In 2009, two researchers ran a simple experiment.
They took everything we know about our solar system
and calculated where every planet would be up to 5 billion years in the future.
To do so they ran over 2,000 numerical simulations
with the same exact initial conditions except for one difference:
the distance between Mercury and the Sun, modified by less than a millimeter
from one simulation to the next.
Shockingly, in about 1 percent of their simulations,
Mercury’s orbit changed so drastically that it could plunge into the Sun
or collide with Venus.
Worse yet,
in one simulation it destabilized the entire inner solar system.
This was no error; the astonishing variety in results
reveals the truth that our solar system may be much less stable than it seems.
Astrophysicists refer to this astonishing property of gravitational systems
as the n-body problem.
While we have equations that can completely predict
the motions of two gravitating masses,
our analytical tools fall short when faced with more populated systems.
It’s actually impossible to write down all the terms of a general formula
that can exactly describe the motion of three or more gravitating objects.
Why? The issue lies in how many unknown variables an n-body system contains.
Thanks to Isaac Newton, we can write a set of equations
to describe the gravitational force acting between bodies.
However, when trying to find a general solution for the unknown variables
in these equations,
we’re faced with a mathematical constraint:
for each unknown, there must be at least one equation
that independently describes it.
Initially, a two-body system appears to have more unknown variables
for position and velocity than equations of motion.
However, there’s a trick:
consider the relative position and velocity of the two bodies
with respect to the center of gravity of the system.
This reduces the number of unknowns and leaves us with a solvable system.
With three or more orbiting objects in the picture, everything gets messier.
Even with the same mathematical trick of considering relative motions,
we’re left with more unknowns than equations describing them.
There are simply too many variables for this system of equations
to be untangled into a general solution.
But what does it actually look like for objects in our universe
to move according to analytically unsolvable equations of motion?
A system of three stars— like Alpha Centauri—
could come crashing into one another or, more likely,
some might get flung out of orbit after a long time of apparent stability.
Other than a few highly improbable stable configurations,
almost every possible case is unpredictable on long timescales.
Each has an astronomically large range of potential outcomes,
dependent on the tiniest of differences in position and velocity.
This behaviour is known as chaotic by physicists,
and is an important characteristic of n-body systems.
Such a system is still deterministic— meaning there’s nothing random about it.
If multiple systems start from the exact same conditions,
they’ll always reach the same result.
But give one a little shove at the start, and all bets are off.
That’s clearly relevant for human space missions,
when complicated orbits need to be calculated with great precision.
Thankfully, continuous advancements in computer simulations
offer a number of ways to avoid catastrophe.
By approximating the solutions with increasingly powerful processors,
we can more confidently predict the motion of n-body systems on long time-scales.
And if one body in a group of three is so light
it exerts no significant force on the other two,
the system behaves, with very good approximation, as a two-body system.
This approach is known as the “restricted three-body problem.”
It proves extremely useful in describing, for example,
an asteroid in the Earth-Sun gravitational field,
or a small planet in the field of a black hole and a star.
As for our solar system, you’ll be happy to hear
that we can have reasonable confidence in its stability
for at least the next several hundred million years.
Though if another star,
launched from across the galaxy, is on its way to us,
all bets are off.
في عام 2009، أجرى باحثان تجربة بسيطة.
باستعمال كل ما نعرفه عن نظامنا الشمسي
حسبا الموقع الذي سيتواجد فيه كل كوكب لـ 5 مليارات سنة في المستقبل.
للقيام بذلك أجريا أكثر من 2000 محاكاة عددية
بنفس الشروط الأولية بالضبط باستثناء اختلاف واحد:
تعديل المسافة بين عطارد والشمس بأقل من ملليمتر واحد
بين محاكاة وأخرى.
الأمر الصادم أن في حوالي 1 بالمائة من عمليات المحاكاة التي أجريا،
تغير مدار عطارد بشكل كبير لدرجة أنه يمكن أن يهوي نحو الشمس
أو يصطدم بكوكب الزهرة.
الأسوأ من ذلك
أن استقرار النظام الشمسي الداخلي تزعزع بأكمله في إحدى عمليات المحاكاة.
لم يكن هذا خطأ، فالتنوع المذهل في النتائج
يكشف حقيقة أن نظامنا الشمسي قد يكون أقل استقرارًا مما يبدو عليه.
يشير علماء الفيزياء الفلكية إلى هذه الخاصية المذهلة لأنظمة الجاذبية
باسم مشكلة الأجسام ن.
رغم توفرنا على معادلات يمكنها التنبؤ بحركة كتلتين جاذبيتين على نحو مثالي،
إلا أن أدواتنا التحليلية تفشل عند التعامل مع أنظمة أكثر اكتظاظًا.
في الحقيقة تستحيل كتابة جميع شروط الصيغة العامة
التي من شأنها وصف حركة ثلاثة أجسام جاذبة أو أكثر بدقة.
لماذا؟ تكمن المشكلة في عدد المتغيرات غير المعروفة التي يحتويها نظام الأجسام ن.
بفضل إسحاق نيوتن، يمكننا كتابة مجموعة من المعادلات
لوصف قوة الجاذبية المؤثرة بين الأجسام.
إلا أنه عند محاولة إيجاد حل عام للمتغيرات غير المعروفة
في هذه المعادلات،
سنواجه قيدًا رياضيًا:
فلكل عنصر مجهول يجب أن توجد معادلة واحدة على الأقل
تصفه بشكل مستقل.
يبدو في البداية أن النظام ثنائي الجسم يحتوي على متغيرات غير معروفة
للموضع والسرعة أكثر مما يحتوي على معادلات حركة.
ومع ذلك هناك حل:
ضع في اعتبارك الموضع النسبي للجسمين وسرعتهما
فيما يتعلق بمركز ثقل النظام.
هذا يقلل من عدد العناصر المجهولة ويعطينا نظامًا قابلًا للحل.
مع وجود ثلاثة أجسام مدارية أو أكثر يصبح كل شيء أكثر فوضوية.
حتى مع نفس الحيلة الرياضية التي تضع الحركات النسبية في عين الاعتبار،
سيبقى عدد العناصر المجهولة أكبر من المعادلات التي تصفها.
هناك ببساطة الكثير من المتغيرات في نظام المعادلات هذا
التي يجب فرزها ووضعها في حل شامل.
ولكن كيف يبدو عليه الأمر بالنسبة للأجرام في كوننا
أن تسير وفقًا لمعادلات حركة غير قابلة للحل تحليليًا؟
نظام من ثلاثة نجوم، مثل نظام رجل القنطور.
يمكن أن تصطدم أجرامه ببعضها البعض
أو على الأرجح قد يُقذف بعضها من المدار بعد مدة طويلة من الاستقرار الظاهري.
بخلاف عدد قليل من التكوينات المستقرة غير المحتملة للغاية،
تقريبًا كل حالة ممكنة لا يمكن التنبؤ بها على نطاقات زمنية طويلة.
لكل منها عدد ضخم من النتائج المحتملة،
تعتمد على أصغر الاختلافات في الموضع والسرعة.
يُعرف هذا السلوك بالفوضى من قبل علماء الفيزياء،
وهي خاصية مهمة لأنظمة الأجسام ن.
مثل هذا النظام لا يزال حتميًا، مما يعني أنه لا يوجد شيء عشوائي فيه.
إذا انطلقت أنظمة متعددة من نفس الشروط بالضبط،
ستصل دائمًا إلى نفس النتيجة.
لكن عند وضع تعديل طفيف في البداية، فسيصعب التكهن بالنتيجة.
يبدو جليًا أن هذا ضروري لبعثات الفضاء البشرية،
عندما تكون هناك حاجة لحساب المدارات المعقدة بدقة متناهية.
لحسن الحظ، تُقدم التطورات المستمرة في المحاكاة الحاسوبية
عددًا من الطرق لتجنب وقوع كارثة.
من خلال مقاربة الحلول باستخدام معالجات متزايدة القوة،
يمكننا أن نتنبأ بثقة أكبر بحركة أنظمة الأجسام ن في نطاقات زمنية طويلة.
وإذا كان جسم واحد في مجموعة من ثلاثة أجرام بالغ الخفة
بحيث لا يطبق أي قوة كبيرة على الجسمين الآخرين،
فإن النظام يتصرف كنظام ثنائي الجٍرم بصورة تقريبية للغاية.
يُعرف هذا النهج باسم "مسألة الأجسام الثلاثة المقيدة".
