In this optional sub unit
I'll present the bifurcation diagram
for a different differential equations
and this will lead us to
the phenomenon of Hysteresis or path dependence
we will see that in a second.
We will start with this differential equation
dx/dt. I'll use x this time
instead of P.
because this doesn't really represent a population
is rx plus x cubed minus x to the fifth
So r is now our parameter.
Before it was h.
This time we will use r.
So, we will build up the bifurcation diagram
piece by piece
by letting r be different values
plotting the right hand side of this
and seeing what the function looks like
and making a phase line
So here is what we have if r equals one
Down, up, and down
So there are three fix points.
Because the line crosses the x axis three times
here, here, and here.
So, three fixed points.
One, two, three.
make a note this is for r equals one
When this function is negative.
This is a derivative.
The derivative is negative.
X is decreasing
When positive we are increasing.
Negative decreasing, positive increasing
So, this function has three fixed points.
There is an unstable fixed point at zero.
and there are two stable fixed points
out here a little bit more than
one away from the origin.
So that's the situation when R equals 1.
If I decrease R and make it a little
bit negative.
This curve gets a little wiggle in it.
and it starts to look like this
So the curve gets steeper
but it aquires a little wiggle in here.
So let's calculate
let's figure out the phase line for this
here we have five fixed points.
1,2,3,4,5
equilibria class of five.
and they kind of scrunch together
That's going to be a little challenging
for me to draw.
Ok, so there are the fixed points.
1,2,3,4,5.
the function is positive
so we are moving to the right
negative in here, then positive
negative,positive, negative.
R equals zero point two.
So I see three stable fixed points.
Here, here, and here in the middle
So you have probably noticed
a stable fixed point occurs
when the line crosses the axis from top to bottom.
So that happens here, here, and here.
So we have these two unstable fixed points
here and here.
When the line goes from below to above.
So, five fixed points, three are stable
and two are unstable.
This is the story for minus 0.2
the last r we will look at
is r equals minus 0.4
R is a little bit more negative here.
and what happens is
these bumps straighten out.
So this bump and this bump
get pulled up and down.
And we end up with this.
So here, the phase line is kind of simple
almost boring again
So we have one fixed point.
So we had five but four of them disappeared.
And we are just left with this one.
at the origin.
And it keeps --it's stability
so we had a little hard to see.
We had four and here we had one.
but this one the one at the origin remains.
Ok, so we have three phase lines.
So we can connect them
Sort of glue them all together
and see what the bifurcation diagram might look like.
so as before I"m going to slice off.
these phase lines.
and let's take a look.
Here is R equals 1
Here is R equals minus 0.2
And I should've written here
this was r equals minus 0.4
Here is the what we have.
So from these phase lines
it might not be immediately clear
what the entire bifurcation diagram looks like
we might want to do a few more phase lines
For immediate R values.
try an R of 0. a R of -.1
A r of +.1, and so on
But rather than take the time to do that.
Let me sketch what this looks like
and then I'll show you a neater drawing
of the bifurcation
diagram
Since the main goal is to get this bifurcation diagram
and then look at it and learn about Hysteresis
so let me just draw a few things on here.
So I'm going to use blue
for an unstable fixed point
and so it turns out I have a line
of unstable fixed points here.
Wait sorry those are stable.
Oh, dear how can I recover from this
this was going to be blue
Maybe it's red and blue, purple, or it looks mostly red
So these are stable.
It's just the wrong color
It's stable the arrows are going in
and then we also have some stable fixed points
Here and here. Here and Here.
and these are going to look like this.
And this one is going to come down like this.
and then we will have unstable fixed point here.
and this line connects up here.
So that's our bifurcation diagram
It's not the best picture in the world.
To me, it kind of looks like
a fish like a salmon that's throwing up.
Which you know.
is not what I intended.
but this is the bifracation diagram.
So we have stable points in red
and unstable points in blue.
And hopefully you can see how the blue and red lines
line up with these fixed points.
And this vommiting fish looking this.
So let me draw another nicer version of this diagram
and we will analyze that.
And learn about Hysteresis.
So here is a slightly neater version
of the bifucation diagram.
From the previous screen.
And I'll be focusing on the positive x-values
I've only drawn arrows on here.
So we have a line of stable fixed points.
Attractors.
and we have here in blue a line of unstable
fixed points repellers.
Unstable here, and stable here.
So, let's imagine let's sort of talk through
a scenario with this.
