In this subunit I give some examples of the use of fractal dimension in both abstract and real world fractals.
In the previous subunit we derived a generalized definition for dimension, which could be applied to fractals.
At each level we look at the logarithm of the number of copies there are of the object at the previous level...
...and the reduction factor in the size of a side or a segment from the previous level.
Using this definition, we calculated that the dimension of the Koch curve was approximately 1.26.
Now, if you didn't understand the derivation of this, don't worry, you can still use the formula.
And I should note that this is one of several methods used to calculate the fractal dimension of an object.
It's called the "Hausdorff Dimension", after the German mathematician Felix Hausdorff.
Let's look at another famous fractal, called the "Sierpinski Triangle", which was proposed by the Polish mathematician, Waclaw Sierpinski, in 1916.
For this fractal, we start with a triangle. Our rule for iteration is to remove the triangle formed by connecting the midpoints of the three sides.
So we take the midoint of each of the three sides of the triangle...
...and we connect them together and remove the triangle that results.
We're now left with three smaller triangles, each of whose sides are exactly one half the length of the original triangle side.
Let's iterate through a few more levels...so we iterate once more...
... we do the same rule to each triangle - each of these three triangles...
So now we have nine smaller triangles, each of whose sides is one half the length of the side of the previous level.
And we can do that again, and again...
...and we start to get a really nice, interesting looking figure.
Now, considering our definition of fractal dimension, here's a simple quiz question for you:
...what is the specific formula for the fractal dimension of this figure?
Now, this is a bit tricky,...
because the term in the denominator is the reduction factor of the side...
...not of the whole triangle,
So it's the reduction factor in the length of the side of the triangle,..
so remember that.
Σε αυτήν την υποενότητα θα δώσω κάποια παραδείγματα της χρήσης της fractal διάστασης,
τόσο σε αφηρημένες όσο και σε υπαρκτές περιπτώσεις fractals.
Στις προηγούμενες υποενότητες εξαγάγαμε ένα γενικό ορισμό
της "διάστασης", που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στα fractals.
Σε κάθε επίπεδο, κοιτάμε το λογάριθμο του αριθμού των αντιγράφων
του αντικειμένου, που υπάρχουν στο προηγούμενο επίπεδο
και τον παράγοντα σμίκρυνσης για το μήκος μιας πλευράς
ή για ένα τμήμα του αντικειμένου, σε σχέση με το προηγούμενο επίπεδο.
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό, υπολογίσαμε ότι η διάσταση
της καμπύλης του Koch, ήταν περίπου 1,26.
Τώρα, αν δεν καταλάβατε πώς βγήκε αυτό το αποτέλεσμα,
μην ανησυχείτε, μπορείτε πάντα να χρησιμοποιήσετε τον γενικό τύπο.
Και πρέπει να σημειώσω ότι αυτή είναι μία μόνο από τις πολλές μεθόδους που χρησιμοποιούνται
για να υπολογίσουμε τη fractal διάσταση ενός αντικειμένου.
Ονομάζεται "Διάσταση Hausdorff", από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Felix Ηausdorff.
Aς δούμε ένα άλλο διάσημο fractal, το λεγόμενο "Τρίγωνο Sierpinski",
που προτάθηκε από τον Πολωνό μαθηματικό
Waclaw Sierpinski, το 1916.
Σε αυτό το fractal ξεκινάμε με ένα τρίγωνο. Ο κανόνας μας για την επανάληψη
είναι να "αφαιρούμε" από το τρίγωνο το τριγωνικό κομμάτι που προκύπτει αν
ενώσουμε τα μέσα των τριών πλευρών του αρχικού τριγώνου.
Άρα παίρνουμε το μέσο κάθε μίας πλευράς του αρχικού τριγώνου,
τα συνδέουμε και αφαιρούμε από το σχήμα το τρίγωνο που σχηματίζεται.
Τώρα εμφανίζονται τρία μικρότερα τρίγωνα, καθενός από
τα οποία η πλευρά έχει μήκος ακριβώς το μισό
από αυτό της πλευράς του αρχικού τριγώνου.
