Pretty much everyone loves eating pizza,
but it can be a messy business.
Pizza is soft and bendable.
So how can you stop all that cheese from falling off?
You might know some tricks:
you can use two hands -- not so classy,
or you can use a paper plate
and allow only the tip of the pizza to peek out.
There's one other trick, though:
holding the crust, you can sort of fold the slice down the middle.
Now the tip of the pizza isn't falling over,
and you can eat it without getting tomato sauce all over yourself
or accidentally biting off some of that paper plate.
But why should the tip stay up just because you bent the crust?
To understand this, you need to know two things:
a little bit about the math of curved shapes
and a little about the physics of thin sheets.
First, the math.
Suppose I have a flat sheet made out of rubber.
It's really thin and bendable, so it's easy to roll into a cylinder.
I don't need to stretch the sheet at all, just bend it.
This property where one shape can be transformed into another
without stretching or crumpling, is called isometry.
A mathematician would say that a flat sheet is isometric to a cylinder.
But not all shapes are isometric.
If I try to turn my flat sheet into part of a sphere,
there's no way I can do it.
You can check this for yourself,
by trying to fit a flat sheet of paper onto a soccer ball
without stretching or crumpling the paper.
It's just not possible.
So a mathematician would say
that a flat sheet and a sphere aren't isometric.
There's one more familiar shape that isn't isometric
to any of the shapes we've seen so far: a potato chip.
Potato chip shapes aren't isometric to flat sheets.
If you want to get a flat piece of rubber into the shape of a potato chip,
you need to stretch it -- not just bend it, but stretch it as well.
So, that's the math.
Not so hard, right?
Now for the physics.
It can be summed up in one sentence:
Thin sheets are easy to bend but hard to stretch.
This is really important.
Thin sheets are easy to bend but hard to stretch.
Remember when we rolled our flat sheet of rubber into a cylinder?
That wasn't hard, right?
But imagine how hard you'd have pull on the sheet
to increase its area by 10 percent.
It would be pretty difficult.
The point is that bending a thin sheet
takes a relatively small amount of force,
but stretching or crumbling a thin sheet is much harder.
Now, finally, we get to talk about pizza.
Suppose you go down to the pizzeria and buy yourself a slice.
You pick it up from the crust, first, without doing the fold.
Because of gravity, the slice bends downwards.
Pizza is pretty thin, after all,
and we know that thin sheets are easy to bend.
You can't get it in your mouth,
cheese and tomato sauce dripping everywhere -- it's a big mess.
So you fold the crust.
When you do, you force the pizza into something like a taco shape.
That's not hard to do -- after all, this shape is isometric
to the original pizza, which was flat.
But imagine what would happen if the pizza were to droop down
while you're bending it.
Now it looks like a droopy taco.
And what does a droopy taco look like? A potato chip!
But we know that potato chips are not isometric to flat pieces of rubber
or flat pizzas,
and that means that in order to get into the shape it's in now,
the slice of pizza had to stretch.
Since the pizza is thin, this takes a lot of force,
compared to the amount of force it takes
to bend the pizza in the first place.
So, what's the conclusion?
When you fold the pizza at the crust,
you make it into a shape where a lot of force is needed to bend the tip down.
Often gravity isn't strong enough to provide this force.
That was kind of a lot of information,
so let's do a quick backwards recap.
When pizza is folded at the crust,
gravity isn't strong enough to bend the tip.
Why? Because stretching a pizza is hard.
And to bend the tip downwards, the pizza would have to stretch,
because the shape the pizza would be in,
the droopy taco shape,
isn't isometric to the original flat pizza.
Why? Because of math.
As the pizza example shows, we can learn a lot
by looking at the mathematical properties of different shapes.
And it's especially nice when those shapes happen to be pizza slices.
يحب معظم الناس أكل البيتزا،
ولكن يمكنها أن تكون عملًا فوضويًا.
البيتزا لينة وقابل للانحناء، فكيف يمكنك إيقاف كل ذلك الجبن من السقوط؟
قد تعرف بعضاً من الحيل:
يمكنك استخدام اليدين الاثنين،
ليس أنيق جدا،
أو يمكنك استخدام صحن ورقي
والسماح فقط لراس البيتزا بالظهور خارجاً.
هناك حيلة أخرى:
ماسكًا القشرة، يمكنك نوعا ما طي قطعة البيتزا في الوسط.
الآن طرف البيتزا ليس ساقطاً،
ويمكنك أكلها دون أن تجد صلصة الطماطم في جميع ارجاء نفسك
أو بالخطأ عض بعض من ذلك الصحن الورقي
لكن، لماذا ينبغي على الرأس البقاء للأعلي لمجرد أنك قمت بطي القشرة؟
لفهم ذلك، تحتاج إلى معرفة شيئين:
قليلاً عن رياضيات الأشكال المنحنية،
وقليلا عن فيزياء الصفائح الرقيقة.
أولاً، الرياضيات.
لنفترض لدي ورقة مستوية مصنوعة من المطاط.
انها رقيقة جداً وقابلة للانحناء، لذلك فإنه من السهل طيها الى اسطوانة.
ولست بحاجة لمد الورقة على الإطلاق، فقط ثنيها.
هذه الخاصية حيث يمكن تحويل شكل واحد إلى شكل آخر
دون التمدد أو التجعد تسمى تساوي الأبعاد.
ومن شأن عالم الرياضيات القول بأن الصفيحة المستوية هي متساوية الأبعاد إلى الاسطوانة.
ولكن، ليس كل الأشكال متساوية الأبعاد.
إذا حاولت تحويل ورقتي المستوية إلى جزء من كرة،
لا توجد وسيلة تمكنني من فعل ذلك.
يمكنك التحقق من هذا بنفسك من خلال محاولة احتواء
ورقة مستوية من الورق على كرة قدم
دون تمدد أو تجعد الورقة.
انه غير ممكن.
لذا فإن عالم الرياضيات سيقول
أن الصفيحة المستوية والكرة ليستا متساويين الابعاد.
هناك أكثر من شكل مألوف ليس متساوي الابعاد
لأي من الأشكال التي شاهدناها حتى الآن:
رقاقة البطاطا.
رقاقة البطاطا ليست متساوية الابعاد للصحائف المستوية.
إذا كنت ترغب في الحصول على قطعة مستوية من المطاط في شكل رقائق البطاطس،
تحتاج إلى أن تمدها،
ليس فقط ثنيها، ولكن مدها أيضاً.
إذاً، ذلك هو الرياضيات.
ليس صعب جدا، أليس كذلك؟
الآن للفيزياء.
يمكن تلخيصها في جملة واحدة:
الصفائح الرقيقة يسهل ثنيها ولكن من الصعب أن تمتد.
هذا مهم جدا.
الصفائح الرقيقة يسهل ثنيها ولكن من الصعب أن تمتد.
تذكر عندما قمنا بلف ورقتنا المستوية من المطاط الى اسطوانة؟
ذلك لم يكن صعباً، أليس كذلك؟
ولكن تخيل مدى صعوبة السحب على ورقة
لزيادة مساحتها بنسبة 10٪.
سيكون من الصعب جداً.
الهدف هو أن ثني صفيحة رقيقة يأخذ كمية صغيرة نسبياً من القوة،
ولكن مد أو تجعد صحيفة رقيقة هو أصعب من ذلك بكثير.
الآن، أخيراً، نصل إلى الحديث عن البيتزا.
افترض أنك ذهبت الى مطعم بيتزا واشتريت لنفسك قطعة بيتزا.
تمسكها من القشرة، أولاً، دون أن تقوم بالثني.
بسبب الجاذبية، القطعة تنحني إلى الأسفل.
بعد كل شيء، البيتزا رقيقة جداً
ونحن نعلم أن الصفائح الرقيقة من السهل أن تنحني.
لا يمكنك ادخالها في فمك،
الجبنة وصلصة الطماطم تتساقط في كل مكان،
انها فوضى كبيرة.
لذلك تثني القشرة.
عند قيامك بذلك، تجبر شكل البيتزا إلى ما يشبه التاكو.
ليس من الصعب القيام بذلك.
بعد كل شيء، هذا الشكل هو متساوي الابعاد إلى البيتزا الأصلية، والتي كانت مستوية.
ولكن تخيل ماذا سيحدث لو البيتزا سقطت للأسفل
بينما كنت تثنيها.
الآن تبدو وكأنها تاكو متدل.
وكيف يبدو التاكو المتدل ؟
رقاقة البطاطا!
ولكننا نعرف أن رقائق البطاطا ليست متساوية الابعاد لقطعة مستوية من المطاط،
أو البيتزا المستوية
وهذا يعني أنه من أجل الحصول علي الشكل التي هي فيه الآن،
قطعة البيتزا كانت يجب أن تمتد.
لأن البيتزا رقيقة، هذا يتطلب الكثير من القوة،
بالمقارنة مع مقدار القوة التي تستغرق
لثني البيتزا في المقام الأول.
اذاً، ما هو الاستنتاج؟
عندما تثني البيتزا عند القشرة،
تجعلها في شكل حيث هناك حاجة إلى الكثير من القوة لثني الطرف لأسفل.
في كثير من الأحيان الجاذبية ليست قوية بما يكفي لتوفير هذه القوة.
ذلك كان نوعا ما الكثير من المعلومات،
لذلك دعونا نقم بخلاصة سريعة إلى الوراء.
عندما يتم طي البيتزا في القشرة،
الجاذبية ليست قوية بما يكفي لثني الحافة.
لماذا؟
لأن ثني البيتزا صعب
ولثني الرأس الى أسفل
يجب على البيتزا أن تمتد.
لماذا؟
لأن الشكل الذي ستكون فيه البيتزا،
شكل التاكو المتدل،
ليس متساوي الأبعاد لشكل البيتزا المستوية الأصلي.
لماذا؟
بسبب الرياضيات.
كما يظهر في مثال البيتزا،
يمكننا أن نتعلم الكثير من خلال النظر في الخصائص الرياضية لمختلف الاشكال.
وانه لطيف خصوصا عندما تكون تلك الأشكال شرائح البيتزا.
زۆر کەس حەز لە خواردنی پیتزا دەکەن،
بەڵام دەکرێت کارێکی خراپ بێت.
پیتزا نەرمە و توانای چەمانەوەی هەیە .
کەواتە چۆن دەتوانی ئەو هەموو پەنیرانە بوەستێنی لە کەوتنە خوارەوە؟
لەوانەیە هەندێک فێڵ بزانیت:
دەتوانی هەردوو دەستت بەکاربهێنی -زۆر نەریتی نییە،
یان دەتوانی قاپی کاغەزی بەکاربهێنیت
و تەنها ڕێگە بە سەری پیتزاکە بدەیت دەرکەوێت.
فێڵێکی تر هەیە، هەرچەندە:
گرتنی پارچەکە، دەتوانیت بەجۆرێک بێت کە لە ناوەراستەوە لولی بدەیت.
ئێستا لایەکی پیتزاکە ناکەوێتە سەر زەوی،
و دەتوانیت بیخۆیت بەبێ ئەوەی سۆسی تەماتە بکەوێت بەسەرتدا
یان بەڕێکەوت گاز لە بەشێکی قاپە کاغەزیەکە بگریت.
