So we now have a collection of final state diagrams.
They’re the examples that I did in the last video
3.2 , 2.9 and then an aperiodic value at 3.8
and then for the quiz that perhaps you just took
you did 3.4 that’s another period 2 value
3.739 this is period 5
1,2,3,4,5 1,2,3,4,5
and then another aperiodic one 3.9
for here the dots extend from about .1 to almost 1 exactly, may be .98
so it might look something like this
so we got a collection of final state diagrams
and as we did with differential equation
we’ll form a bifurcation diagram
by gluing together a collection of final state diagrams
so let me take each of these and cut it out
so I can move it around so how do you that and we’ll see what it looks like
so now I’ve got a collection of final state diagrams
and let’s put them in order and as before put them on the side as they do that
so there is 2.9 that was period 1
here’s 2.3 that’s a stable cycle of period 2
here is 3.4
3.739
3.8
and 3.9
so this is the beginning of a bifurcation diagram for the logistic equation
remember the goal of the bifurcation diagram is to see
how the dynamical systems behavior changes
as a parameter in this case r is changed
so it gives us a global view of the range of behaviors
that dynamical systems can exhibit
in this case with just these six final state diagrams
it’s not really clear quite yet what the overall pattern might be
so in order to sort of see a pattern to connect the dots so to speak
we would need to try this out from many many more r values
and make many more phase lines and stack them all in here densely
so that we can see what happens from one r value to the next
so as you’ve probably guessed I’ll use a computer to do that work for us
and I’ll show you the program and how it works in a little bit
but first let’s focus on what the results are
so let’s see put these to the side just for a moment
here’s the bifurcation diagram for the logistic equation
the lower limit here is r equals 0
and here’s r equals 4
and then this goes from 0 to 1
so when r is between 0 and 1
between my fingers here, the, can’t quite see it here but the only fixed point is
the attracting fixed point is 0
if the growth rate is less than 1 the rabbits die out
between 1 and 3 there is an attracting fixed point
and in fact we saw that let’s see we did one for 2.9 here it is
let’s see if this is going to work,
close, ok so 2.9 that’s about there and this dot that I drew in the first example
is part of this line here then as r is increased
as the growth rate gets larger and larger
the period 1 behavior splits into period 2
and we’ve seen that here’s r equals 3.2
r equals 3.2 so the two dots from the final state diagram
show up as part of this line here
so in this region where if I go up from a single point I see two lines two dark regions
that would indicate that its period 2
here is another r value a little bit larger 3.4
and still period 2, there are only 2 dots
but the periods are little bit further apart
see if I can get both of these on at the same time
so for these two different values, it’s the same qualitative behavior
attracting cycle of period 2 but the exact locations are a little bit different
all right it’s little hard to see what’s going on in here
so we’ll zoom in here in just a moment
but first just a little bit of terminology which should be familiar
from what we did with differential equations
I’d say the system undergoes a bifurcation here r equals 3
remember a bifurcation is a sudden qualitative change in the behavior of a dynamical system
as a parameter is varied continuously
so the qualitative change here is that the fixed point here splits into two
so we go from an attractor of period 1 to an attractor of period 2
so that’s a bifurcation and it’s called a period doubling bifurcation
because the period doubles
here we see we have a bifurcation from period 2 to period 4
so that’s another period doubling bifurcation
ok, let’s zoom in on the bifurcation diagram,
let’s look at just to this portion, let’s look at what’s going on from 3 to 4
since this is where a lot of the interesting action is
so here I’ve zoomed in and this is a bifurcation diagram from 3 to 4
so we see in this region from 3 to about a little more than 3.4
