In this video, I'll compare and contrast
differential equations and iterated functions.
These are the two main types of dynamical systems
that we'll study in this course,
and, although they're very similar,
they do have some different mathematical properties,
and comparing the logistic equation,
as an iterated function and differential equation
can help make this clear,
and highlight some important distinctions.
So here on the left, is the logistic differential equation.
A differential equation (the form we'll be studying)
describes a function P
in terms of its rate of change.
So this says, we know the rate of change of P
if we know what P is.
The population growth depends on the population value
in these two parameters.
For an iterated function,
it also describes a population growth,
but here, f(P) is the population next year,
given the population P this year.
So we get a series of population values
by iterating this function.
So I began when I derived the logistic equation,
(I used this form),
but it's often simplified to this,
the A kind of gets absorbed inside x.
So this is what we worked with,
but the starting point for these two equations
is the same on the right-hand side.
What's different is, we interpret things
differently on the left-hand side.
So the right-hand side here
is interpreted as the growth rate.
The right-hand side here
is interpreted as the population next year.
So solutions to these iterated functions and differential equations
have a different character.
For differential equations,
the solution is population as a function of time,
and that would look, as we've seen,
maybe something like this.
For an iterated function,
we end up with a time series plot,
and that might look
something like this.
So notice the difference
between these two solutions.
In both cases, the blue curve
is the solution to the dynamical system.
The dynamical system is just a rule
that tells this blue thing what to do.
But for the differential equation,
the blue curve changes continuously.
It's defined at all times,
and it smoothly increases,
say, from here to here,
and it has to pass through all intermediate values.
For the iterated function,
the time moves in jumps.
It has an initial value at time 0,
then time 1,
then time 2,
and the value of the population also moves in jumps.
It goes from this value
to this value,
and even though we connect those dots,
it doesn't slide through all values in between.
It jumps from here at time 0
to here at time 1
without going through the intermediate values.
In this one, the differential equation,
time and the population are continuous.
Time and population are continuous.
But for the logistic equation
and all iterated functions,
the time and the population or whatever we're measuring
moves in jumps.
So, again, for the logistic equation and the iterated function,
time and population moves in jumps.
And this difference here,
together with the fact that these equations are deterministic,
gives rise to very different ranges of possible behaviors.
So we've seen for the iterated function
in Unit 3
that it's capable of producing cycles and chaos.
So cycles and chaos are possible.
Of course not all iterated functions
will show a cycle or will show chaos
and remember chaos is an aperiodic bounded orbit
that also has sensitive dependence on initial conditions.
For a differential equation, however,
cycles and chaos are not possible.
So let's think about why this is so.
So suppose a cycle was possible.
If that was the case,
I would have a solution curve
that looked something like that.
It goes up and down.
We can eliminate this possibility
by appealing to the determinism of this equation.
This equation says that the derivative,
the growth rate, the rate of change of the population, depends
only on the population.
(And r and K, but we're imagining those are fixed.)
So let's think about this blue curve here
that oscillates up and down.
I'm going to draw, just arbitrarily,
a dashed line through here.
And notice what happens.
Here, I have a particular p value,
the p value is at this dashed line,
and the population is increasing
so the derivative is positive.
The derivative is positive for this p value.
Over here, when the population is going back down,
the population is decreasing,
so the derivative is negative.
So that means at these two points,
here and here,
they're different derivatives.
So at the first purple arrow
the function is increasing : positive derivative.
At the second arrow
the function is decreasing: negative derivative.
But the problem is that
they have the same p value as on the y axis here.
And the p value is the same.
If this was true, this would say
different derivatives at the same p value.
But that's impossible
because the differential equation says
the derivative is a function of only the p value.
Another way of saying that is
a given p value only has one derivative associated with it.
If you know the population p
then that determines the derivative.
Here, if you know the population p
that does not determine the derivative,
because you have different derivatives
at the same p value.
So the conclusion, then, is
that cycles are not possible,
and chaos isn't possible as well.
Any behavior that goes up and down
(it doesn't have to be a regular cycle)
we can eliminate by this argument.
As we said in Unit 2
the range of behaviors for one dimensional differential equations
are kind of boring.
The function can increase to a fixed point
decrease to a fixed point,
decrease to infinity, increase to infinity,
and that's all it can do.
Iterated functions have a much richer array of behavior,
and that's because determinism doesn't constrain them
in the same way, so that it doesn't forbid cycles.
So cycles are possible in iterated functions
and chaos, aperiodic behavior, is possible as well.
In the next sub-unit
we'll leave iterated functions
behind for a little bit
and we'll look again at the logistic differential equation
and I'll add a term to it
and we'll start investigating bifurcations.
في هذا الفيديو، سأقارن وأعاير
المعادلات التفاضلية والتوابع التكرارية.