بەڵام بۆ پێویستە سەرەکە بە بەرزی بمێنێتەوە تەنها لەبەر ئەوەی لێوارەکە دەچەمێنیتەوە؟
بۆ تێگەشتن لەمە ، پێویستە دوو شت بزانیت :
کەمێک دەربارەی بیرکاری شێوە چەماوەکان
و کەمێک دەربارەی فیزیای پەڕە باریکەکان.
یەکەم ، بیرکاری.
وادادەنێم پەڕەیەکی تەختم هەیە کە لە لاستیک دروستکراوە.
بەڕاستی باریک و چەماوەیە، بۆیە ئاسانە بۆ لولدان بۆ ناو لولەکێک.
پێویست ناکات بەهیچ جۆرێک پەڕەکە درێژبکەمەوە ، تەنها دەیچەمێنمەوە.
ئەم تایبەتمەندییە کە یەک شێوە دەکرێت بگۆرێت بۆ شێوەیەکی تر.
بەبێ درێژکردنەوە یان وردکردن پێیدەگوترێ هاوپێوانەی.
بیرکاریزانێک دەڵێت پەڕەی تەخت هاوپێوانەییە بۆ لولەک.
بەڵام هەموو شێوەکان هاوپێوانەی نین.
ئەگەر هەوڵبدەم پەڕە تەختەکەم بگۆڕم بۆ بەشێک لە گۆ،
هیچ ڕێگایەک نییە کە بتوانم بیکەم.
دەتوانی ئەوە تاقی بکەیتەوە بۆ خۆت،
بە هەوڵدان بۆ خستنە ناوەوەی پەڕەیەکی تەختی کاغەز بۆ ناو تۆپێکی پێ
بە بێ درێژکردنەوە یان وردکردنی کاغەزەکە.
ئەوە ناکرێت.
بۆیە بیرکاریزانێک دەڵێت
کە پەڕەی تەخت و گۆ هاوپێوانەی نین.
لە شتێک زیاتر هەیە کە شێوەی ڕێک نییە
بۆ هەر یەکێک لەو شێوانەی کە تا ئێستا بینیومانن: پارچە پەتاتەیەک.
شێوەکانی پارچە پەتاتە هاوپێوانەی نین بۆ پەڕە تەختەکان.
ئەگەر دەتەوێت پارچە پەتاتەی رێکت دەستکەوێت،
پێویستت بەوەیە درێژی بکەیت- نەک تەنها بیچەمێنیتەوە، درێژیشی بکەیت.
کەواتە ، ئەمە بیرکاریە
زۆر سەخت نییە، ئەی وانیە؟
ئێستا بۆ فیزیا.
دەکرێت لە یەک رستەدا کۆبکرێتەوە :
پەڕە باریکەکان ئاسانن بۆ چەماندنەوە بەڵام قورسن بۆ درێژکردنەوە.
ئەمە زۆر گرنگە.
پەڕە باریکەکان ئاسانن بۆ چەماندنەوە بەڵام قورسن بۆ درێژکردنەوە.
لە بیرتە کاتێک کە ئێمە پەڕەی لاستیکە تەختەکەمان لولدا بۆ ناو لولەکێک؟
ئەو شتە قورس نەبوو، ئەی وانیە؟
بەڵام خەیاڵ بکە چەند ئەستەم دەبێت ڕاکێشانی لەسەر کاغەزەکە
بۆ زیادکردنی ئەو ناوچەیە بەڕێژەی لە سەدا ۱۰.
زۆر قورس دەبێت.
ئامانجەکە ئەوەیە کە چەماندنەوەی پەڕە باریکەکە
بڕێکی کەم لە هێز وەردەگرێت،
بەڵام درێژکردنەوە یان وردکردنی پەڕێکی باریک زۆر قورسترە.
ئێستا ، لە کۆتایدا دەتوانین قسە لەسەر پیتزا بکەین.
وا دابنێ کە دەچیتە خوارەوە بۆ پیتزاخانەکە، پارچە پیتزایەک بۆ خۆت دەکڕیت.
سەرەتا بەشێکی پیتزاکە هەڵدەگریت ، بەبێ لولدان.
بەهۆی هێزی کێشکردن، پارچەکە بەرەو خوار دەچەمێتەوە.
دوای هەموو شتێک، پیتزا زۆر باریکە،
و دەزانین کە پەڕە باریکەکان ئاسانن بۆ چەمانەوە.
ناتوانیت بیکەیتە ناو دەمت،
پەنیر و سۆسی تەماتەکە لە هەموولایەک دەکەونە خوارەوە- ئەمە زۆر خراپە.
بۆیە کە پارچەکە لول دەدەیت.
کاتێک ئەوە دەکەیت، تۆ زۆر لە پیتزاکە دەکەیت بۆ ئەوەی شێوەی تاکۆ وەربگرێت.
کە گران نییە بۆ ئەنجامدان- لە دوای هەموو ئەمانە، ئەم شێوەیە هاوپێوانەییە
بۆ پیتزا بنچینەیەکە، کە تەخت بوو.
بەڵام بێنە پێش چاوت چی روودەدات ئەگەر پیتزاکە شۆڕبوبایەوە خوارەوە.
لە کاتێکدا دەینوشتێنیتەوە.
ئێستا وەکو تاکۆیەکی شۆڕبووە دەردەکەوێت.
و تاکۆیەکی شۆڕبووە چۆن دەردەکەوێت؟ پارچەیەک پەتاتە!
بەڵام دەزانین کە پارچە پەتاتەکان هاوپێوانەی نین بۆ پارچە لاستیکیە تەختەکان.
یان پیتزا تەختەکان،
و ئەنجامدانی ئەوەش بۆ وەرگرتنی شێوەی ئێستایەتی،
پارچە پیتزاکە دەبوایە درێژبووبایەوە.
لەبەرئەوەی پیتزاکە باریکە، پێویستی بە هێزێکی زۆرە،
بە بەراورد بەو بڕە هێزەی کە دەیبات
لە سەرەتادا بۆ چەماندنەوەی پیتزاکە.
کەواتە، دەرئەنجامەکە چییە؟
کاتێک پارچە پیتزاکە لول دەدەیت،
تۆ دەیکەیتە شێوەیەک کە هێزێکی زۆری پێویستە بۆ ئەوەی بەشێکی بەرەو خوارەوە بچەمێتەوە.
زۆرجار هێزی کێشکردن ئەوەندە بەهێز نییە بۆ پێدانی ئەم هێزە.
ئەوە جۆرێک بوو لە زانیاری،
دە کەواتە با پێداچوونەوەیەک بکەین بۆ دواوە.
کاتێک پارچە پیتزاکەمان لولدابوو،
هێزی ڕاکێشان ئەوەندە بەهێز نەبوو کە سەرەکەی بچەمێنێتەوە.
بۆچی؟ چونکە درێژکردنەوەی پیتزا سەختە.
و بۆ ئەوەی لێوارەکە بەرەو خوار بچەمێتەوە، پێویستە پیتزاکە درێژبکرێت،
لەبەرئەوەی ئەو شێوەیەیی پیتزاکە،
شێوەی تاکۆی شۆڕبووەیە،
هاوپێوانەی نییە بۆ پیتزای تەختی ڕاستەقینە.
بۆچی؟ لەبەر بیرکاری
وەک نموونەی پیتزاکە نیشانی دەدات، کە دەتوانین زۆر شت فێرببین.
بە سەیرکردنی تایبەتمەندییە بیرکاریەکانی شێوە جیاوازەکان.
ئەوە شتێکی زۆر باش دەبێت بەتایبەتی کاتێک شێوەکەیان لە شێوەکانی پارچەی پیتزا دەچێت.
A casi todo el mundo le gusta comer pizza,
pero puede ser un lío.
La pizza es suave y flexible, así que ¿cómo se puede impedir que se caiga todo ese queso?
Quizá conozcan algunos de los trucos:
pueden usarse dos manos,
no es tan elegante,
o puede usarse una servilleta de papel
y dejar que asome la punta de la pizza.
Hay otro truco:
sosteniendo la parte dura, se puede plegar la porción por la mitad.
Ahora la punta de la pizza no se cae
y uno puede comerla sin que la salsa de tomate nos ensucie,
o sin morder por accidente parte del papel.
Pero, ¿por qué no se cae la punta al doblar la parte dura?
Para entender esto hay que saber dos cosas:
un poco de matemática de las formas curvas
y un poco de física de las láminas delgadas.
Primero, la matemática.
Supongamos que tenemos una lámina plana de goma.
Es muy delgada y flexible, por eso es fácil enrollarla en forma de cilindro.
No es necesario estirar la lámina, sólo enrollarla.
Esta propiedad de una figura que puede transformarse en otra
sin estirarse o arrugarse se llama isometría.
Un matemático diría que una lámina plana es isométrica con un cilindro.
Pero no todas las formas son isométricas.
Si trato de hacer de una lámina plana parte de una esfera
no hay manera de hacerlo.
Pueden comprobarlo Uds. mismos tratando de encajar
una lámina de papel en una pelota de fútbol
sin estirar ni arrugar el papel.
Simplemente no se puede.
Un matemático diría
que una lámina plana y una esfera no son isométricas.
Hay una forma más familiar que no es isométrica
con ninguna de las formas que vimos hasta ahora:
una patata frita.
Las formas de papas fritas no son isométricas con las láminas planas.
Si quisiéramos hacer que una lámina plana tenga forma de papa frita
se necesita estirarla,
no sólo doblarla, sino también estirarla.
Esa es la matemática.
No fue difícil, ¿no?
Ahora la física.
Puede resumirse en una oración:
las láminas delgadas son fáciles de doblar pero difíciles de estirar.
Esto es muy importante.
Las láminas delgadas son fáciles de doblar pero difíciles de estirar.
¿Recuerdan cuando enrollamos la lámina plana para formar un cilindro?
No fue difícil, ¿no?
Pero imaginen lo difícil que sería estirar la hoja
para aumentar su área un 10%.
Sería bastante difícil.
La idea es que doblar una lámina delgada requiere una fuerza relativamente pequeña
pero estirar o desmigajar una lámina delgada es mucho más difícil.
Finalmente, hablemos de la pizza.
Supongamos que vamos a la pizzería y compramos una porción.
La agarramos por la parte dura, primero, sin doblarla.
Debido a la gravedad la porción se dobla hacia abajo.
La pizza es bastante delgada, después de todo,
y sabemos que las láminas delgadas se doblan fácilmente.
No podemos llevarla a la boca,
el queso y el tomate se esparcen por todos lados,
es un lío.
Por eso doblamos la parte dura.
Al hacerlo, hacemos que la pizza tome forma de taco.
Eso no es difícil de hacer.
Después de todo, esta forma es isométrica con la pizza original, que es plana.
Pero imaginen que ocurriría si la pizza se cayera hacia abajo
mientras la doblamos.
Ahora parece un taco ablandado.
Y, ¿a qué se parece un taco ablandado?
¡A una patata frita!
Pero sabemos que las papas fritas no son isométricas con las láminas planas de goma,
o las pizzas planas,
y eso significa que para adoptar la forma que tiene ahora
la porción de pizza tuvo que estirarse.
Como la pizza es delgada, esto demanda mucha fuerza,
comparada con la fuerza requerida
para doblar la pizza en primer lugar.
¿Cuál es la conclusión?
Al doblar la pizza por la parte dura,
lo hacemos con una forma que requiere mucha fuerza para doblar la punta hacia abajo.