the behavior is period 2, here are the two phase lines we final state diagrams we drew
previously there’s 3.2 and there’s 3.4 and they line up pretty well
let’s see if I can get a few more on here
here’s 3.739 and that corresponds to this funny region here
this light region we’ll look at that more closely in a bit
but period 5 1,2,3,4,5
and then we had 2 aperiodic values at 3.8
and around there that looks pretty good
and then 3.9 which is right around there
so the bifurcation diagram for the logistic map looks quite different
then the ones we saw for differential equations
which isn’t surprising the logistic the logistic map and things like it
exhibit chaos aperiodic behavior
so we’ll expect it to be more richer bifurcation diagram
and have more features to look at
but remember the thing about bifurcation diagrams to interpret them
remember that they began their life as a series of in this case final state diagrams
so for example if I wanted to know what’s going on right around 3.7
I would just try to blot out everything except for 3.7
and then view it as a single final state diagram
sort of imagine doing that with this, thing that I’ve made
so this is I’ve moved this so that the split shows right around 3.7
and so we would say that ahaa this looks like an aperiodic region
lots and lots of dots so it must be aperiodic
going from between this value and this value
if I want to know what’s going on at 3.2
I could move this until I’m seeing 3.2
and then I would see just these 2 dots here or small line segments
and that would mean that this is periodic with period 2
you can imagine another way to view this as r increases
you see period 2 behavior and the two values are getting further apart
they’re moving this way as I let r get larger
and then a little passed 3.4
that’s where is it there it is, there’s a bifurcation,
so now it’s period 4 1,2,3,4
like small change I go then a small change in r that’s moving this
leads to a qualitative change in the behavior of the dynamical system
in this case we go from 2, a cycle of period 2 to a cycle of period 4
and then as I increase r further still there’s a region of period 8
1,2,3,4,5,6,7,8 each period splits into 2 so 4 goes to 8, 8 goes to 16 and so on
then we have regions of chaos here this is aperiodic but with a gap in the middle
this is it’s very narrow but this is the period 5 value we saw before
more aperiodic regions, here’s a period 3 gap 1,2,3
I think we investigated that maybe back in Unit-2
and then finally up at r equals 4 we have orbits that go from 0 to 1
so it would fill this entire interval
ok, so this is the bifurcation diagram for the logistic equation
we’ll spend lots more time exploring this
but first I would recommend doing the quiz it should be quick
and it will just kind of check your understanding of this lecture
and then we will look at an online program
that will let you do much much more exploring
with the bifurcation diagram for the logistic equation
إذاً لدينا الآن مجموعة من رسوم الحالة المحدودة.
ها هي الأمثلة التي قمت بها في الفيديو الأخير
3.2، 2.9، وثمّ ثامن قيمة دورية عند 3.8
وثم بالنسبة للإختبار القصير، الذي قد أخذته للتو
لقد قمت بـ 3.4، تلك قيمة دورة 2
3.79، هذه دورة 5
1، 2، 3، 4، 5
1، 2، 3، 4، 5
وثمّ 8 دورية أخرى، 3.9
هنا، النقاط نمدد حوالي 0.1
تقريباً 1 تماماً، ربما 0.98
إذاً ربما تبدو شيئاً ما كهذا
إذاً، لقد حصلنا على مجموعتنا من رسوم الحالة المحدودة البيانية
وكما فعلنا بالمعادلات التفاضلية،
سوف نتبع رسم تشعب بياني من خلال إلصاقهم معاً، مجموعة من رسوم الحالة النهائية البيانية
إذاً، سوف آخذ كلٌّ من هؤلاء، وأقطعها
لكي أستطيع تحريكها هنا وهناك
إذاً سوف أفعل هذا وسنرى ماذا يبدو
إذاً الآن لقد حصلت على مجموعة من رسوم الحالة النهائية البيانية
ودعونا نضعهم بالترتيب
وكما سابقاً، سأضعهم على جنب، عندما يفعلون ذلك
إذاً ها هنا 2.9. تلك كانت دورة 1
ها هنا 3.2. ذك مدار مستقر من دورة 2
ها هنا 3.4، 3.739، 3.8، و 3.9
إذاً هذه هي بدايات رسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية.
تذكر أنّ الهدف من رسم التشعب البياني هو رؤية كيف يتغير سلوك الأنظمة الديناميكية بتغير الوسيط
في هذه الحالة لقد تغيرت r.
لذلك تعطينا نظرة شاملة لنطاق السلوكيات التي يمكن أن يُظهرها النظام الديناميكي،
في هذه الحالة، مع رسوم الحالة النهائية الستة هذه فقط
إنّه ليس واضحاً حقاً بعد، ماذا يمكن أن يكون النمط العام.
