So, let's continue with this example.
We just found the T(2) was 11, or approximately 11
because we had to do some make-believe to get this,
but now let's see if we can figure out T(4).
I can figure out how fast the temperature is changing
at time 2, assuming that the temperature is 11.
What's the rate of change? Well I just ask the equation
- that's what the differential equation does - it's a rule that tells me how fast
the temperature is changing, if we know the temperature.
So let's do that.
So we use the equation - we ask the equation:
When the temperature is 11, what's the rate of change? what's the derivative?
So, when time is 2, we plug in 11, so capital T is 11, 20 -11 is 9,
times .2 is 1.8
So now we know that when the temperature is 11,
it is warming up at 1.8 degrees per minute.
So now suppose we want to know T(4), 4 minutes in,
again, we have the same problem
- this rate isn't constant - it's changing all the time,
as soon as a temperature changes we get a new rate,
but as before, we'll ignore the problem
and pretend that it's constant.
So, again the problem is: the rate is not constant
- our solution is to ignore the problem
- not always a good way to go about things
but for Euler's method, it turns out to work okay
- we'll ignore the problem - pretend it is constant
and then we can figure out the temperature at time 4, 4 minutes in,
in these 2 minutes, that we're pretending:
how much temperature increase do we have,
well at 1.8 degrees per minute for 2 minutes, that's 3.6,
3.6 +11, where we started, gives us 14.6
So now, I know the temperature at T equals 4 minutes.
We can keep doing this,
continue along with this process, and we'll get
a series of temperature values for a series of times.
So, we continue this process,
and we can put our results in a table.
So these first 3 entries we've already figured out
- the initial temperature is 5, then at time 2 it was 11,
at 4, it was 14.6, and at 6,
if when one follow this process along, one would get 16.76,
and we could keep on going.
So, let's make a graph - let's make a plot of these numbers
and see what it looks like, and compare it to the exact solution.
So, for this equation, it turns out one can use calculus to figure out
an exact solution for this differential equation,
and that shown as this solid line here.
Towards the end of this sub unit, I'll talk a little bit about
how one would get this solid line.
The Euler solution - that's what we're doing here
- are these squares - so we start at
the initial condition, and then here at 11,
a little bit less than 15, almost 17, and so on.
So we can see that the Euler solution
- the squares connected by the dotted line
is not that close to the exact solution.
It's not that bad, but it's not a perfect match
and we wouldn't expect a perfect match
because we had to do some pretending in order to get this.
So, as is often the case, ignoring the problem
- remember the problem was that:
the derivative - the rate of change wasn't constant.
Ignoring the problem actually wasn't a great solution
because we have these errors here.
For this example, I'd chose a step size of 2, a delta t of 2.
I said: let's figure out the temperature, capital T, every 2 minutes,
but it's this step size that got us into trouble
because I had to pretend that a constantly changing rate
was actually constant over this time of 2 minutes,
and that's clearly not true,
so, a way we could do better with this Euler method is to use a smaller delta t.
إذاً، دعونا نكمل مع هذا المثال.
لقد وجدنا للتوّ أنّ (2)T كانت 11، أو تقريباً 11
لأنّنا اضطررنا القبول بتجاهل التغير خلال فترة محددة لنحصل على هذا،
لكن الآن دعونا نرى إن كنّا نستطيع أن نكتشف (4)T.
أستطيع أن أكتشف مدى سرعة تغير درجة الحرارة
عند الزمن 2، على افتراض أنّ درجة الحرارة 11.
ما هو مقدار التغيير؟ حسناّ فقط أسأل المعادلة
- هذا ما تفعله المعادلة التفاضلية - إنّها قاعدة تخبرني مدى سرعة
تغير درجة الحرارة، إن كنّا نعرف درجة الحرارة.
إذاً دعونا نفعل هذا.