That the parameter starts off somewhere off here.
And we have a postive x value.
We are going to get pulled to this attractor
and now imagine the parameter
is going to be decreasing
who knows in this case.
I don't know if there is a clear physical or analogue
or something but whatever R is. It decreases
So as R decreases then the equilibrium
value decreases.
then we decrease R some more
and the equilibrium value decrease some more
then we move down along here.
And this looks alot like
what happened when we were increasing
the fishing rate in the logistic differential equation
So we move down here,
R continues to decrease
until we get here.
And then this fixed point
this attractor up here disappears
It's gone.
It decrease a little bit more.
The quantity of x whatever it is
is going to get pulled down here to zero.
And so then,
perhaps we like this positive thing
is good
zero is bad
maybe this is growth rate of the economy
or some fishing, some number of fish
or something
and we zip down here.
Then we might say "Uh-oh, we crashed"
"We better increase R."
and so we will increase R.
but this red point down here is stable.
it's attracting
And so we don't automatically jump up to here.
because this is stable.
We move a little bit
We get pushed back.
So then we would increase R,
We will increase R,
we will increase R still.
More, until we get a little bit over here.
Then. this fixed point loses it's stability.
We go from Red to blue.
and then we will jump back up to here.
So again, we are seeing jumps
But this time there is a new feature.
Which is as follows:
Suppose we wanted to know if R was around here.
Whatever that is -0.2
What stable behavior would we observe in this model
and the answer is,
it would depend on not just
on the R value, but where one came from.
and this is the idea of the Hysteresis.
Let me draw a picture sort of to illustrate.
or outline the story I just told.
So thinking of this portion of the bifurcation diagram
I guess I'll just make a really rough sketch of this.
So, I could move down this way
then I come to this collapse point
and I go down here.
Then, I would increase until here.
and then I would jump back up
and could go in either direction here.
So, so this is to connect it r = 0
So this system so has path dependence.
So what would you observe at this r value
Well it depends not just on the R value.
but on the path to get there.
If you reach this R value,
the one where my finger is
from above, from the right
Then you would be up here.
Here on this diagram.
If you approached this R value from below
having going beyond this and sort of falling off that cliff
then you will be down here at zero
this is called hysteresis or path dependence.
So the term of this behavior
is hysteresis or path dependence.
So that the equilibrium property
the oberseved behavior of this differential equation
this model
depends not only on R.
It looks like it only depends on R.
If you tell me what R is.
I can solve the differential equation
I can tell you what X would end up being.
But in the situation where you have multiple attractors
and they are arranged like this
knowing R is not enough
you need to know where R came from.
It depends not just on R.
But on the path R took.
This is surprising and interesting
I think because path dependence
is a type of memory
The value of the population
whatever this is
in a sense remembers where its been.
It's not obvious at all that this equation has memory
built into it
This says the growth rate,
the change of X and this number R.
So it's a type of memory or history
that get introduced into a differential equation
as a result of this bifurcation
this particular structure in a bifurcation diagram
like this.
I don't know that this
is common or ubiquitous in differential equations
But it's not uncommon either
But you don't need a tremendous complicated equation
to get this behavior
So this is another type-I guess--
of bifucations
Two bifucations.
There is a bifurcation here
and a bifurcation there.
and taken together
those two bifurcations lead to this path dependence.
So, again to underscore it one more time
We have a simple differential equation
something that is continuous, smooth, differential,
doesn't have any memory built in
and we can have a system behave in jumps
and that develops a memory or path dependence
So that's the idea behind.
Hysteresis or path dependence
في هذه الوحدة الفرعية الإختيارية
سوف أقدّم رسم التشعب البياني
للمعادلات التفاضلية
وسيقودنا هذا إلى
ظاهرة التخلفية المغناطيسية أو مسار التبعية
سوف نرى ذلك خلال لحظة.
سوف نبدأ بالمعادلة التفاضلية هذه
dx/dt. سوف أستخدم x هذه المرة
بدلاً من P.
لأنّ هذا لا يمثّل الكثافة السكانية حقاً
إنّه rx زائد x تكعيب ناقص x للقوة الخامسة
إذاً الآن r هو وسيطنا.
قبل أن يكون h.
سوف نستخدم r هذه المرة.