إذاً، لكي نستطيع رؤية النمط، لوصل النقاط، لنصف
سنحتاج فقط إلى أن نجرب هذه للعديد من قيم r الإضافية
وصنع العديد من الخطوط المرحلية الإضافية، ونكدسهم كلهم هنا على نحوٍ شديد.
إذاً نستطيع أن نرى ماذا يحدث من قيمة r لأخرى
إذاً، كما خمنت على الأرجح،
سأستخدم الحاسوب ليقوم لنا بهذا العمل
وسأريكم البرنامج، وكيف يعمل بعد قليل،
لكن أولاً، دعونا نركز على ماهية النتائج.
إذاً دعونا نرى، ضع هؤلاء على جنب للحظة فقط.
ها هو رسم التشعب البياني، أو المعادلة اللوجيستية.
الحد الأدنى هنا هو r = 0، وهنا هو r = 4
ومن ثمّ يذهب هذا من 0 إلى 1.
إذاً عندما تكون r بين الصفر وواحد، بين أصابعي هنا،
(لا يمكنك رؤيته تماماً هنا)،
لكن النقطة الثابتة الوحيدة هي النقطة الثابتة الثابتة عند الصفر.
إن كان مقدار التطور أقل من واحد، تموت الأرانب.
بوجد نقطة ثابتة جاذبة بين واحد وثلاثة.
وفي الواقع لقد رأينا ذلك، دعونا نرى، لقد قمنا بواحدة لـ 2.9
ها هو. دعونا نرى إن كان سيعمل ذلك.
قريب، حسناً إذاً، 2.9 ذلك حوالي هناك
وهذه النقطة التي رسمتها، في المثال الأول، إنّها جزء من الخط هنا.
ثمّ عندما تزداد r، عندما يصبح مقدار التطور أكبر وأكبر،
سلوك دورة 1 ينقسم إلى دورة 2
ولقد رأينا ذلك
ها هنا r = 3.2
r = 3.2
إذاً النقطتان من رسم الحالة النهائية البياني تظهر كجزء من هذا الخط هنا.
إذاً في هذه المنطقة، حيث إذا ذهبت من نقطة واحدة، أرى خطّين، منطقتين داكنتين،
ذلك سوف يشير إلى أنّها دورة 2.
ها هنا قيمة r أخرى، أكبر قليلاً، 3.4
و لازالت دورة 2، يوجد نقطتين فقط لكن الدورات أبعد قليلاً.
دعونا نرى إن كنت أستطيع أن أحصل على كلتا هؤلاء بنفس الوقت.
إذاً، لهاتين القيمتين المختلفتين،
إنّه نفس السلوك النوعي يجذب مدار أو دورة 2
لكن المواقع الدقيقة مختلفة قليلاً.
حسناً، إنّه من الصعب قيليلاً رؤية ماذا يحدث هنا،
لذلك سوف نكبّر هنا خلال لحظة
لكن أولاً القليل فقط من المصطلحات
والتي يجب أن تكون مألوفة
من ما فعلناه بالمعادلات التفاضلية
سأقول أنّ النظام يمر بتشعب هنا
عند r =3
تذكر أنّ التشعب مفاجئ
تغير نوعي في سلوك
النظام الديناميكي
عندما يتغير الوسيط يتغير باستمرار
إذاً التغير النوعي هنا
هو أنّ النقطة الثابتة هنا تنقسم لإثنتان
لذلك نذهب من جاذب لدورة 1
إلى جاذب لدورة 2
إذاً ذلك تشعب
ويدعى تشعب مضاعفة دورة
لأنّ الدورة تتضاعف
نرى هنا أنّه لدينا تشعب
من دورة 2 إلى دورة 4
إذاً ذلك تشعب مضاعفة دورة آخر
حسناً، دعونا نكبّر رسم التشعب البياني
دعونا ننظر لهذا الجزء
دعونا ننظر على ماذا يحدث من 3 إلى 4
بما أنّ هنا هو مكان الكثير من التأثير المثير للإهتمام
إذاً هنا، لقد كبّرت،
وهذا رسم تشعب بياني من 3 إلى 4
إذاً نرى في هذه المنطقة، من 3 إلى أكثر من 3.4 بقليل،
السلوك هو دورة 2
ها هي رسوم الحالة النهائية البيانية التي رسمناها سابقاً.