A menudo la gravedad no es tan fuerte como para aportar esa fuerza.
Ha sido mucha información,
por eso hagamos un repaso rápido.
Al doblar la pizza por la parte dura,
la gravedad no es tan fuerte como para doblar la punta.
¿Por qué?
Porque estirar una pizza es difícil
y para doblar la punta hacia abajo
la pizza debería estirarse.
¿Por qué?
Porque la forma que adoptaría la pizza,
forma de taco ablandado,
no es isométrica con la forma plana original de la pizza.
¿Por qué?
Debido a las matemáticas.
Como muestra el ejemplo de la pizza,
podemos aprender mucho mirando las propiedades matemáticas de las distintas formas.
Y resulta especialmente agradable cuando esas formas son porciones de pizza.
تقریبا همه عاشق خوردن پیتزا هستند،
اما میتواند کثیفکاری داشته باشد.
پیتزا نرم است و تا میشود.
پس چطور میتوانید از افتادن آن همه پنیر جلوگیری کنید؟
شاید چند کلک بلد باشید:
میتوانید از دو دست استفاده کنید -- زیاد با کلاس نیست،
یا میتوانید از یک بشقاب کاغذی استفاده کنید
و فقط بگذارید نوک پیتزا از آن بیرون بزند.
اما یک راه دیگر هم هست:
با نگهداشتن لبه پیتزا، میتوانید به نوعی آن را از وسط تا بزنید.
حالا دیگر لبه پیتزا در حال افتادن نیست،
و بدون اینکه غرق سس گوجه شوید
یا تصادفاً بشقاب کاغذی را گاز بزنید میتوانید آن را بخورید.
اما چرا فقط با تا زدن نان نوک پیتزا دیگر نمیفتد؟
برای درک این، باید دو چیز را بدانید:
کمی درباره ریاضیات اشکال منحنی
و کمی درباره فیزیک صفحههای نازک.
ابتدا، ریاضی.
تصور کنید من صفحهای صاف از جنس لاستیک دارم.
بسیار نازک است راحت خم میشود، پس تبدیل آن به یک استوانه راحت است.
لازم نیست صفحه را تحت کشش قرار دهم، فقط آن را لوله میکنم.
این ویژگی که یک شکل میتواند به شکلی دیگر تبدیل شود
بدون اینکه کشیده یا مچاله شود، ایزومتری نام دارد.
یک ریاضیدان میگوید یک صفحه صاف نسبت به یک استوانه ایزومتریک است.
اما همه شکلها ایزومتریک نیستند.
اگر سعی کنم آن صفحه صاف را به بخشی از کره تبدیل کنم،
هیچ راهی برای آن وجود ندارد.
خودتان میتوانید امتحان کنید،
و سعی کنید با یک صفحه کاغذ روی توپ فوتبال را بپوشانید
بدون اینکه کاغذ پاره یا مچاله شود.
ممکن نیست.
پس یک ریاضیدان میگوید
یک صفحه صاف و یک کره ایزومتریک نیستند.
یک شکل آشنای غیرایزومتریک دیگر هم هست
میان تمام اشکالی که تا کنون دیدهایم: چیپس سیبزمینی.
شکل چیپس سیبزمینی نسبت به صفحه صاف ایزومتریک نیست.
اگر بخواهید یک تکه مسطح لاستیک را به یک چیپس سیبزمینی تبدیل کنید،
باید آن را بکشید -- نه تنها آن را خم کنید، بلکه آن را بکشید.
پس این ریاضی بود.
زیاد سخت نبود، نه؟
حالا میرسیم به فیزیک.
در یک جمله میتوان خلاصه کرد:
صفحههای نازک راحت خم میشوند اما سخت کشیده میشوند.
این واقعا مهم است.
صفحههای نازک راحت خم میشوند اما سخت کشیده میشوند.
یادتان هست آن صفحه صاف لاستیک را به استوانه تبدیل کردیم؟
سخت نبود، نه؟
اما تصور کنید چقدر باید آن صفحه را بکشید
تا مساحت آن ۱۰ درصد زیاد شود.
خیلی سخت خواهد بود.
نکته اینجاست که خم کردن یک صفحه نازک
نیروی کمی لازم دارد،
اما کشیدن یا مچاله کردن یک صفحه نازک بسیار سختتر است.
حالا، بالاخره، میتوانیم درباره پیتزا صحبت کنیم.
فرض کنید به پیتزا فروشی میروید و یک برش میخرید.
از قسمت نان آن را بلند میکنید، اول بدون اینکه آن را تا کنید.
به خاطر گرانش، برش به سمت پایین خم میشود.
به هر حال پیتزا خیلی نازک است،
و میدانیم که صفحههای نازک راحت خم میشوند.
نمیتوانید آن را درون دهانتان بگذارید،
پنیر و سس گوجه همه جا میریزد -- کثیف کاری میشود.
پس نان را تا میزنید.
با این کار، پیتزا را به شکلی شبیه تاکو درمیآورید.
کار سختی نیست -- چون این شکل
با پیتزای اصلی که صاف بود ایزومتریک است.
اما تصور کنید چه میشود اگر پیتزا به پایین خم میشد
در حالی که آن را تا میکردید.
حالا شبیه یک تاکوی سست شده است.
و یک تاکوی شل و ول شبیه چیست؟ چیپس سیبزمینی!
اما میدانیم که چیپس سیبزمینی نسبت به صفحههای صاف
یا یک پیتزای صاف ایزومتریک نیست،
و این یعنی برای رسیدن به شکلی که الان دارد،
برش پیتزا باید کشیده شود.
از آنجا که پیتزا نازک است، این به نیروی زیادی نیاز دارد،
نسبت به نیرویی که
برای خم کردن پیتزا در ابتدا نیاز بود.
پس نتیجه چیست؟
وقتی نان پیتزا را تا میکنید،
آن را به شکلی در میآورید که نیروی زیادی برای خم شدن نوک رو به پایین نیاز باشد.
معمولا گرانش برای فراهم کردن این نیرو کافی نیست.
این اطلاعات زیادی بود،
پس بیایید سریع مرور کنیم.
وقتی نان پیتزا خم میشود،
گرانش برای خم کردن نوک کافی نیست.
چرا؟ چون کشیدن پیتزا سخت است.
و برای خم کردن نوک رو به پایین، پیتزا باید کش بیاید،
چرا که شکلی که پیتزا به آن تبدیل خواهد شد،
تاکوی شل و ول،
نسبت به پیتزای اصلی صاف ایزومتریک نیست.
چرا؟ به خاطر ریاضی.
همان طور که مثال پیتزا نشان داد،
با نگاه کردن به ویژگیهای ریاضی اشکال مختلف میتوانیم چیزهای زیادی یاد بگیریم.
و خیلی خوب میشود وقتی آن شکلها برش پیتزا باشند.
Presque tout le monde aime manger des pizzas,
mais ça peut être une activité salissante.
La pizza est souple et pliable, alors comment peut-on empêcher tout ce fromage de tomber ?
Vous connaissez peut-être certaines astuces :
On peut se servir des deux mains,
ce n'est pas tellement chic,
on peut aussi utiliser une assiette en carton
et ne permettre qu'à la pointe de la pizza de dépasser.
Il y a un autre truc, cependant :
en tenant la pâte, on peut plier la tranche en son milieu.
Maintenant l'extrémité de la pizza ne retombe pas,
et on peut la manger sans se retrouver couvert de sauce tomate
ou mordre accidentellement l'assiette en carton.
Mais pourquoi la pointe restera-t-elle vers le haut juste parce que vous avez plié la pâte ?
Pour le comprendre, vous devez savoir deux choses :
un peu de mathématiques des formes courbes,
et un peu de physique des feuilles minces.
Tout d'abord, les maths.
Supposons que j'ai une feuille plate en caoutchouc.
Elle est vraiment mince et flexible, il est donc facile de la rouler pour en faire un cylindre.
Je n'ai pas besoin d'étirer la feuille, il me suffit de la courber.
Cette propriété où une seule forme peut se transformer en une autre
sans l'étirer ou la froisser est appelée isométrie.
Un mathématicien dirait qu'une feuille plate est isométrique à un cylindre.
Cependant, toutes les formes ne sont pas isométriques.
Si j'essaye de transformer ma feuille plate en partie d'une sphère,
je n'y arriverai pas.
Vous pouvez le vérifier par vous-même en essayant d'adapter
une feuille de papier sur un ballon de football
sans étirer ni froisser le papier.
C'est tout simplement impossible.
Un mathématicien dirait
qu'une feuille plate et une sphère ne sont pas isométriques.
Il existe une autre forme familière qui n'est pas isométrique
à aucune des formes que nous avons vues jusqu'ici :
une chips.
Les formes de chips ne sont pas isométriques à des feuilles plates.
Si on veut obtenir un morceau de caoutchouc plat en forme de chips,
on doit l'étirer,
pas se contenter de le plier, mais aussi l'étirer.
Voilà pour les maths.
Pas si dur, pas vrai ?
Maintenant, la physique.
On peut la résumer en une phrase :
les feuilles minces sont faciles à plier, mais difficiles à étirer.
C'est vraiment important.
Les feuilles minces sont faciles à plier, mais difficiles à étirer.
Rappelez-vous quand nous avons roulé notre feuille de caoutchouc pour en faire un cylindre.
Ce n'était pas dur, pas vrai ?
Mais imaginez avec quelle force il faudrait tirer sur la feuiille
pour accroître sa superficie de 10 %.
Ce serait assez difficile.
Le truc est que le pliage d'une feuille mince demande une quantité de force relativement petite,
mais étirer ou froisser une feuille mince est beaucoup plus difficile.
Maintenant, enfin, nous en venons à la pizza.
Supposons que vous alliez à la pizzeria et vous achetiez une part.
Vous l’attrapez par la croûte, d'abord, sans faire le pli.
En raison de la gravité, la part se plie vers le bas.
Après tout, la pizza est assez mince,
et nous savons que les feuilles minces sont faciles à plier.
Vous ne pouvez pas la mettre dans votre bouche,
le fromage et la sauce tomate coulent partout,
c'est salissant.
Alors vous pliez la pâte.
Quand vous faites ça, vous forcez la pizza à prendre la forme d'un taco.
Ce n'est pas difficile à faire.
Après tout, cette forme est isométrique à la pizza originale, qui était plate.
Mais imaginez ce qui arriverait si la pizza s'affaissait vers le bas
pendant que vous la pliez.
Maintenant elle ressemble à un taco ramolli.
Et à quoi ressemble un taco ramolli ?
à une chips !
Mais nous savons que les chips ne sont pas isométriques à des morceaux plats de caoutchouc,
ou à des pizzas plates,
et ça signifie que pour prendre la forme qu'elle a en ce moment,
la part de pizza aurait dû s'étirer.
Étant donné que la pizza est mince, il faut beaucoup de force,
par rapport à la quantité de force qu'il faut
pour plier la pizza en premier lieu.
Alors, quelle est la conclusion ?
Lorsque vous pliez la pizza par la pâte,
vous devez lui donner une forme où il faut beaucoup de force pour plier la pointe vers le bas.
Souvent la gravité n'est pas assez forte pour fournir cette force.
C'est beaucoup d'informations,
alors, récapitulons rapidement.
