For most of us, two degrees Celsius is a tiny difference in temperature,
not even enough to make you crack a window.
But scientists have warned that as CO2 levels in the atmosphere rise,
an increase in the Earth's temperature by even this amount
can lead to catastrophic effects all over the world.
How can such a small measurable change in one factor
lead to massive and unpredictable changes in other factors?
The answer lies in the concept of a mathematical tipping point,
which we can understand through the familiar game of billiards.
The basic rule of billiard motion is
that a ball will go straight until it hits a wall,
then bounce off at an angle equal to its incoming angle.
For simplicity's sake, we'll assume that there is no friction,
so balls can keep moving indefinitely.
And to simplify the situation further,
let's look at what happens with only one ball on a perfectly circular table.
As the ball is struck and begins to move according to the rules,
it follows a neat star-shaped pattern.
If we start the ball at different locations,
or strike it at different angles, some details of the pattern change,
but its overall form remains the same.
With a few test runs, and some basic mathematical modeling,
we can even predict a ball's path before it starts moving,
simply based on its starting conditions.
But what would happen if we made a minor change
in the table's shape by pulling it apart a bit,
and inserting two small straight edges along the top and bottom?
We can see that as the ball bounces off the flat sides,
it begins to move all over the table.
The ball is still obeying the same rules of billiard motion,
but the resulting movement no longer follows any recognizable pattern.
With only a small change to the constraints
under which the system operates,
we have shifted the billiard motion
from behaving in a stable and predictable fashion,
to fluctuating wildly,
thus creating what mathematicians call chaotic motion.
Inserting the straight edges into the table acts as a tipping point,
switching the systems behavior from one type of behavior (regular),
to another type of behavior (chaotic).
So what implications does this simple example have for the much more complicated
reality of the Earth's climate?
We can think of the shape of the table as being analogous to the CO2 level
and Earth's average temperature:
Constraints that impact the system's performance
in the form of the ball's motion or the climate's behavior.
During the past 10,000 years,
the fairly constant CO2 atmospheric concentration of
270 parts per million kept the climate within a self-stabilizing pattern,
fairly regular and hospitable to human life.
But with CO2 levels now at 400 parts per million,
and predicted to rise to between 500 and 800 parts per million
over the coming century, we may reach a tipping point where
even a small additional change in the global average temperature
would have the same effect as changing the shape of the table,
leading to a dangerous shift in the climate's behavior,
with more extreme and intense weather events,
less predictability, and most importantly, less hospitably to human life.
The hypothetical models that mathematicians study in detail
may not always look like actual situations,
but they can provide a framework and a way of thinking
that can be applied to help understand the more complex problems of the real world.
In this case, understanding how slight changes
in the constraints impacting a system can have massive impacts
gives us a greater appreciation for predicting the dangers
that we cannot immediately percieve with our own senses.
Because once the results do become visible, it may already be too late.
بالنسبة لمعظمنا، درجتان مئويتان تعتبران اختلافًا طفيفًا في درجة الحرارة،
لا يكفي حتى لجعلك تفتح النافذة.
ولكن العلماء حذروا أنه مع ارتفاع مستويات ثاني أكسيد الكربون،
يمكن أن يؤدي الارتفاع في درجة حرارة الأرض حتى بهذا القدر
إلى آثار كارثية في جميع أنحاء العالم.
كيف يمكن لتغيير طفيف يمكن قياسه في أحد العوامل
إلى تغييرات هائلة وغير متوقعة في عوامل أخرى؟
تكمن الإجابة في مفهوم نقطة التحول الرياضية،
والتي من الممكن أن نفهمها من خلال لعبة البلياردو المألوفة.
القاعدة الأساسية لحركة كرة البلياردو
هي أن الكرة ستمر بشكل مستقيم حتى تصطدم بحائط،
ثم ترتد بزاوية مساوية للزاوية التي جاءت بها.
بغرض التبسيط، سنفترض عدم وجود أي احتكاك،
وبذلك ستستمر الكرة في الحركة إلى أجل غير مسمى.
ولتبسيط الوضع بشكل أكبر،
فلننظر إلى ماذا يحدث لكرة واحدة على منضدة مستديرة بشكل تام.
بمجرد ضرب الكرة وبدء تحركها وفقًا للقواعد،
تتبع الكرة نمطًا منتظمًَا على شكل نجمة.
إذا بدأنا تحرك الكرة من مواضع مختلفة،
أو ضربناها من زوايا مختلفة، فستتغير بعض التفاصيل في النمط،
ولكن الشكل العام سيظل بدون تغيير.
ومع بضعة اختبارات تشغيل وبعض النماذج الرياضية،
يمكننا حتى أن نتنبأ بمسار الكرة قبل أن تبدأ في التحرك
ببساطة اعتمادًا على ظروف بدء تحركها.
ولكن ماذا سيحدث إذا قمنا بتغيير بسيط
في شكل المنضدة من خلال تمديد المنضدة قليلًا
وإضافة حافتين مستقيمتين صغيرتين بطول الجزأين العلوي والسفلي؟
يمكننا أن نرى أنه عندما ترتد الكرة عن الجوانب المسطحة
تبدأ في التحرك في جميع أنحاء المنضدة.
لا تزال الكرة تتبع نفس قوانين حركة كرة البلياردو،
ولكن الحركة الناتجة لم تعد تتبع أي نمط يمكن تمييزه.
وبتغيير صغير فقط في القيود
التي يعمل في ظلها النظام،
قمنا بتبديل حركة كرة البلياردو
من التصرف بطريقة مستقرة يمكن التنبؤ بها
إلى التقلب بطريقة عشوائية،
وبذلك خلقنا ما يسميه الرياضيون "الحركة العشوائية".
إضافة الحافتين المستقيمتين إلى المنضدة يعمل كنقطة تحول،
والتي تقوم بتبديل سلوك النظام من نوع سلوك (منتظم)
إلى نوع سلوك آخر (عشوائي).
إذا ما هي التضمينات التي يحتوي عليها هذا المثال البسيط لواقع أكثر تعقيدًا بكثير
لمناخ الأرض؟
يمكننا أن نفكر في شكل المنضدة على أنه مماثل لمستوى ثاني أكسيد الكربون
ومتوسط درجة حرارة الأرض:
القيود التي تؤثر على أداء النظام
في صورة حركة الكرة أو سلوك المناخ.
خلال الـ 10,000سنة الماضية،
كان تركيز ثاني أكسيد الكربون الثابت إلى حد ما في الغلاف الجوي الذي يبلغ
270 جزء في المليون يُبقي المناخ في نمط مستقر ذاتيًا،
منتظم إلى حد ما ومناسب للحياة البشرية.
ولكن مع وصول مستويات ثاني أكسيد الكربون إلى 400 جزء في المليون،
وتوقع ارتفاعها إلى ما بين 500 إلى 800 جزء في المليون
خلال القرن القادم، قد نصل إلى نقطة تحول
حيث أي تغيير إضافي بسيط في متوسط درجة الحرارة العالمي
سيكون له نفس تأثير تغيير شكل المنضدة،
مما يؤدي إلى نقلة خطيرة في سلوك المناخ،
مع مزيد من الأحداث المناخية الأكثر شدة وكثافة،
وقدرة أقل على التنبؤ، والأهم من ذلك، مناسبة أقل للحياة البشرية.