إذاً، سوف ننشأ رسم التشعب البياني
قطعة بقطعة
من خلال أن ندع r تأخذ قيم مختلفة
نرسم الجهة اليمنى لهذا
ونرى ما تبدو الدالة عليه
ونصنع خط مرحلي
إذاً هنا لدينا فيما إذا كانت r تساوي واحد
أسفل، أعلى، أسفل
إذاً يوجد ثلاث نقاط ثابتة.
لأنّ الخط يقطع محور x ثلاث مرات
هنا، هنا، وهنا.
إذاً، ثلاث نقاط ثابتة.
واحد، اثنان، ثلاثة.
لاحظ أنّ هذه لمن أجل r تساوي واحد
عندما تكون هذه الدالة سالبة.
هذا مشتق.
المشتق سالب.
X تتناقص
عندما يكون موجب تتزايد.
سالب يتناقص، موجب يتزايد
إذاً، هذه الدالة لديها ثلاث نقاط ثابتة.
يوجد نقطة ثابتة غير مستقرة عند الصفر.
ويوجد نقطتان ثابتتان مستقرتان
هنا، أكثر بقليل
من واحد بعيداً عن نقطة الأصل.
إذاً ذلك هو الوضع عندما R تساوي 1.
إذا أنقصت R وجعلته
سالب قليلاً.
هذه المنحني لديه التواء صغير فيه.
ويبدأ أن يصبح كهذا
إذاً المنحني يزداد حدة
لكن aquires لديه التواء صغير هنا.
إذاً دعونا نحسب
دعونا نكتشف الخط المرحلي لهذا
هنا لدينا خمس نقاط ثابتة.
1،2،3،4،5
صف توازنات من خمسة.
لكنهم يتقاطبان معاً نوعاً ما
هذا سيكون تحدي
لي قليلاً لأرسمه.
حسناً، إذاً يوجد النقاط الثابتة.
1،2،3،4،5.
الدالة موجبة
إذاً إنّنا نتحرك لليمين
سالب هنا، ثم موجب
سالب، موجب، سالب.
R تساوي 0.2.
إذاً أرى ثلاث نقاط ثابتة مستقرة.
هنا، هنا، وهنا في المنتصف
إذاً من المحتمل أنّكم لاحظتم
أنّ نقطة ثابتة مستقرة تظهر
عندما الخط يقطع المحور من الأعلى للأسفل.
إذاً ذلك يحدث هنا، هنا، وهنا.
إذاً لدينا هاتين النقطتين الثابتتين غير المستقرتين
هنا وهنا.
عندما يذهب الخط من الأسفل للأعلى.
إذاً، خمس نقاط ثابتة، ثلاثة مستقرة.
واثنتين غير مستقرتين.
هذه هي الحكاية لسالب 0.2
r الأخيرة التي سأنظر إليها
هي r تساوي سالب 0.4
R سالبة أكثر قليلاً هنا.
وما يحدث هو
أنّ هذه النتوءات تستقيم .
إذاً هذا النتوء وهذا النتوء
تُسحب للأعلى والأسفل.
وننتهي بهذا.
إذاً هنا، الخط المرحلي بسيط نوعاً ما
ممل تقريباً مجدداً
إذاً لدينا نقطة ثابتة واحدة.
إذاً كان لدينا خمس نقاط لكن أربعة منهن اختفوا.
وبقينا مع هذه الواحدة فقط.
عند الأصل.
وتواصل-- إنّه الإستقرار
إذاً من الصعب قليلاً رؤيته.
كان لدينا أربعة وهنا لدينا واحدة.
لكن هذه الواحدة هي الواحدة التي تبقى عند الأصل.
حسناً، إذاً لدينا ثلاث خطوط مرحلية.
إذاً نستطيع أن نصلهم معاً
نوعا ما نلصقهم سوية
ونرى ما قد يبدو عيه رسم التشعب البياني.
إذاً كما قبل سوف أقطعهم.
هذه الخطوط المرحلية.
ودعونا نلقي نظرة.
هنا R تساوي 1
هنا R تساوي ناقص 0.2
وكان يجب أن اكتب هنا
هذا من أجل r تساوي سالب 0.4
هنا ما لدينا.
إذاً من الخطوط المرحلية هذه
ربما لن يكون واضحاً مباشرةً
ما يبدو عليه رسم التشعبات البياني
ربما نريد أن نقوم بخطوط مرحلية إضافية قليلة
لقيم R الحالية.
جرب R لـ o.a ثم R لـ 1-
A r لـ +1، وهكذا
لكن بدلاً من أخذ الوقت بفعل ذلك .