إذاً نستخدم المعادلة - نسأل المعادلة:
عندما تكون درجة الحرارة 11، ما هو مقدار التغيير؟ ما هو المشتق
إذاً، عندما يكون الزمن 2، نُدخل 11، إذاً T الكبيرة هي 11، 20-11 يساوي 9،
9 ضرب 0.2 يساوي 1.8
إذاً الآن نعرف أنّه عندما تكون درجة الحرارة 11،
إنّها تسخن عند 1.8 درجة بالدقيقة.
إذاً الآن افترض أننا نريد أن نعرف (4)T، أي بعد 4 دقائق
مجدداً، لدينا نفس المشكلة
- هذا المعدل ليس ثابتاً - إنّه يتغير طوال الوقت،
في أقرب وقت تتغير به درجة الحرارة نحصل على معدل جديد،
لكن كما قبل، سنتجاهل المشكلة
ونتظاهر أنّه ثابت.
إذاً، مجدداً المشكلة هي : المعدل ليس ثابتاً
حلّنا أن نتجاهل المشكلة
ليست طريقة جيدة دائماً لنحاولها مع الأشياء
لكن لطريقة أويلر، تبيّن أنّها تعمل بشكلٍ حَسن
-سنتجاهل المشكلة - نتظاهر أنّه ثابت
ومن ثمّ نستطيع أن نكتشف درجة الحرارة عند الزمن 4، أي بعد 4 دقائق،
في هاتين الدقيقتين، التي تظاهرنا فيها:
كم تتزايد درجة الحرارة لدينا،
حسناً عند 1.8 درجة بالدقيقة لدقيقتين، هذا 3.6
3.6 + 11، حيث بدأنا، تعطينا 14.6
إذاً الآن أعرف أنّ درجة الحرارة عند T تساوي 4 دقائق.
نستطيع مواصلة فعل هذا،
نواصل بهذه العملية، وسنحصل على
سلسلة من قيم درجات الحرارة لسلسلة من الأزمنة.
إذاً، نستمر بهذه العملية،
ونستطيع أن نضع نتائجنا في جدول.
إذاً هذه المداخل الثلاثة التي اكتشفاها للتو
درجة الحرارة الأولية هي 5، ثم عند الزمن 2 كانت 11،
عند 4، كانت 14.6، وعند 6،
إن تابع أحدٌ ما هذه العملية، سيحصل على 16.76،
ونستطيع أن نستمر بهذا.
إذاً، دعونا نصنع رسم بياني - دعونا نصنع رسم بياني لهذه الأرقام
ونرى كيف تبدو، ونقارنها مع الحل الدقيق.
إذاً، لهذه المعادلة، تبيّن أنّه يمكن أن نستخدم حسابات التفاضل والتكامل لنكتشف
حل دقيق لهذه المعادلة التفاضلية،
وهذا موضح بهذا الخط السميك هنا.
في نهاية هذه الوحدة الفرعية، سأتحدث قليلاً عن
كيف يمكن لأحدٍ ما أن يحصل على الخط السميك هذا.
حل أويلر - هذا ما نفعله هنا
- هذه المربعات- إذاً نبدأ عند
الشرط الإبتدائي، وثم هنا عند 11،
أقل بقليل من 15، 17 تقريباً، وهكذا.
إذاً نستطيع أن نرى أنّ حل أويلر
المربعات متصلة من خلال الخط المنقط
إنّه ليس بهذا القرب للحل الدقيق.
إنّها ليست بهذا السوء، لكنّها ليس متطابقة بشكل مثالي
لم نتوقع تطابق بشكل مثالي
لأنّنا اضطررنا التظاهر ببعض الشيء لكي نحصل على هذا.
إذاً كما هو الحال أحياناً المسألة، تجاهل المشكلة ...
- تذكر المشكلة كانت أنّ:
المشتق - مقدار التغيير غير ثابت.
تجاهل المشكلة في الواقع لم يكن حلاً عظيماً
لأنّنا لدينا هذه الأخطاء هنا.
لهذا المثال، سأختار مقدار الخطوة 2، دلتا t تساوي 2.