Ας το επαναλάβουμε για μερικά επίπεδα ακόμη...
έτσι επαναλαμβάνουμε μία ακόμη φορά, εφαρμόζοντας τον ίδιο κανόνα σε κάθε πλευρά καθενός από τα τρία νέα τριγώνα
Έτσι τώρα έχουμε εννιά μικρότερα τρίγωνα,
καθενός από τα οποία η πλευρά είναι το μισό από
το μήκος της πλευράς των τριγώνων στο προηγούμενο επίπεδο.
Και μπορούμε να το κάνουμε αυτό ξανά και ξανά..
οπότε αρχίζει να σχηματίζεται ένα πραγματικά όμορφο και ενδιαφέρον σχήμα.
Τώρα, αν θυμηθούμε τον ορισμό μας για τη fractal διάσταση
να μια απλή ερώτηση-κουίζ για σας:
Ποιός είναι ο μαθηματικός τύπος για τη fractal διάσταση
αυτού του σχήματος;
Αυτό είναι λίγο δύσκολο, επειδή ο όρος στον παρονομαστή είναι ο παράγοντας σμίκρυνσης
της κάθε πλευράς και όχι ολόκληρου του τριγώνου.
Άρα είναι ο παράγοντας σμίκρυνσης στο μήκος της πλευράς
του τριγώνου... Αυτό να το θυμάστε...
En esta sub-unidad
Les entregaré algunos ejemplos de dimension fractal
de un modo abstracto y de los fractales del mundo real
En la unidad previa
hemos derivado una definición generalizada de la dimension,
que puede ser aplicada a fractales
en cada nivel, vamos a ver que el logaritmo
del numero de copias del objeto del nivel previo
y el factor de reducción del tamaño de lado del segmento del nivel precedente
Usando esta definición, vamos a calcular
que la dimensión de la curva de Koch es aproximadamente 1.26
Si no entendemos la derivación de esto
no se preocupen:
de todas maneras pueden usar la fórmula
Y deben saber que este uno de los varios métodos
que permiten calcular la dimensión fractal de un objeto
que se llama la Dimensión Hausdorff
debido al nombre del matemático alemán Felix Hausdorff.
Veamos otro fractal famoso,
llamado el Triángulo de Sierpinski.
El cual fue propuesto por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1916
Para hacer este fractal, comenzamos con un triángulo.
La regla de iteración es eliminar el triángulo que se forma
al conecta la mitad de los puntos medios de los 3 lados
así, toman los 3 puntos medios de cada lado
y los conectan y remueven el triangulo formado
y ahora nos quedamos con 3 triángulos más pequeños
cuyos lados son la mitad del triángulo original
iteremos ahora en unos pocos niveles
al iterar, aplicamos la misma regla a cada triángulo, a cada uno de los 3 triángulos
y ahora tenemos 9 triángulos más pequeños,
en donde el tamaño de cada uno de sus lados es la mitad del tamaño del triángulo del nivel precedente
y podemos hacer esto una y otra vez
y así vamos a empezar a obtener una figura de forma interesante
y ahora considerando la definición de dimensión fractal
les voy a hacer una pregunta simple:
¿Cuál es la fórmula específica de la dimensión fractal de esta figura?
Es un poco complicado
porque los términos del denominador es el factor de reducción del lado
no del triángulo completo.
Entonces es el factor de reducción del largo de lado del triángulo
así que recuerden eso.
Dans cette sous-unité,
je vais donner quelques exemples de dimension fractale
dans un monde abstrait et dans le monde réel.
Dans la sous-unité précédente,
nous avons dérivé une définition généralisée de la dimension,
qui peut être appliquée aux fractales.
À chaque niveau, nous avons cherché le logarithme
du nombre de copies de l'objet du niveau précédent,
et le facteur de réduction de la taille d'un côté ou d'un segment du niveau précédent.
Avec cette définition, nous avons calculé
que la dimension de la Courbe de Koch était environ 1.26.