هذين النوعين الرئيسيين للأنظمة الديناميكية
التي سندرسها خلال هذه الدورة،
على الرغم من أنّهم متشابهين جداً،
إلا أن لديهم بعض الخصائص الرياضية المختلفة.
و بمقارنة المعادلة اللوجيستية،
كتابع تكراري و معادلة تفاضلية
نستطيع أن نجعل هذا واضحاً ،
و بتأكيد بعض الفوارق الهامة.
إذاً هنا على اليسار، يوجد المعادلة التفاضلية اللوجيستية.
معادلة تفاضلية (الشكل الذي سندرسه)
يصف دالة P
بدلالة نسبة التغيير.
إذاً، هذا يقول، إنّنا نعرف نسبة التغيير لـ P
إذا عرفنا ماهي P.
تطور الكثافة السكانية يعتمد على قيمة الكثافة السكانية
في هذين الوسيطين.
بالنسبة للتابع التكراري،
إنّه يصف تطور الكثافة السكانية،
لكن هنا، ( f(P هو الكثافة السكانية للعام القادم،
بالنظر إلى أنّ الكثافة السكانية P هذا العام.
إذاً نحصل على سلسلة من قيم الكثافة السكاانية
من خلال تكرار هذه الدالة.
إذاً عندما أبدأ أشتق المعادلة اللوجيستية،
( استخدمتُ هذا الشكل )،
لكنّه بالعادة مُبسّط لهذا،
الـ نوع A تُمتَّص نوعاً ما داخل x.
إذاً هذا ما عملنا به،
لكن النقطة الغريبة لهاتين المعادلتين
هي نفسها على الجهة اليمنى.
أيّ إختلافٍ هذا، إنّنا نفسّر الأشياء
بشكلٍ مختلف على الجهة اليسرى.
إذاً الجهة اليمنى هنا
مفسّرة كمعدل التطور.
الجهة اليمنى هنا
مفسّرة كالكثافة السكانية للعام القادم.
إذاً حلول التوابع التكرارية هذه والمعادلات التفاضلية
لديها ميزة مختلفة.
بالنسبة للمعادلات التفاضلية،
الحلول هي الكثافة السكانية كدالة للزمن،
وهذا سيبدو، كما رأينا،
ربما شيئاً كهذا.
بالنسبة للتابع التكراري،
إنّنا ننتهي برسم سلسلة زمنية بيانيا ً ،
وهذا ربما يبدو
شيئاً ما كهذا.
إذاً لاحظ الإختلاف
بين هذين الحلّين.
في الحالتين، المنحني الإزرق
هو الحل للنظام الديناميكي.
النظام الديناميكي هو قاعدة فقط
التي تخبر الشيء الأزرق ماذا عليه أن يفعل.
لكن بالنسبة للمعادلة التفاضلية،
المنحني الأزرق يتغير باستمرار.
إنّه يعرّف كل الأزمنة،
ويزداد بسلاسة،
قل ، من هنا إلى هنا،
وعليه أن يعبر كل القيم المتوسطة.
بالنسبة للتابع التكراري،
الزمن يتحرك بقفزات.
لديه قيمة إبتدائية عند الزمن 0،
ثم زمن 1،
ثمّ زمن 2،
وقيمة الكثافة السكانية تتحرك بقفزات أيضاً.
تذهب من هذه القيمة
لهذه القيمة.
وحتى لو وصلنا هذه النقاط،
لا تنزلق عبر كل القيم فيما بينها.
تقفز من هنا عند الزمن 0
إلى هنا عند الزمن 1
بدون المرور بالقيم المتوسطة.
في هذه، المعادلة التفاضلية،
الزمن والكثافة السكانية مستمرين.
لكن بالنسبة للمعادلة اللوجيستية
وكل التوابع التكرارية،
الزمن والكثافة السكانية أو أيّاً كان ما نقيسه
يتحرك بالقفزات.
إذاً مجدداً، بالنسبة للمعادلة اللوجيستية والتابع التكراري،
الزمن والكثافة السكانية يتحركان بالقفزات.
وهذا الإختلاف هنا،
مع حقيقة أنّ هذه المعادلات حتمية،
تعطي إرتفاع لنطاقات مختلفة جداً للسلوكيات المحتملة.
إذاً لقد رأينا بالتوابع التكرارية
في الوحدة 3
أنّها قادرة على إنتاج دورات و شواش.
إذاً الدورات والشواش مُحتملين.
بالطبع ليس كل التوابع التكرارية
ستُظهر دورة أو سَتُظهر شواش
وتذكر أنّ الشواش هو مدار محدود غير دوري
والذي لديه أيضاً إعتماد حساس على الشروط الإبتدائية.
بينما بالنسبة للمعادلة التفاضلية،
الدورات والشواش غير محتملين.
إذاً دعونا نفكر لمذا هذا.