أقول: دعونا نكتشف درجة الحرارة، T الكبيرة، كل دقيقتين،
لكن هذا المقدار هو ما أدخلنا بمشكلة
لأنني اضطررت لأتظاهر أنّ المعدل المتغير باستمرار
كان ثابتاً طوال هذا الزمن المحدد بدقيقتين،
ومن الواضح أنّ هذا ليس صحيحاً
إذاً، استخدام دلتا t أصغر هو طريقة أفضل لنقوم بطريقة أويلر هذه.
Нека продължим с този пример.
Разбрахме, че T(2) е 11, или приблизително 11
защото трябваше да си измислим някои неща,
но да видим дали ще намерим T(4)
Мога да се досетя колко бързо се променя температурата
във време 2, предполагайки че температурата е 11
Каква е скоростта на промяна? Нека попитаме уравнението
това прави диференциалното уравнение - правило, което ми казва колко бързо
се променя температурата, ако знаем температурата
Нека го направим
Използваме уравнението: задаваме въпроса
Когато температурата е 11, каква е скоростта на промяна? Каква е производната?
когато времето е 2, слагаме 11, значи T е 11, 20-11 е 9
умножено по 0.2 е 1.8
Вече знаем, че когато температурата е 11
се затопля с 1.8 градуса в минута
Ако искаме да узнаем T(4), след 4 минути
имаме същия проблем
това не е постоянна скорост - променя се през цялото време
щом се промени температурата, получаваме нова скорост
но нека както преди игнорираме проблема
и да предположим, че е постоянна
Отново проблемът е: скоростта не е постоянна
решението е да игнорираме проблема
не е винаги добра идея
но за метода на Ойлер, работи ОК
ще игнорираме проблема - представяме си че е постоянна
и можем да намерим температурата във време 4, след 4 минути
в тези 2 минути, които си представяме,
колко увеличение в температурата имаме
при 1.8 градуса в минута за 2 минути, това е 3.6
3.6+11, където започнахме, ни дава 14.6
Така вече знам температурата при Т=4 минути
Можем да продължим да го правим
продължаваме с този процес и получаваме
серия от температури за серия от времена
Продължаваме процеса
и можем да сложим резултата в таблица
Първите 3 стойности вече ги намерихме
началната температура е 5, във време 2 е 11
при 4 беше 14.6 а при 6
ако следваме процеса, ще получим 16.76
и можем да продължим
Нека направим графика - използвайки тези стойности
и да видим как изглежда, и да сравним с точното решение
За това уравнение може да се използва диференциално смятане
за точното решение на това диференциално уравнение
и това е тази непрекъсната линия тук
Към края на този под-модул, ще говоря за
това как се получава тази линия
Решението на Ойлер - това правим тук
това са тези квадрати - започваме в
начално положение, после сме тук на 11
малко под 15, почти 17, и т.н.
Виждаме решението на Ойлер -
свързаните квадрати с прекъсната линия
не е толкова близо до точното решение
не е зле, но не съвпада перфектно
не можем и да очакваме перфектно съвпадение
защото трябваше да предположим някои неща за да стигнем до тук.
Както е в случая, игнорирайки проблема,
проблемът беше този:
производната - скоростта на промяна не беше постоянна
Игнорирайки проблема всъщност не беше много добро решение
заради тези грешки тук
Например, ако избера стъпка 2, делта t = 2
Казвам: нека намерим температурата, главно T, на всеки 2 минути
но този размер на стъпката ни създаде проблеми
защото трябваше да предположим, че постоянно променяща се скорост
е всъщност константа за това време от 2 минути
и това яно не е вярно
по-добре ще се справим с метода на Ойлер, ако използваме по-малка делта t.
Οκ, ας συνεχίσουμε με αυτό το παράδειγμα.
Μόλις βρήκαμε οτι το T(2) ήταν 11, ή σχεδόν 11
επειδή έπρεπε να προσποιηθούμε λίγο για να το βρούμε
αλλά, τώρα, ας δούμε αν μπορούμε να βρούμε το T(4).