Quand la pizza est pliée par sa pâte,
la gravité n'est pas assez forte pour tordre la pointe.
Pourquoi ?
Parce qu'étirer une pizza est difficile,
et pour plier la pointe vers le bas,
la pizza devrait s'étirer.
Pourquoi ?
Parce que la forme qu'aurait la pizza,
la forme d'un taco ramolli,
n'est pas isométrique à la pizza plate originale.
Pourquoi ?
A cause des mathématiques.
Comme le montre l'exemple de la pizza,
on peut en apprendre beaucoup en examinant les propriétés mathématiques de formes différentes.
Et c'est particulièrement agréable quand ces formes se trouvent être des parts de pizza.
כמעט כולם אוהבים לאכול פיצה,
אבל זה יכול להיות עסק מלוכלך.
פיצה היא רכה וגמישה, אז איך אפשר למנוע מהגבינה ליפול?
אתם אולי מכירים כמה טריקים:
אפשר להשתמש בשתי הידיים,
לא ממש קלאסי,
או שאפשר להשתמש בצלחת נייר
ולאפשר רק לקצה של הפיצה להציץ החוצה.
יש רק טריק אחד אבל:
להחזיק את הבצק, אתם יכולים מעין לקפל את החתיכה באמצע.
עכשיו הקצה לא נופל,
ואתם יכולים לאכול בלי לטפטף רוטב עגבניות על עצמכם
או בטעות לנשוך חתיכה מצלחת הנייר.
אבל, למה הקצה נשאר למעלה רק בגלל שקיפלנו את הבצק?
כדי להבין את זה, אתם צריכים לדעת שני דברים:
מעט על המתמטיקה של משטחים מעוקלים,
ומעט על הפיזיקה של יריעות דקות.
ראשית, המתמטיקה.
נניח שיש לכם יריעה דקה עשויה מגומי.
היא באמת דקה וגמישה, אז קל לגלגל אותה לגליל.
אני לא צריך למתוח אותה בכלל, רק לקפל אותה.
התכונה הזו בה צורות יכולות להפוך לאחרות
בלי להמתח או להתקפל נקראת איזומטריה.
מתמטיקאי היה אומר שיריעה שטוחה היא איזומטרית לגליל.
אבל, לא כל הצורות הן איזומטריות.
אם תנסו להפוך את היריעה השטוחה שלי לחלק מספירה,
אין שום דרך לעשות את זה.
אתם יכולים לנסות את זה בעצמכם אם תנסו
לכסות כדור רגל עם יריעת נייר
בלי למתוח או לקמט אותה.
זה פשוט לא אפשרי.
אז מתמטיקאי היה אומר
שפיסת נייר וספירה הן לא איזומטריות.
יש עוד צורה אחת מוכרת שלא איזומטרית
לשום צורה שראינו עד עכשיו:
הצ'יפס.
צ'יפס לא איזומטרי ליריעות שטוחות.
אם תנסו לגרום לפיסת גומי שטוחה לקבל צורה של צ'יפס,
תצתרכו למתוח אותה,
לא רק לקפל אותה, אלא גם למתוח אותה.
אז, זו המתמטיקה.
לא כל כך קשה, נכון?
עכשיו לפיזיקה.
אפשר לסכם אותה במשפט אחד:
היריעות קלות לכיפוף אבל קשות למתיחה.
זה ממש חשוב.
יריעות דקות קלות לכיפוף אבל קשות למתיחה.
זכרו כשכופפנו את יריעת הגומי הדקה לגליל?
זה לא היה קשה, נכון?
אבל דמיינו כמה קשה יהיה למשוך את היריעה
כדי להגדיל את שטחה ב10%.
זה יהיה די קשה.
הנקודה היא שכיפוף יריעות דקות מצריך מעט מאוד כוח,
אבל מתיחה או מעיכת יריעה דקה היא קשה בהרבה.
עכשיו, לבסוף, אנחנו יכולים לדבר על פיצה.
נניח שאתם הולכים לפיצריה וקונים משולש.
אתם מרימים אותו מהקרום, ראשית בלי לעשות קפל.
בגלל הכבידה, המשולש מתכופף למטה.
פיצה היא די דקה, אחרי הכל,
ואנחנו יודעים שיריעות קלות לכיפוף.
אתם לא יכולים להכניס אותן לפה,
גבינה ורוטב עגבניות נוזלים לכל למקום,
זה בלגן גדול.
אז אתם מקפלים את הבצק.
כשאתם עושים את זה, אתם הופכים את הפיצה לצורה של טאקו.
זה לא קשה לעשות.
אחרי הכל, הצורה הזו היא איזומטרית לפיצה המקורית, שהיא שטוחה.
אבל דמיינו מה היה קורה אם הפיצה היתה מתכופפת למטה
בזמן שקיפלתם אותה.
עכשיו זה נראה כמו טאקו מכופף.
וכמו מה נראה טאקו מכופף?
כמו ציפס!
אבל אנחנו יודעים שצ'יפס הוא לא איזומטרי ליריעת גומי שטוחה,
או פיצה שטוחה,
וזה אומר שכדי להביא אותה לצורה בה היא עכשיו,
הפיצה צריכה להמתח.
מאחר ופיצה היא דקה, זה דורש הרבה כוח,
יחסית לכמות הכוח שדרוש
לקפל אותה בהתחלה.
אז, מה המסקנה?
כשאתם מקפלים פיצה בקרום,
אתם הופכים אותה לצורה בה דרוש כוח רב כדי לכופף את הקצה כלפי מטה.
רב הפעמים הכבידה לא חזקה מספיק כדי להפעיל את הכוח הזה.
זה היה די הרבה מידע,
אז בואו נחזור במהירות.
כשהפיצה מקופלת בקרום,
הכבידה לא חזקה מספיק כדי לכופף את הקצה.
למה?
בגלל שלמתוח פיצה זה קשה,
וכדי לכופף את הקצה למטה,
הפיצה תצטרך להמתח.
למה?
בגלל שהצורה של הפיצה תהיה,
בצורה של טאקו נוזל,
שהיא לא איזומטרית לפיצה השטוחה המקורית.
למה?
בגלל מתמטיקה.
כמו שדוגמת הפיצה מראה,
אנחנו יכולים ללמוד הרבה מלהביט בתכונות המתמטיות של צורות שונות.
וזה בעיקר נחמד כשהצורות האלו הן במקרה משולשים של פיצה.
A quasi tutti piace mangiare la pizza,
ma si può trasformare in un affare sporco.
La pizza è soffice e flessibile, perciò come si fa a non far cadere tutto quel formaggio?
Magari conoscete qualche trucco:
potete usare tutte e due le mani,
cosa non molto fine,
oppure un piatto di carta
e far uscire solo la punta della pizza.
Ma c'è un altro trucco:
tenendola dalla parte della crosta, potete cercare di piegarla nel mezzo.
Così la punta della pizza non penzola,
e potete mangiarla senza riempirvi di salsa al pomodoro
o mangiare per sbaglio il piatto di carta.
Ma perché la punta dovrebbe star su solo perché avete piegato la crosta?
Per capirlo, dovete conoscere due cose:
un po' di matematica delle forme curve,
e un po' di fisica dei fogli sottili.
Per prima cosa, la matematica.
Supponiamo di avere un foglio di gomma.
Ѐ molto sottile e flessibile, perciò si arrotola facilmente a forma di cilindro.
Non c'è assolutamente bisogno di tenderlo, soltanto di piegarlo.
La proprietà per cui una forma si può trasformare in un'altra
senza tenderla o sgretolarla è detta isometria.
Un matematico direbbe che un foglio piatto è isometrico ad un cilindro.
Ma non tutte le forme sono isometriche.
Se cerco di trasformare il mio foglio piatto nella sezione di una sfera,
non riesco a farlo in alcun modo.
Potete verificare voi stessi cercando di far stare
un foglio di carta attorno a un pallone da calcio
senza tendere o sgretolare la carta.
Non è possibile.
Un matematico direbbe
che un foglio di carta e una sfera non sono isometrici.
C'è un'altra forma più familiare che non è isometrica
a nessuna delle forme che abbiamo visto finora:
una patatina fritta.
La forma delle patatine fritte non è isometrica a un foglio di carta.
Se volete far prendere ad un pezzo di gomma piatto la forma di una patatina fritta,
dovete tenderlo,
non solo piegarlo, ma anche tenderlo.
Questa è la parte della matematica.
Non è difficile, giusto?
Ora la fisica.
Si può riassumere in una sola frase:
i fogli sottili sono facili da piegare ma difficili da tendere.
Questo è molto importante.
I fogli sottili sono facili da piegare ma difficili da tendere.
Ricordate quando abbiamo arrotolato il nostro foglio di gomma a cilindro?
Non è stato difficile, giusto?
Ma immaginate quanto forte dovreste tirare il foglio
per aumentarne l'area del 10%.
Sarebbe alquanto difficile.
Il punto è che per piegare un foglio sottile serve una quantità di forza relativamente piccola,
ma tendere o sgretolare un foglio sottile è molto più difficile.
Ora, finalmente, parliamo della pizza.
Supponete di andare in pizzeria a comprarne una fetta.
La sollevate dalla parte della crosta senza piegarla.
A causa della gravità, la fetta si piega all'ingiù.
La pizza è piuttosto sottile, dopotutto,
e sappiamo che i fogli sottili sono facili da piegare.
Non riuscite a mangiarla,
il formaggio e la salsa al pomodoro gocciolano dappertutto,
è un gran casino.
Allora piegate la crosta.
Quando lo fate, fate prendere alla pizza la forma di un taco.
Non è difficile da fare.
Dopotutto, questa forma è isometrica alla pizza originale, che era piatta.
Ma immaginate cosa accadrebbe se la pizza penzolasse all'ingiù
mentre la piegate.
Ora sembra un taco penzolante.
E a cosa assomiglia un taco penzolante?
A una patatina fritta!
Ma noi sappiamo che le patatine fritte non sono isometriche ad un pezzo di gomma piatto,
o alle pizze piatte,
e ciò significa che per prendere la forma che ha adesso,
il pezzo di pizza si è dovuto tendere.
Visto che la pizza è sottile, ci vuole molta forza,
paragonata alla quantità di forza che ci vuole
per piegare la pizza come all'inizio.
Dunque, qual è la conclusione?
Quando piegate la pizza dalla parte della crosta
le date una forma in cui c'è bisogno di molta forza per far piegare la punta all'ingiù.
Spesso la gravità non è abbastanza forte per fornire tale forza.
Abbiamo dato molte informazioni,
perciò ricapitoliamo brevemente.
Quando si piega la pizza dalla parte della crosta,
la gravità non è abbastanza forte da piegare la punta.
Perché?
Perché tendere una pizza è difficile,
e per piegare la punta all'ingiù
la pizza dovrebbe tendersi.
Perché?
Perché la forma che prende la pizza,
quella del taco penzolante,
non è isometrica a quella originale della pizza.
Perché?
A causa della matematica.
Come mostra l'esempio della pizza,
possiamo imparare molto osservando le proprietà matematiche delle diverse forme.
Ed è particolarmente piacevole quando tali forme sono pezzi di pizza.
