ke které se
úhel otevírá, protilehlá je sedm.

84
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
To je zde, toto je protilehlá strana
a k tomu přepona.

85
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
Je to protilehlá ku přeponě.

86
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
Přepona je odmocnina z 65.

87
00:04:51,109 --> 00:04:52,966
Druhá odmocnina z 65.

88
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
A opět, pokud bychom
to chtěli zjednodušit,

89
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
mohli bychom vynásobit odmocninou
z 65 ku odmocnině z 65.

90
00:04:59,933 --> 00:05:04,048
V čitateli dostaneme
7 krát odmocnina z 65

91
00:05:04,048 --> 00:05:07,966
a ve jmenovateli bude opět 65.

92
00:05:07,966 --> 00:05:10,294
Nyní zkusme tangens

93
00:05:10,294 --> 00:05:12,626
Spočítáme tangens.

94
00:05:12,626 --> 00:05:14,793
Takže pokud se zeptám na tangens

95
00:05:14,793 --> 00:05:17,274
tangens úhlu théta

96
00:05:17,274 --> 00:05:20,784
opět použijeme pomůcku "soh cah toa".

97
00:05:20,784 --> 00:05:23,197
toa nám říká, jak určit tangens.

98
00:05:23,197 --> 00:05:27,053
Říká nám to, že tangens

99
00:05:27,053 --> 00:05:35,617
se rovná protilehlé ku přilehlé.

100
00:05:35,617 --> 00:05:38,709
Která strana je protilehlá k tomuto úhlu?
To jsme si již řekli.

101
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
Je to 7.
Úhel se otevírá ke straně dlouhé 7.

102
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
Protilehlá je 7.

103
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
Takže je to 7 k té straně,
která je přilehlá.

104
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
Tato strana, čtyřka, je přilehlá.

105
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
Tato čtyřka je přilehlá.
Takže přilehlá strana je dlouhá 4

106
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
takže to je 7 ku 4

107
00:05:54,330 --> 00:05:55,543
a jsme hotoví.

108
00:05:55,543 --> 00:06:00,116
Určili jsme všechny trigonometrické
poměry pro théta. Zkusme další.

109
00:06:00,116 --> 00:06:02,999
Udělám to o trochu konkrétnější,
protože dosud jsme říkali,

110
00:06:02,999 --> 00:06:06,434
"co je tangens x, tangens théta."
Udělejme to ještě trochu konkrétnější.

111
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Řekněme, že...

112
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,

113
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
zde je další pravoúhlý trojúhelník.

114
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
Vše, s čím pracujeme,
jsou pravoúhlé trojúhelníky.

115
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
Řekněme, že přepona má délku 4,

116
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
dejme tomu,
že tato strana zde má délku 2,

117
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
a dejme tomu, že tato délka zde
bude 2 krát odmocnina ze 3.

118
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
Můžeme ověřit, že to funguje.

119
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Pokud máte tuto stranu na druhou,
takže máme

120
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
2 krát odmocnina ze 3 na druhou

121
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
plus 2 na druhou, to se rovná kolik?

122
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
To jsou 2. Zde bude 4 krát 3.

123
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
4 krát 3 plus 4,

124
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
to se rovná 12 plus 4,
což je 16

125
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
a 16 je skutečně 4 na druhou.
Takže se to rovná 4 na druhou,

126
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
Takže Pythagorova věta platí

127
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
Pokud si pamatujete něco
o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90

128
00:07:06,133 --> 00:07:07,781
něco z toho,
co jste se naučili v geometrii,

129
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
poznáte,
že toto je právě takový trojúhelník.

130
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
Zde je pravý úhel.

131
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
Jedná se o pravoúhlý trojúhelník.

132
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
Tento úhel má třicet stupňů

133
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
a pak tento úhel tady nahoře je

134
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
šedesát stupňů.

135
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
Je to třicet, šedesát a
devadesát,

136
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
protože strana protilehlá k třiceti
stupňům je polovina přepony

137
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá
odmocnina ze 3 krát druhá strana,

138
00:07:36,800 --> 00:07:38,589
kterou není přepona.

139
00:07:38,589 --> 00:07:42,955
Toto nemá být přehled 30 60 90
trojúhelníků, i když jsem to právě udělal.

140
00:07:42,955 --> 00:07:46,933
Určeme trigonometrické
poměry pro různé úhly

141
00:07:46,933 --> 00:07:54,645
Takže, kdyby se vás někdo zeptal, kolik je
sinus ze 30 stupňů.

142
00:07:54,645 --> 00:07:58,447
30 stupňů je jeden z úhlů
v tomto trojúhelníku, ale platí to

143
00:07:58,447 --> 00:08:01,538
kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů
a máte pravoúhlý trojúhelník.

144
00:08:01,538 --> 00:08:05,135
V budoucnu budeme mít obecnější definice,
ale když řeknete sinus 30 stupňů,

145
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
a tento úhel je 30 stupňů,
použiji tento pravoúhlý trojúhelník,

146
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
a pouze si musíme
vzpomenout na "soh cah toa".

147
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
Napišme to. soh, cah, toa.

148
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
soh nám říká, co si počít s sinem.
sinus je protilehlá ku přeponě.