دعوني أرسم مايبدو هذا عليه
ومن ثمّ سأريكم رسماً أكثر ترتيباً
لرسم التشعب
البياني
بما أنّ الهدف الرئيسي هو أن نحصل على رسم التشعب البياني هذا
ومن ثم النظر إليه والتعلم عن التخلفية المغناطيسية
إذاً دعوني فقط أرسم أشياء قليلة هنا.
إذاً سوف أستخدم اللون الأزرق
للنقطة الثابتة غير المستقرة
وإذاً تبيّن أنّي لدي خط
من النقاط الثابتة غير المستقرة هنا.
انتظر، آسف هؤلاء مستقرين.
أوه عزيزي كيف يمكنني أن أتعافى من هذا
هذا كان سيكون أزرق
ربما إنّه أزرق وأحمر، بنفسجي، أو إنّه يبدو عالأغلب أحمر
إذاً هؤلاء مستقرين.
إنّه فقط اللون الخطأ
إنّها مستقرة، تدخل الأسهم
ومن ثم لدينا أيضاً نقاط ثابتة مستقرة
هنا وهنا. هنا وهنا.
وهؤلاء سوف يبدون كهذا.
وهذه سوف تنخفض هكذا.
ومن ثم سوف يكون لدينا نقطة ثابتة غير مستقرة هنا.
وهذا الخط يتصل هنا.
إذاً ذلك هو رسم التشعب البياني خاصتنا
إنّه ليس أفضل صورة بالعالم.
بالنسبة لي، إنّه يبدو نوعاً ما
كسمكة سلمون تتقياً.
والتي كما تعرفون
إنّه ليس ما قصدته.
لكن هذا هو رسم التشعب البياني.
إذاّ لدينا نقاط ثابتة مستقرة بالأحمر
ونقاط ثابتة غير مستقرة بالأزرق.
وأمل أنكم تستطيعون رؤية كيف أنّ الخطوط الزرقاء والحمراء
تصطف مع النقاط الثابتة هذه.
وهذه السمكة المتقيأة تبدو هكذا.
إذاً دعوني أرسم نسخة أخرى أدق لهذا الرسم البياني
وسوف نحلل ذلك.
ونتعلم عن التخلفية المغناطيسية
إذاً هنا نسخة أرتب بقليل
لرسم التشعب البياني.
من الشاشة السابقة.
وسوف أركّز على قيم x الموجبة
لقد رسمت أسهم فقط هنا.
إذاً لدينا خط من النقاط الثابتة المستقرة.
الجاذبة.
ولدينا هنا بالأزرق خط من النقاط
الثابتة غير المستقرة المنفرة.
غير مستقرة هنا، ومستقرة هنا.
إذاً، دعونا نتخيل، دعونا نتحدث نوعاً ما عن
سيناريو مع هذا.
حيث أنّ الوسيط يبدأ في مكانٍ ما هنا.
ولدينا قيمة x موجبة.
سوف نُسحَب لهذه الجاذبة
والآن تخيلوا الوسيط
سوف يتناقص
من يعلم في هذه الحالة.
لا أعرف إن كان هناك نظير فيزيائي واضح أو مماثل
أو شيئاً ما، لكن أيّاً كانت R. إنّها تتناقص
إذاً عندما تتناقص R عندئذٍ قيم
التوازن تتناقص.
ومن ثم تنقص R أكثر
وقيم التوازن تتناقص أكثر
ومن ثم ننزل على طول هنا.
وهذا يشابه كثيراً
ماذا حدث عندما كنا نزيد
مقدار الصيد في المعادلة التفاضلية اللوجيستية.
إذاً ننزل إلى هنا،
R تستمر بالتناقص
حتى نصل إلى هنا.
ومن ثم النقطة الثابتة هذه
تختفي هذه الجاذبة هنا بالأعلى
إنها مختفية.
تتناقص أكثر قليلاً.
كمية x أياً كانت
سوف تُسحَب هنا للأسفل إلى الصفر.
وبالتالي عندئذٍ،
ربما يعجبنا أنّ هذا الشيء الموجب
جيد
الصفر سيء
ربما هذا مقدار التطور للإقتصاد
أو بعض الصيد، بعض أعداد الأسماك
أو شيئاً ما
ونندفع للأسفل هنا.
ثم ربما نقول "آه- أوه، لقد تحطمنا "
"من الأفضل أن نزيد R."
وإذاً سوف نزيد R.
لكن هذه النقطة الحمراء هنا بالأسفل مستقرة.
