In the last segment, you saw that the progression of iterates of the logistic map converged to an
asymptote. In this segment, I'm going to be a bit more careful about the definitions and
terminology around all of that. And I'm going to show you what happens for different
values of the initial conditions x_0 and the parameter, R.
First of all, that notion of a progression of iterates, x_0, x_1 and so on.
That's called an orbit or a trajectory of the dynamical system.
An orbit or a trajectory is a sequence of values of the state variables of the system.
The logistic map has one state variable, x. Other systems may have more than one state variable
My pendulum, for instance, the one you saw in the very first segment. You need to know
the position and velocity of both bobs of the pendulum in order to say what state it's in.
I'll come back to that in the third unit of this course.
The starting value of the state variable in the logistic map, x_0, is called the initial condition.
The trajectory of the logistic map from the initial condition, x=0.2 with R=2, reaches
what's called a fixed point. That's the asymptote after going through what's called a transient.
I drew that picture for you last time. Here's that picture again.
Technically, a fixed point is a state of the system that doesn't move under the influence
of the dynamics. That is, the fixed point to which the logistic map orbit converges, is
what's called an attracting fixed point.
There are other kinds of fixed points as I'll show you with my pendulum.
So this is certainly a fixed point of the dynamics. The system is there and the
dynamics are not causing it to move. And it's an attracting fixed point, because if I perturb
it a little bit, that perturbation will shrink, returning the device to the fixed point.
Now, that's an attracting fixed point. As I said, there are other kinds of fixed points.
This is one of them. Or, there is one here. I've never gotten the pendulum to sit at it.
There is some point here for the pendulum where it will balance.
So that is a fixed point in the sense that the system will not move from there,
but it is an unstable fixed point.
There are two other unstable fixed points in this system. This one, and this one.
Again, all of these points are states of the system that the dynamics is stationary.
This definition that I just gave you captures both kinds of fixed points.
States that don't move under the influence of the dynamics, but doesn't tell you whether
they are stable, that is, they are attracting, or they are unstable, that is, they are repelling,
like the inverted point of the pendulum.
Dynamical systems have several different kinds of asymptotic behaviors.
Subsets of the set of possible states to which things converge as time goes to infinity.
These are called attractors.
Attractors, by the way, have a somewhat circular definition as what's left after the
transient dies out. There's a way to formalize that, which I can put up on our auxiliary video,
if people are interested.
Attracting fixed points are one kind of attractor.
There are three other kinds. We'll talk about some of those in the next segment, and all
of them over the course of the next two weeks. Now, back to fixed points.
Remember this demonstration? Using the logistic map application, that showed that lots of
different initial conditions go to the same fixed point.
So if we use the initial condition 0.1, and the parameter value 2.2, we go to this
fixed point. Let's try something different.
Different transient, same fixed point.
Different transient, still goes to the same fixed point.
The way we think about that behavior, a whole bunch of initial conditions going to the same
attractor, is by defining something called a basin of attraction.
If you are from the United States, there's an easy analogy for you to understand this.
In the middle of the United States, there's something called the continental divide.
It runs about ten miles west of where I am sitting right now, and a raindrop that falls
to the west of the continental divide will run down to the Pacific Ocean.
A raindrop that falls to the east of the continental divide will run down to the Atlantic
Ocean, or maybe down Mississippi. and out that way.
The analogy here is that the Atlantic Ocean as an attractor and the terrain to the east
of the continental divide is the basin of attraction of that attractor.
The Pacific Ocean is another attractor, and the terrain to the west of the continental
divide is the basin of attraction of that attractor, and the boundary of the basin
of attraction divides those two basins.
What do you think will happen to a raindrop that falls exactly perfectly on that basin boundary?
Now let's go back and explore what happens if we change the R parameter while keeping
x_0 fixed, that is, using the same initial condition. There's R=2.3, R=2.4, R=2.5,
as I mentioned in the last segment, the fixed point moves. That's like the population
of rabbits stabilizing at a higher number if the foxes are less hungry or the rabbit's
birth rate is higher.
Now if you look closely, you'll see that the transient lengths differed in that experiment
I just did. R=2.2, the population stabilized really quickly. It took a little longer at R=2.3.
The analogy there is that the population takes a little bit longer to converge to its
fixed point ratio of foxes and rabbits. You also may have noticed, this little overshoot
right here, which gets more pronounced if we raise R further.
There's R=2.6, R=2.7, what's going on here is that the orbit is still converging to a fixed
point, but instead of converging in a one- sided fashion, it's converging in an oscillatory
fashion. It's kind of like, if you push down on the hood of your car, and the car bounces
up and down for a while, before settling out.