فمثلًا لقد أثبت نفعيته
في وصف حركة كويكب في مجال جاذبية الأرض والشمس،
أو كوكبًا صغيرًا في حقل جاذبية ثقب أسود ونجم.
أما بالنسبة إلى نظامنا الشمسي،
فستسعد لمعرفة أننا على ثقة كافية في بقائه مستقرًا
لمئات ملايين السنين القادمة على الأقل.
ولكن إذا أتى نجم آخر مسرعًا في اتجاهنا من أي مكان في المجرة
فالنتيجة لن يُمكن توقعها.
En 2009 dos investigadores realizaron un experimento sencillo.
Tomaron todo lo que sabemos sobre nuestro sistema solar
y calcularon dónde estaría cada planeta hasta 5 mil millones de años en el futuro.
Para ello realizaron más de 2000 simulaciones numéricas
con las mismas condiciones iniciales exactas salvo por una diferencia:
la distancia entre Mercurio y el Sol fue modificada por menos de un mm
de una simulación a otra.
Sorprendentemente, en aproximadamente el 1 % de sus simulaciones,
la órbita de Mercurio cambió de forma tan drástica que podría sumergirse en el Sol
o chocar con Venus.
Peor aún,
en una simulación se desestabilizó todo el sistema solar interior.
Esto no fue un error; la asombrosa variedad de resultados
revela que nuestro sistema solar puede ser menos estable de lo que parece.
Los astrofísicos se refieren a esta propiedad de los sistemas gravitacionales
como el problema de los n-cuerpos.
Aunque tenemos ecuaciones que pueden predecir completamente
los movimientos de dos masas gravitantes,
nuestras herramientas analíticas se quedan cortas ante sistemas más poblados.
En realidad, es imposible escribir todos los términos de una fórmula general
que pueda describir el movimiento de tres o más objetos gravitando.
¿Por qué? El problema son las variables desconocidas de un sistema de n-cuerpos.
Gracias a Isaac Newton, podemos escribir un conjunto de ecuaciones
para describir la fuerza gravitacional que actúa entre los cuerpos.
Pero al tratar de hallar una solución general para las variables desconocidas
en estas ecuaciones,
nos enfrentamos a una restricción matemática:
para cada variable desconocida, debe haber por lo menos una ecuación
que la describa de forma independiente.
Al principio, un sistema de dos cuerpos parece tener más variables desconocidas
para la posición y la velocidad que las ecuaciones de movimiento.
Sin embargo, hay un truco:
considerar la posición relativa y la velocidad de los dos cuerpos
con respeto al centro de gravedad del sistema.
Esto reduce el número de incógnitas y nos deja con un sistema solucionable.
Con tres o más objetos en órbita en la imagen, todo se vuelve más desordenado.
Incluso con el mismo truco matemático de considerar movimientos relativos,
nos quedan más incógnitas que ecuaciones que las describen.
Simplemente hay demasiadas variables para que este sistema de ecuaciones
se desenrede en una solución general.
Pero ¿cómo se mueven realmente los objetos en nuestro universo
según ecuaciones de movimiento analíticamente imposibles de resolver?
Un sistema de tres estrellas, como Alfa Centauri,
podría chocar con otro sistema, o más probablemente,
alguno podría salirse de la órbita, tras un largo periodo de estabilidad.
Además de unas pocas configuraciones estables bastante improbables,
casi todos los casos posibles son impredecibles en escalas de tiempo largas.
Cada caso cuenta con un rango astronómico amplio de resultados potenciales,
que depende de la más mínima diferencia en la posición y en la velocidad.
Esto es conocido entre los físicos como "comportamiento caótico",
y es un rasgo importante de los sistemas de n-cuerpos.
Un sistema así aún es determinista; lo que significa que no es nada aleatorio.
Si varios sistemas con las mismas condiciones se ponen en marcha,
estos siempre obtendrán el mismo resultado.
Pero si le das un empujoncito a uno de ellos al inicio,
las probabilidades desaparecerán.
Eso es totalmente apropiado para las misiones espaciales tripuladas,
cuando las órbitas complejas deben ser calculadas con mucha precisión.
Por suerte, los continuos avances en simulaciones por ordenador
brindan varias formas de evitar una catástrofe.
Aproximando las soluciones con procesadores cada vez más potentes,
podemos predecir con más seguridad el movimiento de los sistemas de n-cuerpos
en escalas de tiempo largas.
Y si en un grupo de tres cuerpos, uno de ellos es tan ligero
que no ejerce una fuerza significativa sobre los otros dos,
el sistema actúa, de forma muy cercana, como un sistema de dos cuerpos.
Este enfoque se conoce como "el problema restringido de los tres cuerpos".
Resulta muy útil al describir, por ejemplo,
un asteroide en el campo gravitatorio de la Tierra y el Sol,
o un planeta pequeño en el campo de un agujero negro y una estrella.
Respecto a nuestro sistema solar, te alegrará saber
que podemos confiar razonablemente en su estabilidad
durante al menos varios de los siguientes cientos de millones de años.
Aunque si otra estrella,
lanzada desde el otro lado de la galaxia, se aproxima hacia nosotros,
todas las probabilidades desaparecerán.
در سال ۲۰۰۹، دو محقق آزمایشی ساده را اجرا کردند.
تمام اطلاعاتی را که درباره منظومه شمسی می‌دانیم جمع‌آوری کرده
و محاسبه کردند که هرکدام از این سیارات در ۵ میلیارد سال آینده در کجا قرار دارند.
برای این کارآن‌ها بیش از ۲,۰۰۰ شبیه‌سازی اجرا کردند
با ورودی‌های کاملا یکسان به جز یک تفاوت:
در هر شبیه سازی آن‌ها فاصله عطارد و خورشید را
به اندازه کمتر از یک میلی‌متر تغییر می‌دادند.
به شکل حیرت‌انگیزی، در حدود ۱ درصد شبیه‌سازی آن‌ها،
مدار عطارد به طرز چشم‌گیری تغییر کرده به صورتی که می‌تواند در خورشید فرو رود
یا با زهره برخورد کند.
بدتر از همه،
در یکی از شبیه‌سازی‌ها، این موضوع کل منظومه شمسی داخلی را بی‌ثبات می‌کرد.
این یک اشتباه نبود؛ تنوع حیرت‌انگیز نتایج
نشان‌دهنده این حقیقت است که منظومه شمسی ما ممکن است از آنچه می‌دانیم ناپایدارتر باشد.
اخترشناسان به این خاصیت حیرت‌انگیز سیستم‌های گرانشی
مسئله چندجسمی می‌گویند.
وقتی ما معادله‌هایی داریم که کاملا می‌توانیم
حرکت دو جسم گرانشی را پیش‌بینی کنیم،
ابزارهای آنالیز ما هنگام مواجهه با سیستم‌های پرجمعیت بیشتر کوتاه می‌آیند.
درواقع غیرممکن است که همه شرط‌های فرمول اصلی را
که می‌توانند حرکت سه جسم یا بیشتر اجسام گرانشی را توضیح دهند را بنویسیم.
چرا؟ مسئله این است که چند متغیر مجهول در سیستم چندجسمی وجود دارد.
به لطف ایزاک نیوتون، می‌توانیم گروهی از معادلات را بنویسیم
که نیروی گرانشی بین دوجسم را توضیح دهد.
به هرحال، وقتی تلاش می‌کنیم تا پاسخی عمومی برای یکی از متغیرهای مجهول پیدا کنیم
در این معادلات،
با یک محدودیت ریاضی روبرو می‌شویم:
به ازای هر مجهول، باید حداقل یک معادله وجود داشته باشد
که به صورت مستقل بتواند آن را توضیح دهد.
در ابتدا، به نظر می‌رسد در یک سیستم دو جسمی نسبت به
معادلات حرکت متغیرهای مجهول‌تری برای موقعیت و سرعت وجود دارد.
به هرحال،یک روش وجود دارد:
فرض را بر این بگیریم که موقعیت و سرعت دو جسم را
با توجه به مرکز ثقل سیستم درنظر بگیریم.
این حقه، باعث کاهش تعداد مجهول‌ها می‌شود و ما را با یک سیستم قابل حل روبرو می‌کند.
با وجود سه یا بیشتر شی در مدار، اوضاع پیچیده‌تر نیز می‌شود.
حتی با حقه ریاضی یکسان حساب کردن نسبی حرکات،
تعداد مجهول‌ها از معادلاتی که آن‌ها را توضیح دهد بیشتر می‌شود.
در این سیستم متغیرهای بسیار زیادی
برای ایجاد یک راه‌حل عمومی وجود دارد.