ها هي 3.2، وها هي 3.4،
وإنّهم يصطفون بشكلٍ جيد جداً.
دعونا نرى إن كنت أستطيع أن أحصل على المزيد قليلاً هنا.
ها هنا 3.739، وهذا يتطابق مع
هذه المنطقة المضحكة هنا
(هذه المنطقة الفاتحة)
وسوف نظر لذلك عن كثب أكثر بعد قليل،
لكن الدورة 5 (1، 2، 3، 4، 5)
ومن ثمّ كان لدينا قيمتي 8 دورية،
عند 3.8 ... عند مكان قريب هناك،
ذلك يبدو جيد جداً
وثمّ 3.9 والتي هي في مكان قريب هناك.
إذاً، رسم التشعب البياني للخريطة اللوجيستية
يبدو مختلفاً تماماً عن الرسم البياني الذي رأيناه
للمعادلات التفاضلية،
والذي ليس مفاجئاً،
الخريطة اللوجيستية، وأشياء مثلها،
تُظهر شواش، سلوك غير دوري،
لذلك سنتوقع أن يكون رسم تشعب بياني أوسع،
ولدينا ميزات إضافية لننظر لها.
لكن تذكر، الفكرة بخصوص رسوم التشعب البيانية،
لنفسرهم،
تذكر أنّهم يبدأون حياتهم (في هذه الحالة)
كسلسلة من رسوم الحالة النهائية البيانية
إذاً كمثال، إذا أردت أن أعرف
ماذا يحدث عند 3.7 مباشرةً،
سأجرب فقط أن أرسم بيانياً كل شيء ما عدا 3.7
ومن ثمّ أعرضها كرسم حالة نهائية بياني وحيد.
لقد تخيلت نوعاً ما فعل ذلك مع هذا الشيء الذي صنعته.
إذاً... لقد حركتُ هذه لكي يظهر الشق حوال 3.7 تماماً،
وإذاً سنقول أنّ هذا يبدو كمنطقة غير دورية،
الكثير والكثير من النقاط،
إذاً لابدّ أنّه غير دوري،
الذهاب بين هذه القيمة وهذه القيمة.
إذا أردت أن أعرف ماذا يحدث عند 3.2،
أستطيع أن أحرك هذه حتى أرى 3.2،
ومن ثمّ سأرى هاتين النقطتين هنا،
(أو شرائح خط صغيرة)
وهذا سيعني أنّ هذا غير دوري مع دورة 2.
وتخيّل طريقة أخرى لرؤية ذلك،
عنما تزداد r، نرى سلوك دورة 2،
والقيمتين يبتعدان أكثر قليلاً.
إنّهم يتحركون بهذا الإتجاه، عندما أدع r تكبر.
ومن ثمّ أبعد من 3.4 قليلاً،
(أين هي؟ ها هي - يوجد تشعب)
إذاً الآن إنّها دورة 4 (1، 2، 3، 4)
تغير صغير في r (الذي يحرك هذه)
يؤدي إلى تغير نوعي
في سلوك النظام الديناميكي.
في هذه الحالة نذهب من مدار لدورة 2 إلى مدار من دورة 4
ومن ثمّ عنما أزيد r أكثر،
يوجد منطقة من دورة 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
تنقسم كل دورة إلى قسمين، إذاً 4 تذهب إلى 8،
8 تذهب إلى 16، وهكذا،
عندئذٍ يكون لدينا مناطق من الشواش.
هنا، هذه غير دورية، مع فجوة في المنتصف.
هذه ضيقة جداً لكن هذه قيمة دورة 5
التي رأيناها سابقاً.
المزيد من المناطق غير الدورية..... ها هنا فجوة دورة 3.
1، 2، 3.... أعتقد أنّنا تحققنا من ذلك،
ربما سابقاً بالوحدة 2،
وثم أخير بالأعلى عند r = 4، لدينا
مدارات تذهب من الصفر لواحد،
ولذلك ستملأ الفاصل بأكمله.