Μπορώ να βρω πόσο γρήγορα αλλάζει η θερμοκρασία
στο χρόνο 2, υποθέτωντας οτι η θερμοκρασία είναι 11.
Ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής; Λοιπόν, απλά θα ρωτήσω την εξίσωση
- αυτό είναι που η διαφορική εξίσωση κάνει: είναι ένας κανόνας που μου λέει
πόσο γρήγορα αλλάζει η θερμοκρασία, αν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία.
Ας το κάνουμε αυτό.
Θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση - θα ρωτήσουμε την εξίσωση:
Όταν η θερμοκρασία είναι 11,
ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής; Ποιά είναι η παράγωγος;
Οπότε, όταν ο χρόνος είναι 2, βάζουμε 11, έτσι, το κεφαλαίο Τ είναι 11,
20 μείον 21 είναι 9 επί 0.2 είναι 1.8
Έτσι, τώρα ξέρουμε οτι, όταν η θερμοκρασία είναι 11,
θερμαίνεται στους 1.8 βαθμούς ανα λεπτό.
Οπότε τώρα, ας υποθέσουμε οτι θέλουμε να μάθουμε το T(4), στο 4ο λεπτό
και πάλι, έχουμε το ίδιο πρόβλημα:
ο ρυθμός δεν είναι σταθερός, αλλάζει συνέχεια.
Με το που αλλάζει η θερμοκρασία, έχουμε έναν νέο ρυθμό
αλλά, όπως και πρίν, θα αγνοήσουμε το πρόβλημα
και θα προσποιηθούμε οτι είναι σταθερός.
Και πάλι, το πρόβλημα είναι: ο ρυθμός δεν είναι σταθερός.
Η λύση μας να αγνοήσουμε το πρόβλημα
- οχι πάντα ένας καλός τρόπος δράσης
αλλά για την μέθοδο του Euler δουλεύει μια χαρά τελικά -
θα αγνοήσουμε το πρόβλημα, θα προσποιηθούμε οτι είναι σταθερός
και τότε μπορούμε να βρούμε τη θερμοκρασία στο χρόνο 4, στο 4ο λεπτό
Σε αυτά τα 2 λεπτά που προσποιούμαστε
πόση αύξηση θερμοκρασίας έχουμε;
Λοιπόν, στους 1.8 βαθμούς ανα λεπτό για 2 λεπτά, αυτό είναι 3.6
3.6 + 11 - εκεί που ξεκινήσαμε - μας δίνει 14.6.
Οπότε τώρα, γνωρίζω τη θερμοκρασία στο Τ ισον 4 λεπτά.
Μπορούμε να συνεχίσουμε να το κάνουμε αυτό
να συνεχίσουμε με αυτή τη διαδικασία και θα πάρουμε
μια σειρά τιμών θερμοκρασίας για μια σειρά χρόνων.
Έτσι, συνεχίζουμε τη διαδικασία
και μπορούμε να βάλουμε τα αποτελέσματα μας σε έναν πίνακα.
Αυτές τις 3 πρώτες καταχωρήσεις τις έχουμε ήδη βρει:
η αρχική θερμοκρασία είναι 5, μετά, στον χρόνο 2 ήταν 11
στον 4 ήταν 14.6 και στο 6,
αν κανείς ακολουθήσει τη διαδικασία θα πάρει 16.76
και θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε έτσι.
Οπότε, ας φτιάξουμε ένα γράφημα,
ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα αυτών των αριθμών
να δούμε πώς μοιάζει και να το συγκρίνουμε με την ακριβής λύση.
Για αυτή την εξίσωση, κανείς μπορεί τελικά να χρησιμοποιήσει λογισμό για να βρει
μια ακριβής λύση για αυτή τη διαφορική εξίσωση
και αυτη φαίνεται εδώ ως αυτή η γραμμή
Προς το τέλος αυτής της υποενότητας, θα μιλήσω λίγο για
το πώς θα μπορούσε κανείς να πάρει αυτή τη γραμμή.