اما اجزای موجود در جهان ما بر اساس
معادلات تحلیلی غیرقابل حل ما چگونه حرکت می‌کنند؟
یک سیستم با سه ستاره مثل آلفا سانتوری
می‌توانند باهم برخورد کنند یا به احتمال زیاد
برخی از آن‌ها ممکن است پس از مدت طولانی ثبات ظاهری از مدار خارج شوند.
به غیر از چند موقعیت بسیار پایدار ورودی
تقریبا تمام وضعیت‌های ممکن برای دوره طولانی مدت غیرقابل پیش‌بینی‌اند.
هر وضعیت دارای یک طیف گسترده از نتایج احتمالی است،
که به کوچکترین تغییر در سرعت و موقعیت بستگی دارد.
این رفتار به رفتار آشوبی در فیزیک معروف است،
و یکی از ویژگی‌های مهم سیستم چند جسمی است.
این سیستم هنوز قابل اندازه‌گیری است و هیچ‌چیز در آن اتفاقی نیست.
اگر چند سیستم دقیقا با یک وضعیت کاملا یکسان شروع شوند،
همه آن‌ها به یک نتیجه خواهند رسید.
اما ایجاد یک تغییر کوچک درشروع، همه چیز را تغییر می‌دهد.
این موضوع به وضوح به ، ماموریت‌های فضایی انسان مربوط است،
وقتی مدارهای پیچیده نیازمند اندازه‌گیری با دقت بالا هستند.
خوشبختانه، پیشرفت‌های ادامه‌دار در شبیه‌سازی کامپیوتری
تعدادی راه جهت جلوگیری از فاجعه ارائه می‌دهد.
با تقریب راه‌حل‌ها با پردازنده‌های قدرتمند،
با اطمینان بیشتری می‌توانیم حرکت سیستم‌های چند جسمی را در طولانی‌مدت پیش‌بینی کنیم.
و اگر یک جسم در از سه جسم بسیار سبک بود
و فرض کنیم آن جسم نیرویی بر دوجسم دیگر وارد نمی‌کند،
رفتار سیستم، بسیار شبیه به یک سیستم دو جسمی رفتار می‌کند.
این رویکرد به عنوان «مسئله سه جسم محدود شده» نام دارد.
این موضوع در توصیف برای مثال
یک سیارک در میدان گرانشی زمین-خورشید،
یا یک سیاره کوچک در میدان یک سیاه چاله یا ستاره بسیار مفید است.
درمورد منظومه شمسی ما، خوشحال خواهی شد اگر بدانی
که می‌توانیم به ثبات این منظومه
برای حداقل صد میلیون سال آینده اطمینان معقولی داشته باشیم.
اگر یک ستاره دیگر،
در سراسر کهکشان به سمت ما حرکت کند،
همه‌چیز تغییر می‌کند.
En 2009, deux chercheurs ont mené une expérience simple.
Ils ont pris tout ce que nous savions sur notre système solaire
et ont calculé où chaque planète serait dans cinq milliards d'années.
Pour ce faire, ils ont réalisé plus de 2 000 simulations numériques
avec les mêmes conditions initiales, à une différence près :
la distance entre Mercure et le Soleil, modifiée de moins d'un millimètre
d'une simulation à l'autre.
De manière surprenante, dans environ 1 % de leurs simulations,
l'orbite de Mercure a tellement changé que la planète plonge dans le Soleil
ou entre en collision avec Vénus.
Pire encore,
dans une simulation, elle a déstabilisé tout le système solaire interne.
Ce n'était pas une erreur ; l'étonnante variété des résultats
révèle que notre système solaire
pourrait être beaucoup moins stable qu'il n'y paraît.
Les astrophysiciens appellent cette propriété des systèmes gravitationnels
le problème à N corps.
Bien que nous ayons des équations permettant de prédire
les mouvements de deux masses gravitationnelles,
nos outils d'analyse sont insuffisants pour des systèmes plus peuplés.
Il est en effet impossible d'écrire tous les termes d'une formule générale
qui puisse décrire exactement le mouvement de trois, ou plus, objets gravitationnels.
Pourquoi ?
Le problème est le nombre d'inconnues que contient un système à N corps.
Grâce à Isaac Newton, nous pouvons écrire un ensemble d'équations
pour décrire la force gravitationnelle agissant entre les objets.
Mais lorsque nous essayons de trouver une solution générale à ces équations,
nous sommes confrontés à une contrainte mathématique :
pour chaque inconnue, il doit y avoir au moins une équation
qui la décrive indépendamment.
Au départ, un système à deux corps semble avoir plus d'inconnues
pour la position et la vitesse que les équations de mouvement.
Cependant, il y a une astuce :
prenons la position et la vitesse relatives des deux corps
par rapport au centre de gravité du système.
Cela réduit le nombre d'inconnues et nous laisse avec un système résoluble.
Avec trois objets en orbite ou plus, tout devient plus compliqué.
Même avec l'astuce mathématique consistant à considérer les mouvements relatifs,
nous nous retrouvons avec plus d'inconnues que d'équations les décrivant.
Il y a tout simplement trop de variables pour que ce système d'équations
puisse être démêlé en une solution générale.
Mais à quoi ressemble réellement le mouvement des objets de notre univers
selon des équations de mouvement impossibles à résoudre analytiquement ?
Un système à trois étoiles – comme Alpha du Centaure –
pourrait les voir s'écraser les unes sur les autres ou, plus probablement,
certaines pourraient être éjectées de leur orbite
après une longue période de stabilité apparente.
À part quelques configurations stables très improbables,
presque tous les cas possibles sont imprévisibles sur de longues durées.
Chacun d'entre eux présente un éventail astronomique de résultats potentiels,
qui dépendent des plus petites différences de position et de vitesse.
Ce comportement est qualifié de chaotique par les physiciens,
et constitue une caractéristique importante des systèmes à N corps.
Un tel système est toujours déterministe, ce qui signifie qu'il n'est pas aléatoire.
Si plusieurs systèmes partent exactement des mêmes conditions,
ils arriveront toujours au même résultat.
Mais si on introduit une petite différence au départ, tous les paris sont ouverts.
C'est clairement pertinent pour les missions spatiales humaines,
lorsque des orbites compliquées doivent être calculées avec une grande précision.
Heureusement, les progrès constants des simulations informatiques
offrent de nombreuses possibilités d'éviter les catastrophes.
En approximant les solutions avec des processeurs de plus en plus puissants,
nous pouvons prédire avec plus de certitude
le mouvement des systèmes à N corps sur de longues durées.
Et si un corps dans un groupe de trois est si léger
qu'il n'exerce aucune force significative sur les deux autres,
le système se comporte, avec une très bonne approximation,
comme un système à deux corps.
Cette approche est connue sous le nom de « problème à trois corps restreint ».
Elle s'avère extrêmement utile pour décrire, par exemple,
un astéroïde dans le champ gravitationnel Terre-Soleil,
ou une petite planète dans le champ d'un trou noir et d'une étoile.
Quant à notre système solaire, vous serez heureux d'apprendre
que nous pouvons avoir une confiance raisonnable en sa stabilité
pour au moins les prochaines centaines de millions d'années.
Mais si une autre étoile,
lancée depuis le fin fond de la galaxie, est en route vers nous,
tous les paris sont ouverts.
2009-ben két kutató egyszerű kísérletbe kezdett.
Összegyűjtöttek mindent, amit a naprendszerünkről tudtak,
és kiszámolták, hogy ötmilliárd év múlva az egyes bolygók hol helyezkednek majd el.
Ehhez több mint kétezer számítási szimulációt futtattak,
azonos kiindulási feltételekkel, de egy különbséggel:
kísérletről kísérletre módosították a Merkúr és a Nap távolságát,
kevesebb, mint egy milliméterrel.
Megdöbbentő, de a szimulációk közel 1%-ában
a Merkúr pályája olyan erősen módosult, hogy a bolygó belehullott a Napba,
vagy összeütközött a Vénusszal.
Mi több, az egyik szimulációban a teljes belső naprendszer széthullott miatta.
Ezt nem számítási hiba okozta.
Az eredmények meglepő változatossága arra világít rá,
hogy naprendszerünk nem olyan állandó, mint gondoltuk.
A gravitációs rendszerek e meglepő tulajdonságát
az asztrofizikusok n-test-problémának hívják.
Noha le tudjuk írni egyenletekkel,
hogyan mozog két tömeg, amelyek gravitációsan hatnak egymásra,
a népesebb rendszerek esetében analitikai eszközeink csődöt mondanak.