Si vous n'avez pas compris cette dérivation,
ne vous inquiétez pas:
vous pouvez toujours utiliser la formule.
Et je devrais dire que c'est une des nombreuses méthodes
qui permettent de calculer la dimension fractale d'un objet.
Elle est appelée la Dimension Hausdorff,
d'après le mathématicien allemand Felix Hausdorff.
Voyons une autre fractale célèbre,
appelée le Triangle de Sierpinski.
Elle a été proposée par le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski en 1916.
Ici, nous commençons avec un triangle.
La règle de répétition est d'ôter le triangle formé
en connectant le milieu des trois côtés.
Donc vous prenez le milieu de chacun des côtés,
vous les connectez et retirez le triangle ainsi formé.
Il nous reste maintenant trois petits triangles,
dont le côté est exactement la moitié de l'original.
Répétons cela sur quelques niveaux,
Nous répétons une nouvelle fois, avec la même règle sur chacun des trois triangles,
et maintenant nous avons neuf petits triangles,
dont le côté mesure la moitié du triangle au niveau précédent.
On peut faire cela encore et encore...
Et on finit par obtenir une figure assez intéressante.
Maintenant, si on considère notre définition de la dimension fractale,
Voici une simple question de Quiz:
Quelle est la formule spécifique de la dimension fractale pour cette figure?
C'est un peu compliqué,
parce que les termes du dénominateur concernent le facteur de réduction des côtés,
et non du triangle entier.
Donc il s'agit du facteur de réduction de la longueur du côté du triangle.
Souvenez-vous en.
In questa subunit faccio qualche esempio sull'uso della dimensione frattale in astratto e nel mondo reale
Finora abbiamo dato una definizione generale di dimensione, che può applicarsi ai frattali
Ad ogni livello guardiamo al logaritmo del numero di copie che ci sono dell'oggetto al livello precedente
e al fattore di riduzione nella misura di un segmento dal livello precedente.
usando questa definizione, abbiamo calcolato che la dimensione della curva di Koch è circa 1,26.
Se non capisci perché, non preoccuparti, puoi sempre usare questa formula.
Nota che questo è uno dei tanti modi di calcolare la dimensione frattale di un oggetto.
E' detta "Dimensione di Hausdorff", dal matematico tedesco Felix Hausdorff.
Guardiamo un altro frattale famoso, detto "Triangolo di Sierpinski", proposto dal matematico polacco nel 1916
Questo frattale parte dal triangolo. La regola dell'iterazione: levare il trangolo formato connettendo i p.ti medi dei 3 lati
Prendo i punti di mezzo di ogni lato dl triangolo....
...li collego, e tolgo il triangolo che ne risulta.
ora ho 3 triangoli più piccoli: i loro lati sono la metà del lato del triangolo di partenza
iteriamo ancora un po' di livelli...
... applico la stessa regola ad ogni triangolo - ad ognuno di questi 3 triangoli...
Ora ho 9 triangoli più piccoli, di lato 1/2 del lato del livello precedente.
E posso farlo ancora ed ancora...
...comincio a vedere una figura interessante.
Ora, pensando alla definizione di dimensione frattale, eccovi una semplice domanda quiz:
qual è la formula specifica per la dimensione frattale di questa figura?
E' un po' difficile...
perchè il termine al denominatore è il fattore di riduzione del lato....
....non di tutto il triangolo,
Dunque è il fattore di riduzione della lunghezza del lato del triangolo...
ricordatelo.
Nesta sub-unidade eu darei alguns exemplos do uso de dimensão fractal em ambos fractais, abstratos e reais
Na sub-unidade anterior, nós derivamos um definição generalizada para dimensão, a qual podemos aplicar a fractais.
A cada nível, olhamos para o logarítmo do número de cópias que existem do objeto na nível anterior...
e o fator redutor no tamanho de um lado ou o segmento do nível anterior.
Usando esta definição, nós calculamos que a dimensão da Curva de Koch era de aproximadamente 1.26.