みなさん ピザを食べるのは 大好きと思いますが
きれいに食べるのは大変ですね
ピザは柔らかく曲がりやすいですが
チーズが垂れ落ちるのを どうしたら防げるでしょうか？
いろんなわざがあります
両手を使うのは― おしゃれではありません
紙皿を使い―
ビザの先端だけを 皿からはみ出させることもできます
でも もう１つ別のやり方があります
パイ生地を手にしたら スライスの中央から折り曲げる方法です
そうするとピザの先端は たれ下がらず
トマトソースをあちこちに付けずに 食べる事ができます
間違って紙皿をかじる事もありません
ではなぜパイ生地を折り曲げただけで 先が垂れないのでしょうか
理解するためには ２つの事を知る必要があります
曲面の数学を少々と
薄いシートの物理学を少々です
先ずは数学です
ゴムでできた薄く平らなシートが あるとします
とても薄くて曲げやすいので 簡単に筒状にできます
シートを伸ばさずに 曲げるだけでいいのです
伸ばしたり しわを付けずに 別の形に変形できるとき
２つの面は等長的であるといいます
数学者たちは 平面は円柱と等長的だといいます
しかし面形状が すべて等長的とは限りません
平らなシートを 球体の一部にしようとしても
そういう変形はできません
自分で試してみて下さい
平らな紙を サッカーボールに合わせようとすると
伸ばしたり しわを入れたり しないと合いません
単に不可能なのです
数学者たちは このことを
平面と球面は 等長的ではないと表現します
これまで見てきた面形状に対して 等長的ではないー
身近な形がもう１つあります ポテトチップです
ポテトチップの形は 平らなシートと等長的ではありません
もし平らなゴム片を ポテトチップの形しようとすると
伸ばす必要があります 曲げるだけでなく伸ばす必要があるのです
ここまでが数学でした
難しくないでしょう？
では次は物理学です
１つの文章に集約されます
「薄いシートは曲げやすいが 伸ばすのは難しい」
これはとても重要な事です
「薄いシートは曲げやすいが 伸ばすのは難しい」
平らなシート状のゴムを 円筒にした事を思い出して下さい
難しくなかったですよね
でもそのシートを引っ張り 面積を10％増加させることが
いかに大変かを想像してください
これはとても難しいのです
重要な点は 薄いシートを曲げることは
相対的に小さな力でできますが
伸ばしたり しわを入れたりするのは ずっと難しい点です
最後に話をピザに戻しましょう
ピザ屋に行ってピザを１枚 買うとしましょう
パイ生地の部分をつかんで 最初は折らないでください
重力によって そのピザは下に向って曲がります
ピザはかなり薄く
薄いシートが曲がりやすい事は お分かりですね
チーズやトマトソースが
ぽたぽたそこらじゅうに落ちて 汚れてしまいます
パイ生地を折ってみましょう
こうするとピザはタコスのような 形になります
難しくはありません この形はもともとの
平らなピザと等長的です
では ピザが曲がって垂れ下がる時に 何が起こるか
想像してみて下さい
垂れ下がったタコスみたいです
では垂れ下がったタコスの形は？ そうポテトチップです！
でもポテトチップは平らなゴムシートや 平らなピザとは
等長的ではありませんでしたね
という事は この形状にするためには
ピザを伸ばさなければなりません
ピザは薄い物なので 伸ばすためには まず
曲げる時の力に比べて
ずっと大きな力が必要です
では結論は？
ピザのパイ生地が折ってあると
先端が垂れ下がるように曲げるのは 大きな力を加える必要があります
通常 重力はこのような力を 与えるには不十分です
多くのことを説明したので
元に戻って 手短に復習しましょう
パイ生地が折ってあると
重力の強さは先端を曲げるには 十分ではありません
なぜか？ ピザを伸ばすのは大変だからです
先端を下向きに曲げるには ピザを引き延ばす必要がありますが
これはピザの形を垂れ下がった タコスの形にしなければならず
これは元の平らなピザとは 等長的ではないからです
なぜか？ 数学的理由です
ピザの例から
異なる形の数学的な性質を知り 多くのことを学ぶことができました
これらの形がピザのものだったので とても楽しかったですね！
대부분의 사람들이 피자를 좋아하지만
피자먹는게 지저분할 때가 있죠.
피자는 말랑해서 잘 접어지는데, 어떻게 해야 치즈를 안 흘리고 먹을까요?
여러분들이 아시는 몇 가지 방법이 있습니다..
세련되지는 않지만
두 손을 이용할 수 있구요.
종이 접시를 이용해
피자의 뽀족한 끝 부분만 나오게 할 수도 있죠.
그런데, 또 다른 방법이 있어요.
피자 크러스트를 잡고 가운데로 모아 접으면
피자 끝 부분이 떨어지지 않죠.
그러면 토마토 소스를 묻히지 않고 먹을 수 있고,
실수로 종이 접시를 베어먹을 일도 없죠.
그런데 피자 크러스트를 접으면 왜 피자 끝 부분이 서 있는걸까요?
그걸 이해하려면 2가지를 알아야 됩니다.
구부러진 형태에 대한 수학적 지식과
얇은 판에 대한 물리학이죠.
첫째, 수학을 볼까요?
제가 평평한 고무판을 가지고 있어요.
아주 얇고 잘 구부려져서 쉽게 원기둥으로 구부릴 수 있습니다.
고무판을 늘일 필요 없이 그냥 구부리면 되요.
이렇게 물체가 늘어지거나 부스러지지 않고 한 형태에서 다른 형태로
변하는 특성을 "등거리적" 변환이라고 합니다.
수학자들은 평평한 판과 원기둥이 "등거리적"이라고 합니다.
그러나, 모든 도형이 다 "등거리적"이지는 않아요.
만약 제가 평평한 판을 구로 만들려 한다면
그건 불가능하죠.
종이 한 장을 축구공 표면에 딱 맞게 맞추려면
이렇게 종이를 늘이거나 부스러뜨려야지만
가능하다는 걸 직접 해보면 알 수 있죠.
그렇게 하지 않고서는 불가능합니다.
그래서 수학자들은
평평한 판과 구는 "등거리적"이지 않다고 합니다.
우리가 지금껏 보아왔던 어떤 모양과도 "등거리적"이지 않은
친숙한 모양이 하나 더 있는데
바로 감자칩이랍니다.
갑자칩은 평평한 판과 "등거리적"이지 않아요.
만약 평평한 고무판을 감자칩 모양으로 바꾸려면
고무판을 접는 것 뿐만 아니라
늘이기도 해야되요.
이게 수학입니다.
별로 어렵지 않죠?
이제 물리학을 보죠.
위에서 말한 것들을 물리학에서 한 문장으로 요약하면,
"얇은 판은 쉽게 구부려지되 잘 늘여지지 않는다" 에요.
이게 정말 중요한 점이죠.
얇은 판은 쉽게 구부려지되 잘 늘여지지 않아요.
아까 평평한 고무판을 원기둥으로 바꾼거 기억하시죠?
어렵지 않았죠, 그쵸?
그런데 그 얇은 고무판을 당겨서 면적을 10% 늘이는 것이 얼마나 어려운지
한번 상상해 보세요.
꽤 어려울거에요.
요점은, 얇은 판을 접는건 상대적으로 힘이 덜 들지만
늘이거나 부스러뜨리는 것은 훨씬 힘들다는 거죠.
이제, 마지막으로 피자 이야기로 되돌아가 보죠.
피자집에 가서 피자 한 조각을 산다고 해보죠.
우선, 피자를 접지 말고 크러스트 윗 부분을 들면
중력 때문에 피자가 아래로 굽어집니다.
피자는 꽤 얇아요.
결국 얇은 판은 쉽게 구부려진다는걸 알게 됐습니다.
피자를 접지 않고 그냥 입에 넣으면
치즈랑 토마토 소스가 여기저기 떨어져서
엄청 지저분 하죠.
그래서 피자 크러스트를 접는거죠.
그러면 피자가 타코 모양처럼 되는데
그렇게 하는 것은 어렵지 않아요.
결국, 이 타코 모양과 평평했던 피자 원래의 모양이 "등거리적" 인거죠.
그런데 피자를 접을 때, 피자가 밑으로 늘어진다면
어떨지 상상해 보세요.
마치 축 쳐진 타코처럼 되죠.
그리고 축 쳐진 타코는 어떻게 보이죠?
감자칩 모양이죠!
그런데 감자칩이 평평한 고무조각이나 피자와는
"등거리적" 이지 않다는걸 알죠.
축 쳐진 타코 모양의 피자를 원래 모양으로 되돌리려면
피자를 늘여야 하죠.
피자는 얇기 때문에
처음에 구부리는 것보다
늘일 때 힘이 많이 들죠.
그럼, 결론이 무엇일까요?
피자를 접을 때,
피자 끝 부분을 휘게하는 데는 힘이 많이 들고
이 힘이 중력보다도 세요.
이게 많은 걸 알려주죠.
아까 이야기했던 것들을 거꾸로 정리해보죠.
피자가 접힐 때,
중력이 피자 끝을 휘게할 만큼 강하지 않아요.
왜죠?
피자를 늘이는 건 어려운 데,
피자 끝을 휘어지게 하려면
피자를 늘여야 하기 때문이죠.
왜죠?
축 늘어진 타코 모양의 피자는
원래 평평했던 피자의 모양과
"등거리적" 이지 않기 때문이죠.
왜죠?
수학이 그 답이에요
피자로 예를 들었듯이,
다양한 도형들의 수학적 특성을 보면서 많은 걸 배울 수 있어요.
특히, 그 도형들이 피자 조각 모양일 때 더욱 그러하죠.
Praticamente toda a gente adora comer "pizza",
mas é difícil comê-la sem nos sujarmos.
A "pizza" é macia e maleável.
Como impedir que o queijo caia?
Talvez usando alguns truques:
podemos usar as duas mãos — pouco chique —
ou usar um prato de papel
e permitir que só fique de fora a ponta da "pizza".
Mas há um outro truque:
agarrando na massa, podemos dobrar a fatia ao meio.
Assim a ponta da "pizza" já não escorre
e podemos comê-la sem espalhar o molho de tomate por cima de nós
nem comer, sem querer, um bocado do prato de papel.
Mas porque é que a ponta fica para cima se dobrarmos a crosta?
Para perceber isto, precisamos de saber duas coisas:
um pouco de matemática das formas curvas
e um pouco de física das folhas delgadas.
Primeiro, a matemática.
Imaginem uma folha plana de borracha.
É muito delgada e maleável, por isso pode ser enrolada num cilindro.
Não preciso de esticar a folha, basta enrolá-la.
Esta propriedade em que uma forma pode ser transformada noutra
sem ser esticada ou amachucada chama-se isometria.
Um matemático diria que uma folha plana é isométrica de um cilindro.
Mas nem todas as formas são isométricas.
Se tentar transformar a folha plana numa parte duma esfera
não consigo fazê-lo.
Podem experimentar,
tentando adaptar uma folha de papel a uma bola de futebol
sem esticar nem amachucar o papel.
Não é possível.
Portanto, um matemático diria
que uma folha plana e uma esfera não são isométricas.
Há uma forma mais conhecida que não é isométrica
a nenhuma das forma que vimos até agora: uma batata frita.
As batatas fritas não são isométricas das folhas planas.
Para transformar a folha de borracha na forma de batata frita
temos que a esticar — não basta dobrá-la.
Esta é a parte matemática. Não é muito difícil, pois não?
Agora, a física.