Lehetetlen ugyanis leírni egy olyan általános képlet valamennyi tagját,
amely pontosan megjósolná három vagy több egymást vonzó objektum mozgását.
Miért? A válasz az n-test-rendszerek ismeretlen változóinak számában rejlik.
Isaac Newtonnak köszönhetően vannak olyan egyenleteink,
amelyek leírják a testek között ható gravitációs erőt.
De ha általános megoldást keresünk az egyenletek ismeretlen változóira,
matematikai korlátba ütközünk:
minden ismeretlenre kell legyen legalább egy egyenlet,
amely önállóan leírja azt.
Látszólag egy kéttest-rendszerben is több, a helyzetet és sebességet leíró,
ismeretlen változó van, mint ahány mozgásegyenlet.
Azonban itt jön a trükk:
megvizsgáljuk a két test relatív helyzetét és sebességét
a rendszer gravitációs középpontjához képest.
Így lecsökken az ismeretlenek száma, és a rendszer megoldható.
Három vagy több keringő test esetén a helyzet bonyolódik.
Még ha használjuk is a relatív mozgások vizsgálatának matematikai trükkjét,
több ismeretlenünk marad, mint ahány egyenletünk van a leírásukra.
Egyszerűen túl sok a változó az ilyen egyenletrendszerekben ahhoz,
hogy általános megoldást tudjunk adni.
De mit is jelent valójában, hogy világegyetemünkben a testek
analitikusan feloldhatatlan mozgásegyenletek szerint mozognak?
A három csillagból álló rendszerekben – mint pl. az Alpha Centauri –
a csillagok összeütközhetnek,
vagy ami még valószínűbb, a csillagok kilökődhetnek pályájukról,
mai, látszólag hosszan tartó stabilitásuk ellenére is.
Néhány rendkívül valószínűtlen stabil konfigurációtól eltekintve
szinte minden lehetséges felállás kiszámíthatatlan hosszú távon.
Mindnek csillagászati számú lehetséges kimenete van,
amelyek a helyzet és a sebesség parányi eltéréseiből adódnak.
Ezt a viselkedést hívják a fizikusok kaotikusnak,
és fontos jellemzője az n-test-rendszereknek.
Ettől még e rendszerek determinisztikusak, vagyis semmi véletlenszerű nincs bennük.
Ha a rendszerek kiinduló értékei azonosak,
a kimenetük is mindig azonos lesz.
De ha valamelyik kicsit is eltérően indul, már bármi megtörténhet.
Ez nyilvánvalóan fontos az emberes űrrepüléseknél,
amikor bonyolult pályákat nagy pontossággal kell meghatározni.
Szerencsére a számítógépes modellezés folyamatos fejlődésével
több lehetőség is kínálkozik a katasztrófák elkerülésére.
A processzorok teljesítményének növekedése pontosabbá teszi a közelítő számításokat,
így hosszú távon is biztosabbak lehetünk az n-test-rendszerek mozgásában.
Ha pedig egy hármas rendszer egyik tagja kis tömegű,
és így nem fejt ki jelentős erőt a másik kettőre,
a rendszer nagyon jó közelítéssel kéttest-rendszerként viselkedik.
Ezt a megközelítést hívjuk korlátozott háromtest-problémának.
Ez rendkívül hasznos például,
amikor egy aszteroidát írunk le a Föld-Nap gravitációs mezőben,
vagy egy kisebb bolygót egy fekete lyuk vagy nap mezejében.
Ami a naprendszerünket illeti, örömmel állíthatom,
hogy jó okunk van bízni a stabilitásában,
legalábbis az elkövetkező néhány száz millió év távlatában.
Bár ha egy másik csillag
a galaxis túlvégéről erre veszi útját,
bármi megtörténhet.
Nel 2009, due ricercatori fecero un semplice esperimento.
Presero tutto quello che sappiamo sul sistema solare
e calcolarono la posizione di ogni pianeta per i prossimi 5 miliardi di anni.
Per farlo, eseguirono oltre 2.000 simulazioni numeriche
con identiche condizioni iniziali tranne che per un particolare:
la distanza tra Mercurio e il Sole venne modificata di meno di 1 millimetro
tra una simulazione e quella successiva.
Sorprendentemente, in circa l'1% delle simulazioni,
l'orbita di Mercurio cambiava così drasticamente
da farlo sprofondare nel Sole o collidere con Venere.
Ancora peggio,
in una simulazione, destabilizzava l'intero sistema solare interno.
Non si trattava di un errore; l'incredibile varietà di risultati
rivela la verità che il nostro sistema Solare
potrebbe essere molto meno stabile di quanto appaia.
Gli astrofisici chiamano questa proprietà del sistema gravitazionale
il problema degli N-corpi.
Anche se abbiamo equazioni che possono prevedere esattamente
il moto di due masse orbitanti,
i nostri strumenti analitici non ce la fanno
quando si tratta di sistemi più popolati.
Difatti, è impossibile scrivere tutti i termini di una formula generale
che descriva esattamente il moto di tre o più oggetti orbitanti.
Perché?
Il problema dipende da quante sono le variabili sconosciute
nel sistema degli N-corpi.
Grazie a Isaac Newton, siamo in grado di scrivere una serie di equazioni
per descrivere la forza gravitazionale che agisce tra i corpi.
Però, se cerchiamo di trovare una soluzione generale
per le variabili sconosciute di queste equazioni,
ci troviamo di fronte a dei vincoli matematici:
per ogni incognita ci deve essere almeno un'equazione
che la descriva in modo indipendente.
All'inizio, un sistema a due corpi sembra avere più variabili sconosciute
per la posizione e la velocità
rispetto alle equazioni del moto.
Ma c'è un trucco:
possiamo considerare la posizione e la velocità relative di due corpi
rispetto al centro di gravità del sistema.
Ciò riduce il numero di incognite e il sistema diventa risolvibile.
Considerando tre o più oggetti orbitanti, le cose si fanno più complicate.
Anche usando lo stesso trucco matematico di considerare i moti relativi,
le incognite che rimangono sono più delle equazioni che possono descriverle.
Ci sono semplicemente troppe variabili per far sì che questo sistema di equazioni
possa essere risolto con un'unica soluzione generale.
Ma cosa significa esattamente che gli oggetti del nostro universo
si muovono secondo equazioni del moto non risolvibili analiticamente?
Un sistema di tre stelle, come Alfa Centauri,
potrebbe scontrarsi con un altro,
o, più probabilmente,
alcune potrebbero essere espulse dall'orbita
dopo un lungo periodo di stabilità apparente.
A parte pochissime configurazioni stabili, altamente improbabili,
quasi tutti gli scenari possibili sono imprevedibili su tempi molto lunghi.
Per tutti c’è una serie astronomica di esiti possibili,
che dipendono da differenze minime nella posizione e nella velocità.
Questo comportamento, definito dai fisici "caotico",
è una caratteristica importante del sistema degli N-corpi.
Questo tipo di sistema è comunque deterministico,
niente che lo riguardi è casuale.
Se più sistemi diversi si sviluppano partendo dalle stesse identiche condizioni
raggiungeranno sempre lo stesso risultato.
Ma basta che uno abbia una piccola spinta all’inizio, che tutto può cambiare.
È chiaramente un fattore rilevante per le missioni spaziali,
in cui si devono calcolare delle orbite complicate
con assoluta precisione.
Fortunatamente, i continui progressi nelle simulazioni a computer
offrono svariate opzioni per evitare una catastrofe.
Usando processori sempre più potenti nell’approssimare le soluzioni,
possiamo predire con più sicurezza il moto dei sistemi con N-corpi
su tempi molto lunghi.
E se in un sistema a tre corpi, un corpo è così leggero
da non esercitare alcuna forza significativa sugli altri due,
il sistema si comporta, con un'ottima approssimazione,
come un sistema a due corpi.
Questo approccio è noto come "problema ristretto dei tre corpi".
È estremamente utile per descrivere, per esempio,
un asteroide nel campo gravitazionale del sistema Terra-Sole,
o un piccolo pianeta nel campo di un buco nero e una stella.
Per quanto riguarda il nostro sistema solare,
sarete felici di sapere che confidiamo nella sua stabilità
almeno per le prossime centinaia di milioni di anni.
Però, se un'altra stella,
partita dall'altra parte della galassia,
fosse diretta verso di noi,
allora potrebbe succedere di tutto.