قد لا تبدو النماذج الافتراضية التي يدرسها الرياضيون بالتفصيل
دائمًا مثل المواقف الفعلية،
ولكن يمكنها أن توفر إطارًا عامًا وطريقة تفكير
يمكن تطبيقها للمساعدة في فهم المشكلات الأكثر تعقيدًا في العالم الفعلي.
في هذه الحالة، فهم كيف أن تأثير التغييرات الطفيفة
في القيود على النظام يمكن أن يكون له تأثير هائل
يعطينا تقديرًا أكبر للتنبؤ بالمخاطر
التي لا يمكننا إدراكها فورًا بحواسنا.
لأنه بمجرد أن تصبح النتائج مرئية، يمكن أن يكون ذلك بعد فوات الأوان.
Para la mayoría dos grados centígrados es una mínima diferencia de temperatura,
ni siquiera suficiente para romper una ventana.
Pero los científicos advierten que si el nivel de CO² en la atmósfera aumenta,
la temperatura de la Tierra aumentará
lo que puede acarrear consecuencias catastróficas en todo el mundo.
¿Cómo un cambio tan pequeño de un factor
lleva a cambios enormes e impredecibles en otros factores?
La respuesta está en el concepto de punto de inflexión matemático,
que se entiende mediante el juego de billar familiar.
La regla básica de movimiento del billar es
que una bola irá recta hasta que choque con una pared,
entonces rebota en un ángulo igual a su ángulo entrante.
Para hacerlo más simple, imaginemos que no hay roce,
así que las bolas seguirán moviéndose indefinidamente.
Y para simplificar aún más la situación,
veamos qué ocurre con una sola bola en una mesa circular perfecta.
Como la bola se golpeó y empezó a moverse de acuerdo a las normas,
sigue un patrón de estrella claro.
Si comenzamos con la bola en diferentes sitios,
o golpeándola en diferentes ángulos, algunos detalles del patrón cambiarán,
pero su forma general seguirá igual.
Con unos pocos test y algunos modelos matemáticos básicos,
podemos incluso predecir el camino de la bola antes de que empiece a moverse,
simplemente sobre la base de sus condiciones de partida.
Pero, ¿qué pasaría si hiciéramos un cambio menor
en la forma de la tabla desmontándola un poco,
e insertando dos bordes pequeños en la parte superior e inferior?
Podemos ver que a medida que la bola rebota en los lados rectos,
empieza a moverse por toda la mesa.
La bola sigue obedeciendo a las mismas reglas que el movimiento de billar,
pero el movimiento resultante no sigue ningún patrón reconocible.
Con solo un pequeño cambio en los frenos
bajo los cuales opera el sistema,
hemos cambiado el movimiento de billar
de comportarse de una forma estable y manera predecible,
a moverse incontroladamente,
creando así lo que los matemáticos llaman un movimiento caótico.
Insertando los bordes rectos en la mesa actúan como un un punto de inflexión,
cambiando el comportamiento de los sistemas de un comportamiento (normal),
a otro tipo de comportamiento (caótico).
Así ¿qué implicaciones tiene este sencillo ejemplo
para la mucho más complicada realidad del clima de la Tierra?
Podemos pensar en la forma de la mesa análogamente al nivel de CO²
y a la temperatura media de la Tierra.
Así, las restricciones afectan a la el rendimiento del sistema
en forma de movimiento de la pelota o el comportamiento del clima.
Durante los últimos 10.000 años,
la concentración bastante constante de CO² atmosférico,
270 partes por millón, mantienen el clima dentro de un patrón de autoestabilización,
bastante regular y favorable para la vida humana.
Pero con los niveles de CO² ahora de 400 partes por millón,
cuyo aumento se pronostican de entre 500 a 800 partes por millón
en el próximo siglo, podemos llegar a un punto de inflexión donde
incluso un pequeño cambio adicional en la temperatura media mundial
tendría el mismo efecto que al cambiar la forma de la mesa,
llevando a un cambio peligroso en el el comportamiento del clima,
con fenómenos meteorológicos más extremos e intensos,
menos previsibilidad, y lo más importante, menos afable para la vida humana.
Los modelos hipotéticos que los matemáticos estudian en detalle
no siempre puede parecer situaciones reales,
pero pueden proporcionar un marco y una forma de pensar
aplicables para ayudar a entender los problemas más complejos del mundo real.
En este caso, comprender cómo los cambios sutiles
en las restricciones que afectan a un sistema puede tener impactos masivos
nos da una mejor idea para predecir el peligro
que no podemos percibir inmediatamente con nuestros propios sentidos.
Porque una vez que los resultados se hacen visibles, puede que ya sea demasiado tarde.
Pour la plupart d'entre nous, deux degrés Celsius
est une différence de température minuscule,
pas même de quoi vous faire entrouvrir une fenêtre.
Mais les scientifiques nous ont avertis qu'avec l'augmentation
du taux de CO2 dans l'atmosphère,
une augmentation de la température de la Terre, même aussi minime,
peut entraîner des effets catastrophiques partout dans le monde.
Comment une modification si petite sur un seul facteur
peut-elle conduire à des changements massifs et imprévisibles
sur d'autres facteurs ?
La réponse réside dans le concept mathématique
de « point de basculement »
que nous pouvons comprendre avec l'exemple familier du jeu de billard.
La règle de base du mouvement au billard
est qu'une boule avance tout droit jusqu'à ce qu'elle heurte un bord,
puis rebondisse avec un angle égal à son angle d'incidence.
Pour simplifier, nous supposerons qu'il n'y a pas de frottement,
les boules peuvent donc se mouvoir indéfiniment.
Et pour simplifier encore plus la situation,
regardons ce qui se passe avec seulement une boule
sur une table parfaitement circulaire.
Lorsque la boule est frappée et commence à se déplacer selon les règles,
elle suit une trajectoire très nette en forme d'étoile.
Si la boule occupe au départ une position différente,
ou si nous la frappons avec différents angles,
quelques détails du motif changent, mais sa forme générale reste la même.
Avec une série de tests et une modélisation mathématique élémentaire,
nous pouvons même prédire la trajectoire de la boule avant son départ,
simplement à partir des conditions initiales.
Mais que se passerait-il si nous faisions un changement mineur
dans la forme de la table en la coupant en deux
et en insérant deux petits segments de droite, en haut et en bas ?
Nous observons que lorsque la boule rebondit sur les côtés droits,
elle commence à se déplacer partout sur la table.
La boule obéit toujours aux mêmes lois du mouvement,
mais le mouvement résultant ne suit plus aucun modèle reconnaissable.
Avec seulement un petit changement dans les contraintes
sous lesquelles le système fonctionne,
nous avons fait évoluer le mouvement de la boule
d'un comportement stable et prévisible
à un mouvement aux fluctuations énormes,
créant ainsi ce que les mathématiciens appellent un mouvement chaotique.
Les segments insérés dans le périmètre de la table
agissent comme un point de basculement,
faisant passer le comportement du système d'un type de comportement (régulier),
à un autre type de comportement (chaotique).
Quels sont les enseignements à tirer de cet exemple simple
sur une réalité bien plus complexe, celle du climat de notre Terre ?