حسناً إذاً هذا هو رسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية.
سنقضي وقتاً أكثر بإستكشاف هذا،
لكن أولاً سأوصي بالقيام بالإختبار القصير.
يجب أن يكون سريعاً، وسوف
أتحقق فقط من فهمك لهذه المحاضرة،
وثمّ سوف ننظر للبرنامج على الإنترنت
الذي سيدعك تقوم بإستكشاف أكثر بكثير
برسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية.
but first just a little bit of terminology
which should be familiar
from what we did with differential equations
I would say the system undergoes a bifurcation here
at r = 3
remember a bifurcation is a sudden
qualitative change in the behaviour of a
dynamical system
as a parameter is varied continuously
so the qualitative change here
is that the fixed point here splits into two
so we go from an attractor of period 1
to an attractor of period 2
so that's a bifurcation
and it's called a period doubling bifurcation
because the period doubles
here we see we have a bifurcation
from period 2 to period 4
so that's another period doubling bifurcation
ok, let's zoom in on the bifurcation diagram
let's look at just this portion
let's look at what's going on from 3 to 4
since this is where a lot of the interesting action is
so here, I've zoomed in,
and this is a bifurcation diagram from 3 to 4
So we see in this region, from 3 to about a little more than 3.4,
the behavior is period 2
Here are the final state diagrams we drew previously.
There's 3.2, and there's 3.4,
and they line up pretty well.
Let's see if I can get a few more on here.
Here's 3.739, and that corresponds to
this funny region here
(this light region)
and we'll look at that more closely in a bit.
But period 5 (1, 2, 3, 4, 5)
and then we had two 8 periodic values,
at 3.8 ... at around there,
that looks pretty good
and then 3.9 which is right around there.
So, the bifurcation diagram for the logistic map
looks quite different than the one we saw
for differential equations,
which isn't surprising,
the logistic map, and things like it,
exhibit chaos, aperiodic behavior,
so we'd expect it to be a richer bifurcation diagram,
and have more features to look at.
But remember, the thing about bifurcation diagrams,
to interpret them,
remember that they began their life (in this case)
as a series of final state diagrams
so for example, if I wanted to know
what's going on right about 3.7,
I would just try to blot out everything except for 3.7,
and then view it as a single final state diagram.
I sort of imagined doing that with this thing that I've made.
So ... I've moved this so that the slit shows right around 3.7,
and so we would say that this looks like an aperiodic region,
lots and lots of dots,
so it must be aperiodic,
going between this value and this value.
If I wanted to know what' going on at 3.2,
I could move this until I'm seeing 3.2,
and then I would see just these two dots here,
(or small line segments)
and that would mean that this is periodic with period 2.
And imagine another way to view this,
as r increases, we see period 2 behavior,
and the two values are getting farther apart.
They're moving this way, as I let r get larger.
And then a little past 3.4,
(where is it? there it is - there's a bifurcation)
so now it's period 4 (1, 2, 3, 4).
A small change in r (that's moving this)
leads to a qualitative change
in the behavior of the dynamical system.
In this case we go from a cycle of period 2 to a cycle of period 4
and then as I increase r further still,
there's a region of period 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),
each period splits into two, so 4 goes to 8,
8 goes to 16, and so on,
then we have regions of chaos.
Here, this is aperiodic, with gap in the middle.
This is very narrow but this is a period 5 value
we saw before.
More aperiodic regions.... here's a period 3 gap.
1, 2, 3 ... I think we investigated that,
maybe back in unit 2,
and then finally up at r = 4, we have
orbits that go from zero to one,
and so it would fill this entire interval.
Ok, so this is the bifurcation diagram for the logistic equation.
We'll spend lots more time exploring this,
but first I would recommend doing the quiz.
It should be quick, and it will just
check your understanding of this lecture,
and then we will look at an online program
that will let you do much, much more exploring
with the bifurcation diagram for the logistic equation.
Entonces ahora tenemos una colección de diagramas de estado final
Estos son los ejemplo que hice en el último video
3.2,2.9, y el valor ocho-periódico en 3.8.