لقد رأيت في القسم الماضي، تعاقب تكرارات التطبيق اللوجيستي متقاربة
إلى خط مقارب. في هذا القسم، سأكون أكثر حَذراً قليلاً بشأن التعريفات
والمصطلحات حول كل ذلك. وسأريكم ماذا يحدث لقيم
مختلفة من الشروط الإبتدائية x_0 والوسيط R.
أولاً، مفهوم تعاقب التكرارات، x_0، x_1 وهكذا.
يدعى ذلك مدار أو مسار النظام الديناميكي.
المدار أو المسار هو تسلسل من قيم متغيرات رسمية من النظام.
لدى التطبيق اللوجيستي متغير رسمي واحد، x. قد يكون لدى الأنظمة الأخرى أكثر من متغير رسمي واحد.
على سبيل المثال، النواس، الذي رأيتموه في القسم الأول. تحتاج أن تعرف
موضع وسرعة كِلا تمايلات النواس لكي تقول بأي حالة هو.
سأعود لذلك في الوحدة الثالثة من هذه الدورة.
قيمة البدء للمتغير الرسمي في التطبيق اللوجيستي، x_0، تدعى الشرط الإبتدائي.
مسار التطبيق اللوجيستي من الشرط الإبتدائي، x=0.2 مع R=2، تصل إلى
ما يدعى بنقطة ثابتة. ذلك الخط المقارب بعد المرور بما يدعى بعابر.
لقد رسمت لكم تلك الصورة المرة الماضية. ها هي تلك الصورة مجدداً.
تقنياً، نقطة ثابتة هي حالة النظام الذي لا يتحرك تحت تأثير
الديناميكيا. تلك هي النقطة الثابتة التي يتقارب إليها مسار التطبيق اللوجيستي،
والتي تدعى بنقطة ثابتة جاذبة.
هناك أنواع أخرى من النقاط الثابتة كما سأريكم بالنواس.
إذاً، هذه بالتأكيد نقطة ثابتة للديناميكيا. النظام هناك
ولا تتسبب الديناميكيا بتحريكه. وإنّها نقطة ثابتة جاذبة، لأنّني إذا شوشته
قليلاً، سيتقلّص ذلك التشويش، معيداً الجهاز إلى النقطة الثابتة.
الآن، تلك نقطة ثابتة جاذبة. كما قلت، هناك أنواع أخرى من النقاط الثابتة.
هذه واحدة منهم. أو هناك واحدة هنا. لم أستطع أن اجعل نواسي يحط عليها أبداً.
هناك نقطةٌ ما هنا حيث يتوازن النواس عليها.
إذاً، تلك نقطة ثابتة بمعنى أنّ النظام لن يتحرك من هناك،
لكنها نقطة ثابتة غير مستقرة.
هناك نقطتان ثابتتان غير مستقرتان أخرتان في النظام. هذه وهذه.
مجدداً، كل هؤلاء النقاط هم حالات النظام الذي ديناميكيته ثابتة.
هذا التعريف الذي أعطيتكم إيّاه للتو يلتقط كِلا نوعي النقاط الثابتة.
الحالات التي لا تتحرك تحت تأثير الديناميكيا، لكن لا تخبركم ما إذا كانوا
كانوا مستقرين جاذبين، أو غير مستقرين صادّين،
مثل النقطة العكسية للنواس.
لدى الأنظمة الديناميكية العديد من الأنواع المختلفة من السلوكيات المقاربة.
فروع من مجموعة الحالات المحتملة حيث تتقارب الأشياء كذهاب الزمن إلى ما لا نهاية.
يدعى هؤلاء بالجواذب.
بالمناسبة، لدى الجواذب تحديد دائري نوعاً ما، عندما يتوقف
ما بقي من العابر. هناك طريقة لتشكيل ذلك، والتي استطيع أن أضعها في الفيديو الملحق،
إن كانت الناس مهتمة بالموضوع.
النقاط الثابتة الجاذبة هي نوعٌ واحد من الجواذب.
هناك ثلاث أنواع أخرى. سنتحدث عن بعضاً من هؤلاء في القسم التالي، وكلهم
خلال الدورة في الأسبوعين القادمين. الآن، بالعودة إلى النقاط الثابتة.
هل تتذكر هذه البرهنة؟ باستخدام تطبيق الاقتران اللوجيستي، والذي أظهر أنّ الكثير
من الشروط الإبتدائية المختلفة تذهب إلى نفس النقطة الثابتة.
إذاً، إذا استخدمنا الشرط الإبتدائي 0.1، وقيمة الوسيط 2.2، نذهب إلى
النقطة الثابتة هذه. دعونا نجرّب شيئاً مختلفاً.
عابر مختلف، نفس النقطة الثابتة.
لا يزال العابر المختلف يذهب إلى نفس النقطة الثابتة.