إنّها جاذبة
ولذلك لا نقفز آلياً إلى هنا بالأعلى.
لأنّ هذه مستقرة.
نتحرك قليلاً
نُدفَع.
إذاً عندئذٍ نستطيع أن نزيد R،
سوف نزيد R،
لا زلنا سنزيد R.
أكثر، حتى نصل إلى ها هنا قليلاً.
ثمّ هذه النقطة الثابتة تخسر استقراريتها.
نذهب من الأحمر للأزرق.
ومن ثم سوف نقفز للأعلى هنا.
إذاً مجدداً، إننا نرى قفزات
لكن هذه المرة بهيئة جديدة.
والتي هي كالتالي:
افترضوا أننا أردنا أن نعرف إن كانت R في مكانٍ قريبٍ هنا.
أياً كان ذلك يساوي 0.2-
أي سلوك مستقر سوف نلاحظه في هذا النموذج
والإجابة هي،
إنّه سوف يعتمد على ، ليس فقط
قيمة R، لكن من أين أتى الواحد.
وهذه هي فكرة التخلفية.
دعوني أرسم رسمة لأوضح نوعاً ما
أو أحدد الحكاية التي أخبرتكم بها للتو.
إذاً إنّي أفكر بهذا الجزء من رسم التشعبات البياني
أظن أني سأصنع رسمة حادة لهذا.
إذاً، أستطيع أن أنزل للأسفل بهذا الطريق
ثم آتي لنقطة الإنهيار هذه
واذهب هنا للأسفل.
ثمّ، سأزيد حتى هنا.
ومن ثمّ سأعاود القفز للأعلى
وأستطيع أن أذهب بأحد الاتجاهين هنا.
إذاً، هذا لوصلها r = 0
إذاً هذا النظام لديه مسار تبعية.
ماذا ستلاحظ عند قيمة r هذه
حسناً، ذلك لا يعتمد على قيمة R فقط.
لكن على المسار لتصل هناك.
إذا وصلت لقيمة R هذه،
حيث يتواجد إصبعي
من فوق، من اليمين
عندئذٍ ستكون هنا بالأعلى.
هنا على هذا الرسم البياني.
إذا اقتربت من قيمة R هذه من الأسفل
خلف هذه وتنحدر للأسفل نوعاً ما
ثمّ ستكون هنا بالأسفل عند الصفر
هذا يدعى التخلفية أو مسار التبعية.
إذاً مصطلح هذا السلوك
هو التخلفية أو مسار التبعية.
إذاً تلك خاصية التوازن
السلوك المُلاحظ لهذه المعادلة التفاضلية
هذا النموذج
لا يعتمد فقط على R.
يبدو أنّه يعتمد فقط على R.
إذا أخبرتني ما هي R.
أستطيع أن أحل المعادلة التفاضلية
أستطيع أن أخبرك ماذا ستكون x بالنهاية.
لكن في الوضع الذي يكون لديك فيه عدة نقاط جاذبة
ومرتبة هكذا
معرفة R ليست كافية
تحتاج أن تعرف من أين أتت R.
لا يعتمد على R فقط.
لكن على المسار الذي أخذته R.
هذا مفاجئ ومثير للإهتمام
أعتقد لأنّ مسار التبعية
نوع من الذاكرة
قيمة الكثافة السكانية
أياً كانت
بمعنى تذكر أين كانت.
إنّه ليس من الواضح إطلاقاً أنّ هذه المعادلة لديها ذاكرة
راسخة داخلها
يقول هذا أنّ مقدار التطور،
تغير X وهذا الرقم R.
إذاً إنّه نوع ذاكرة أو تاريخ
الذي تم تقديمه في المعادلة التفاضلية
كنتيجة لهذه التشعبات
هذه البنية المعينة في رسم التشعبات البياني
كهذا.
لا أعرف أنّ هذا
شائع أو موجود في كل مكان في المعادلات التفاضلية
لكنّه ليس غير شائع أيضاً
لكنك لا تحتاج معادلة معقدة هائلة
لتحصل على هذا السلوك
إذاً هذا نوعٌ آخر على ما أظن--
للتشعبات
تشعبان.
يوجد تشعب هنا
وتشعب هنا.
وأخذهم مع بعضهم
هؤلاء التشعبان الإثنان يقودان لمسار التبعية هذا.
