﻿[Script Info] Title: [Events] Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text Dialogue: 0,0:00:02.38,0:00:06.01,Default,,0000,0000,0000,,最后一节，我们讲些导数 Dialogue: 0,0:00:06.01,0:00:08.38,Default,,0000,0000,0000,,可能说得太多了 Dialogue: 0,0:00:08.38,0:00:10.39,Default,,0000,0000,0000,,要点就是 Dialogue: 0,0:00:10.42,0:00:12.57,Default,,0000,0000,0000,,导数是 Dialogue: 0,0:00:12.57,0:00:14.43,Default,,0000,0000,0000,,瞬间改变率 Dialogue: 0,0:00:14.43,0:00:20.54,Default,,0000,0000,0000,,告诉你瞬间增长或者收缩有多快 Dialogue: 0,0:00:20.54,0:00:23.37,Default,,0000,0000,0000,,我们现在可以讲微分方程了 Dialogue: 0,0:00:23.37,0:00:25.69,Default,,0000,0000,0000,,这是另一种动力系统 Dialogue: 0,0:00:25.69,0:00:27.30,Default,,0000,0000,0000,,下面几节里 Dialogue: 0,0:00:27.36,0:00:31.18,Default,,0000,0000,0000,,我们会讲不同的微分方程 Dialogue: 0,0:00:31.18,0:00:32.30,Default,,0000,0000,0000,,以及如何求解 Dialogue: 0,0:00:32.30,0:00:34.44,Default,,0000,0000,0000,,解的意义 Dialogue: 0,0:00:34.44,0:00:37.98,Default,,0000,0000,0000,,我其实并不清楚具体的顺序 Dialogue: 0,0:00:37.98,0:00:41.30,Default,,0000,0000,0000,,但是我相信到最后 Dialogue: 0,0:00:41.30,0:00:44.11,Default,,0000,0000,0000,,你们都会理解什么是微分方程 Dialogue: 0,0:00:44.11,0:00:45.66,Default,,0000,0000,0000,,解是什么 Dialogue: 0,0:00:45.66,0:00:48.77,Default,,0000,0000,0000,,以及如何求解动力系统 Dialogue: 0,0:00:48.77,0:00:50.62,Default,,0000,0000,0000,,让我们开始 Dialogue: 0,0:00:57.57,0:01:02.60,Default,,0000,0000,0000,,比较微分方程和递推函数 Dialogue: 0,0:01:02.60,0:01:04.77,Default,,0000,0000,0000,,这是第一类动力系统 Dialogue: 0,0:01:04.77,0:01:07.15,Default,,0000,0000,0000,,这是递推函数 Dialogue: 0,0:01:07.15,0:01:10.06,Default,,0000,0000,0000,,记号很清楚 Dialogue: 0,0:01:10.06,0:01:11.70,Default,,0000,0000,0000,,初始值 Dialogue: 0,0:01:11.70,0:01:17.30,Default,,0000,0000,0000,,作用函数就得到下一个值 Dialogue: 0,0:01:17.30,0:01:23.68,Default,,0000,0000,0000,,得到轨道里的下一个值 Dialogue: 0,0:01:23.68,0:01:28.90,Default,,0000,0000,0000,,函数可能输出不同的值 依赖于当前的值 Dialogue: 0,0:01:28.90,0:01:35.65,Default,,0000,0000,0000,,微分方程要用到导数 Dialogue: 0,0:01:35.65,0:01:40.15,Default,,0000,0000,0000,,x是t的函数 Dialogue: 0,0:01:40.15,0:01:44.05,Default,,0000,0000,0000,,导数是x的函数 Dialogue: 0,0:01:44.05,0:01:45.13,Default,,0000,0000,0000,,让我们看下 Dialogue: 0,0:01:45.13,0:01:47.38,Default,,0000,0000,0000,,x的导数 Dialogue: 