Para el 'quiz' que quizás realizaste
hiciste 3.4, que es otro valor 2-periódico
3.79 es de periodo 5
1,2,3,4,5
1,2,3,4,5
y entonces otro valor 8-periódico, 3.9
aquí los puntos se extienden sobre 0.1
casi 1 exactamente, quizás 0.98
y quizás parece algo como esto
entonces, tenemos nuestra colección de diagramas de estado finito
y de la misma forma que con las ecuaciones diferenciales
seguimos un diagrama de bifurcación
a base de pegar juntos diagramas de estado final
así... voy a coger cada uno de estos, y cortarlos
así puedo moverlos alrededor
y así veremos que sucede
Ahora, tengo una colección de diagramas de estado final
vamos a ordenarlos
como antes, los pondré uno al lado del otro
Aquí está el 2,9, que es de periodo 1
Aquí el 3.2. Esté es un ciclo estable de periodo 2.
Aquí el 3.4,3.739, 3.8 y 3.9.
Y esto el el principio del diagrama de bifurcación
para la ecuación logística.
Recuerda que la finalidad del diagrama es ver
como un sistema dinámico se comporta cuando el parámetro,
en este caso la 'r', es modificado.
Entonces esto nos da una visión global del rango de comportamientos
que un sistema dinámico puede mostrar.
En este caso, con solo seis diagramas de estado final,
no queda muy claro, todavía, cuál es el patrón general.
Para encontrar el patrón, conectamos los puntos, por decirlo así,
y tendríamos que probar esto para muchos valores de r.
Y hacer muchas más lineas de fase, apilarlas todas densamente,
de forma que podamos ver que pasa cuando variamos r.
Cómo ya habrás probablemente imaginado,
usaré un ordenador para que haga esto por nosotros,
y te mostraré el programa y como funciona en un momento.
Pero primero, enfoquémonos en cuales son los resultados.
Veamos...pongamos estos a una lado por un momento.
Aquí está el diagrama de bifurcación de la ecuación logística.
El límite inferior es r=0 y aquí r=4.
Y esto va de 0 a 1.
Así que cuando r está entre cero y uno,
justo entre mis dedos,
(cuesta de verlo aquí)
pero el único punto fijo es punto fijo atractor en cero.
Si el ratio de crecimiento es menor que uno, los conejos la palman.
Entre uno y tres, hay un punto fijo atractor.
Y de hecho vimos que, veamos, hicimos este para 2.9.
Aquí está. Veamos si eso funciona.
Más cerca, vala entonces 2.9 está justo aquí.
Y este punto que dibujé, en el primer ejemplo,
es parte de esta linea aquí.
Entonces, cuando r incrementa
cuando el ratio de crecimiento se hace más y más grande,
el comportamiento de periodo 1 bifurca en periodo 2
y vemos que esto es para r=3.2
r=3.2
entonces los dos puntos del diagrama de estado final
muestran como parte de esta línea aquí.
Y en esta región, donde is voy desde este único punto,
ceo dos lineas, dos regiones oscuras,
esto indicaría que es 2-periódico.
Aquí para otro valor de r un poco más grande, 3.4
y, todavía en periodo 2, hay dos únicos puntos
pero los periodos estás un poco más separados.
Veamos si cambiamos ambos a la vez.
Así, para estos dos valores distintos,
Es lo el mismo comportamiento cualitativo,
un ciclo atractor de periodo 2.
Pero la localización precisa es algo diferente.
De acuerdo, es un poco dificil ver lo que esŧa pasando aquí,
así que voy a ampliar en un momento.
Pero primero introduzcamos un poco de terminología,
que ya debería ser familiar
por lo que hicimos con ecuaciones diferenciales.
Yo diría que el sistema cruza una bifurcación aquí
en r=3.
Recuerda que una bifurcación es un cambio repentino
en el comportamiento cualitativo de un
sistema dinámico
cuando el parámetro varía de forma continua.
Asi que aquí es donde el cambio cualitativo acontece
separándose el punto fijo en dos
y vemos que de un atractor de periodo 1
pasamos a un atractor de periodo 2,
y hay una bifurcación.