2009年に２人の研究者が 簡単な実験をしました
太陽系に関する全ての知識を使って
50億年先までの 全惑星の位置を計算したのです
そのために２千を超える 数値シミュレーションを行いました
全く同一の初期条件を設定したのですが １つだけ条件を変えました
水星と太陽との距離を シミュレーションごとに
１ミリ未満で変えたのです
驚いたことに シミュレーションの約１％で
水星の軌道が非常に大きく変わり
太陽または金星と衝突する可能性がありました
さらに悪いことに
あるシミュレーションでは 内太陽系全体を不安定にしました
これは間違いではなく 結果にこれ程のばらつきがあったのは
私どもの太陽系が思っていたよりも ずっと不安定だという真実を明かしています
天体物理学者たちは この驚くべき重力系の特性を
「N体問題」と称します
互いに引力で引き合う２体の動きを 完全に予測する数式はありますが
もっと天体数が多い問題に直面すると 解析できる術がありません
実際に 一般的な数式の項を 全て書き出すことは不可能になり
３体以上の互いに引き合う天体の動きを 正確に記述できません
なぜでしょうか？N体系に含まれる 未知の変数の数に問題があるのです
アイザック・ニュートンのおかげで いくつかの方程式によって
天体間に働く引力を表すことができます
しかし これらの方程式の未知変数の 一般解を 見つけようとすると
数学的な制約に行き当たってしまいます
未知変数１つにつき 少なくとも１つは方程式が必要で
しかも各方程式は 独立してないといけません
最初は ２体系にも位置や速度に関する 未知変数の数が
運動方程式の数より 多くあるようにみえます
ただし 解き方があります
２つの天体の相対的な位置と速度を
この系の重心からみて考えてください
これにより 未知変数の数が減り 解くことができる系になります
軌道を回る３つ以上の天体が関わると 全てが複雑になります
相対運動を考える時の数学的な解法を 同じようにあてはめても
未知変数の数の方が それを表す方程式の数より多く残ります
この系の方程式の変数の数は どう考えても多過ぎて
一般解を導き出すことができません
解析的に解くことができない 運動方程式に従う宇宙にある天体は
一体どのように動くのでしょうか？
例えばアルファケンタウリのような ３つの星から成る系 は
お互いに衝突する可能性がありますし より可能性が高いのは
見かけの上では長期間安定していた天体が 軌道から放り出されることです
ほとんど起こり得ない 安定した幾つかの系を除き
起こりうるほぼ全ての場合では 長期にわたる予測は不可能なのです
それぞれが天文学的な数の結果を生む 可能性を持っており
位置や速度の微小な変化に影響されます
物理学者たちは この振る舞いを「カオス」と称し
これは N体系の重要な特徴です
このような系も決定論的な法則に従っており 決してランダムなものではありません
複数の系が全く同一の条件で始まれば
いつも同一の結果にたどり着きます
ただし 最初にごく僅かな力が 加わっただけで 全く違う結果になるのです
これは 人間が宇宙探査をする場合のように
複雑な軌道も非常に精密に計算する 必要がある時には 明らかに重要なことです
幸い コンピュータ・シミュレーションが 進歩を遂げてきたので
大惨事を避ける方法が幾つかあります
益々パワフルになってきたプロセッサーで 解を概算することにより
N体系の動きを長期にわたって より確実性を持って予測することができます
３体のうち １体の質量が非常に軽く
他の２体に有意な力がかからない場合は
２体系と非常に近似した振る舞いをします
この手法は「制限三体問題」として 知られており
例えば 地球と太陽の重力場の中にある 小惑星を記述する際や
ブラックホールと恒星の重力場の中にある 小さい惑星を記述する際には非常に役立ちます
私どもの太陽系に関しては 幸いなことに
少なくとも 今後 数億年は安定していると かなりの確実性を持って言えます
とはいえ もし別の恒星が
銀河のかなたから地球に向かって来たら
一巻の終わりです
Em 2009, dois investigadores realizaram uma experiência simples.
Agarraram em tudo o que sabemos sobre o nosso sistema solar
e calcularam onde estará cada planeta, daqui a 5000 milhões de anos.
Para isso, realizaram mais de 2000 simulações numéricas
com as mesmas condições iniciais, exceto quanto a uma diferença:
a distância entre Mercúrio e o Sol, modificada em menos de um milímetro,
de uma simulação para a seguinte.
Espantosamente, em cerca de 1% dessas simulações
a órbita de Mercúrio mudou tão profundamente
que podia mergulhar no Sol ou colidir com Vénus.
Pior ainda,
numa simulação, desestabilizou todo o sistema solar interior.
Não se tratou de nenhum erro; a espantosa variedade nos resultados
revela que o nosso sistema solar
pode ser muito menos estável do que parece.
Os astrofísicos chamam a esta propriedade espantosa dos sistemas gravitacionais
o problema dos n-corpos.
Embora tenhamos equações que podem prever totalmente
os movimentos de duas massas gravitacionais
as nossas ferramentas analíticas não chegam
quando confrontadas com sistemas mais populosos.
É impossível escrever todos os termos duma fórmula geral
que possa descrever com exatidão
o movimento de três ou mais objetos gravitacionais.
Porquê? O problema reside em quantas variáveis desconhecidas
estão contidas num sistema de n-corpos.
Graças a Isaac Newton, podemos escrever uma série de equações
para descrever a força gravitacional que atua entre corpos.
Contudo, quanto tentamos encontrar uma solução geral
para as variáveis desconhecidas, nestas equações,
somos confrontados com um constrangimento matemático:
para cada incógnita, tem de haver pelo menos uma equação
que a descreva de forma independente.
Inicialmente, um sistema de dois-corpos parece ter mais variáveis desconhecidas
para a posição e a velocidade do que as equações de movimento.
Porém, há um truque:
considerar a posição relativa e a velocidade dos dois corpos
no que se refere ao centro de gravidade do sistema.
Isso reduz o número de incógnitas e deixa-nos com um sistema resolúvel.
Com três ou mais objetos em órbita no quadro, tudo se torna mais complicado.
Mesmo com o mesmo truque matemático de considerar os movimentos relativos,
ficamos com mais incógnitas do que com equações que as descrevem.
Há demasiadas variáveis para este sistema de equações
para serem desembaraçadas numa solução geral.
Mas como será realmente os objetos no nosso universo
moverem-se de acordo com equações de movimento
analiticamente irresolúveis?
Um sistema de três estrelas — como o Alfa Centauri —
podem colidir umas com as outras ou, mais provavelmente,
umas podem fugir à órbita
depois de muito tempo de aparente estabilidade.
Para além de algumas configurações de estabilidade muito pouco provável,
quase todos os possíveis casos são imprevisíveis a longa distância.
Cada um deles tem uma gama astronómica de resultados possíveis,
dependendo de minúsculas diferenças na posição e na velocidade.
Este comportamento é conhecido dos físicos por caótico
e é uma característica importante dos sistemas de n-corpos.
Mas um sistema assim continua determinista — ou seja, não há nada de aleatório nele.
Se múltiplos sistemas começarem exatamente nas mesmas condições,
chegarão sempre ao mesmo resultado.
Mas, se dermos a um deles um pequeno empurrão, no início,
tudo pode acontecer.
É obviamente relevante para missões humanas no espaço
quando for preciso calcular órbitas complicadas, com grande precisão.
Felizmente, os avanços contínuos nas simulações em computador,
oferecem uma série de formas para evitar catástrofes.
Aproximando as soluções com processadores cada vez mais poderosos
podemos prever com mais confiança o movimento de sistemas de n-corpos
em escalas a longo prazo.
E se um corpo num grupo de três
for tão leve que exerça uma força pouco significativa sobre os outros dois,
o sistema comporta-se, com uma aproximação muito boa, como um sistema de dois-corpos.
Esta abordagem é conhecida por "problema restrito dos três corpos".
Prova ser extremamente útil na descrição, por exemplo,
de um asteroide no campo gravitacional Terra-Sol
ou de um pequeno planeta no campo dum buraco negro e duma estrela.
Quanto ao nosso sistema solar, gostarão de ouvir dizer
que podemos ter razões para confiar na sua estabilidade
pelo menos, para as próximas centenas de milhões de anos.
A não ser que outra estrela,
lançada do outro lado da galáxia venha na nossa direção
tudo é possível.
Em 2009, dois pesquisadores realizaram um experimento simples.
Eles pegaram tudo que sabemos sobre o nosso sistema solar
e calcularam onde cada planeta estaria até 5 bilhões de anos no futuro.