Nous pouvons faire une analogie entre la forme de la table,
et le niveau des émissions de CO2 et la température moyenne de la Terre.
Ce sont des contraintes qui influencent la performance du système,
le mouvement de la boule, ou le comportement du climat.
Au cours des 10 000 dernières années,
une concentration en CO2 dans l’atmosphère relativement constante
(270 parties par million) a maintenu le climat dans un modèle auto-stabilisé,
favorable à la vie humaine.
Mais avec des niveaux de CO2 atteignant maintenant 400 parties par million,
et dont le niveau, selon les prévisions, va monter
entre 500 et 800 parties par million au cours de ce siècle,
nous pourrions atteindre un point de basculement où
même une toute petite augmentation supplémentaire
de la température moyenne globale
aurait des effets comparables à changer la forme de la table,
conduisant à un dangereux changement dans le comportement du climat,
avec des phénomènes météorologiques extrêmes ou plus intenses,
moins prévisibles, et, plus important, moins favorables à la vie humaine.
Les modèles hypothétiques que les mathématiciens étudient en détail
ne ressemblent pas toujours à des situations réelles,
mais ils peuvent fournir un cadre et une façon de penser
qui peuvent être transposés pour aider à comprendre
les problèmes plus complexes du monde réel.
Dans ce cas, comprendre comment de légères modifications
dans les contraintes affectant un système peuvent avoir des répercussions massives
nous donne une plus grande appréciation pour prévoir les dangers
que nous ne pouvons pas percevoir immédiatement avec nos propres sens.
Parce qu'une fois que les effets deviendront visibles,
il sera peut-être déjà trop tard.
עבור רובנו, שתי מעלות צלזיוס זה הפרש זעיר בטמפרטורה.
אפילו לא מספיק לגרום לכם לפתוח חלון.
אבל מדענים הזהירו שכשרמות הפחמן הדו חמצני באטמוספריה יעלו,
עליה בחום כדור הארץ אפילו ברמה הזו
יכולה להוביל לאפקטים הרסניים בכל רחבי העולם.
איך שינוי מדיד כזה קטן במדד אחד
יכול להוביל לשינוי מסיבי ולא צפוי במדדים אחרים?
התשובה נמצאת ברעיון של נקודת הטיה מתמטית,
שאנחנו יכולים להבין לפי המשחק המוכר ביליארד.
החוק הבסיסי של התנועה בביליארד הוא
הוא שכדור ינוע ישר עד שהוא יפגע בקיר,
אז יחזור בזוית שווה לזווית הפגיעה שלו.
לשם הפשטות, נניח שאין חיכוך,
אז כדורים ימשיכו לנוע לתמיד.
וכדי לפשט את המצב עוד יותר,
בואו נביט במה שקורה עם כדור אחד על שולחן עגול מושלם.
כשהכדור נפגע ומתחיל לנוע לפי החוקים,
הוא עוקב אחרי תבנית כוכב נאה.
אם נתחיל את הכדור במקומות שונים,
או נפגע בו בזוויות שונות, כמה פרטים של התבנית משתנים,
אבל הצורה הכללית שלה נשארת זהה.
עם כמה נסיונות, וכמה מודלים מתמטיים בסיסים,
אנחנו יכולים אפילו לצפות את מסלול הכדור לפני שהוא יתחיל לנוע,
פשוט בהתבסס על תנאי ההתחלה שלו.
אבל מה יקרה אם נעשה שינוי זעיר
בצורה של השולחן על ידי משיכתו מעט,
והכנסת שני קצוות ישרים קטנים בחלק העליון והתחתון?
אנחנו יכולים לראות שכשהכדור מוחזר מהצדדים החלקים,
הוא מתחיל לנוע על פני כל השולחן.
הכדור עדיין מציית לאותם חוקים של תנועת ביליארד,
אבל התנועה שלו כתוצאה לא עוקבת יותר אחרי תבנית מוכרת.
עם רק שינוי קטן למגבלות
תחתן המערכת פועלת,
שינינו את תנועת הביליארד
מהתנהגות יציבה וצפויה,
לשינויים פראיים,
ולכן נוצר מה שמתמטיקאים קוראים לו תנועה כאוטית.
הכנסת הקצוות הישרים לתוך השולחן פועל כמו נקודת הטיה,
ומעביר את התנהגות המערכת מסוג אחד של התנהגות (רגילה),
לסוג אחר של התנהגות (כאוטית).
אז אילו השלכות יש לדוגמה הפשוטה הזו על המציאות
המורכבת בהרבה של אקלים כדור הארץ?
אנחנו יכולים לחשוב על הצורה של השולחן כאנלוגית לרמת הפד"ח
והטמפרטורה הממוצעת של כדור הארץ:
אילוצים שמשפיעים על ביצועי המערכת
בצורה של תנועת כדור או התנהגות האקלים.
במהלך 10,000 השנים האחרונות,
ריכוז הפד"ח הדי קבוע באטמוספירה
של 270 חלקיקים למליון שמר על האקלים בתבנית שמייצבת את עצמה,
די רגיל ומסביר פנים לאנושות.
אבל עם רמות פד"ח עכשיו ב 400 חלקיקים למליון,
וצפויות לעלות לבין 500 ל 800 חלקיקים למליון
במשך המאה הזו, אנחנו נגיע לנקודת הטיה בה
אפילו לשינוי קטן נוסף בממוצע הטמפרטורות הגלובלי
יהיה את אותו אפקט כמו שינוי צורת השולחן,
מה שיוביל לשינוי מסוכן בהתנהגות האקלים,
עם ארועי מזג אויר יותר קיצוניים ואינטנסיביים,
יכולת חיזוי פחותה, והכי חשוב, פחות מסבירי פנים לאנושות.
המודלים ההיפותטים שמתמטיקאים חוקרים בפרוט
אולי לא יראו תמיד כמו מצבים אמיתייים,
אבל הם יכולים לייצר תשתית ודרך לחשיבה
שיכולים להיות מיושמים כדי להבין את הבעיות היותר מורכבות בעולם האמיתי.
במקרה הזה, הבנה של איך שינוים קלים
במגבלות שמשפיעות על מערכת יכולים להשפיע בצורה מסיבית
נותן לנו הערכה גדולה יותר לצפיית הסכנות
שאנחנו לא יכולים להבין מייד עם החושים שלנו.
מפני שברגע שהתוצאות הופכות לנראות, זה יכול להיות מאוחר מדי.
Per molti di noi, una differenza di due gradi Celsius
non è nemmeno sufficiente a farci aprire la finestra.
Ma gli scienziati segnalano che, con l'aumento di CO2 nell'atmosfera,
anche un rialzo del genere nella temperatura terrestre
può avere effetti catastrofici in tutto il mondo.
Come può un cambiamento così piccolo in un solo fattore
portare a enormi e imprevedibili cambiamenti in altri fattori?
La risposta sta nella nozione di punto critico matematico
che possiamo facilmente capire attraverso il gioco del biliardo.
La regola di base del movimento nel biliardo
è che la biglia procede dritta fino che non urta una parete,
per poi rimbalzare
con un angolo di riflessione pari all'angolo d'incidenza.
Per semplificare supponiamo che non ci sia attrito,
in modo che le biglie continuino a muoversi all'infinito.