0,0:01:47.38,0:01:51.52,Default,,0000,0000,0000,,就是x的瞬间改变率 Dialogue: 0,0:01:51.52,0:01:54.28,Default,,0000,0000,0000,,告诉我们x如何改变 Dialogue: 0,0:01:54.28,0:01:57.70,Default,,0000,0000,0000,,x如何改变 Dialogue: 0,0:01:57.70,0:01:59.06,Default,,0000,0000,0000,,作为x的函数 Dialogue: 0,0:01:59.06,0:02:02.98,Default,,0000,0000,0000,,有了x就有x的改变率 Dialogue: 0,0:02:02.98,0:02:09.71,Default,,0000,0000,0000,,我们可以得到x的下一个值 Dialogue: 0,0:02:15.30,0:02:17.82,Default,,0000,0000,0000,,当求解递归函数时 Dialogue: 0,0:02:17.82,0:02:21.75,Default,,0000,0000,0000,,需要一个初始值 Dialogue: 0,0:02:21.75,0:02:25.79,Default,,0000,0000,0000,,从而可以得到一个轨道 Dialogue: 0,0:02:29.90,0:02:31.18,Default,,0000,0000,0000,,第一次迭代 Dialogue: 0,0:02:31.78,0:02:32.79,Default,,0000,0000,0000,,第二次 Dialogue: 0,0:02:33.50,0:02:34.79,Default,,0000,0000,0000,,第三次 Dialogue: 0,0:02:35.55,0:02:36.86,Default,,0000,0000,0000,,等等 Dialogue: 0,0:02:38.06,0:02:41.13,Default,,0000,0000,0000,,对于微分方程 Dialogue: 0,0:02:41.13,0:02:44.22,Default,,0000,0000,0000,,也要一个初始值 Dialogue: 0,0:02:44.22,0:02:46.28,Default,,0000,0000,0000,,记为x0 Dialogue: 0,0:02:46.28,0:02:52.75,Default,,0000,0000,0000,,x在时间0的值 Dialogue: 0,0:02:52.75,0:02:56.27,Default,,0000,0000,0000,,你需要一个初始值 Dialogue: 0,0:02:56.27,0:02:57.78,Default,,0000,0000,0000,,无论是什么 Dialogue: 0,0:02:57.78,0:03:02.30,Default,,0000,0000,0000,,这个函数告诉你如何改变 Dialogue: 0,0:03:02.30,0:03:06.45,Default,,0000,0000,0000,,告诉你的信息并不直接 Dialogue: 0,0:03:06.45,0:03:08.35,Default,,0000,0000,0000,,告诉你下一个值是什么 Dialogue: 0,0:03:08.35,0:03:10.69,Default,,0000,0000,0000,,微分方程告诉你 Dialogue: 0,0:03:10.69,0:03:15.07,Default,,0000,0000,0000,,x怎么改变的 Dialogue: 0,0:03:15.07,0:03:22.52,Default,,0000,0000,0000,,解并不是离散的轨道，是个连续函数 Dialogue: 0,0:03:22.52,0:03:29.54,Default,,0000,0000,0000,,解是一个函数 Dialogue: 0,0:03:34.06,0:03:37.75,Default,,0000,0000,0000,,关于t的函数 Dialogue: 0,0:03:37.75,0:03:38.49,Default,,0000,0000,0000,,t Dialogue: 0,0:03:38.49,0:03:41.30,Default,,0000,0000,0000,,x是t的函数 Dialogue: 0,0:03:41.30,0:03:42.36,Default,,0000,0000,0000,,谁知道是什么 Dialogue: 0,0:03:42.36,0:03:44.77,Default,,0000,0000,0000,,这是一个例子 Dialogue: 0,0:03:44.77,0:03:50.78,Default,,0000,0000,0000,,不像一个时间序列图 Dialogue: 0,0:03:50.78,0:03:51.70,Default,,0000,0000,0000,,它是离散的 Dialogue: 