Tras muchas aventuras en el país de las maravillas,
Alicia se encuentra una vez más
en la corte de la temperamental Reina de Corazones.
Está a punto de pasar por el jardín sin ser descubierta,
cuando escucha al rey y a la reina discutiendo.
"Es bastante sencillo", dice la reina. "64 es lo mismo que 65, y eso es así".
Sin pensarlo, Alicia interviene: "Eso no tiene sentido", comenta.
"Si 64 fuese lo mismo que 65, entonces sería 65 y no 64".
"¿Qué? ¡Cómo te atreves!" grita furiosa la reina.
"Te lo demostraré ahora mismo ¡y después te cortarán la cabeza!"
Antes de que pueda protestar,
Alicia es arrastrada hasta un campo con dos tableros de ajedrez:
uno es un cuadrado de 8x8 y el otro es un rectángulo de 5x13.
Mientras la reina da palmadas,
cuatro soldados de aspecto extraño se acercan y se tumban uno junto a otro,
cubriendo el primer tablero de ajedrez.
Alicia ve que dos de ellos son trapecios con lados no diagonales que miden 5x5x3,
mientras que los otros dos son triángulos con lados no diagonales que miden 8x3.
"¿Ves? Esto es 64".
La reina vuelve a dar palmadas.
Los soldados-carta se levantan, se reubican
y se tumban sobre el segundo tablero de ajedrez.
"Y eso es 65".
Alicia queda boquiabierta.
Está segura de que los soldados no cambiaron de tamaño ni de forma
al moverse de un tablero al otro.
Pero es una certeza matemática que la reina debe estar haciendo trampa.
¿Puede Alicia usar su cabeza para resolver el problema antes de perderla?
[Detén el video para resolverlo tú. Respuesta en 3]
[Respuesta en 2]
[Respuesta en 1]
Aunque las cosas no parecen ir bien, Alicia recuerda lo que sabe de geometría
y vuelve a mirar el trapecio y a los soldados-triángulo
que están tumbados uno junto al otro.
Parecen cubrir exactamente la mitad del rectángulo,
sus bordes forman una línea larga que va de una esquina a otra.
Si eso es cierto,
las pendientes de sus lados diagonales deberían ser las mismas.
Pero al calcular estas pendientes
utilizando la fórmula probada y auténtica "de la pendiente"
sucede algo muy curioso.
El lado diagonal del soldado-trapecio sube 2 y más de 5,
lo que le otorga una pendiente de dos quintos o 0,4.
La diagonal del soldado-triángulo, sin embargo, sube 3 y más de 8,
lo que hace que su pendiente sea de tres octavos o 0,375.
¡No son iguales en absoluto!
Antes de que los guardias de la reina puedan detenerla,
Alicia bebe un poco de su poción reductora para ver más de cerca.
Efectivamente, hay una brecha minúscula entre los triángulos y los trapecios,
que forma un paralelogramo que se extiende a lo largo de todo el tablero
y representa el cuadrado que falta.
Hay algo aún más curioso respecto a estos números:
todos ellos son parte de la serie de Fibonacci,
en la que cada número es la suma de los dos anteriores.
Los números de Fibonacci tienen dos propiedades que se aplican aquí:
la primera, elevar al cuadrado un número de Fibonacci le da un valor
que es uno más o uno menos
que el resultado de los números de Fibonacci a cada lado.
En otras palabras, 8 al cuadrado es uno menos que 5 por 13,
mientras que 5 al cuadrado es uno más que 3 por 8.
Y la segunda propiedad es que la relación entre los números sucesivos de Fibonacci
es bastante parecida.
Tan parecida que, de hecho, finalmente converge en la proporción áurea.
Eso es lo que permite a la astuta reina
construir pendientes que, engañosamente, parecen ser similares.
De hecho,
la Reina de Corazones podría improvisar un acertijo parecido
con cuatro números de Fibonacci consecutivos.
Cuanto más elevados sean, más parece que lo imposible es real.
Pero según Lewis Carroll, autor de "Alicia en el país de las maravillas"
y matemático experto que estudió este mismo acertijo,
no se puede creer en cosas imposibles.