E per semplificare ancora, vediamo cosa succede
con una sola biglia su un tavolo perfettamente circolare.
Quando la biglia viene colpita inizia a muoversi come vuole la regola,
seguendo uno schema a forma di stella.
Se facciamo partire la biglia da punti diversi
o la colpiamo con diverse angolazioni, alcuni dettagli dello schema variano
ma la forma complessiva resta la stessa.
Con un paio di prove e dei modelli matematici basilari,
possiamo persino prevedere il percorso della biglia
prima che inizi a muoversi, in base alle sue condizioni di partenza.
Ma cosa accadrebbe se modificassimo lievemente
la forma del tavolo tirandola un po' sui lati
e inserendo in alto e in basso due piccoli bordi dritti?
Possiamo notare che quando la biglia rimbalza sui lati piatti
comincia a muoversi in modo sparso.
La biglia resta fedele alla stessa regola di movimento,
ma la traiettoria che ne risulta non segue più uno schema riconoscibile.
È bastata una lieve modifica
ai parametri su cui opera il sistema
per trasformare il movimento stabile e prevedibile della biglia
in una corsa all'impazzata,
creando così ciò che i matematici chiamano moto caotico.
I bordi dritti inseriti nel tavolo agiscono da punti critici,
alterando il comportamento del sistema
da regolare a caotico.
Cosa implica quindi questo semplice esempio
sulla realtà molto più complessa del clima terrestre?
Possiamo considerare la forma del tavolo analoga al livello di CO2
e alla temperatura media della Terra:
parametri che influenzano le prestazioni del sistema
con conseguenze sul movimento della biglia o sul comportamento del clima.
Nel corso degli ultimi 10.000 anni,
la concentrazione atmosferica relativamente costante di CO2
di 270 parti/milione ha permesso al clima di auto-stabilizzarsi,
mantenendosi più o meno regolare e ospitale per la vita umana.
Ma con livelli di CO2 che ammontano oggi a 400 parti/milione
e un aumento previsto compreso tra le 500 e le 800 parti/milione
per il prossimo secolo, potremmo raggiungere un punto di non ritorno
dove anche un minuscolo aumento della temperatura media globale
avrebbe lo stesso effetto della modifica apportata alla forma del tavolo,
causando nel clima un cambiamento pericoloso
con fenomeni meteorologici più estremi, intensi e meno prevedibili
ma soprattutto condizioni meno ospitali per la vita umana.
I modelli ipotetici che i matematici studiano nel dettaglio
possono sembrare a volte lontani da situazioni reali,
ma forniscono un quadro generale e un modo di pensare
di cui si può fare uso per capire meglio i complessi problemi del mondo reale.
In questo caso, capire come lievi modifiche nei parametri
che incidono su un sistema possano avere un enorme impatto,
ci dà un margine maggiore per prevedere tutti quei pericoli
che non possiamo percepire subito attraverso i nostri sensi.
Perché una volta che i risultati diventano visibili potrebbe essere già troppo tardi.
私たちの多くにとって ２度の温度変化はわずかなものです
窓を少し開ける必要すらないかもしれません
しかし 科学者達は 大気中の二酸化炭素濃度が上昇し
気温が２度上昇しただけでも 世界に壊滅的な打撃をもたらすと
警鐘を鳴らしています
どうしてたった１つの要素の 小さくて測定可能な変化が
他の多くの要素に対する 著しく予測不能な変化を起こすのでしょうか
数学的な転換点の概念に その答えは隠されており
身近な遊びであるビリヤードによって 理解することができます
ビリヤードの動きの基本法則とは
球は壁に当たるまで直進し
入射角と同じ角度で 跳ね返るというものです
単純化のために 摩擦がないと仮定すると
球は永遠に動き続けます
さらに単純化し
完全に円形な台での たった１つの球の動きを見てみましょう
球が突かれ 法則に従って動き始めると
きれいな星のような模様を描きます
別の場所においた球で始めたり
異なる角度で突いたりすると 模様は多少変化しますが
ほとんど同じ形になります
何回かテストして 簡単な数学モデルを用いれば
私たちは 初期前提だけに基いて 球が動き始める前に
軌道を予測することができます
しかし ここにわずかな変化－
台を少し左右に引っ張って
２つの短い直線部分を上下に加えたら どうなるでしょうか？
球が平らな面で跳ね返り
台全体を動き始めることが分かります
球はビリヤードの動きの法則に 依然として従っていますが
その結果が描く軌道は 模様としては認識できなくなります
システムの振舞いを決める 制約条件に
ほんのわずかな変更を加えるだけで
ビリヤードの動きは
安定的で予想できるものから
とても不安定で
数学者達が「カオス的運動」と 呼ぶものに変わったのです
台に直線の辺を加えることが 転換点になり
システムの働きを 規則的なものから
カオス的な別のものに変えます
では この単純な例は ずっと複雑な地球の気候に関して
どのような意味をもたらすのでしょうか？
台の形は 二酸化炭素の量や
地球の平均気温と考えられます
球の動きや気候の振舞いなど
システムの結果に影響を与える 制約条件です
過去１万年間の間
大気中の二酸化炭素濃度は 270ppmでほぼ一定でした
気候の変化は比較的 規則的かつ自己安定的で
人類の生活にとっても 心地のよいのもでした
しかし二酸化炭素濃度は現在400ppmで
今後100年間で 500から800ppmまで
上昇すると予想されています その結果 私たちは転換点に達し
地球の平均気温のわずかな変化が
テーブルの形を変えるのと同じように
気候に危険な変化を起こさせるかもしれません
強く激しい気象事象を伴い
予測が難しく 何よりも 人類の生活は不快なものになります
数学者が詳細に研究している この仮想的モデルは
実際の状況とは異なるかもしれませんが
現実世界のもっと難しい問題を 理解するための
考え方の枠組みを与えてくれます
このケースでは 制約条件における小さな変化が
システム全体に大きな影響を 与えるということを理解すると
今すぐ五感で感じることが難しい 将来の危険の予想についても
もっと重大なことと考えるように なるでしょう
実際に結果が見えたときには もう遅すぎるかもしれないからです
우리한테 섭씨 2도의 차이는 그리 크지 않습니다.
창문을 열고자 하는 충동이 들지도 않죠.
하지만 과학자들은 대기상에 존재하는 이산화탄소의 농도가 증가하고 있으며,
이에 따라서 지구의 온도가 이만큼만 증가해도
전 세계에 엄청난 영향을 끼칠 것이라고 경고합니다.
어떻게 한 요소에서 일어난 작은 변화가
다른 요소에 거대하고 예측 불가능한 변화를 낳는 걸까요?
답은 수학적인 변곡점에서 출발합니다.
이 효과를 익숙한 당구에 비유해서 이해해 보죠.
기본적인 당구공의 움직임은
공이 벽에 닿을 때까지 직선입니다.
그리고 벽에 닿으면 입사각과 같은 각도로 튀어 나오죠.
간단히 말하면, 마찰이 없다고 가정했을 때,
공은 끊임없이 굴러갑니다.
상황을 더 간단히 해보죠.
완전한 원형 당구대에 공이 하나만 있다고 생각해 봅시다.
공을 치면, 공은 물리법칙에 따라 이동하기 시작하며,
별 모양을 그립니다.