إذاً، مجدداً لتأكيد ذلك مرة أخرى إضافية
لدينا معادة تفاضلية بسيطة
شيءٌ ما مستمر، سلسل، تفاضلي،
ليس لديه أي ذاكرة مقامة به
ويمكن أن يكون لدينا نظام يتصرف بالقفزات
ويطوّر ذاكرة أو مسار التبعية
إذاً تلك هي الفكرة خلف
التخلفية أو مسار التبعية.
In this optional sub unit I'll present the bifurcation diagram for a different differential equation and this will lead us to the phenomenon of Hysteresis or path dependence. Well see that in a second. We'll start with this differential equation so dx/dt, Ill use x this time instead p because this doesn't really represent a population, is rx plus x cubed minus x to the fifth so r is now our parameter before it was h. This time we'll use r. So well build up the bifurcation diagram piece by piece by letting r be different values, plotting the right hand side of this and seeing what the I'm function looks like and making a phase line. So here's a we have when r equals one. Down up and down. So there are three fixed points cause the line crosses the x-axis three times: here , here and here. So three fixed points: one, two, three. Make a note this is for r equals 1. When this function is negative (this is a derivative), when the derivative is negative X is decreasing, when positive we're increasing, negative decreasing, positive increasing. So this function has 3 fixed points. There's an unstable fixed point at 0 and there are two stable fixed points out here a little bit more than one away from the origin. So that's the situation when r equals 1. If I decrease r and make it a little bit negative this curve gets a little wiggle in it and it starts to look like this So the curve gets steeper but then it acquires a little wiggle in here. So let's calculate - figure out - the phase line for this. Here we have five fixed points that's a new record for us. 1,2,3,4,5 equilibria to classify and they kinda scrounge together. Thats gonna be a little bit challenging for me to draw. Ok. So there there are fixed points 1,2,3,4,5. The function is positive that means we are moving to the rightI, negative in here then, positive in this region, negative, positive, negative. This is r equals (-) 0.2. Okay so I see three stable fixed points: here, here and here in the middle. So you proba
En esta subunidad opcional, presentaré el diagrama de bifurcación para diferentes ecuaciones diferenciales.
Esto nos llevará a la fenomenología de la histéresis o trayectoria de dependencia.
Lo veremos en un segundo. Comenzaremos con esta ecuación diferencial.
Entonces, dx/dt, ahora con x en vez de p, ya que esto en realidad representa una población, es igual a rx, más x al cubo, menos x a la quinta.
Entonces, ahora r es nuestro parámetro, antes fue la edad, ahora usaremos r.
Entonces construiremos el diagrama de bifurcación, pieza por pieza,
dando a r diferentes valores de graficación, a mano derecha de este y observando cómo luce la función,
haciendo una línea de fase.
Aquí tenemos para r=1, baja, sube y baja, entonces hay tres puntos fijos, ya que la línea cruza el eje x tres veces:
aquí, aquí y aquí.
Entonces: punto fijo uno, dos y tres, nótese que esto es para r=1.
Cuando esta función es negativa, esta es una derivada, cuando la derivada es negativa, x es decreciente, cuando es positiva creciente.
Negativa: decreciente. Positiva: creciente.
Entonces, esta función tiene tres puntos fijos.
Hay un punto fijo inestable, en cero, y hay dos puntos fijos estables, aquí, un poco más lejos del origen.
Esta es la situación cuando r es igual a uno.
Si decremento r y la hago ligeramente negativa, esta curva se vuelve un poco más oscilante,
empieza a verse como esto, así la curva se vuelve más pronunciada, pero entonces adquiere una pequeña oscilación aquí.
Entonces calculemos, imaginemos la línea de fase.
Para esto, tenemos cinco puntos fijos, esto es un nuevo registro para nosotros,
uno, dos, tres cuatro, cinco, clasificados como de equilibrio,
están muy juntos y puede ser un poco difícil para mí dibujarlos.
Bien, entonces hay puntos fijos: uno, dos, tres, cuatro, cinco.
La función es positiva, que significa que se está moviendo a la derecha.
Negativa aquí, luego positiva en esta región. Negativa, positiva, negativa.
Esto es con r=0.2.
Bien, veo tres puntos fijos estables: aquí, aquí y aquí, en la mitad.
Probablemente, notaste un punto fijo estable cuando la línea cruza los ejes de arriba hacia abajo.
Lo que pasa aquí, aquí y aquí.
Entonces tenemos estos puntos fijos muy inestables en medio: aquí y aquí, sobre la línea que va de abajo hacia arriba.