Para isso, eles realizaram mais de 2 mil simulações numéricas
com as exatas mesmas condições iniciais, exceto por uma diferença:
a distância entre Mercúrio e o Sol, modificada por menos de um milímetro
de uma simulação para a próxima.
Surpreendentemente, em cerca de 1% das simulações,
a órbita de Mercúrio mudou tão drasticamente
que poderia mergulhar no Sol ou colidir com Vênus.
Pior ainda,
em uma simulação, isso desestabilizou todo o sistema solar interno.
Não foi um erro; a surpreendente variedade de resultados
revela que nosso sistema solar pode ser muito menos estável do que parece.
Astrofísicos se referem a essa espantosa propriedade dos sistemas gravitacionais
como o problema dos n-corpos.
Embora tenhamos equações que podem prever completamente
os movimentos de duas massas gravitantes,
nossas ferramentas analíticas são insuficientes
para descrever sistemas mais povoados.
Na verdade, é impossível escrever todos os termos de uma fórmula geral
capaz de descrever exatamente o movimento de três ou mais objetos gravitantes.
Por quê?
O problema está em quantas variáveis desconhecidas um sistema n-corpos contém.
Graças a Isaac Newton, nós podemos escrever um conjunto de equações
para descrever a força gravitacional agindo entre os corpos.
Mas, ao tentar encontrar uma solução geral
para as variáveis desconhecidas nessas equações,
nos deparamos com uma restrição matemática:
para cada incógnita, deve haver pelo menos uma equação
que a descreva independentemente.
Inicialmente, um sistema de dois corpos parece ter mais variáveis desconhecidas
para posição e velocidade do que equações de movimento.
No entando, há um truque:
considere a posição relativa e a velocidade dos dois corpos
em relação ao centro de gravidade do sistema.
Isso reduz o número de incógnitas e nos deixa com um sistema solucionável.
Com três ou mais objetos em órbita em cena, tudo fica mais confuso.
Mesmo com o mesmo truque matemático de considerar movimentos relativos,
ficamos com mais incógnitas do que equações que as descrevam.
Existem simplesmente muitas variáveis nesse sistema de equações
para ser resolvido em uma solução geral.
Mas o que significa objetos em nosso Universo
se movendo de acordo com equações de movimentos analiticamente insolúveis?
Num sistema de três estrelas, como Alfa Centauri,
uma pode colidir com a outra ou, mais provavelmente,
alguma pode ser arremessada fora de órbita após um período de aparente estabilidade.
Além de algumas configurações estáveis altamente improváveis,
quase todos os casos possíveis são imprevisíveis em longas escalas de tempo.
Cada uma tem uma gama astronomicamente grande de resultados potenciais,
dependendo das menores diferenças em posição e velocidade.
Esse comportamento é conhecido como caótico pelos físicos,
e é uma característica importante dos sistemas de n-corpos.
Esse sistema ainda é determinístico:
não há aleatoriedade nele.
Se vários sistemas começarem exatamente nas mesmas condições,
eles sempre alcançarão o mesmo resultado.
Mas dê um empurrãozinho no início, e tudo se torna imprevisível.
Isso é claramente relevante para missões espaciais humanas,
quando órbitas complicadas precisam ser calculadas com grande precisão.
Felizmente, os avanços contínuos em simulações computacionais
oferecem várias maneiras de evitar catástrofes.
Ao aproximar as soluções com processadores cada vez mais poderosos,
podemos prever o movimento dos sistemas de n-corpos com mais segurança
a longo prazo.
E se, em um grupo de três corpos, um corpo é tão leve
que não exerce força significativa sobre os outros dois,
o sistema se comporta, com boa aproximação,
como um sistema de dois corpos.
Essa abordagem é conhecida como "problema restrito de três corpos".
É extremamente útil para descrever, por exemplo,
um asteroide no campo gravitacional Terra-Sol,
ou um pequeno planeta no campo de um buraco negro e uma estrela.
Quanto ao nosso sistema solar, você ficará feliz em saber
que podemos ter uma confiança razoável em sua estabilidade
ao menos pelas próximas centenas de milhões de anos.
Todavia se outra estrela,
lançada de outro ponto na galáxia, estiver a caminho de nós,
então absolutamente tudo é possível.
În 2009, doi oameni de știință au derulat un simplu experiment.
Au folosit tot ce știm despre sistemul nostru solar
și au calculat unde va fi fiecare planetă 5 miliarde de ani în viitor.
Pentru a face asta, au derulat peste 2.000 de simulări numerice
care au avut aceleași coordonate inițiale, cu excepția unei diferențe:
distanța dintre Mercur și Soare, modificată cu mai puțin de un milimetru
de la o simulare la alta.
În mod șocant, în aproape un procent din simulări,
orbita lui Mercur s-a schimbat atât de dramatic încât putea plonja în Soare
sau se putea ciocni cu Venus.
Și mai rău,
într-o simulare a destabilizat întregul sistem solar interior.
Asta nu era o greșeală; varietatea surprinzătoare în rezultate
dezvăluie adevărul că sistemul nostru solar
ar putea fi mai puțin stabil decât pare.
Astrofizicienii se referă la această proprietate uimitoare
a sistemelor gravitaționale
ca problema cu n corpuri.
Chiar dacă avem ecuații care pot prezice complet
mișcările a două mase gravitaționale,
instrumentele noastre analitice nu pot face față sistemelor mai populate.
E de fapt imposibil să scrii toți termenii unei formule generale
care poate descrie exact mișcarea a trei corpuri gravitaționale sau mai multe.
De ce? Problema stă în câte necunoscute variabile are un sistem de n corpuri.
Mulțumită lui Isaac Newton, putem scrie un set de ecuații
care descriu forța gravitațională între două corpuri.
Cu toate acestea, când încercăm să găsim o soluție generală pentru necunoscutele
din aceste ecuații,
suntem puși față în față cu o constrângere matematică:
pentru fiecare necunoscută trebuie să existe cel puțin o ecuație
care o descrie independent.
Inițial, un sistem de două corpuri pare să aibă mai multe variabile necunoscute
pentru poziție și viteză decât ecuații pentru mișcare.
Cu toate acestea, există un truc:
consideră poziția relativă și viteza a două corpuri,
luând în calcul centrul de gravitație al sistemului.
Asta reduce numărul de necunoscute și ne lasă cu un sistem rezolvabil.
Cu trei sau mai multe obiecte ce orbitează, totul devine mai complicat.
Chiar dacă uilizăm același truc matematic de considerare a mișcărilor relative,
avem de a face cu mai multe necunoscute decât ecuațiile care le descriu.
Sunt pur și simplu prea multe variabile ca acest sistem de ecuații
să fie rezolvat de o soluție generală.
Dar cum arată de fapt pentru obiectele din universul nostru
o deplasare conform unor ecuații analitice de nerezolvat?
Un sistem de trei stele, cum e Alpha Centauri,
s-ar putea ciocni una de alta, sau mai probabil,
unele ar putea fi aruncate înafara orbitei după un lung timp de stabilitate aparentă.
În afară de câteva extrem de improbabile configurații stabile,
aproape orice caz posibil e imprevizibil pe durate lungi de timp.
Fiecare are o marjă astronomic de mare de potențiale rezultate,
dependente de cele mai mici diferențe în poziție și viteză.
Acest comportament e cunoscut drept haotic de către fizicieni
și este o caracteristică importantă a sistemelor cu n corpuri.
Acest sistem e în continuare determinist —
adică nu e nimic întâmplător la el.
Dacă mai multe sisteme încep de la aceleași condiții,
mereu vor ajunge la același rezultat.
Dar dă-i unuia un mic impuls la început și totul se schimbă.
Asta e relevant pentru misiunile spațiale cu echipaj uman,
când orbitele complicate trebuie calculate cu o precizie foarte mare.
Din fericire, progresul continuu în simulările computerizate
oferă mai multe metode pentru evitarea catastrofelor.
Prin aproximarea soluțiilor cu procesoare din ce în ce mai puternice,
putem prezice cu mai multă încredere mișcarea sistemelor cu n corpuri
pentru un timp îndelungat.
Iar dacă un corp dintr-un grup de trei este atât de ușor
încât nu exercită o forță semnificativă asupra celorlalte două,
sistemul se comportă, cu o aproximație foarte bună, ca un sistem de două corpuri.
Această abordare e cunoscută drept „problema restricționată cu trei corpuri”.
Se dovedește extrem de folositoare în descrierea, de exemplu,
unui asteroid în câmpul gravitațional al Pământului și al Soarelui,
sau a unei planete mici în câmpurile unei găuri negre și ale unei stele.