다른 위치에서 공을 치거나
다른 각도로 공을 친다고 하더라도 모양의 변화는 있지만
궤적의 전체 형태는 비슷합니다.
몇 번의 실험과 수학적 모델링을 거친다면,
우리는 공이 움직이기 전에 궤적을 예측할 수 있습니다.
공의 궤적은 시작 조건에 따라 달라지기 때문이죠.
하지만 우리가 테이블의 모양을 조금 바꿔서
조금 늘여놓고
테이블의 위와 아래에 2개의 직선을 넣으면 어떤 상황이 벌어질까요?
우리는 공이 직선에 부딪혀 튀면
당구대 어디로든 진행하는 것을 볼 수 있습니다.
공은 여전히 당구운동과 같은 법칙을 지키지만,
최종적인 궤적은 이제 알아볼 수 있는 모양을 그리지 않습니다.
시스템이 운영되는
제한 조건을 조금 바꾸는 것만으로
우리는 당구공의 진행궤도를
안정적이고 예측가능한 형태에서
광범위하게 변동하게끔 바꿀 수 있습니다.
결과적으로 수학자들이 혼돈 운동이라고 부르는 운동을 만들어내죠.
당구대에 직선을 넣어서 그게 변곡점으로 작용하고
시스템의 거동을 하나의 거동에서 (정상적)
다른 거동 (혼돈적) 으로 바꿉니다.
그렇다면 이런 단순한 예가 훨씬 복잡한 지구의 기후에 대해서는
어떤 영향을 미칠 수 있을까요?
우리는 이산화탄소의 농도와 지구의 평균 온도를
당구대의 모양과 연관지을 수 있는데,
제약 조건들은 시스템의 성과에
공의 궤적 변화나 기후의 변화 형태로 영향을 끼칩니다.
지난 만 년 동안,
아주 일정한 270ppm의 수치를 유지한
이산화탄소의 농도는 기후를 자체적으로 안정되게 했고
인간이 살아가기에 적당하고 쾌적한 농도였습니다.
하지만 지금 400 ppm 의 이산화탄소 농도는
다음 세기에는 500~800 ppm 에 다다를 것이라고 예측되고
우리는 변곡점에 달할 수도 있습니다.
전 세계의 온도가 조금이라도 증가하면
당구대의 모양을 바꾸는 것과 같은 효과인
심각한 기후 변화를 초래합니다.
기후 현상이 더 극단적이고 격렬해지며,
더 예측 불가능하고, 더욱 중요한 것은 인간의 삶을 어렵게 만들 것입니다.
수학자들이 자세히 연구하고 있는 가상의 모델은
얼핏 보기에는 실제 상황처럼 보이지 않겠지만,
그것들은 현실 세계의 더 복잡한 문제를 해결하기 위해 적용할 수 있는
사고방식과 그 틀을 제공해 줍니다.
이 경우 시스템에 영향을 미치는 제약 조건의 작은 변화도
거대한 영향을 끼칠 수 있다는 것을 이해하는 것은
우리의 감각으로는 즉각 인식할 수 없는 위험을
예측할 수 있다는 사실에 크게 감사하게 해줍니다.
왜냐하면 결과가 눈에 보이기 시작할 쯤에는 이미 늦었기 때문입니다.
Para muitos de nós, dois graus Celsius é uma diferença mínima de temperatura
nem sequer suficiente para fazer estalar uma vidraça.
Mas os cientistas avisam que, quando sobe o nível de CO2 da atmosfera,
basta um aumento desta ordem na temperatura da Terra
para provocar efeitos catastróficos em todo o mundo.
Como é que uma alteração tão pequena de um fator
pode levar a alterações tão grandes e imprevisíveis noutros fatores?
A resposta reside no conceito do ponto de inflexão matemático,
que podemos compreender através do conhecido jogo do bilhar.
A regra básica do movimento do bilhar
é que uma bola rola em linha reta até bater numa tabela,
depois faz ricochete num ângulo igual ao ângulo com que bateu na tabela.
Por uma questão de simplicidade, vamos assumir que não há atrito,
por isso, a bola pode continuar a mover-se indefinidamente.
E para simplificar ainda mais a situação,
vejamos o que acontece só com uma bola numa mesa perfeitamente circular.
Quando batemos na bola e ela começa a rolar, de acordo com as regras,
segue um padrão com a forma de uma estrela.
Se começarmos com a bola em diversos locais,
ou lhe batermos em ângulos diferentes, mudam alguns pormenores do padrão.
Mas a forma de base mantém-se a mesma.
Com alguns testes e alguns modelos matemáticos básicos,
podemos prever o percurso da bola antes de ela começar a mover-se,
baseando-nos apenas nas condições da partida.
Mas o que acontece se fizermos uma pequena alteração
na forma da mesa, esticando um pouco a sua forma,
introduzindo duas bordas retas na parte superior e inferior?
Vemos que quando a bola faz ricochete nessas bordas retas
começa a mover-se pela mesa toda.
A bola continua a obedecer às mesmas regras do movimento do bilhar
mas o movimento resultante já não segue nenhum padrão reconhecível.
Apenas com uma pequena alteração aos constrangimentos
segundo os quais funciona o sistema,
alterámos o movimento do bilhar
que passou de um modo estável e previsível
para um movimento sem controlo
criando assim o que a matemática chama "movimento caótico".
As bordas retas que introduzimos na mesa, atuam como um ponto de inflexão
mudando o comportamento do sistema de um tipo de comportamento regular
para outro tipo de movimento — caótico.
Que implicações tem este exemplo
para a realidade muito mais complicada do clima da Terra?
Podemos pensar na forma da mesa como sendo análoga ao nível do CO2
e à temperatura média da Terra.
Os constrangimentos afetam o comportamento do sistema
sob a forma do movimento da bola ou do comportamento do clima.
Durante os últimos 10 000 anos,
a concentração bastante constante do CO2 na atmosfera,
de 270 partes por milhão, manteve o clima num padrão autoestabilizador
bastante regular e favorável para a vida humana.
Mas com os níveis atuais de CO2 a 400 partes por milhão,
e com a previsão de um nível entre 500 a 800 partes por milhão,
no próximo século, podemos chegar a um ponto de inflexão
em que basta uma pequena alteração adicional
na temperatura média global
para ocorrer o mesmo efeito que alterar a forma da mesa,
levando a uma perigosa mudança no comportamento do clima,
com acontecimentos climáticos mais radicais e intensos,
menos previsíveis
e, mais importante ainda, menos favoráveis para a vida humana.
Os modelos hipotéticos que os matemáticos estudam com pormenor,
nem sempre podem parecer-se com situações reais
mas podem proporcionar uma moldura e uma forma de pensar
que podem ser aplicadas para compreender os problemas mais complexos do mundo real.
Neste caso, compreender como pequenas mudanças
nos constrangimentos que afetam um sistema podem ter um enorme impacto
dá-nos uma melhor perceção para prever os perigos
que não podemos apreender imediatamente com os nossos sentidos.
Porque, quando as consequências se tornarem visíveis,
pode ser tarde demais.
Para a maioria de nós, 2 graus Celsius é uma diferença minúscula de temperatura,
nem mesmo suficiente para nos fazer abrir a janela.