Agora, se voce não compreendeu como derivamos isto, não se preocupe, porque voce pode continuar usando esta fórmula.
E eu deveria falar que este é apenas um dos vários métodos usados para calcular a dimensão fractal de um objeto.
É chamado de "Dimensão Hausdorff", seguindo o nome do matemático alemão Felix Hausdorff.
Vamos olhar para outro fractal famoso chamado "Triângulo de Sierpinski", que foi proposto pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski em 1916.
Para este fractal, vamos começar com o triângulo. Nossa regra para iteração é remover o triângulo formado conectando os pontos médios dos três lados.
Então tomamos o ponto médio de cada um dos três lados do triângulo...
... e conectamos eles juntos e removemos o triângulo resultante.
O que nos resta agora são três triângulos menores, onde o lado de cada um é exatamente a metade do tamanho do lado do triângulo original.
Vamos iterar por mais alguns níveis ... e então iteraremos uma vez mais....
... utilizando a mesma regra para cada triângulo - cada um desses tres triângulos ....
Então agora temos nove triângulos menores, onde cada um dos lados é a metade do tamanho do lado do nível anterior.
E podemos fazer isto outra vez, e depois outra vez...
... e então começamos a ver uma boa e interessante figura.
Agora, considerando nossa definição de dimensão fractal, aqui está uma pergunta teste para voce:
... qual é a fórmula específica para a dimensão fractal dessa figura?
Agora, isto é um pouco complicado, ...
porque o termo no denominador é o fator redutor do lado ...
... não de todo o triângulo.
Então é o fator redutor no tamanho do lado do triângulo, ...
então, lembre-se disso.
În acestă lecție vă voi oferi câteva exemple despre felul în care se utilizează dimensiunea fractalilor aât din punct de vedere matematic cât și în lumea reală.
În lecția anterioară am stabilit o definiție generală a dimensiunii care se poate aplica și în cazul fractalilor.
La fiecare nivel vedem logaritmul numărului de copii ale obiectului de la nivelul anterior...
și valoarea de reducție a mărimii unei laturi sau a unui segment de la nivelul anterior.
Folosind această definiție, am calculat că dimensiunea curbei Koch este aproximativ 1,26
Acum, dacă nu ați înțeles cum am ajuns aici, nu vă faceți griji, puteți folosi formula.
Și trebuie să precizez că aceasta este una dintre cele câteva metode prin care se poate calcula dimensiunea unui fractal.
Se numește ”Dimensiunea Hausdorff”, după matematicianul german Felix Hausdorff.
Haideți să ne uităm la un alt fractal faimos denumit ”Triunghiul Sierpinski” care a fost propus de matematicianul polonez Waclaw Sierpinski în 1916.
Pentru acest fractal începem cu un triunghi. Regula noastră pentru repetiție este să îndepărtăm triunghiul format dacă unim punctele de pe mijlocul celor trei laturi ale triunghiului inițial.
Avem punctele situate pe mijlocul celor trei laturi ale triunghiului...
le conectăm și scoatem triunghiul rezultat.
Am rămas acum cu trei triunghiuri mai mici, ale căror laturi sunt egale cu jumătate din lungimea laurilor triunghiului inițial.
Haideți să repetăm pentru câteva nivele... mai repetăm o dată....
aplicăm aceași regulă la fiecare triunghi - pentru fiecare dintre cele trei triunghiuri...
Acum avem 9 triunghiuri mai mici ale căror laturi sunt egale cu jumătate din lungimea laurilor triunghiurilor de la nivelul anterior.
Și putem face acest lucru din nou și din nou...
și vom începe să vedem o figură frumoasă și interesantă.
Acum, având în vedere definiția noastră privind dimensiunea fractalilor, iată o întrebare simplă pentru voi:
Care este formula specifică pentru calcularea dimensiunii fractalului pentru această figură?
Acum, e puțin mai delicat...
pentru că o condiție la numitor o reprezintă factorul de reducție a laturei...
nu întregul triunghi.
Deci este factorul de reducție a lungimii laturii triunghiului...
țineți minte asta.