Entonces, 5 puntos fijos:
Tres son estables y dos son inestables.
Esta es la historia para r=… debe ser menos… 0.2.
La última r que veremos es r=-0.4,
entonces es un poco más negativa aquí, y lo que pasa es que estas jorobas son aplanadas.
Entonces esta joroba y esta joroba son jaladas hacia arriba o hacia bajo y terminamos con esto así.
Aquí, la línea de fase es de un tipo simple, de nuevo casi aburrido.
Tenemos sólo un punto fijo, así tenemos cinco que desaparecieron y sólo resta este en el origen.
Este mantiene estabilidad.
Entonces tenemos,
difícil de ver,
tuvimos cuatro y, entonces, aquí ahora tenemos uno,
pero este es el que se mantiene en el origen.
Bien, tenemos tres líneas de fase y podemos conectarlas, pegándolas juntas,
y observar cómo se podría ver el diagrama de bifurcación.
Primero, voy a cortar estas líneas de fase y, luego, echemos un vistazo.
Aquí nuestra r=1, aquí r=-0.2…
¡Uy! debería haber escrito aquí, esto era r=-0.4.
Entonces, aquí está lo que tenemos.
Para estas tres líneas de fase, puede no quedar inmediatamente claro cómo queda el diagrama de bifurcación completo.
Podríamos desear algunas líneas de fase adicionales, para valores de r intermedios:
intentar r=0, r=0.1, y r+0.1 y así.
Más que tomar el tiempo para hacer eso, que me pondría tenso,
observemos como se ve esto y así les mostraré esta aproximación al diagrama de bifurcación,
ya que el objetivo principal es que...
tengo este diagrama de bifurcación y entonces lo miro y aprendo sobre la histéresis.
Permítanme colocar algunas cosas sobre esto.
Entonces, usaré azul para los puntos fijos inestables y tenemos aquí una línea para puntos fijos inestables,
perdón son estables.
Intento repintar esto, debe ser rojo. Rojo sobre azul puede parecer púrpura.
Entonces, estos son actores estables, se dice que en la estabilidad las flechas entran,
y así también tenemos otro estable, como punto fijo estable, aquí y aquí.
Aquí y aquí.
Y estos ahora se ven como esto.
Y esto baja, como esto.
Así, tenemos puntos fijos inestables.
Aquí.
Y una línea que conecta hacia arriba. Entonces, esto es nuestro diagrama de bifurcación.
No es el mejor dibujo en el mundo,
a mi me parece un pez como un salmón tragando, ustedes saben.
Es un intento.
Bien, pero esto es el diagrama de bifurcación, entonces tenemos puntos estables en rojo y puntos inestables es azul.
Y espero que podamos ver cómo estas líneas, la azul y la roja, aparecen con estos puntos fijos, con esta forma de pez.
Bien, permítanme dibujar una versión más agradable de este diagrama y,
entonces, lo analizaremos y aprenderemos sobre la histéresis.
Aquí está una mejor versión del diagrama de bifurcación,
a partir del de la escena anterior,
y sólo me enfocaré en los valores positivos de x.
He dibujado flechas aquí, entonces tenemos una línea de puntos fijos estables, atractores.
También, tenemos aquí, en la línea azul, puntos fijos inestables.
Entonces, inestables aquí, y estables aquí.
Ahora, imaginemos un escenario como este,
donde, por cualquier motivo, el parámetro r empieza de algún lugar aquí
y que tenemos un valor positivo en x,
entonces vamos a ser jalados hacia el atractor.
Y ahora imaginemos que el parámetro r comienza a disminuir,
sabemos cuál es el parámetro en este caso.
Desconozco qué variable física es pero, cualquiera que sea, comienza a decrecer y,
entonces, mientras decrece y comienza disminuir el valor de equilibrio.
Disminuimos más r y el valor de equilibrio disminuye aún más y, abajando por aquí,
y esto se parece mucho a lo que pasa cuando estuvimos incrementando la tasa de pesca en la ecuación diferencial "logística".
Entonces bajamos aquí, el parámetro r continúa disminuyendo,
continúa disminuyendo hasta que llegar aquí.
Entonces, este punto fijo, este atractor que sube aquí,
desaparece, se esfuma.
Así, si nosotros disminuyéramos un poco más la cantidad x, cualesquiera que sea,
seremos jalados hacia abajo, aquí hacia cero.