Cât pentru sistemul nostru solar, ai fi fericit să auzi
că putem avea o încredere rezonabilă în stabilitatea lui
pentru cel puțin câteva sute de milioane de ani de acum încolo.
Dar dacă o stea
ar veni dinspre celălalt capăt al galaxiei către noi,
nu se știe ce se poate întâmpla.
В 2009 году два исследователя провели простой эксперимент:
они собрали все известные сведения о Солнечной системе
и вычислили, где будет находиться каждая планета через пять миллиардов лет.
Для этого они провели более 2 000 численных моделирований
с одинаковыми начальными условиями за исключением одного:
в каждом новом моделировании расстояние между Меркурием и Солнцем
отличалось менее, чем на миллиметр.
Поразительно, но примерно в 1% моделирований
орбита Меркурия менялась настолько, что он мог погрузиться в Солнце
или столкнуться с Венерой.
Что ещё хуже,
в одной симуляции это дестабилизировало всю структуру Солнечной системы.
Ошибки не было: удивительное разнообразие результатов указывает на то,
что наша Солнечная система, возможно, гораздо менее стабильна, чем кажется.
Астрофизики называют это удивительное свойство гравитационных систем
гравитационной задачей N тел.
У нас есть уравнения, способные полностью предсказать
движения двух притягивающихся тел,
но наши аналитические инструменты не подходят для более сложных систем.
На самом деле невозможно записать все элементы формулы,
которая точно описывает движение трёх и более притягивающихся объектов.
Почему? Проблема в количестве неизвестных переменных в системе N тел.
Благодаря Исааку Ньютону мы можем составить систему уравнений,
чтобы описать гравитационную силу между телами.
Однако при попытке найти общее решение для неизвестных переменных
в этих уравнениях,
мы сталкиваемся с математическим ограничением:
для каждого неизвестного должно быть по меньшей мере одно уравнение,
описывающее только его.
Изначально система из двух элементов имеет больше неизвестных переменных
для положения и скорости, чем уравнения движения.
Однако есть хитрость:
рассмотрим относительное положение и скорость двух тел
относительно центра тяжести системы.
Таким образом мы уменьшим количество неизвестных и получим систему с решением.
Картина усложняется, если дело касается трёх или более движущихся объектов.
Даже обратившись к математической уловке с применением относительных движений,
мы получим больше неизвестных, чем описывающих их уравнений.
У этой системы уравнений слишком много переменных,
чтобы для неё имелось одно общее решение.
Но как на самом деле выглядит движение объектов в нашей Вселенной
согласно аналитически неразрешимым уравнения движения?
В системе с тремя звёздами, такими как Альфа Центавра,
они могут врезаться друг в друга или, что более вероятно,
некоторые могут сойти с орбиты после длительного периода стабильности.
За исключением нескольких маловероятных стабильных конфигураций
почти все возможные варианты непредсказуемы в долгосрочной перспективе.
У каждого есть астрономически большой диапазон возможных исходов,
зависящих от малейших изменений положения и скорости.
Физики называют такое поведение хаотичным,
и оно является важной особенностью системы N тел.
Такая система всё ещё детерминирована — в ней нет ничего случайного.
Если несколько систем начинают существование при одинаковых условиях,
итог для них всегда будет одинаковым.
Но если на старте одну из них подтолкнуть, то результат станет непрогнозируемым.
Это очень актуально для пилотируемых космических полётов,
когда нужно с большой точностью рассчитать сложные орбиты.
К счастью, постоянные инновации в компьютерном моделировании
предлагают целый ряд способов, как избежать катастрофы.
Приближаясь к решению благодаря увеличивающейся мощности процессоров,
можно более уверенно предсказать движение систем N тел в долгосрочной перспективе.
И если одно тело в группе из трёх настолько лёгкое,
что не оказывает существенного воздействия на остальные два,
то поведение такой системы схоже с системой двух тел.
Этот подход известен как задача трёх тел.
Он чрезвычайно полезен, например, при описании поведения
астероида в гравитационном поле Земля–Солнце
или небольшой планеты в поле чёрной дыры и звезды.
Что касается Солнечной системы, вы будете рады узнать,
что можно быть обоснованно уверенными в её стабильности,
по меньше мере, на ближайшие несколько сотен миллионов лет.
Хотя если вдруг
через всю галактику к нам несётся какая-то звезда,
прогнозы становятся невозможными.
2009'da iki araştırmacı basit bir deney yaptı.
Güneş sistemimiz hakkında bildiğimiz her şeyi aldılar
ve her gezegenin gelecekteki 5 milyar yıla kadar nerede olacağını hesapladılar.
Bunu yapmak için aynı başlangıç koşullarıyla
2.000'den fazla sayısal simülasyon gerçekleştirdiler fakat biri dışında:
Merkür ile Güneş arasındaki mesafe, bir simülasyondan diğerine
bir milimetreden daha az değiştirildi.
Şaşırtıcı bir şekilde, simülasyonlarının yaklaşık %1'inde,
Merkür'ün yörüngesi o kadar sert bir şekilde değişti ki, Güneş'e dalabilir
veya Venüs ile çarpışabilirdi.
Daha da kötüsü,
bir simülasyonda tüm iç Güneş sistemini istikrarsızlaştırdı.
Bu bir hata değildi. Sonuçlardaki şaşırtıcı çeşitlilik, Güneş sistemimizin
göründüğünden çok daha az kararlı olabileceği gerçeğini ortaya koyuyor.
Astrofizikçiler, yerçekimi sistemlerinin bu şaşırtıcı özelliğini
n-cisim problemi olarak adlandırırlar.
İki kütleçekim kütlesinin hareketlerini
tam olarak tahmin edebilen denklemlerimiz olsa da
analitik araçlarımız daha kalabalık sistemlerle karşılaştıklarında yetersiz.
Üç veya daha fazla nesnenin yer çekimi hareketini tam olarak
tanımlayabilen genel bir formülün tüm terimlerini yazmak aslında imkansız.
Neden? Sorun, bir n-cisim sisteminin içerdiği bilinmeyen değişkenlerle ilgili.
Isaac Newton sayesinde, cisimler arasında hareket eden
yer çekimi kuvvetini tanımlamak için bir dizi denklem yazabiliriz.
Bununla birlikte, bu denklemlerdeki bilinmeyen değişkenler için
genel bir çözüm bulmaya çalışırken,
matematiksel bir kısıtlama ile karşı karşıyayız:
Her bilinmeyen için, onu bağımsız olarak tanımlayan
en az bir denklem olmalı.
Başlangıçta, iki cisimli bir sistemin hareket denklemlerindense
konum ve hızı için daha fazla bilinmeyen değişkenleri olduğu görülmekte.
Ancak bir numara var:
Sistemin ağırlık merkezine göre iki cismin
göreceli konumunu ve hızını düşünün.
Bu, bilinmeyenlerin sayısını azaltır ve geriye çözülebilir bir sistem kalır.
Yörüngede dönen üç veya daha fazla nesneyle her şey daha da karmaşıklaşır.
Göreceli hareketleri hesaba katmanın aynı matematiksel hilesiyle bile,
onları tanımlayan denklemlerden daha fazla bilinmeyenle baş başa kalıyoruz.
Bu denklem sisteminin genel bir çözüme dönüştürülmesi için
çok fazla değişken var.
Peki, evrenimizdeki nesnelerin analitik olarak
çözülemeyen hareket denklemlerine göre taşınması gerçekte neye benzer?
Üç yıldızdan oluşan Alpha Centauri gibi bir sistem
birbirine çarparak gelebilir veya daha büyük olasılıkla,
bazıları uzun bir süre sabit durduktan sonra yörüngeden atılabilir.
Oldukça olası olmayan birkaç kararlı konfigürasyon dışında
her olası durum, uzun zaman ölçeklerinde tahmin edilemez.
Her biri, konum ve hızdaki en küçük farklılığa bağlı şekilde
astronomik olarak geniş bir potansiyel sonuç yelpazesine sahip.
Bu davranış, fizikçiler tarafından kaotik olarak bilinir
ve n-cismi sistemlerinin önemli bir özelliği.
Böyle bir sistem hala belirleyicidir, yani rastgele bir şeyi yok.
Birden fazla sistem tam olarak aynı koşullardan başlarsa
her zaman aynı sonuca ulaşır.
Ama başlangıçta biraz destek verirseniz tüm bahisler kapanır.
Bu, karmaşık yörüngelerin büyük bir hassasiyetle hesaplanması gerektiği
insan uzay görevleri için açıkça geçerli.