Η λύση του Euler - αυτό που κάνουμε εδώ -
είναι αυτά τα τετράγωνα. Οπότε, ξεκινάμε στην
αρχική συνθήκη και, μετά, εδώ στο 11,
λίγο λιγότερο απο 15, σχεδόν 17 και ούτω καθεξής.
Οπότε, μπορούμε να δούμε οτι η λύση του Euler
- τα τετράγωνα συνδεδεμένα από τη διακεκομμένη γραμμή -
δεν είναι τόσο κοντά στην ακριβής λύση.
Δεν είναι πολύ άσχημα, αλλά δεν ταυτίζονται εντελώς
και δεν θα αναμέναμε απόλυτη ταύτιση
επειδή έπρεπε να προσποιηθούμε λίγο για να πάρουμε αυτό το αποτέλεσμα.
Έτσι, συχνά είναι αλήθεια οτι, αγνοώντας το πρόβλημα
- θυμηθείτε, το πρόβλημα ήταν ότι
η παράγωγος, ο ρυθμός μεταβολής, δεν ήταν σταθερός.
Το να αγνοήσουμε το πρόβλημα δεν ήταν, στην πραγματικότητα, μια τέλεια λύση
επειδή έχουμε αυτά τα σφάλματα εδώ.
Για αυτό το παράδειγμα, θα επέλεγα ένα βήμα μεγέθους 2, ένα dt 2.
Είπα: ας βρούμε τη θερμοκρασία, κεφαλαίο Τ, κάθε 2 λεπτά
αλλά ήταν το βήμα αυτού του μεγέθους που μας έμπλεξε
επειδή έπρεπε να προσποιηθώ οτι ένας διαρκώς μεταβαλόμενος ρυθμός
ήταν στην πραγματικότητα σταθερός σε αυτή τη χρονική περίοδο των 2 λεπτών.
Και αυτό είναι ξεκάθαρα μη αληθές.
Οπότε, ένας τρόπος που θα μπορούσαμε να τα πάμε καλύτερα με τη μέθοδο του Euler
είναι να διαλέξουμε ένα μικρότερο dt.
Vamos a continuar con este ejemplo.
Hemos encontrado que T(2) es 11, o aproximadamente 11
porqué tuvimos que hacer cierta inventiva para obtener esto,
pero ahora veamos si podemos resolver T(4).
Podemos encontrar cómo de rápido la temperatura está cambiando
en el instante de tiempo 2, suponiendo que la temperatura es 11.
¿Cuál es la tasa de cambio? Bien simplemente preguntando a la ecuación
- eso es lo que la ecuación difirencial hace - es una regla que dice lo rápido
que la temperatura cambia, si conocemos la temperatura.
Así que hagámoslo.
Empleemos la ecuación - preguntamos a la ecuación:
cuando la temperatura es 11, ¿cuál es la tasa de cambio?, ¿cuál es la derivada?
Así, cuando el tiempo es 2, ponemos 11, así que T mayúscula es 11, 20-11 es 9,
9 veces 0.2 es 1.8
Ahora sabemos que cuando la temperatura es 11,
se está calentando a 1.8 grados por minuto.
Supongamos ahora que queremos conocer T(4), 4 minutos
Otra vez tenemos el mismo problema
- la tasa de cambio no es constante - está cambiando todo el tiempo,
tan pronto como la temperatura cambia tenemos una nueva tasa de cambio,
pero igual que antes, ingoraremos el problema
y supondremos que es constante.
Así pues, el problema es: la tasa de cambio no es constante
- nuestra solución es ignorar el problema
- esto no es siempre una buena manera de proceder
pero para el método de Euler, resulta que funciona correctamente
- ignoraremos el problema - supondremos que es constante
y podemos resolver que la temperatura en el instante de tiempo 4,4 minutos,
en estos 2 minutos, que estamos suponiendo:
cuanto incremento de temperatura tenemos,
bien a 1.8 grados por minuto para 2 minutos, esto es 3,6,
3,6+11, donde empezamos, nos das 14,6
Así que, ahora, sabemos que la temperatura en el instante de tiempo de 4 minutos
Podemos seguir haciendo esto,
continuar con este proceso, y obtendremos
una serie de valores de temperatura para una serie de tiempos.