إذاً، أفترض دورة محتملة .
إن كانت هذه المسألة.
سيكون لدي منحني حل
الذي يبدو شيئاً ما كهذا.
إنّه يرتفع وينخفض.
يمكننا أن نزيل هذه الإمكانية
من خلال إستئناف حتمية هذه المعادلة.
تقول هذه المعادلة أنّ المشتق،
معدل التطور، نسبة التغيير للكثافة السكانية، يعتمد
فقط على الكثافة السكانية.
(و r و K ، لكننا نتخيلهما كـ ثابتين.)
إذاً دعونا نفكر بهذا المنحني الأزرق هنا
الذي يتذبذب للأعلى والأسفل.
سوف أرسم، إعتباطياً فقط،
خط متقطع خلال هذا .
ولاحظ ماذا يحدث.
هنا، لدي قيمة معينة،
قيمة الـ p هي عند هذا الخط المتقطع،
والكثافة السكانية تتزايد
إذاً المشتق موجب.
المشتق موجب لقيمة الـ p هذه.
هنا، عندما تعود الكثافة السكانية للأسفل،
الكثافة السكانية تتناقص،
إذاً المشتق سالب.
إذاً ذلك يعني عند هاتين النقطتين،
هنا وهنا.
إنّهم مشتَقَّات مختللفة .
إذاً عند السهم البنفسجي الأول
الدالة تتزايد : مشتق موجب.
عند السهم الثاني
الدالة تتناقص : مشتق سالب.
لكن المشكلة هي أنّهم
لديهم نفس قيمة الـ p كما على محور y هنا.
وقيمة الـ p هي نفسها.
إن كان هذا صحيحاً، هذا سيقول
مشتقات مختلفة عند نفس قيمة الـ p.
لكن ذلك مستحيل
لأنّ المعادلة التفاضلية تقول
المشتق هو دالة لقيمة p واحدة فقط.
طريقة أخرى لقول ذلك هي
أنّ قيمة p المعطاة لديها فقط مشتق واحد مترافق معها.
إذا علمت الكثافة السكانية p
عندئذٍ ذلك يحدد المشتق.
هنا، إذا عرفت الكثافة السكانية p
ذلك لا يحدد المشتق،
لأنّه لديك مشتقات مختلفة
عند نفس قيمة الـ p.
إذاً الإستنتاج، عندئذٍ هو،
أنّ الدورات ليست ممكنة،
والشواش ليس ممكناً أيضاً.
أي سلوك يرتفع وينخفض
(لا يجب أن يكون دورة منتظمة )
يمكننا أن نزيل بهذا الجدال.
كما قلنا بالوحدة 2
نطاق السلوكيات للمعادلات التفاضلية أحادية البعد
مملة نوعاً ما.
الدالة ممكن أن تزداد لنقطة ثابتة
تتناقص لنقطة ثابتة،
تتناقص إلى اللانهاية، تتزايد إلى اللانهاية،
وهذا كل ما يمكنها فعله.
التوابع التكرارية مصفوفة سلوك أغنى بكثير،
وذلك بسبب أنّ الحتمية لا تقيدهم
بنفس ااطريقة، إذاً ذلك لا يمنع الدورات.
إذاً الدورات ممكنة في التوابع التكرارية
والشواش، السلوك الغير دوري، ممكنٌ أيضاً.
في الوحدة الفرعية التالية
سنترك خلفنا التوابع التكرارية
قليلاً
وسننظر مجدداً للمعادلة التفاضلية اللوجيستية
وسأضيف مصطلح لها
وسنبدأ ببحث التشعبات.
En este video compararé y contrastaré
las ecuaciones diferenciales y las funciones iterativas
Estas son los dos tipos principales de sistemas dinámicos
que estudiaremos en este curso.
Y otros muy parecidos que tienen propiedades matemáticas diferentes
Comparando la ecuación logística
que posee una funcion iterada y una ecuación diferencial
nos puede ayudar a clarificar y resaltar algunas
diferencias importantes. Aquí a la izquierda
está la ecuación logística en forma diferencial
la forma que estamos viendo describe la función P en términos de su tasa de cambio
entonces, sabemos cuál es la tasa de cambio de P (dP/dt) si sabemos cuánto es P
el crecimiento de la población (dP/dt), depende del valor tomado por la población (P)
y estos dos parámetros.
Para una función iterada, también se describe el crecimiento de la población
pero aquí f(P) es la población del siguiente año
dada la población en este año
Entonces tenemos una serie de valores de población iterando esta función
Cuando comencé con la ecuación logística usé esta forma de la misma
Pero usualmente es simplificada a esta forma
donde A es absorbida por x.
Entonces esta forma es la que usaremos.