Entonces, quizá deseamos...
que este posicionamiento sea bueno, cero malo,
posiblemente una tasa de crecimiento en Economía o un número de pesca, de algún pescador.
Bajamos aquí y entonces podríamos decir ¡hay! quebramos,
mejor incrementamos el parámetro r,
y entonces incrementamos r,
pero este punto rojo aquí en cero es estable, está atrayendo,
y, entonces, no saltamos automáticamente de regreso, subiendo aquí.
Porque este es un movimiento estable, por poquito que seamos empujados hacia atrás.
Entonces, incrementamos r, incrementamos r, incrementamos r, en forma constante,
y aún más hasta que llegamos un poco arriba de aquí.
Y tan pronto como este punto fijo cero pierde su estabilidad,
pasamos de rojo a azul, y se brinca de regreso hasta aquí.
De nuevo, se observa que r brinca, pero en esta ocasión, hay una nueva característica, que es la siguiente:
Supongamos que queremos saber si r estuvo por aquí, sea lo que sea, cuando es -0.2,
¿Qué comportamiento estable sería observado en este modelo?
Y la respuesta es que esto dependería no sólo del valor de r, sino también de donde de proviene,
y esta es la idea de histéresis.
Permítanme usar una figura para ilustrar una línea de r,
literalmente la misma historia que ya platiqué.
Pensemos en esto, en una porción del diagrama de bifurcación.
Creo que bosquejaré burdamente esto.
Entonces, puedo bajar, en esta forma, y luego llegar hasta este punto de colapso,
donde se cae aquí, entonces incremento hasta aquí y luego podría brincar de regreso
hacia arriba y podría ir en cualquier dirección aquí.
Esto es para hacer notar que ha sido un punto de r=0.
Entonces, este sistema ahora tiene lo que llamamos "dependencia de trayectoria".
Ahora podrían observar que, para este valor de r,
se depende no solo del valor de r sino también de la ruta que se tomó para llegar allí.
Si ustedes alcanzan este valor de r,
el que está sobre mi dedo, partiendo de arriba a la derecha,
entonces ustedes estarían aquí arriba, aquí en este diagrama.
Si ustedes se acercaron a este valor de r, partiendo desde abajo,
habiendo ido más allá de esto, caen en un acantilado,
entonces estarán abajo, aquí en cero.
Esto es lo que se denomina histéresis o dependencia de trayectoria.
Entonces, el término para este tipo de comportamiento es conocido como histéresis o dependencia de trayectoria.
Así, la propiedad de equilibrio del comportamiento observado, de esta ecuación diferencial,
en este modelo, depende no sólo del valor de r.
Parece que depende sólo de r, pero si ustedes me dicen qué valor tiene r,
puedo resolver la ecuación diferencial y les puedo decir en qué terminará x.
Sin embargo, en una situación donde se tienen múltiples atractores y sus flechas como estas,
sabiendo que r no es suficiente, también necesitamos saber de dónde viene r.
Esto depende no sólo de r, sino también de la trayectoria que fue tomada.
Yo creo que esto es sorprendente e interesante porque la dependencia de trayectoria es una clase de memoria.
El valor de la población, o cualesquiera que sea esto, en esencia recuerda dónde ha estado.
Pero no es del todo obvio que esta ecuación tenga una memoria dentro de sí.
Esto simplemente dice que la tasa de crecimiento, la tasa de cambio en x, depende de x y del valor de r.
Entonces es una clase de memoria o historia
que fue introducida dentro de una ecuación diferencial como resultado de esta bifurcación,
esta particular estructura en un diagrama de bifurcación como este.
No sé si esto sea común y genérico para otras relaciones, pero no es poco frecuente tampoco,
y ustedes no necesitan una ecuación diferencial tremendamente complicada para obtener este comportamiento.
Entonces, este es otro tipo,
creo que una bifurcación lleva de regreso a otras bifurcaciones.
Hay una bifurcación aquí y una bifurcación allá y,
tomadas juntas, estas dos bifurcaciones llevan a esta dependencia de trayectoria.
Entonces, mmm...,
nuevamente, sólo para repasar una vez más,
tenemos una simple ecuación diferencial, algo que es continuo, suave, diferenciable,
que no tiene ningún dispositivo de memoria dentro,
pero podemos tener un sistema que se comporta dando brincos y que desarrolla cierta clase de memoria o dependencia de trayectoria.
Esa es la idea detrás de la histéresis y la dependencia de trayectoria.
Fin