Mas cientistas avisaram que com o aumento dos níveis de CO2 na atmosfera,
mesmo esse pequeno aumento na temperatura da Terra
pode provocar efeitos catastróficos ao redor do mundo.
Como pode uma mudança tão pequena em um fator,
provocar mudanças enormes e imprevisíveis em outros fatores?
A resposta está no conceito de um "ponto de virada matemático",
que podemos entender através do jogo de bilhar.
A regra básica do movimento da bola de bilhar
é que a bola vai andar em linha reta até colidir com uma borda,
então ricochetear em um ângulo igual ao ângulo incidente.
Para maior simplicidade, assumiremos que não há atrito,
então as bolas podem continuar se movendo permanentemente.
E para simplificar ainda mais a situação,
vamos considerar somente uma bola em uma mesa perfeitamente circular.
Depois que a bola começa o movimento,
ela percorre um padrão de movimento estrelado.
Se a bola sair de locais diferentes,
ou sair em ângulos diferentes, alguns detalhes do padrão mudam,
mas a sua forma geral continua a mesma.
Com alguns testes, e com uma modelagem matemática,
podemos prever o trajeto da bola antes mesmo de ela começar a se mover,
baseando-nos simplesmente nas condições iniciais.
Mas o que iria acontecer se fizéssemos uma pequena mudança
no formato da mesa, partindo-a no meio
e inserindo duas bordas retas entre as metades?
Podemos ver que quando a bola ricocheteia nos lados retos,
ela começa a se mover por toda a mesa.
A bola ainda está obedecendo às mesmas regras de movimento,
mas o movimento resultante não traça mais um padrão reconhecível.
Com apenas uma pequena mudança nas restrições
sob as quais o sistema opera,
mudamos o padrão do movimento
de um padrão estável e previsível,
para um que flutua aleatoriamente,
criando então o que os matemáticos chamam de "movimento caótico".
Inserir as bordas retas na mesa funciona como um ponto de virada,
que muda o comportamento do sistema de um tipo (regular),
para outro tipo (caótico).
Então quais implicações tem esse simples exemplo
em relação à realidade mais complicada do clima terrestre?
Podemos pensar no formato da mesa como sendo análogo aos níveis de CO2
e a temperatura média da terra:
Restrições que impactam a performance do sistema
na forma dos movimentos da bola ou no comportamento do clima.
Durante os últimos 10 mil anos,
a concentração constante de CO2
de 270 partes por milhão mantiveram o clima em um padrão autoestabilizado,
regular e hospitaleiro à vida humana.
Mas com os níveis de CO2 agora a 400 partes por milhão,
e com a previsão de subir até entre 500 e 800 partes por milhão
no próximo século, podemos atingir um ponto de virada onde
até mesmo um pequeno aumento na temperatura global
pode ter o mesmo efeito da mudança na mesa de bilhar,
levando a uma perigosa mudança no comportamento do clima,
com eventos climáticos mais extremos e intensos,
menos previsibilidade, e mais importante, menos hospitalidade à vida humana.
Os modelos hipotéticos que os matemáticos estudam em detalhes
nem sempre parecem com situações reais,
mas podem prover uma estrutura e uma forma de pensar que podem ser aplicados
para ajudar a entender os problemas mais complexos do mundo real.
Nesse caso, a compreensão de como pequenas mudanças
nas restrições de um sistema podem ter impactos enormes
nos dá uma maior possibilidade de prever os perigos
que não podemos perceber usando somente nossos sentidos.
Porque uma vez que os efeitos ficarem visíveis, pode ser tarde demais.
Для большинства из нас 2°C — это незначительный перепад температуры,
не стоящий даже того, чтобы приоткрыть окно.
Но учёные предупреждают, что при повышении уровня CO2 в атмосфере
даже такое малое увеличение температуры Земли
может привести к глобальным катастрофическим последствиям.
Как же такое малоощутимое отклонение в одной составляющей
может повлечь за собой глобальные и непредсказуемые перемены в остальных?
Ответ заключается в понятии математической критической точки,
которое можно объяснить на примере знакомой всем игры в бильярд.
Основной принцип бильярда —
шар катится по прямой до ближайшей стенки,
а затем отталкивается от неё под углом, равным входящему.
Для простоты предположим, что трение отсутствует,
так что шар находится в постоянном движении.
Для ещё большего упрощения
проследим за тем, что происходит с шаром на идеально круглом столе.
Когда шар отталкивается и двигается по правилам,
траектория его движения принимает форму звезды.
Если шар запустить в другой точке
или изменить первоначальный угол, некоторые детали траектории изменятся,
но в целом её форма останется той же.
После нескольких экспериментов и создания простых математических моделей
мы даже можем предсказать траекторию шара до начала движения,
исходя лишь из начальных условий.
Но что произойдёт, если мы чуть изменим
форму стола, слегка растянув его в стороны
и добавив два прямых участка вверху и внизу?
Мы видим, что когда шар отталкивается от прямых сторон,
он начинает кататься по всему столу.
Шар по-прежнему подчиняется правилам бильярдного движения,
но уже не движется по какой-либо узнаваемой траектории.
Из-за немного поменявшихся условий,
при которых проводится эксперимент,
движение бильярдного шара
из устойчивого и предсказуемого
превратилось в крайне нестабильное.
В математике такое движение называют хаотическим.
Добавление прямых участков у стола является той критической точкой,
при которой регулярное поведение системы
изменяется на хаотическое.
Какие же аналогии можно провести между этим простым примером
и гораздо более сложной ситуацией с климатом Земли?
Представим себе, что форма стола — это аналог уровня СО2
и средней температуры Земли,
условия, влияющие на то, как в системе
движется шар или меняется климат.
За последние 10 000 лет
относительно постоянная концентрация СО2 в атмосфере,
270 частиц на миллион, удерживала климат в самостабилизирующемся состоянии,
вполне устойчивом и приемлемом для жизни человека.
Но при нынешнем уровне СО2 в 400 частиц на миллион
и его ожидаемом увеличении до 500-800 частиц на миллион
в ближайшем столетии мы рискуем дойти до критической точки,
когда даже малейшее отклонение глобальной средней температуры
может иметь такой же эффект, как изменение формы стола,
и вызвать опасный сдвиг в состоянии климата,
сопровождающийся погодными катаклизмами,
непредсказуемостью и, самое главное, меньшей пригодностью для жизни людей.
Теоретические модели, подробно изучаемые математиками,
не всегда кажутся точным отражением реальности,
однако они могут дать метод,
облегчающий понимание более сложных проблем реального мира.
В данном случае понимание того, как крохотное изменение
влияющих на систему условий может иметь колоссальные последствия,
позволяет нам серьёзнее отнестись к предупреждениям об опасностях,
которые мы не можем ощущать непосредственно.
Потому что когда последствия станут очевидными, будет уже поздно.
Çoğumuz için iki Santigrat derece küçük bir sıcaklık farkıdır,
pencereleri açmanızı bile gerektirmez.
Ancak bilim insanlarının uyarısına göre, atmosferdeki CO2 seviyesi yükseldikçe
Dünya'nın sıcaklığında aynı orandaki bir artış dahi
tüm dünyada doğal afet etkilerine yol açabilir.
Bir etmenin böylesine küçük bir değişimi
nasıl olur da diğer etmenlerde umulmayan ve ağır değişimlere yol açabilir?