0,0:03:51.70,0:03:53.60,Default,,0000,0000,0000,,这里是连续的 Dialogue: 0,0:03:53.60,0:03:55.53,Default,,0000,0000,0000,,由初始条件开始 Dialogue: 0,0:03:55.53,0:04:00.82,Default,,0000,0000,0000,,然后增长或者减小 Dialogue: 0,0:04:00.82,0:04:03.99,Default,,0000,0000,0000,,由微分方程来决定 Dialogue: 0,0:04:06.53,0:04:10.77,Default,,0000,0000,0000,,我们可以有不同的方式看微分方程 Dialogue: 0,0:04:10.77,0:04:13.60,Default,,0000,0000,0000,,微分方程也是动力系统 Dialogue: 0,0:04:13.60,0:04:17.65,Default,,0000,0000,0000,,依时间改变的系统 Dialogue: 0,0:04:17.65,0:04:22.78,Default,,0000,0000,0000,,这是个例子 引起你的思考 Dialogue: 0,0:04:22.78,0:04:27.41,Default,,0000,0000,0000,,手提电话里有种设备叫导航仪 Dialogue: 0,0:04:27.41,0:04:30.65,Default,,0000,0000,0000,,汽车里也有 Dialogue: 0,0:04:30.65,0:04:33.36,Default,,0000,0000,0000,,输入从哪里出发 Dialogue: 0,0:04:33.36,0:04:36.02,Default,,0000,0000,0000,,就给你指出一条路 Dialogue: 0,0:04:36.02,0:04:40.46,Default,,0000,0000,0000,,你沿着这些方向走 Dialogue: 0,0:04:40.46,0:04:46.52,Default,,0000,0000,0000,,我输入班歌，缅因州 Dialogue: 0,0:04:46.52,0:04:48.95,Default,,0000,0000,0000,,从校园出发 Dialogue: 0,0:04:48.95,0:04:54.41,Default,,0000,0000,0000,,然后跟着方向走 Dialogue: 0,0:04:54.41,0:04:59.95,Default,,0000,0000,0000,,它告诉我具体怎么走 Dialogue: 0,0:04:59.95,0:05:03.52,Default,,0000,0000,0000,,这就是方向的集合 Dialogue: 0,0:05:03.52,0:05:06.03,Default,,0000,0000,0000,,当我在一个不同的地方 Dialogue: 0,0:05:06.03,0:05:08.17,Default,,0000,0000,0000,,我可以沿着方向走 Dialogue: 0,0:05:08.17,0:05:10.90,Default,,0000,0000,0000,,它会给我不同的方向提示 Dialogue: 0,0:05:10.90,0:05:13.02,Default,,0000,0000,0000,,基于我现在的位置 Dialogue: 0,0:05:13.02,0:05:15.43,Default,,0000,0000,0000,,不断地提示我 Dialogue: 0,0:05:15.43,0:05:19.78,Default,,0000,0000,0000,,告诉我方位 Dialogue: 0,0:05:19.78,0:05:22.45,Default,,0000,0000,0000,,就像x值 Dialogue: 0,0:05:22.45,0:05:25.83,Default,,0000,0000,0000,,总是告诉我怎么做 Dialogue: 0,0:05:25.83,0:05:29.11,Default,,0000,0000,0000,,微分方程也很相似 Dialogue: 0,0:05:29.11,0:05:34.11,Default,,0000,0000,0000,,告诉我方向 而不是位置 Dialogue: 0,0:05:34.11,0:05:36.75,Default,,0000,0000,0000,,走这里 走那里 Dialogue: 0,0:05:36.75,0:05:39.30,Default,,0000,0000,0000,,它告诉我走多快 Dialogue: 0,0:05:39.30,0:05:40.45,Default,,0000,0000,0000,,导数是多少 Dialogue: 0,0:05:40.45,0:05:41.61,Default,,0000,0000,0000,,速度是多少 Dialogue: 