Pero, el punto de partida para estas dos ecuaciones
es el mismo en el lado derecho de la ecuación
La diferencia es que hacemos distintas interpretaciones a la izquierda
Entonces, el lado derecho aquí es interpretado como
la tasa de crecimiento
y el lado derecho aquí es interpretado como
la población en el año siguiente
Entonces, las soluciones a estas funciones iterativas y a las ecuaciones diferenciales
tienen un caracter distinto
Para las ecuaciones diferenciales:
la solución
es población como función del tiempo (P(t))
y se vería como algo así...
Para una función iterativa:
Graficamos una serie temporal
La cual puede parecerse a:
Algo como esto
Entonces, noten las diferencias entre estas dos
soluciones. En ambos casos la curva azul es la
solución a los sistemas dinámicos. Los cuales son
una regla que les dice a las curvas azules cómo comportarse
Pero, para las ecuaciones diferenciales, la curva
azul cambia continuamente, se define todo el tiempo
creciendo suavemente de aquí hasta aquí pasando
a través de todos los valores intermedios.
En cambio, para la función iterativa:
el tiempo se mueve a través de saltos
tiene un valor inicial en 0, luego 1, luego 2
y el valor de la población también se mueve por saltos
va de este valor a este valor, y las líneas que conectan
los puntos, saltan de aquí en el tiempo cero hasta aquí en el tiempo 1
sin tomar los valores intermedios.
Entonces, en esta, la ecuación diferencial,
tanto el tiempo como la población son continuos
(Escribe: Tiempo y población son continuos)
Pero para la ecuación logística y para todas las funciones iteradas
el tiempo y la población o cualquier medida que tomemos
se mueven a través de saltos.
Escribe: (el tiempo y la población se mueve por saltos)
Entonces, otra vez, para la ecuación logística en la función iterada
el tiempo y la población se mueven por saltos
y esta diferencia aquí, junto al hecho de que estas ecuaciones son deterministas
da lugar a un rango muy amplio y distinto de posibles comportamientos.
Entonces, como vimos en la funciones iterativas en la unidad III
que, son capaces de producir ciclos y caos.
Entonces: escribe (ciclos y caos son posibles)
Ahora, no todas las funciones iteradas muestran ciclos o caos
recuerden que caos es una órbita aperiódica y limitada que también posee
SDIC (Sensible Dependencia sobre las Condiciones Iniciales)
Para una ecuación diferencial, sin embargo, los ciclos y el caos no son posibles.
Escribe: (ciclos y caos no son posibles)
Entonces, pensemos acerca porqué esto es así.
supongamos que un ciclo es positivo
Este sería el caso
tendríamos una curva solución parecida a esta, que sube y baja
Podemos eliminar esta posibilidad apelando al determinismo de esta ecuación
Esta ecuación dice: que la derivada de la tasa de crecimiento de la población depende
solamente en la población... y en K pero imaginamos que estos están fijos
Pensemos acerca de esta curva azul que sube y baja
voy a dibujar, arbitrariamente una línea punteada
Notemos qué es lo que pasa. Aquí tengo un valor particular de P
(el de la línea punteada) y la población crece, entonces la derivada es positiva
la derivada entonces es positiva para este valor de P
Aquí, cuando el ciclo, cuando la población está bajando
la derivada es negativa, eso significa que en estos dos puntos
aquí y aquí, son derivadas diferentes
Entonces, la primer flecha púrpura, dice que la función crece, derivada positiva
y la segunda flecha, que la función decrece y la derivada es negativa
Pero el problema es que tienen el mismo valor de P, denotado por el eje aquí
y el valor de P es el mismo
Si estos es cierto, entonces: valores diferentes de P
perdón, diferentes derivadas sobre el mismo valor de P
Pero, eso es imposible
porque la ecuación diferencial, dice que la derivada
es una función solamente de P. Otra forma de decirlo es:
el mismo valor de P... o... o... un valor dado de P solo tiene un valor de derivada asociado con el
Si sabemos la población P entonces, eso determina la derivada
Aquí si sabemos la población P no está determinando la derivada porque
tenemos diferentes derivadas para el mismo valor de P
Entonces, la conclusión es: Los ciclos no son posibles y el caos es imposible también
Todo comportamiento que suba y baje, no tiene porqué ser un ciclo regular, lo podemos eliminar a través de este argumento.
Dijimos esto en la unidad II.
El rango de comportamientos para ecuaciones diferenciales unidimensionales son un tanto aburridos
La función puede incrementarse hasta un punto fijo
disminuir hasta un punto fijo
decrecer hasta el infinito, crecer hasta el infinito. Eso es todo lo que puede hacer.
Las funciones iterativas tienen un rango mucho más rico de comportamientos.
Y eso es porque el determinismo no las limita de la misma manera
por lo que no prohibe los ciclos. Entonces, los ciclos
son posibles en funciones iterativas y el caos y el comportamiento periódico también los son.