Cevap matematiksel bir son nokta kavramında yatmaktadır
ki bilinen bilardo oyunu sayesinde bunu anlayabiliriz.
Bilardo hareketinin temel kuralı
topun bir duvara gelene kadar dümdüz gitmesi,
sonra geliş açısına eşit bir açıyla sekmesidir.
Kolay olsun diye sürtünme olmadığını varsayalım,
yani toplar sonsuza kadar hareket edebilir.
Durumu daha basitleştirme adına
tek bir topla dairesel bir masada ne olacağına bakalım.
Topa vurulup kurallar çerçevesinde hareket başladığında,
düzenli yıldız şekilli bir desen oluşturur.
Topu farklı konumlardan başlatırsak
veya topa farklı açılarla vurursak, desenin bazı detayları değişir,
ancak genel şekil aynı kalır.
Birkaç deneme ve bazı temel matematiksel modelleme ile
top harekete başlamadan da yolunu tahmin edebiliriz,
sadece başlangıç koşullarına dayanarak.
Fakat üstten ve alttan birazcık çekmeyle
iki kısa düz kenar yerleştirerek
masanın şeklinde küçük bir değişiklik yaparsak ne olur?
Görüyoruz ki, top düz kenarlardan sektikçe
masanın tümünde hareket etmeye başlıyor.
Top hala bilardo hareketinin aynı kurallarına uyuyor,
ama elde edilen desen, tanınmış bir desene uymuyor.
Sistemin işlediği koşullardaki küçük bir değişmeyle bilardo hareketini,
istikrarlı ve tahmin edilebilir bir durumdan
çılgınca dalgalanan bir duruma soktuk;
böylece matematikçilerin kaos dedikleri bir durum oluşturduk.
Masaya düz kenarları koyarak bir taşma noktası etkisi oluşturduk:
sistem davranışı belli bir tür davranıştan (düzenli)
diğer bir davranış türüne (kaotik) dönüşmektedir.
O halde, bu örnek durumdan, daha karmaşık olan Dünya iklimi gerçeği konusunda
hangi çıkarımlar yapılabilir?
Masanın şeklinin CO2 seviyesine ve Dünya'nın ortalama sıcaklığına
benzer olduğunu düşünebiliriz:
Topun hareketi veya iklim davranışı durumunda
sistem performansını etkileyen etmenler.
Geçen 10.000 yıl boyunca
milyonda 270'lik oldukça sabit CO2 atmosferik konsantrasyonu,
kendi kendini dengeleyen, oldukça düzenli
ve insan yaşamına uygun bir iklim sağladı.
Fakat şimdi milyonda 400 olan CO2 seviyeleri
ve gelecek yüzyılda milyonda 500 ila 800 olması beklenmekle,
global ortalama sıcaklıktaki en küçük bir değişimin bile
aynen masanın şeklinin değişmesindeki gibi
bir etki oluşturacak bir taşma noktasına ulaşabiliriz
ve bu, daha büyük ve yoğun hava olaylarının yaşandığı,
daha az tahmin edilebilir ve en önemlisi, insan hayatına daha az elverişli olan
tehlikeli bir iklim davranışı değişimine yol açabilir.
Matematikçilerin detaylıca çalıştığı nazari modeller
her zaman gerçek durumlara benzemez,
ama gerçek dünyanın daha karmaşık problemlerini
anlamaya yardımcı olabilecek düşünce yöntemini ve çerçeveyi sağlayabilirler.
Bu durumda, bir sistemi etkileyen koşullardaki
küçük değişimlerin nasıl büyük etkiler oluşturduğunu anlama,
kendi duyularımızla hemen algılayamadığımız
tehlikeleri öngörme konusunda büyük bir kavrayış sağlar.
Çünkü sonuçlar bir kere ortaya çıktıktan sonra artık çok geç olabilir.
Đối với hầu hết chúng ta, 2 độ C chỉ là một khoảng nhiệt độ rất nhỏ
thậm chí không đủ làm nứt một cánh cửa sổ
Nhưng các nhà khoa học đã cảnh báo rằng khi nồng độ CO2 trong khí quyển tăng lên,
sự tăng nhiệt Trái Đất chỉ bằng một lượng nhỏ này
cũng có thể dẫn đến tai họa thảm khốc trên toàn cầu
Làm sao mà chỉ một sự thay đổi nhỏ của một yếu tố
dẫn tới thay đổi to lớn và khó lường lên các yếu tố khác được?
Câu trả lời nằm ở nguyên lý toán học về điểm tới hạn,
mà chúng ta có thể hiểu thông qua môn thể thao quen thuộc - bida
Quy tắc cơ bản của chuyển động của bida là
viên bi sẽ đi thẳng cho tới khi nó chạm vào thành
rồi nảy ra ở một góc bằng với góc tới của nó
Với mục đích đơn giản, giả sử rằng không có ma sát,
vì thế viên bi có thể chuyển động mãi mãi.
Và để đơn giản hơn nữa,
hãy quan sát điều gì xảy ra với chỉ 1 viên bi lăn trên 1 bàn tròn tuyệt đối.
Khi thọt viên bi và bắt đầu chuyển động theo quy luật,
nó đi theo đúng đường hình ngôi sao.
Nếu chúng ta đặt viên bi ở vị trí khác,
hoặc đánh nó với một góc khác, một số điểm của đường đi thay đổi,
nhưng hình dạng tổng thể vẫn giống nhau.
Với một vài cú đánh thử nghiệm, và một số mô hình toán học cơ bản,
thậm chí ta có thể dự đoán đường đi của viên bi trước khi nó bắt đầu lăn,
đơn giản dựa vào điều kiện ban đầu của nó.
Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi ta thay đổi một chút
hình dạng của chiếc bàn bằng cách kéo nó xa ra một chút,
và chèn thêm hai cạnh thẳng dọc phía trên và phía dưới?
Chúng ta có thể thấy khi viên bi nảy ra khỏi cạnh thẳng,
nó bắt đầu chuyển động khắp cái bàn.
Viên bi vẫn tuân theo quy luật chuyển động cũ,
nhưng sự chuyển động này không còn đi theo bất kỳ hình dạng nhất định nào
Với chỉ một thay đổi nhỏ với biến số,
mà hệ thống hoạt động dựa vào đó,
chúng ta đã biến chuyển động của viên bi
từ một dạng ổn định và có thể đoán trước,
sang một dao động tự nhiên,
do đó tạo ra cái mà các nhà toán học gọi là chuyển động hỗn độn.
Chèn các cạnh thẳng vào chiếc bàn là điểm tới hạn,
chuyển hệ thống từ trạng thái này (bình thường),
sang một trạng thái khác (hỗn độn).
Vậy ngụ ý là gì mà ví dụ đơn giản này lại có
thực trạng phức tạp của khí hậu Trái Đất?
Chúng ta có thể coi hình dạng chiếc bàn tương tự như nồng độ CO2
và nhiệt độ trung bình của Trái Đất:
Những hạn chế tác động đến hiệu suất của hệ thống
trong dạng chuyển động của viên bi hay là diễn biến của khí hậu.
Trong suốt 10,000 năm trước,
nồng độ CO2 trong khí quyển ổn định ở mức
270 ppm (phần triệu) giữ khí hậu trong trạng thái tự ổn định,
tương đối đều đặn và tốt cho cuộc sống con người.