Así que continuamos con este proceso,
y podemos poner nuestros resultados en una tabla.
Así que estas 3 primeras entradas que ya hemos resuleto
- la temperatura inicial es 5, entonces en el instante de tiempo 2 era 11,
en 4 era 14,6, y en 6,
siguiendo con el mismo procedimiento, obtendriamos 16.75,
y podriamos continuar.
Así que hagámos un gráfico - dibujemos estos números
veamos que se obtiene, y comparémoslo con la solución exacta.
Para esta ecuación, es posible emplear el cálculo para obtener
una solución exacta de esta ecuación diferencial,
y esto se muestra como esta línea solida.
Hacia el final de esta unidad, comentaré un poco sobre
como uno puede obtener esta línea sólida.
La solución de Euler - esto es lo que estamos haciendo aquí
- son estos cuadrados - así que empezamos en
la condición inicial, y entonces aquí en 11,
un poco menos de 15, casi 17, y así sucesivamente.
Podemos ver que la solución de Euler
- los cuadrados conectados mediante la línea punteada
no es muy próxima a la solución exacta.
No está mal, pero no es un ajuste perfecto
y no esperariamos un ajuste perfecto
porqué tenemos que hacer algunas suposiciones para obtener esto.
Así, como es habitual , ignorar el problema
- recuerda que el problea era que:
la derivada - la tasa de cambio de la temperatura no era constante.
Ignorar el problema no fué realmente una gran solución
pues tenemos estos errores aquí.
Para este ejemplo, elegí un tamaño de paso de 2, una delta de 2.
Yo dije: estimemos la temperatura, T mayúscula, cada 2 minutos,
pero es este tamaño de paso el que nos produjo el problema
porque tuvimos que fingir que una tasa de variación cambiante
era constante durante el intervalo de tiempo de 2 minutos,
y eso es claramente falso,
así, una manera de mejorar el método de Euler es emplear un delta t más pequeño.
Sigamos con este ejemplo.
Acabamos de encontrar que T(2) era 11, o aproximadamente 11
porque tuvimos que hacer una suposición para obtenerlo,
pero ahora veamos si podemos encontrar T(4).
Puedo saber qué tan rápido está cambiando la temperatura
al tiempo 2, asumiendo que la temperatura es 11.
¿Cuál es la tasa de cambio? Se lo pregunto a la ecuación.
Eso es lo que hace la ecuación diferencial, es una regla que dice qué tan rápido
cambia la temperatura, si conocemos la temperatura.
Hagámoslo.
Usamos la ecuación, preguntamos a la ecuación:
Cuando la temperatura es 11, ¿cuál es la tasa de cambio? ¿Cuál es la derivada?
Cuando el tiempo es 2, evaluamos en 11, así que T es 11, 20 - 11 es 9,
multiplicado por .2 es 1.8.
Ahora sabemos que cuando la temperatura es 11,
se está calentando 1.8 grados por minuto.
Ahora supongamos que queremos saber T(4), 4 minutos ahí dentro,
de nuevo, tenemos el mismo problema,
esta tasa no es constante, está cambiando todo el tiempo,
en cuanto cambia la temperatura tenemos una nueva tasa,
pero así como antes, vamos a ignorar el problema
y pretendemos que es constante.
De nuevo, el problema es: la tasa de cambio no es constante.
Nuestra solución es ignorar el problema,
no siempre es una buena forma de hacer las cosas,
pero para el método de Euler, resulta que funciona bien.
Bueno, ignoramos el problema, pretendemos que es constante
y luego podemos saber la temperatura al tiempo 4, 4 ahí dentro,
en esos 2 minutos, que estamos pretendiendo:
¿cuánto incremento de temperatura tenemos?,
bueno, 1.8 grados por minuto por 2 minutos, eso es 3.6,
3.6 + 11, donde empezamos, nos da 14.6.