Pode resumir-se numa frase:
As folhas delgadas são fáceis de dobrar mas difíceis de esticar.
Isto é muito importante.
As folhas delgadas são fáceis de dobrar mas difíceis de esticar.
Lembram-se quando enrolámos a folha de borracha num cilindro?
Não foi nada difícil, pois não?
Mas seria difícil esticar a folha
para aumentar a área em 10%.
Seria mesmo muito difícil.
A questão é que, para dobrar uma folha plana
é preciso uma força relativamente pequena,
mas esticar ou amachucar uma folha plana é muito mais difícil.
Finalmente, vamos falar da "pizza".
Suponham que vão à pizzaria e compram um fatia.
Primeiro, agarram-na pela massa, sem a dobrar.
Por causa da gravidade, a fatia dobra-se para baixo.
Claro, a "pizza" é muito delgada,
e sabemos que as folhas delgadas são fáceis de dobrar.
Não podemos metê-la na boca.
O queijo e o molho de tomate pingam por toda a parte — uma porcaria.
Então, dobramos a fatia.
Ao fazer isto, a "pizza" fica com a forma de um taco.
Não custa nada fazer isto — esta forma é isométrica
à "pizza" original, que era plana.
Mas imaginem o que aconteceria se a "pizza" se deformasse
quando estávamos a dobrá-la.
Agora parece um taco deformado.
E com que é que se parece um taco deformado? Com uma batata frita!
Mas as batatas fritas não são isométricas das placas de borracha
ou das "pizzas" planas.
Isso significa que, para obter esta forma que tem agora
a fatia de "pizza" teve que ser esticada.
Como a "pizza" é delgada, é necessária muita força,
em comparação com a força necessária
para dobrar a "pizza".
Então, qual é a conclusão?
Quando dobramos a "pizza" pela massa,
ela fica com uma forma em que é necessária muita força
para que a ponta descaia.
A gravidade não é suficiente para fornecer esta força.
Isto foi muita informação junta
por isso recapitulemos rapidamente.
Quando dobramos a "pizza" pela massa,
a gravidade não é suficiente para dobrar a ponta.
Porquê? Porque é difícil esticar uma "pizza".
E para dobrar a ponta, seria necessário esticar a "pizza"
porque a "pizza" ficaria com a forma de um taco deformado,
que não é isométrico da "pizza" plana original.
Porquê? Por causa da matemática.
Com o exemplo da "pizza", podemos aprender muito
olhando para as propriedades matemáticas de diferentes formas.
É particularmente giro, quando essas formas são fatias de "pizza".
Com certeza todo mundo adora comer pizza,
mas isto pode fazer muita sujeira.
A pizza é maleável e dobrável, então como impedir todo esse queijo de cair?
Você deve conhecer alguns truques:
você pode usar as duas mãos,
não é tão elegante,
ou você pode usar um pratinho de papelão
e deixar só a pontinha da pizza para fora.
Há um outro truque:
segurando a base, você dobra a fatia no meio.
Agora a ponta da pizza não está caindo,
e você pode comer sem que o molho de tomate caia em você
ou acidentalmente coma um pedaço do pratinho de papelão.
Mas, mas por que o recheio não cai só porque dobrou a massa?
Para entender isto, você precisa saber duas coisas:
um pouco de matemática das formas curvas,
e um pouco de física de camadas finas.
Primeiro, a matemática.
Suponha que tenho uma folha feita de borracha.
É bem fina e dobrável, por tanto é fácil enrolar na forma cilíndrica.
Não preciso esticar a folha, só dobrá-la.
Esta propriedade pela qual uma forma pode ser transformada em outra
sem esticar ou enrugar é chamada de isometria.
Um matemático diria que uma folha é isométrica do cilindro.
Mas, nem todas as formas são isometricas.
Se tento transformar minha folha em parte de uma esfera,
não há um jeito de conseguir.
Você pode verificar tentando acomodar
a folha de papel em uma bola de futebol
sem esticar ou enrugar o papel.
Simplesmente impossível.
Daí os matemáticos diriam
que a folha e a esfera não são isométricas.
Há outra forma comum que não é isométrica
com qualquer forma que tenhamos visto até agora:
a batata palito.
A forma da batata palito não é isométrica com a folha.
Se tentar transformar um pedaço plano de borracha no formato da batata palito,
terá de esticá-la,
não só dobrá-la, mas esticar também.
Essa é a matemática.
Fácil, certo?
Agora a física.
Pode ser resumido numa sentença:
folhas finas são fáceis de dobrar mas difíceis de esticar.
Isto é muito importante.
As folhas finas são fáceis de dobrar mas difíceis de esticar.
Lembram-se quando enrolei nossa folha de borracha na forma de um cilindro?
Não foi dificil, certo?
Mas imagine o quão dificil será esticar a folha
para aumentar a área em 10%.
Seria muito difícil.
O ponto é que dobrar uma folha fina necessita de uma quantidade de força relativamente pequena,
mas esticar ou enrugar uma folha fina é muito mais difícil.
Agora, finalmente, vamos falar da pizza.
Suponha que vá a uma pizzaria e compra uma fatia.
Você a pega pela base, primeiro, sem dobrar.
Devido a gravidade, a fatia se curva para baixo.
Afinal a pizza é muito fina,
e sabemos que as folhas finas são fáceis de dobrar.
Você não consegue colocar na boca,
queijo, molho de tomate estão pingando por aí,
é uma grande bagunça.
Daí você dobra a base.
Quando faz isso, força a pizza a ficar na forma do taco.
Não é difícil de fazer.
Pois, esta forma é isométrica à pizza, que era plana.
Mas imagine o que aconteceria se a pizza fosse curvada para baixo
enquanto você dobra.
Agora se parece com um taco curvado.
E como se parece um taco pingando?
Com uma batata palito!
Mas sabemos que as batatas palito não são isométricas a uma folha de borracha,
ou pizzas planas,
e isso quer dizer que para colocar na forma que está agora,
a fatia de pizza foi esticada.
Já que a pizze é fina, carega muita força,
comparada com a quantidade de força necessária
para dobrar a pizza.
Então, qual a conclusão?
Quando se dobra a massa da pizza,
você transforma em uma forma em que muita força é necessária para dobrar a ponta para baixo.
Geralmente a gravidade não é forte o suficiente para fornecer esta força.
Isso parece muita informação,
deixe-me recapitular.
Quando se dobra a massa da pizza,
a gravidade não é forte o suficiente para dobrar a ponta.
Por que?
Porque esticar a pizza é difícil,
e dobrar a ponta para baixo,
a pizza tería de esticar.
Por que?
Pois a forma que a pizza deveria estar,
a forma de um taco pingando,
não é isométrica à forma plana da pizzal
Por que?
Por causa da matemática.
Como o exemplo da pizza mostra,
podemos aprender muito examinando as propriedades matemáticas de formas diferentes.
E é muito bom quando essas formas são as da fatia de um pizza.
Aproape tuturor le place să mănânce pizza,
dar poate face şi multă mizerie.
Pizza e moale, se îndoaie, cum poți opri tot caşcavalul să cadă?
Poate ştii unele din trucuri:
poţi folosi două mâini,
nu prea elegant,
sau poţi folosi o farfurie de hârtie
din care doar vârful feliei să iasă afară.
Mai e încă un truc, totuşi:
dacă apuci crusta, poţi îndoi felia pe mijloc.
Acum vârful feliei nu mai cade,
şi poţi mânca fără să te umpli de sos de roşii
sau să muşti din greşeală din farfuria de hârtie.
Dar, de ce stă vârful ridicat doar pentru că ai îndoit crusta?
Pentru a înţelege, trebuie să ştii două lucruri:
câte ceva despre matematica formelor curbe,
şi câte ceva despre fizica foilor subţiri.
Prima dată, matematica.
Să zicem că am o foaie plată din cauciuc.
E subţire şi se îndoaie, aşa că e uşor s-o rulez într-un cilindru.
Nu trebuie să întind foaia deloc, doar să o îndoi.
Această proprietate a unei forme de a putea fi transformată în alta
fără a o întinde sau mototoli se numeşte izometrie.
Un matematician ar spune că o foaie plată şi un cilindru sunt izometrice.
Dar nu toate formele sunt izometrice.
Dacă încerc să transform foaia mea într-o calotă sferică,
nu voi reuşi.
Puteţi verifica şi voi dacă încercaţi să potriviţi
o foaie de hârtie pe o minge de fotbal
fără să întindeţi sau să mototoliţi hârtia.
Pur şi simplu nu e posibil.
Un matematician ar spune
că o foaie plată şi o sferă nu sunt izometrice.
Mai e o formă cunoscută care nu e izometrică
cu niciuna din formele pe care le-am văzut deja:
un chip de cartof.
Chipsurile de cartofi nu sunt izometrice cu foile plate.
Dacă vrei să aduci o bucată plată de cauciuc la forma unui chip de cartof,
trebuie să o întinzi,
nu doar s-o îndoi, ci s-o şi întinzi.
Asta-i partea matematică.
Nu-i aşa de greu, nu?
Acum la fizică.
Se poate rezuma într-o propoziţie:
foile subţiri sunt uşor de îndoit, dar greu de întins.
Asta e foarte important.
Foile subţiri sunt uşor de îndoit, dar greu de întins.
Ţineţi minte când am rulat foaia noastră într-un cilindru?
N-a fost greu, nu?
Dar imaginaţi-vă cât de tare ar trebui să trageţi de foaie
ca să-i măriţi suprafaţa cu 10%.
Ar fi destul de greu.
Ideea e că pentru îndoirea foii subţiri e nevoie de relativ puţină forţă,
pe când întinderea sau mototolirea foii subţiri e mult mai grea.
Acum, în sfârşit, ajungem să vorbim despre pizza.
Să zicem că mergi la pizzerie şi îţi cumperi o felie.
O apuci de crustă, la început, fără s-o pliezi.
Din cauza gravitaţiei, felia se îndoaie în jos.
Pizza e destul de subţire, la urma urmei,
şi ştim că foile subţiri sunt uşor de îndoit.
N-o poţi duce la gură,
caşcavalul şi roşiile curg peste tot,
un dezastru.
Aşa că îndoi crusta.
Când faci asta, forţezi pizza într-o formă ca de taco.
Nu-i greu de făcut.
În fond, această formă e izometrică cu pizza plată iniţială.
Dar imaginează-ţi ce s-ar întâmpla dacă pizza ar începe să atârne
în timp ce o îndoi.
Acum arată ca un taco ofilit.
Şi cum arată un taco ofilit?
Ca un chip de cartof!
Dar ştim că chipsurile de cartofi nu sunt izometrice cu bucăţi plate de cauciuc,
sau bucăţi plate de pizza,
şi asta înseamnă că pentru a ajunge în forma în care e acum,
felia de pizza ar trebui să se întindă.
Din moment ce pizza e subţire, e nevoie de o forţă mare,
comparativ cu forţa necesară
îndoirii feliei de pizza.
Care e deci concluzia?
Când îndoi pizza de la crustă,
o aduci într-o formă în care e nevoie de o forţă mare pentru a îndoi vârful în jos.
De obicei, gravitaţia nu-i destul de puternică pentru asta.
A fost cam multă informaţie,
aşa că haideţi să recapitulăm de la coadă.
Când pizza e îndoită de la crustă,
gravitaţia nu-i destul de mare s-o îndoaie de la vârf.