Nhưng với nồng độ CO2 bây giờ là 400 phần triệu,
và được dự đoán tăng lên khoảng 500 đến 800 phần triệu
trong thập kỷ tới, có thể đạt tới điểm tới hạn
ngay cả chỉ một sự tăng nhẹ của nhiệt độ trung bình toàn cầu
sẽ có tác động tương tự như khi thay đổi hình dạng chiếc bàn,
dẫn tới một sự biến đổi đáng sợ trong diễn biến khí hậu,
với những thiên tai cực đoan và dữ dội hơn,
khó dự đoán được, và điều quan trọng nhất, không tốt đẹp gì với cuộc sống con người.
Các mô hình giả định mà các nhà toán học nghiên cứu chi tiết
không phải lúc nào cũng giống những tình huống thực tế,
song chúng có thể đưa ra một bộ khung và một cách nhìn nhận
có thể áp dụng được để giúp hiểu rõ các vấn đề phức tạp hơn trong thực tế
Trong trường hợp này, việc hiểu tại sao mà một thay đổi nhỏ
của các hạn chế ảnh hưởng lên hệ thống, lại có tác động to lớn như vậy
cho chúng ta trân quý hơn về dự đoán sự nguy hiểm
mà chúng ta không thể nhận thức ngay được bằng các giác quan của mình.
Bởi vì một khi những hậu quả đó hiện hữu, nó có thể trở nên quá muộn.
对于我们大多数人来说，2摄氏度的温度变化并没有多大区别
还不足以让你开关窗户
但是科学家警告由于大气中二氧化碳浓度的升高
地球上即便升高这一点点温度
将会在全球导致一个灾难性的影响
这样单个可测因素的微小变化
是怎样导致其他因素发生大量不可预测的变化的呢？
答案就是数学上的一个临界点的概念
我们可以从熟悉的桌球游戏中理解
桌球的基本运动规律
就是它会沿着直线运动，直到撞到壁上
会有一个与进入角度相等的反弹角
为了简化，我们假设没有摩擦
所以球的运动就有很不确定性
为了使情况更加简单
让我们看看只让一个球在一个绝对圆的桌上运动会发生什么
当球被击中并开始按规律运动的时候
会形成一个平滑的星形图案
如果我们在不同的位置或角度开球
图案上的一些细节就会受到影响
但是整体情况是一样的
经过一些测试和一些基本的数学模型分析后
仅仅简单依靠开球的条件
我们能在球运动之前就预测它的路线
但是如果我们对桌子的形状做一小点改变
会发生什么呢？
我们将桌子分成两半
在顶部和底部插入两条直边
我们会看到，随着球从平整的边弹出
它开始在整个桌上运动
它同样遵循着桌球的运动规律
但是运动的结果就不再是我们认识的模型了
在这个系统运行的过程中
我们只改变了一小点约束条件
我们就改变了这个桌球的运动模式
从可以预测的、稳定的运动
到混乱的、不受控制的运动模式
因此创造了一个数学家数学家称作无序运动模型的东西
在（圆形）桌子上放置两条直边作为临界点
将这个系统的规律运动
变成了无序运动
对于复杂的地球气候问题
我们能从这个简单的例子中得到什么启发呢？
我们可以把桌子的形状比作大气中二氧化碳的水平
或是地球的平均温度
在这个桌球运动或说是气候变化的模型中
这两者是影响这个系统表现的条件
在过去的一万年里
二氧化碳在大气中的当量集中在百万分之二百七十左右
以此保证整体系统保持稳定
这对于人类的生活相当规律和适宜
但现在二氧化碳水平达到了百万分之四百左右的水平
而且在下个世纪可能达到五百至八百
我们就可能到了“临界点”了
那时，在全球平均温度范围内一个小的附加变化
可能与桌球实验中的变化有同样的影响
导致非常危险的气候变化
出现更多难以预测的极端的、激烈的天气事件
更重要的是，越发不适宜人类生活
数学家们仔细研究的这些假想模型
可能与我们的实际情况有所不同
但是它提供给我们一个思考的框架和方法
能被用于理解更多真实生活中更复杂的问题
在这种情况下
理解在系统中一个微小的条件变化的影响怎样导致一个更大的影响
给我们更多对目前凭我们的感官不能鉴别的
预测危险的能力
因为一旦我们看到这个结果，那时已经太迟了
對我們大多數人來說， 2°C的溫差是一個很小的變化
還不足以讓你開或關閉窗戶
但科學家警告 隨着大氣中二氧化碳濃度升高
即使地球僅升高一點點溫度
也可能導致全球災難性的影響
這樣一個可測因素的微小變化
是如何導致其他因素大規模 和不可預測的變化呢?
答案出現在數學裡 臨界點這個概念上
我們可以透過熟悉的 桌球中理解
桌球運動的基本運動規律是
球會沿著直線運動， 直到它碰壁
接着它以與入射角相同的角度彈開
爲了簡化，我們假設沒有摩擦
所以球運動的規則 就有很多不確定性
為了使情況更加簡單
我們來看看 一張圓桌上的球會怎樣運動
當球被擊中並開始按規律運動
會形成平滑的星型圖案
如果我們在不同的位置或者角度擊球
圖案的一些細節會有所變化
但整體的形狀保持一致
經過幾次測試和一些基本的 數學模型分析後
僅僅依靠簡單的擊球條件
我們就能在球運動前 便預知它的軌跡
但如果我們對桌子做一點微小的變動
會發生什麼事呢?
我們將桌子向左右拉長
會看到球由較平整的邊彈出
並開始在整張桌子上運動
球仍遵循桌球運動的規律
但最終的運動軌跡 不再是我們認識的圖形
在整個系統運行的過程中
我們只改變一點點的約束條件
我們就能改變桌球的運動
從可以預測的，穩定的運動
到混亂的、不受控制的運動模式
產生了數學家所說的混沌運動
在(圓形)桌子上放置兩條直邊作為臨界點
將這個系統的規律運動
變成混沌運動
而對於複雜的地球環境氣候問題
我們能在這簡單的例子 得到甚麼想法呢?
我們可以把桌子的形狀 類比成二氧化碳的濃度
或是地球的平均溫度
在這桌球運動或說是 氣候變化的模型中
這兩者都是影響 這個系統表現的條件
在過去的一萬年裡
為了確保整個系統保持穩定
二氧化碳在大氣中的含量維持在 百萬分之兩百七十左右
這對於人類的生活相當規律和適宜
但現在二氧化碳含量已達到了 百萬分之四百左右
下個世紀甚至可能達到五百至八百
我們可能就達到"臨界點"了
那時，在全球平均溫度範圍中一個 小小的額外變化
與改變桌子的形狀有同樣的影響
會導致危險的氣候變遷
出現更難預測、極端且劇烈的氣候問題
更重要的是，不再適合人類生活
數學家詳細地研究這些假設模型
可能與實際的情況有所不同
但它們可以提供我們 思考的框架和方式
這些模型可以幫助理解真實世界中 更複雜的問題
在這個例子中， 理解在系統中微小的變化
是如何導致一個龐大的問題
使我們具有更多無法憑感官
而預測危險的能力
因爲當我們看見結果時， 為時已晚