Esto se llama una bifurcación de desdoblamiento del periodo
porque el periodo dobla.
Aquí vemos que tenemos una bifurcación
de periodo 2 a periodo 4.
Así que hay otra bifurcación desdoblamiento de periodo.
Bien, ampliemos el diagrama de bifurcación
y observemos esta región.
Miremos a que pasa entre 3 y 4.
Como aquí es donde el comportamiento más interesante acontece
aquí es donde he ampliado,
y este es el diagrama de bifurcación entre 3 y 4.
Vemos en esta región, desde 3 hasta un poquito más que 3.4
que tenemos periodo 2.
Aquí están los diagramas de estado final que dibujamos antes.
Aquí está 3,2 y allá 3.4,
y se alinean bastante bien.
Veamos si podemos obtener unos más aquí.
Aqui está 3.739, y esto corresponde a,
esta región divertida aquí
(la más clara)
y vemos desde más cerca aun.
Pero en periodo 5 (1,2,3,4,5)
y entonces tenemos dos valores 8-periódicos,
en 3.8 y alrededor de aquí,
ahh esto pinta bien.
Y entonces 3.9 que esta justo alrededor de aquí
Así que el diagrama de bifurcación para la función logística
parece bastante diferente al que ya vimos
para ecuaciones diferenciales,
lo cual no es sorprendente,
la función logística, y otras cosas parecidas,
muestra caos, comportamiento aperiódico.
Y ya esperábamos tener un diagrama de bifurcación más rico
y más características a las que mirar.
Pero recuerda, la cosa sobre diagramas de bifurcación,
para interpretarlos,
recuerda que comenzaron su vida en este caso,
como una serie de diagramas de estado final
asi que por ejemplo, si yo quiero saber
que está sucediendo alrededor de 3.7
intentaría borrar todo excepto 3.7.
Y entonces mirarlo como un único diagrama de estado final.
Ya había imaginado esto que ha sucedido.
Entonces...He movido esto de forma que esta rendija muestra exacto que hay en 3.7
y así podríamos decir que esto pinta como una región aperiódica,
muchos y muchos puntos,
entonces debe ser aperiódico,
yendo entre este y este otro valor.
Si yo quisiera saber que pasa en 3.2,
podría mover esto hasta ver 3.2
y entonces vería justo estos dos puntos aquí,
(o pequeños segmentos de recta)
y eso significaría que esto es periódico de periodo 2.
E imaginar otra forma de ver esto,
cuando r incrementa, vemos que hay comportamiento 2-periódico,
y los dos valores se alejan.
Se mueven en esta dirección, asl aumentar r.
Y entonces, un poco después de 3.4,
(donde? aquí está! una bifurcación!)
y ahora hay periodo 4 (1,2,3,4).
Un pequeño cambio en r (moviendo esto aquí)
nos lleva a un cambio cualitativo
en el comportamiento del sistema dinámico.
En este caso, vamos de un ciclo de periodo 2 a uno de periodo 4.
Y entonces al incrementar r más,
hay una región de periodo 8 (1,2,3,4,5,6,7,8),
cada periodo se separa en dos, así cuatro pasa a ocho,
8 pasa a 16, y así sigue,
y tenemos regiones caóticas.
Aquí, eso es aperiódico, con un hueco en medio.
Esto es mucho más estrecho, pero es un valor 5-periódico.
Vimos antes.
Mas regiones aperiódicas...aqui hay un hueco 3-periódico.
1,2,3...creo que ya lo investigamos,
quizás en la unidad 2,
y entonces finalmente, en r=4, tenemos
orbitas que van de cero a uno,
y llenaría este intervalo completamente.
De acuerdo, esto es el diagrama de bifurcación para la ecuación logística.
Pasaremos mas tiempo explorando esto,
pero primero os recomiendo que hagáis el 'quiz'.
Debería ser rápido, y ello os ayudará
a entender lo que hemos hecho en esta lección,
y entonces miraremos a un programa online
que os permitirá explorar mucho mucho más!
Con el diagrama de bifurcación de la ecuación logística.