149
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
Sinus 30 stupňů je protilehlá strana,

150
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
to je protilehlá strana,
která je 2 ku přeponě.

151
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
Přepona je 4.

152
00:08:32,395 --> 00:08:35,645
Jsou to dvě čtvrtiny,
což je totéž jako jedna polovina.

153
00:08:35,645 --> 00:08:40,799
Sinus třiceti stupňů
se tedy vždy rovná jedné polovině.

154
00:08:40,799 --> 00:08:44,144
Jak je na tom kosinus?

155
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
Kolik je kosinus třiceti stupňů?

156
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".

157
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
cah nám říká, co si počít s kosinem.

158
00:08:52,643 --> 00:08:56,033
Kosinus je přilehlá ku přeponě.

159
00:08:56,033 --> 00:09:00,431
Takže při pohledu na třicetistupňový úhel,
přilehlá je tato strana.

160
00:09:00,431 --> 00:09:01,791
Hned vedle úhlu.

161
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
Není to přepona.
Je to přilehlá ku přeponě.

162
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
Takže jsou to dvě odmocniny ze 3

163
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
přilehlá ku přeponě, tedy ku čtyřem.

164
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
nebo, když to zjednodušíme,
vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma,

165
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
je to odmocnina ze 3 ku 2.

166
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
Nakonec zkusme tangens.

167
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
Tangens třiceti stupňů,

168
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
připomeneme si "soh cah toa".

169
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
soh cah toa

170
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
toa nám říká, jak určit tangens.
Je to protilehlá ku přilehlé.

171
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
Vezměte úhel 30 stupňů,
protože nás zajímá tangens 30 stupňů.

172
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
Protilehlá je 2,

173
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
protilehlá je 2 a
přilehlá 2 odmocniny ze 3.

174
00:09:46,200 --> 00:09:47,715
Je to hned vedle. Přilehlá.

175
00:09:47,715 --> 00:09:49,439
Přilehlá znamená, že je hned vedle.

176
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
Takže dvě druhé odmocniny ze 3

177
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
To se rovná.. dvojky se vykrátí

178
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
1 lomeno odmocnina ze 3

179
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
nebo můžeme vynásobit čitatele
i jmenovatele odmocninou ze 3.

180
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
Takže odmocnina ze 3
lomeno odmocnina ze 3.

181
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
Čitatel se rovná odmocnině ze 3

182
00:10:08,804 --> 00:10:12,473
a jmenovatel je 3.

183
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
Takže jsme dostali
odmocninu ze 3 lomeno 3.

184
00:10:15,800 --> 00:10:16,902
Prima.

185
00:10:16,902 --> 00:10:20,283
Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení
poměrů pro šedesát stupňů,

186
00:10:20,283 --> 00:10:22,457
jelikož jsme to již nakreslili.

187
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
Takže kolik je sinus šedesáti stupňů?

188
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
Doufám, že už to začínáte chápat.

189
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
Sinus je protilehlá ku přeponě.

190
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
Která strana je
protilehlá úhlu šedesáti stupňů?

191
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
Otevírá se proti dvěma odmocninám ze 3,

192
00:10:39,315 --> 00:10:42,566
tedy dvě odmocniny ze 3
je strana protilehlá,

193
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
a z úhlu šedesáti stupňů

194
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
jde to protilehlá ku přeponě

195
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
takže je to protilehlá ku přeponě

196
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno 4.
4 je přepona.

197
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
Toto zjednodušíme na odmocninu
ze 3 lomeno 2.

198
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
Kolik je kosinus 60 stupňů?

199
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
Takže pamatujte kosinus
je přilehlá ku přeponě.

200
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
Přilehlé jsou dvě strany,
hned vedle úhlu 60 stupňů.

201
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
Takže to je to 2 ku přeponě,
a ta je 4.

202
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
Takže se to rovná jedné polovině

203
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
a pak, nakonec, kolik je tangens?

204
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
Kolik je tangens 60 stupňů?

205
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
OK tangens je protilehlá ku přilehlé

206
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
protilehlá k úhlu 60 stupňů

207
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
je 2 odmocniny ze 3

208
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
2 druhé odmocniny ze 3

209
00:11:38,019 --> 00:11:42,733
a přilehlá je 2.

210
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
Přilehlá k úhlu 60 stupňů je 2.

211
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
Takže protilehlá ku přilehlé,
dvě odmocniny ze 3 ku 2

212
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
to se rovná jedné odmocnině ze 3.

213
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
A ještě se podívejme,
jak to spolu souvisí.

214
00:11:54,641 --> 00:11:57,984
Sinus úhlu 30 stupňů je stejný
jako kosinus 60 stupňů.

215
00:11:57,984 --> 00:12:01,143
Kosinus 30 stupňů je totéž
jako sinus 60 stupňů.

216
00:12:01,143 --> 00:12:02,936
Takže tyto dva jsou vzájemně inverzní

217
00:12:02,936 --> 00:12:05,835
a myslím, že pokud se trochu
zamyslíte nad tímto trojúhelníkem

218
00:12:05,835 --> 00:12:07,105
začne to celé dávat smysl.

219
00:12:07,105 --> 00:12:09,481
V dalším videu toto budeme
dále rozšiřovat,

220
00:12:09,481 --> 00:12:11,034
abyste získali větší praxi.