Ahora, conozco la temperatura a T igual a 4 minutos.
Podemos seguir haciendo esto,
continuamos este proceso, y tenemos
una serie de valores de temperatura para una serie de tiempo.
Seguimos este proceso,
y podemos tabular los resultados.
Estas 3 primeras entradas ya las encontramos,
la temperatura inicial es 5, luego al tiempo 2 fue 11,
a 4, fue 14.6 y a 6,
si seguimos este proceso, uno tendría 16.76
y podríamos continuar.
Hagamos una gráfica, vamos a graficar estos números,
ver como lucen y compararlos con la solución exacta.
Para esta ecuación, resulta que uno puede usar cálculo para encontrar
una solución exacta para esta ecuación diferencial,
y esa es esta línea continua aquí.
Hacia el final de esta subunidad, hablaré un poco al respecto,
cómo se puede obtener esta linea continua.
La solución de Euler, eso es lo que estamos haciendo,
son estos cuadros; empezamos en
la condición inicial, y luego en 11,
un poco menos que 15, casi 17, y así sucesivamente.
Podemos ver que las solución de Euler,
estos cuadros unidos por esta linea punteada,
no está tan cerca de la solución exacta.
No está mal, pero no se ajusta perfectamente
y no podríamos esperarlo
porque tuvimos que hacer algunas suposiciones para obtener esto.
Como sucede a menudo, ignorar el problema,
recuerda que el problema fue:
la derivada, la tasa de cambio no era constante.
Ignorar el problema no fue de hecho una buena solución
porque tenemos esos errores.
Para este ejemplo use un tamaño de paso de 2, un delta t de 2.
Dije: vamos a encontrar la temperatura T, cada 2 minutos,
pero es este tamaño de paso lo que nos mete en problemas
porque tuve que pretender que la tasa de cambio
era constante durante ese periodo de 2 minutos,
y eso es claramente falso,
una forma de hacerlo mejor con este método de Euler es usar un delta t más pequeño.
让我们继续这个例子
我们得到T(2)=11 或者大约11
我们需要做点假设
但是现在我们看看能否得到T(4)
找到温度变化的速率
在时间2的时候 假设是11
变化速率是多少呢
微分方程告诉我们变化的速率
如果我们知道温度 温度在改变
让我们试试看
我们使用方程
当温度是11的时候 速率是多少 导数是多少
在时刻2的时候 输入11 温度是 11 20-11 是9
乘以0.2 是1.8
当温度是11的时候
温度增加1.8度每分钟
我们要求T(4)
我们有同样的问题
速率不是常数
温度一改变 速率就变化
我们还是忽视这个问题
假设是常数
假设速率是常数
我们忽视这个问题
绕过这个问题并不总是好的
但是用欧拉方法却很有效
我们忽略这个问题 假设是常数
我们可以得到4时刻的温度
在2分钟以内 我们假设
温度增加多少
以1.8度每分钟的速度 是3.6
加起来 得到14.6
我们知道4分钟的温度
我们继续做下去
继续这个过程
可以得到一系列温度
我们继续这个过程
得到一个表格
前三个数我们已经知道了
初始温度5， 2分钟温度11
4分钟温度14.6 5分钟
温度16.76
可以继续算下去
我们画一个图来表示
看上去像这样
我们可以用计算来找到
一个精确的解
就是这条直线
这一单元的最后 我将
解释如何得到这条线
我们这里的欧拉解
是这些方块
从初始条件出发 这里11
小于15 几乎17 等等
我们可以看出欧拉解
用点线把方块连起来
不是很接近精确解
但也不是太差
我们并不需要精确解
因为我们做了些假设
我们经常忽略这些问题
记住 我们的问题是
导数表示改变速率 不是常数
忽略这个问题 不是个大问题
因为我们有些误差
这个例子里 我选择步长2
我说 每2分钟算一次
但是这个步长让我们碰到问题
因为我们不得不假设速率不变
速率在2分钟内不变
这并不是事实
一个更好的方法是用个小点的步长