Neyse ki bilgisayar simülasyonlarındaki devamlı gelişmeler
felaketten kaçınmak için çeşitli yollar sunar.
Çözümlere giderek daha güçlü işlemcilerle yaklaşarak, n-cismi sistemlerinin
hareketini uzun zaman ölçeklerinde daha güvenilir bir şekilde tahmin edebiliriz.
Eğer üçlü bir gruptaki bir cisim çok hafifse,
diğer ikisine önemli bir kuvvet uygulamaz,
sistem çok iyi bir yaklaşımla iki cisim sistemi gibi davranır.
Bu yaklaşım "kısıtlı üç cisim problemi" olarak bilinir.
Örneğin, Dünya-Güneş yerçekimi alanındaki bir asteroidi
veya bir kara delik ve bir yıldız alanındaki küçük bir gezegeni
tanımlarken son derece yararlı olduğu kanıtlandı.
Güneş sistemimize gelince,
en azından önümüzdeki birkaç yüz milyon yıl boyunca
istikrarına makul ölçüde güven duyabileceğimizden mutlu olacaksınız.
Eğer galaksinin öteki bir yanından fırlatılan
başka bir yıldız bize doğru geliyorsa
tüm bahisler kapalı.
2009 年，两名研究人员 做了个简单实验，
基于我们对太阳系所有的了解，
计算了 50 亿年后 每颗行星的位置。
为此，他们进行了 2000 多次数值模拟，
所有初始条件保持不变，
除了一个参数值： 水星到太阳的距离
在每次后续模拟中减少 不足 1 毫米的距离差。
令人震惊的是， 大约 1% 的模拟中，
水星轨道发生了巨大变化，
它可能会一头扎进太阳 或与金星相撞。
更糟糕的是，一次模拟实验中，
水星打破了整个内太阳系的稳定。
模拟实验没有出错；模拟结果的 惊人变化揭示了这样一个事实：
我们的太阳系可能 远没有看上去的那么稳定。
对于引力系统的这种惊人特性，
天体物理学家称之为 “N 体问题”。
虽然我们可以用方程式来完美预测
两个引力物体的运动，
但面对包含更多物体的系统时， 我们的分析工具就捉襟见肘了。
实际上，根本不可能写出 一个包含所有变量的通用公式，
来精确地描述三个 或更多引力物体的运动。
为什么？这实际上取决于 一个 N 体系统究竟包含多少个未知变量。
多亏了艾萨克·牛顿，
我们才可以写出一套方程 来描述作用于两个物体间的引力。
但当我们试图找出
这些方程中未知变量的通解时，
则面临着数学上的限制：
对每个未知变量，
必须至少有一个单独描述它的方程。
起初，和运动方程相比，
二体系统似乎有更多 关于位置和速度的未知变量。
然而，技巧在这里：
要考虑两个物体
相对于系统重心的相对位置和速度。
这样就减少了未知数的数量， 使其变成一个可解的系统。
若有三个或更多绕轨道运行的物体， 一切就会变得复杂得多。
即使同样使用 考虑相对运动的数学技巧，
我们面临的未知变量的数量 也多于描述它们的方程。
对于这个方程组来说，变量太多，
无法得到一个通解。
不过在现实中，宇宙中物体是如何
遵循这些无解运动方程运动的呢？
由三颗恒星组成的系统—— 像半人马座——
可能会相互碰撞， 或者，更有可能的是，
表面看似稳定了很长时间后， 有些恒星就会被甩出轨道。
除了少数极不可能的稳定配置外，
从较长的时间尺度来看， 几乎所有可能情况都不可预测。
基于位置和速度的最微小差异，
每项潜在的结果都可能存在于 一个很大的天文数学范围里。
这种行为被物理学家称为“混沌”，
也是 N 体系统的一个重要特征。
这样的系统仍然有确定性—— 即它没有任何随机性。
如果多个系统初始条件完全相同，
它们总是会得到相同的结果。
但如果初始条件稍有改变， 结果将难以预料。
对人类太空任务来说， 这显然关系重大，
因为复杂的轨道 需要非常精确的计算。
庆幸的是，
计算机模拟技术的持续进步 为避免灾难提供了大量方法。
利用日益强大的处理器 计算出更接近的解决方案，
我们可以更自信地预测出 N 体系统在长时间尺度上的运动。
如果三体系统中有一个质量很轻，
它对另外两个物体施力轻微，
这个三体系统的运行 则非常近似于二体系统，
这种方法称为“限制性三体问题”。
实际证明，这种方法非常有用。
例如，用来描述地球-太阳 引力场内的小行星，
或黑洞和恒星引力场内 小一点的行星。
至于我们的太阳系—— 你大可不必担心——
至少在未来几亿年内它都会很稳定，
我们对此有充分的信心。
但若一颗恒星从银河系另一边出发，
正向我们飞来，
那么一切后果都将难以预料。
2009 年，兩位研究者 做了一項簡單的實驗。
他們用上了我們 對太陽系所知的一切，
去計算五十億年後
每一顆行星的所在。
為了做到這一點，他們進行了 超過兩千次的數值模擬，
每一次的初始條件都相同， 除了一個差異：
從一次模擬進入到下一次模擬時，
就把水星和太陽之間的 距離增或減一公釐。
驚人的是，大約 1% 的模擬中，
水星的軌道大大改變，
大到有可能會衝進太陽
或撞上金星。
更糟的是，在一次模擬中，
它讓整個內太陽系變得很不穩定。
這不是錯誤；結果會有 這麼驚人的多樣性，
表示我們的太陽系事實上
可能沒有看起來這麼穩定。
天體物理學家把這種 重力系統的驚人特質
稱為「N 體問題」。
雖然我們有方程式可以完全預測
兩個互相受引力作用的 質量會如何運動，
但面臨更多物體的系統時，
我們的分析工具就有所不足了。
事實上，不可能寫出一條通式
來精準描述互相受引力作用的 三個（或以上）物體如何運動。
為什麼？
問題在於 N 體系統中
有多少個未知的變數。
因為牛頓的功勞， 我們可以寫出一組方程式
來描述兩個物體之間的引力作用。
然而，當試圖為 這些方程式中的未知變數
找出通解時，
我們面臨一個數學限制：
凡是有一個未知變數，
就必須要有至少一條 獨立的方程式來描述它。
最初看似兩體系統未知的
位置和速度變量的數目
多於運動方程式的。
然而有一招：
考量兩個物體相對於
系統引力中心的位置和速度。
這樣就能減少未知變數的數目， 讓它變成有解的系統。
若系統中有三個以上的繞行物體，
情況就會更亂了。
即使採用同樣的數學招式 去考量相對運動，
未知變數的數目仍多於 描述它們的方程式數目。
簡單來說就是這個 方程式系統有太多變數，
因此無法用一個通解來解決。
但我們宇宙中的物體
根據無解的運動方程式運轉，
實際上看起來會是什麼模樣？
三個恆星的系統—— 比如南門二——
有可能會撞上彼此， 或更有可能的情況是，
在經過長時間明顯的穩定之後， 有些恆星可能會被拋出軌道。
除了少數極不可能發生的 穩定組態之外，
幾乎每一個可能的情況
在長期來看都是無法預測的。
每一個情況在天文學上 都有廣泛的可能結果，
會根據位置及速度的 微小差距而有所不同。
物理學家將這種行為視為「混亂」，
是 N 體系統的重要特徵之一。
這種系統仍是確定性的系統，
意即它並不隨機。
如果有多個系統 都從同樣的條件開始，
它們一定會達到同樣的結果。
但把初始條件稍微改變一點點，
原本的預測就都不準了。
這很顯然會影響到人類的太空任務，
因為需要非常精確地 計算複雜的軌道。
謝天謝地，電腦模擬的持續進步
提供了數種避免大災難的方式。
透過使用越來越強大的 處理器來找出近似解，
我們便能更有信心地預測
N 體系統的長期運動。
如果三個物體中有一個特別輕，
輕到它對其他兩個物體 不會產生明顯的引力，
這個系統的行為就會 非常近似二體系統。
這個方法就是所謂的 「設限三體問題」。
它被證明相當有用， 適用的例子包括
描述在地球太陽重力場中的小行星，
或者在黑洞與恆星力場中的小行星。
至於我們的太陽系， 你會很高興聽到，
我們可以合理地肯定
它在接下來的數億年都會是穩定的。
但如果有另一顆恆星
從銀河系的另一端出發， 朝我們前來，
原本的預測就都不準了。