De ce?
Pentru că întinderea feliei de pizza e dificilă,
şi pentru a îndoi vârful în jos,
felia ar trebui să se întindă.
De ce?
Pentru că forma în care ar ajunge felia de pizza,
forma de taco ofilit,
nu e izometrică cu forma iniţială a feliei.
De ce?
Din cauza matematicii.
Aşa cum arată exemplul cu pizza,
putem învăţa multe lucruri dacă ne uităm la proprietăţile matematice ale diferitelor forme.
Şi e cu atât mai drăguţ cu cât se întâmplă ca acele forme să fie felii de pizza.
Практически каждый любит есть пиццу.
Однако это может быть тот ещё процесс!
Тесто пиццы мягкое и легко гнётся. Так как же предотвратить растекание сыра?
Парочку трюков вы, пожалуй, знаете:
можно есть двумя руками —
не так уж солидно —
или использовать бумажную тарелку,
когда только кончик пиццы высунут.
Но есть и другой способ:
держась за корочку, можно как бы сложить кусок в середине.
Так угол пиццы не падает,
и можно есть, не рискуя перепачкаться в томатном соусе
или откусить часть бумажной тарелки.
Но почему угол пиццы не падает, когда вы всего-то сложили кусок в корочке?
Чтобы понять это, нужно знать две вещи:
немного из математики изогнутых форм
и немного из физики тонких слоёв.
Сначала математика.
Предположим, у меня есть плоский лист резины.
Он тонкий и гнётся, так что его легко можно свернуть в трубочку — цилиндр.
Даже растягивать совсем не нужно, просто согнуть.
Такое свойство объекта, когда одна форма может быть трансформирована в другую
без растягивания или смятия, называется изометрией.
Математик бы сказал, что вот этот плоский лист изометричен цилиндру.
Но не все формы изометричны.
Если попытаться превратить этот листок в часть сферы,
такое никак не получится.
Можете сами попробовать
обернуть листом бумаги футбольный мяч
без растягивания или смятия бумаги.
Такое просто невозможно.
Потому математик сказал бы,
что плоский лист и сфера не изометричны.
Есть ещё одна знакомая нам форма, которая не изометрична
никакой из форм, какие мы к данному моменту видели:
картофельный чипс.
Формы картофельных чипсов не изометричны плоским листам.
Если вы захотите превратить плоский лист резины в форму картофельного чипса,
то придётся растянуть его.
Не только согнуть, но и растянуть.
Такова математика.
Не так уж и сложно, правда?
Теперь физика.
Физику можно обобщить в одном предложении:
тонкие слои легко согнуть, но сложно растянуть.
Это очень важно.
Тонкие слои легко согнуть, но сложно растянуть.
Помните, как мы свернули тонкий лист резины в трубочку?
Это было не трудно, да?
Но представьте, как сложно было бы,
если бы пришлось увеличить его площадь на 10%.
Было бы весьма трудно.
Дело в том, что сгибание тонкого листа требует относительно малого усилия,
а вот растягивание или смятие — куда большего.
Теперь, наконец, поговорим о пицце.
Предположим, вы пошли купить себе кусочек пиццы.
Вы берётесь за корочку, сначала не сгибая её.
Из-за гравитации кусочек прогибается вниз.
Пицца же ведь очень тонкая,
а мы знаем, что тонкие слои легко согнуть.
Вы никак не можете поднести пиццу ко рту,
сыр и соус повсюду —
сплошной беспорядок.
Теперь сложим корочку.
Когда вы это делаете, пицца образует форму типа тако.
Это не трудно.
В конце концов, эта форма изометрична оригинальной пицце, плоской.
Но представьте, что было бы, если бы пицца изогнулась,
пока вы её сгибаете.
Теперь это какой-то обвисший тако.
А на что похож обвисший тако?
Картофельный чипс!
Но мы знаем, что картофельный чипс не изометричен плоским слоям резины
или плоским пиццам,
а это значит, что для того, чтобы вернуться в ту форму, в какой он сейчас,
кусочку пиццы придётся растянуться.
Так как пицца тонкая, это потребует немалого усилия
по сравнению с тем, какое потребуется,
чтобы просто согнуть её.
Каков же вывод?
Когда вы сгибаете пиццу в корочке,
вы складываете её в форму, которая потребует большого усилия, чтобы отвести её кончик вниз.
Обычно гравитация не настолько сильна, чтобы такое усилие обеспечить.
Много информации,
так что давайте быстро повторим всё.
Когда пицца сложена в корочке,
гравитация недостаточна сильна, чтобы согнуть кончик.
Почему?
Потому что растянуть пиццу сложно,
а для того, чтобы согнуть кончик,
придётся пиццу растянуть.
Почему?
Потому что та форма, в которую превратится пицца,
обвисший тако,
не изометрична исходной пицце.
Почему?
Из-за математики.
Как показывает пример с пиццей,
можно много всего узнать, взглянув на математические свойства различных форм.
И особенно приятно, когда эти формы — кусочки пиццы.
Neredeyse herkes pizza yemeyi sever
ancak etraf biraz pislenebilir.
Pizza yumuşaktır ve bükülebilir.
Peki bütün o peynirin akmasını nasıl durduracağız?
Birkaç hile biliyor olabilirsiniz: İki el kullanmak, hiç nazik değil
ya da plastik tabak kullanıp
sadece pizzanın ucunu dışarıda bırakabilirsiniz.
Yalnız bir tane daha hile var:
Alt kısımdan tutarak ortaya doğru katlayabilirsiniz.
Artık pizzanın ucu aşağı eğilmiyor
ve her yerinize domates sosu bulaştırmadan
ya da plastik tabağı ısırmadan yiyebilirsiniz.
Peki neden alttan tutup katladığınızda ucu aşağı eğilmiyor?
Bunu anlamak için iki şey bilmelisiniz:
Eğri şekillerin matematiği
ve biraz da ince tabaka fiziği.
Önce matematik.
Plastikten yapılmış ince bir tabakamız olsun.
Çok ince ve bükülebilir, kolaylıkla silindire çevirebiliriz.
Tabakayı germeme hiç gerek yok, sadece büküyorum.
Bir şeklin germe veya büzülme olmadan
başka bir şekle dönüştürülebildiği bu özelliğe izometri denir.
Bir matematikçi, düz bir tabakanın silindire izometrik olduğunu söyleyebilir.
Fakat tüm şekiller izometrik değildir.
Düz tabakamı küreye çevirmeye çalışsam
başarılı olmam imkansız.
Bunu siz de deneyebilirsiniz.
Düz bir kağıdı bir topun etrafına büzmeden
ya da germeden sarmaya çalışın.
Mümkün değil.
Yani bir matematikçi
düz tabaka ve kürenin izometrik olmadığını söyleyebilir.
Şimdiye kadar gördüğümüz şekillere benzer
ve izometrik olmayan bir şekil daha var: Cips.
Cips şekli düz tabakaya izometrik değildir.
Düz bir plastiği cips şekline getirmek isteseniz
yalnızca bükmeye değil germeye de ihtiyacınız var.
İşte, matematiği bu.
Çok zor değil, değil mi?
Şimdi sıra fizikte.
Bir cümlede özetlenebilir:
İnce tabakaların bükülmesi kolay ama germesi zordur.
Bu çok önemli.
İnce tabakaların bükülmesi kolay ama germesi zordur.
Plastik düz tabakamızı silindire çevirdiğimizi hatırlıyor musunuz?
Zor değildi, değil mi?
Ama tabakanın alanını yüzde 10 oranında arttırmak için
ne kadar germeniz gerektiğini düşünün.
Fazlasıyla zor olacaktır.
İnce bir tabakayı bükmek
çok güç istemiyor
ancak germek ya da büzüştürmek çok daha zor.
Son olarak, pizza konusuna gelelim.
Diyelim ki pizzacıya gittiniz ve bir dilim aldınız.
Katlamadan altından tuttunuz.
Yer çekimi yüzünden dilim aşağı doğru eğildi.
Pizza gayet ince bir şey
ve ince tabakaların kolay büküldüğünü biliyoruz.
Ağzınıza götüremiyorsunuz,
peynir ve domates sosu her yere bulaştı.
Sonra alttan katlıyorsunuz.
Bunu yaptığınızda, pizzayı tako şekline getirmiş oldunuz.
Yapması zor değil, nasıl olsa bu şekil,
normalde düz olan pizzaya izometrik.
Bir de tam bükerken pizzanın sarktığını düşünün.
Artık sarkık bir takoya benziyor.
Peki sarkık tako neye benzer? Cips!
Ancak biliyoruz ki cips düz plastiğe
ya da pizzaya izometrik değil
ve bu da şu an ki haline gelebilmek için
pizzanın gerilmesi gerektiği anlamına geliyor.
Pizza ince olduğundan çok fazla güç gerektiriyor.
Yani pizzayı ilk bükerken gereken güçten çok daha fazlasına.
Peki, sonuç nedir?
Pizzayı alttan katladığınızda,
ucunun aşağı eğilmesi için çok fazla güç gereken bir şekle getirmiş oluyorsunuz.
Yer çekiminin bazen buna gücü yetmeyebiliyor.
Biraz fazla bilgi verdik,
hızlıca üzerinden geçelim.
Pizza alttan katlandığında
yer çekimi ucunu aşağı eğemiyor.
Neden? Çünkü pizzayı germek zor.
Ucunun aşağı eğilmesi için pizzanın gerilmesi gerekiyor
çünkü pizzanın geleceği şekil,
yani tako şekli,
orijinal düz pizzaya izometrik değil.
Neden? Matematikten dolayı.
Pizza örneğinin de gösterdiği gibi
farklı şekillerin matematiksel özelliklerinden çok şey öğrenebiliriz.
Bu şekiller pizza dilimleri olunca daha da eğlenceli oluyor.
Phần lớn mọi người đều thích ăn pizza,
nhưng việc đó có thể khá bừa bãi.
Pizza thì mềm và dễ bị bẻ cong.
Vậy ăn thế nào để pho mát trên đó không bị rơi?
Bạn cần biết vài mánh:
bạn dùng cả hai tay, không sành điệu lắm...
hoặc có thể dùng đĩa giấy
và chỉ để chìa ra phần đầu của miếng pizza.
Còn một cách khác, đó là:
gập nhẹ miếng pizza làm đôi theo chiều dọc.
Bây giờ miếng pizza không bị lủng lẳng,
và bạn có thể ăn mà không bị dây sốt cà chua lên người
hoặc chẳng may cắn phải đĩa giấy.
Nhưng sao miếng pizza không bị lủng lẳng khi được gập đôi lại?
Để hiểu điều này, bạn cần biết hai điều:
tính chất toán học của các hình cong,
và tính chất vật lý của các vật mỏng.
Đầu tiên là toán học.
Giả dụ tôi có tấm cao su mỏng.
Nó rất mỏng và có thể uốn cong, vậy rất dễ để cuốn thành hình trụ.
Tôi không cần căng miếng này ra, chỉ cần uốn cong nó thôi.
Đây là tính chất mà một hình có thể biến thành một hình khác
mà không cần kéo ra hoặc ép lại, được gọi là phép đẳng cự.
Một nhà toán học sẽ nói: miếng nhựa phẳng là đẳng cự với hình trụ tròn.
Nhưng không phải các hình đều đẳng cự.