0,0:05:41.61,0:05:43.65,Default,,0000,0000,0000,,方向是多少 Dialogue: 0,0:05:43.65,0:05:47.90,Default,,0000,0000,0000,,微分方程连续地告诉我 Dialogue: 0,0:05:47.90,0:05:49.45,Default,,0000,0000,0000,,导数应该是什么 Dialogue: 0,0:05:49.45,0:05:50.66,Default,,0000,0000,0000,,导数是什么 Dialogue: 0,0:05:50.66,0:05:54.78,Default,,0000,0000,0000,,在每一点 连续地告诉我 Dialogue: 0,0:05:54.78,0:05:56.57,Default,,0000,0000,0000,,有点讨厌 Dialogue: 0,0:05:56.57,0:05:59.53,Default,,0000,0000,0000,,这样我就得到了一条曲线 Dialogue: 0,0:05:59.53,0:06:03.22,Default,,0000,0000,0000,,很像递推函数 Dialogue: 0,0:06:03.22,0:06:06.98,Default,,0000,0000,0000,,连续的运用 得到一条轨道 Dialogue: 0,0:06:06.98,0:06:11.99,Default,,0000,0000,0000,,微分方程是微分形式的动力系统 Dialogue: 0,0:06:11.99,0:06:15.30,Default,,0000,0000,0000,,但和差分方程很相似 Dialogue: 0,0:06:15.30,0:06:19.15,Default,,0000,0000,0000,,是道路空间的规则 Dialogue: 0,0:06:19.15,0:06:20.17,Default,,0000,0000,0000,,无论是什么 Dialogue: 0,0:06:20.17,0:06:23.33,Default,,0000,0000,0000,,只要有初始条件 Dialogue: 0,0:06:26.08,0:06:29.41,Default,,0000,0000,0000,,我们回头看方程 Dialogue: 0,0:06:29.41,0:06:32.30,Default,,0000,0000,0000,,微分方程是这种形式的 Dialogue: 0,0:06:32.30,0:06:35.66,Default,,0000,0000,0000,,看成x的导数 Dialogue: 0,0:06:35.66,0:06:41.06,Default,,0000,0000,0000,,这个方程说的是 Dialogue: 0,0:06:41.06,0:06:46.20,Default,,0000,0000,0000,,x的改变率，无论多快或者多慢 Dialogue: 0,0:06:46.20,0:06:47.52,Default,,0000,0000,0000,,就是导数 Dialogue: 0,0:06:47.52,0:06:49.82,Default,,0000,0000,0000,,是由 Dialogue: 0,0:06:49.82,0:06:52.33,Default,,0000,0000,0000,,x的函数 Dialogue: 0,0:06:52.33,0:06:56.13,Default,,0000,0000,0000,,x改变， 函数 Dialogue: 0,0:06:56.13,0:06:59.06,Default,,0000,0000,0000,,总是告诉我下个x的值 Dialogue: 0,0:06:59.06,0:07:02.34,Default,,0000,0000,0000,,x如何继续改变 Dialogue: 0,0:07:02.41,0:07:06.17,Default,,0000,0000,0000,,这决定了x的改变率 Dialogue: 0,0:07:06.17,0:07:07.78,Default,,0000,0000,0000,,来自于x的改变 Dialogue: 0,0:07:07.78,0:07:09.78,Default,,0000,0000,0000,,我们可以解出x Dialogue: 0,0:07:09.78,0:07:11.66,Default,,0000,0000,0000,,这是我们感兴趣的事 Dialogue: 0,0:07:11.66,0:07:14.66,Default,,0000,0000,0000,,比如，你知道速度和方向 Dialogue: 0,0:07:14.66,0:07:18.53,Default,,0000,0000,0000,,你可以得到位置的函数 Dialogue: 0,0:07:18.53,0:07:21.70,Default,,0000,0000,0000,,下面一章 我们给个具体的例子 Dialogue: 0,0:07:21.70,0:07:23.65,Default,,0000,0000,0000,,告诉你如何做