Nếu tôi thử biến miếng nhựa phẳng thành một hình cầu,
tôi không thể làm điều đó.
Bạn có thể tự kiểm tra điều này,
bằng cách cố gắng bọc giấy bên ngoài một quả bóng,
mà không kéo hoặc làm nhàu tờ giấy.
Điều đó là không thế.
Vậy nhà toán học sẽ nói
tờ giấy và quả cầu không đẳng cự với nhau.
Còn có một hình tương tự khác mà không đẳng cự
với bất kỳ hình dạng nào ta biết: miếng khoai tây chiên.
Hình dạng miếng khoai tây không đẳng cự với tấm phẳng.
Nếu bạn muốn làm miếng nhựa phẳng thành hình dạng miếng khoai tây,
bạn cần kéo nó... không chỉ uốn cong, phải kéo dãn nó nữa.
Vậy, đó là toán học.
Không hề khó đúng không?
Bây giờ nói về vật lý.
Có thể tóm gọn trong một câu:
tấm phẳng dễ dàng bị uốn cong nhưng khó kéo dãn.
Điều này rất quan trọng.
Tấm phẳng dễ dàng bị uốn cong nhưng khó kéo dãn.
Chắc bạn còn nhớ khi chúng ta cuộn tấm nhựa thành hình trụ?
Không khó đúng không?
Nhưng tưởng tượng sẽ khó ra sao nếu kéo dãn nó
để tăng diện tích thêm 10%
Có vẻ sẽ có chút khó khăn.
Vấn đề là bẻ cong một tấm phẳng
sẽ tốn ít sức lực
nhưng để kéo dãn hoặc làm nhàu sẽ khó khăn hơn nhiều.
Bây giờ, cuối cùng, chúng ta quay lại với pizza.
Giả dụ bạn đến cửa hàng pizza và mua một miếng.
Bạn cầm nó từ phần vỏ, đầu tiên, mà không gập lại
Bởi vì trọng lượng, miếng pizza sẽ cong xuống dưới.
Sự thực là pizza thì khá mỏng,
và ta biết tấm phẳng mỏng thì dễ dàng bị bẻ cong.
Bạn không thể cứ ăn như vậy,
pho mát và sốt cà chua vung vãi khắp nơi, sẽ rất lộn xộn.
Vậy bạn gập phần vỏ lại.
Khi làm, bạn biến miếng pizza thành hình dạng như miếng taco.
Không khó để làm vậy. Hơn hết, hình dạng này đẳng cự
với hình dạng phẳng nguyên bản của pizza.
Nhưng tưởng tượng điều sẽ xảy ra nếu miếng pizza rủ xuống
khi bạn đang bẻ cong nó.
Bây giờ trông như miếng taco bị rủ.
Và taco rủ xuống thì trông ra sao? Giống miếng khoai tây!
Nhưng ta điều biết là miếng khoai chiên thì không đẳng cự với tấm nhựa phẳng,
hoặc miếng pizza phẳng,
và điều đó nghĩa là để tạo thành hình dạng như thế này,
miếng pizza phải kéo dãn.
Vì miếng pizza mỏng, nên sẽ cần nhiều lực hơn
so với lực cần thiết để
bẻ cong miếng pizza như lúc đầu.
Vậy, kết luận là gì?
Khi bạn gập phần vỏ miếng pizza,
miếng pizza đã trở thành một hình dạng mà cần rất nhiều lực để bẻ cong nó.
Thông thường, trọng lực không đủ mạnh để tạo ra lực này.
Cũng đã có kha khá thông tin,
giờ hãy tổng hợp những thứ ta có.
Khi miếng pizza được gập lại,
trọng lực không đủ mạnh bẻ cong phần đầu.
Tại sao? Bởi vì khó để kéo dãn miếng pizza
và để bẻ cong phần đầu xuống, miếng pizza phải được kéo dãn.
Bởi vì hình dạng miếng pizza sẽ giống như,
miếng taco rủ xuống,
vậy là không đẳng cự với hình dạng vốn có của pizza.
Tại sao? Bởi vì đó là toán học.
Từ ví dụ của miếng pizza, ta có thể học rất nhiều
bằng cách nhìn bản chất toán học của các hình khối khác nhau.
Và điều tuyệt vời là pizza cũng là một trong các hình đó.
几乎所有人都爱吃比萨
但这可能是个糟糕的生意
比萨很柔软、易弯 你该如何避免奶酪掉到地上呢？
你也许知道一些技巧：
你可以使用两只手
这不怎么文明
你也可以使用纸盘
让一小段比萨不掉落
还有另一个法子，那就是：
握着饼皮边，你可以将比萨折到中间
这样饼尖就不会往下弯
你可以吃着它，同时不担心 番茄酱会洒落在身上
或不小心吃到那纸盘的边缘
但为什么当你折叠饼皮边时 比萨饼尖会保持它原先的位置而不弯曲？
为了理解这个现象 你必须知道两件事：
一点儿关于弯曲形状的数学
和一点儿关于薄片的物理学
首先是数学
假设我有一个橡皮薄片
它非常薄，可以弯折 所以它非常容易卷成筒状
我不须要拉长薄片，就只是折弯它
这使一个形状 可以转变为另一个形状
却不会拉伸或弄皱其原本的特性 称为等距
数学家可能会说 薄片就是个等距的圆筒
但并不是每一种形状都是等距的
如果我试着将我的薄片弄成球面
这完全不可行
你可以自己试着将
一张薄纸片弄成一个足球
而不拉伸或弯折那张纸
这完全不可能
因此数学家会说
薄片和球体不是等距的
有另一种类似的形状
和任何我们看到的形状相比 都不是等距的
薯片
薯片的形状对平板来说不是等距的
如果你想要将一个橡皮平板 变成一个薯片
你需要拉伸它
而不是折弯它或是延展它
因此，那是数学
不难吧，不是吗？
现在我们看看物理学
它可以总结为一句话：
纸张容易折弯但难以拉伸
这很重要
薄的纸片容易折弯，但难以延展
还记得我们将 橡胶薄片卷成圆筒的时刻吗？
那不难，是吧？
但想象一下你得多用力 才能将那薄片
增加百分之十的面积
那会很困难的
重点是将一张薄片折弯 只需要花很少的力气
但是要拉长或揉捏 一张薄片是比较困难的
现在，最后，我们来谈谈比萨
假设你去比萨店买一片比萨
你首先拾起它的硬皮边 试着不让它弯折下落
由于重力的原因 这片饼皮会往下弯曲
比萨挺薄的
我们知道薄片容易弯曲
你没法儿将它放进嘴里
起司和番茄酱会掉满地
弄得一团糟
所以你将饼皮折叠在一起
当你这么做时 你使比萨形成某种钟型形状
这并不难
毕竟这种形状是原来比萨饼的等距 它是平的
但想象一下，如果比萨掉到地上的话 然而你折弯它时
这会怎样呢？
现在，它看起来像一个 下垂的玉米面豆卷
一个下垂的玉米面豆卷 看起来像什么呢？
一片薯片！
但我们知道薯片和橡胶薄片不是等距的
或是扁平的比萨
这意味着为了把它弄成现在的形状
我们需要延展比萨饼皮
由于比萨饼很薄，这需要很多力气
相较于一开始折叠
比萨饼时所需的力气
所以结论是什么呢？
当你在饼皮尖折比萨的时候
你必须花上许多力气来折弯那尖端
通常地心引力没有提供那么强烈的力量
这堂课包含了许多信息
所以让我们来回顾一下吧
当比萨饼从饼皮端对折时
地心引力并不强达到足以折弯那顶尖
为什么？
因为要延展比萨饼是很困难的
为了要折弯顶端
比萨必须延展
为什么？
因为当比萨饼
那章鱼的下垂造型
和原来扁平比萨饼相比，并不是等距的
为什么呢？
因为数学
就像那比萨饼的例子所显示的
我们可以借由观察 不同的形状的数学属性来学习
特别正好是那些形状刚好类似比萨时
很多人都愛吃披薩
但有時也很麻煩
披薩又軟又可以彎折 要怎樣起司才不會掉下去呢？
你可能會用幾種方法：
你可以用兩手拿
但少了點氣質
你可以用紙盤裝
只把尖端露出來
不過還有一種辦法：
抓住餅皮，沿中線折起來
這樣披薩的尖端就不會往下掉
你就不會吃得滿臉都是蕃茄醬
或不小心吃到紙盤
不過為什麼折起來後 尖端就不會往下掉呢？
想了解原因，先要知道兩件事：
一點關於曲面的數學
和一點關於薄片的物理
首先是數學
假設我有一個橡膠做的平面
很薄、而且可彎曲 可以輕易捲成圓柱狀
我並沒有拉長，只是捲起來
一個形狀可以不經過拉長或壓皺
變換成另一個形狀 這性質叫等距同構 (isometry)
數學家會說平面和圓柱面是 等距同構
但並非所有形狀都是等距同構
若我想把平面彎成球面的一部分
那我一定做不到
你可以自己試試看
一張紙不拉長或壓皺
想密合在足球表面上
是不可能的
所以數學家說
平面和球面不是等距同構
還有一種常見的形狀 和我們剛剛看過的任何形狀
都不是等距同構
洋芋片
洋芋片的形狀 和平面不是等距同構
如果你想把橡膠平面 彎成洋芋片的形狀
一定要拉長
不只是彎曲，同時也要拉長
以上是數學的部分
不算太難，對吧？
現在改談物理
可以歸納為一句話：
薄片容易彎曲，但較難拉長
這非常重要
薄片容易彎曲，但較難拉長
還記得我們把橡膠平面捲成圓柱嗎？
這不太難，對吧？
但想像一下，如果想把它拉長
讓面積增加一成，會有多困難
非常困難
問題在於彎折薄片，需力較少
拉長或壓皺薄片比較困難
最後回來談披薩
假設你買了一塊披薩
你從餅皮的部分拿起來，沒有對折
由於重力，這塊披薩就會向下彎
畢竟披薩蠻薄的
而我們知道薄片是容易彎曲的
你沒辦法把它送進嘴裡
因為起司和蕃茄醬會滴滿地
很麻煩
所以你把它對折
此時你強迫披薩變成 塔可餅 (taco) 的形狀
這並不太難
畢竟這形狀和原本的平面披薩 是等距同構的
但想像披薩要向下掉時 會發生什麼事
如果你有對折的話
它會像一個下垂的塔可餅
而下垂的塔可餅跟什麼很像？
就是洋芋片！
但我們知道洋芋片和橡膠平面 或者說「披薩平面」
並非等距同構
這表示要變成這樣的形狀
披薩一定要拉長
因為披薩是薄片，需要很大的力量
相對於一開始
對折的力量
所以結論是？
當你對折披薩，它變成另一種形狀
需要很大力量才能把尖端彎下來
通常重力不足以達到這種力量
好像一次講太多了
我們來個快速重點複習
當披薩對折時
重力不足以把尖端往下彎
為什麼？
因為要把披薩拉長並不容易
而要把尖端往下彎
就一定要拉長
為什麼？
因為那樣披薩的形狀
就會像下垂的塔可餅一樣
和原本平面的披薩並非等距同構
為什麼？
因為數學
像是披薩這個例子
我們可從不同形狀的 數學性質中學到很多
若形狀剛好和披薩一樣，那就更好了