الطريقة التي نفكر بها بشأن ذلك السلوك، مجموعة كاملة من الشروط الإبتدائية تذهب إلى نفس
الجاذب، هي من خلال تحديد شيءٍ ما يدعى حوض التجاذب.
إن كنت من الولايات المتحدة، هناك مماثلة سهلة لك لتفهم هذا.
يوجد في وسط الولابات المتحدة شيئاً ما يدعى بالقسم القاري.
إنّها تقع غرب المكان الذي أجلس فيه الآن بحوالي عشرة أميال، وقطرة المطر التي تسقط
على غرب القسم القاري ستنزلق للمحيط الهادي,
قطرة المطر التي تسقط على شرق القسم القاري ستنزلق إلى المحيط
الأطلسي، أو ربما إلى أدنى المسيسبي. وخارج ذلك الطريق.
المماثلة هنا هي أنّ المحيط الأطلسي مثل جاذب، والتضاريس نحو شرق
القسم القاري هي حوض التجاذب لذلك الجاذب.
المحيط الهادئ هو جاذب آخر، والتضاريس نحو غرب القسم
القاري هي حوض التجاذب لذلك الجاذب، وحدود حوض
الجذب ذلك تقسم هذين الحوضين.
ماذا تظن سيحدث على قطرة المطر التي تسقط على حدود الحوض بالضبط تماماً؟
الآن، دعونا نعود ونستكشف ماذا يحدث إذا غيّرنا الوسيط R بينما نبقي
x_0 ثابتة، هو أنّ باستخدام نفس الشرط الإبتدائي. هناك R=2.3، R=2.4، R=2.5 ،
كما ذكرت في القسم الماضي، النقطة الثابتة تتحرك. ذلك مثل استقرار الكثافة
السكانية للأرانب عند عدد أعلى إن كانت الثعالب أقل جوعاً أو معدل
ولادة الأرانب أعلى.
الآن، إذا نظرت عن كثب، سترى أنّ الأطوال العابرة مختلفة في تلك التجربة
التي قمت بها للتو. R=2.2، تستقر الكثافة السكانية بسرعة جداً. تأخذ وقتاً أطول بقليل عند R=2.3.
المماثلة هناك هي أنّ الكثافة السكانية تأخذ وقتاً أطول بقليل لتتقارب إلى
نسبة نقطتها الثابتة من الثعالب والأرانب. قد تكون قد لاحظت أيضاً، هذا التجاوز الصغير
هنا، والذي يصبح واضحاً أكثر أذا رفعنا R أكثر.
هناك R=2.6، r=2.7، ما يجري هنا هو أنّ المدار لا زال متقارب إلى نقطة
ثابتة، لكن بدلاً من تقاربه بنمط من جانب واحد، إنّه يتقارب بنمط
تذبذبي. إنّه كما لو أنّك تضغط على غطاء سيارتك، وترتد السيارة
للأعلى والأسفل لبرهة، قبل أن تستقر.
Στο τελευταίο κομμάτι, είδατε την πρόοδο των επαναλήψεων της εξίσωσης να συγκλίνει
σε μια ασύμπτωτη. Σε αυτό το κομμάτι, θα είμαι πιο προσεκτική με τους ορισμούς και την
ορολογία γύρω από αυτά. Και θα σας δείξω τι γίνεται για διαφορετικές
τιμές αρχικών συνθηκών x_0 και της παραμέτρου R.
Πρώτα απ'όλα, αυτή η ιδέα της προόδου των επαναλήψεων ,x_0, x_1 και πάει λέγοντας.
Αυτό ονομάζεται τροχιά του δυναμικού συστήματος
Η τροχιά είναι μια σειρά των τιμών των καταστατικών μεταβλητών του συστήματος.
Η εξίσωση logistic έχει μια καταστατική μεταβλητή, x. Άλλα συστήματα έχουν περισσότερες από μία.
Το εκκρεμές, για παράδειγμα, αυτό που είδατε στο πρώτο μέρος. Χρειάζεται να γνωρίζετε
την θέση και την ταχύτητα και των 2 βαριδίων του εκκρεμούς για να πούμε σε ποια κατάσταση είναι
Θα ξανάρθω σε αυτό στην ενότητα 3 του μαθήματος.
Η αρχική τιμή της καταστατικής μεταβλητής στον χάρτη logistic,x_0, ονομάζεται αρχική κατάσταση.
Η τροχιά του χάρτη logistic από την αρχική κατάσταση , x=0 με R=2, φθάνει
σε αυτό που ονομάζουμε καθορισμένο σημείο. Αυτή είναι η ασύμπτωτη μετά την μεταβατική φάση.
Ζωγράφισα αυτήν την εικόνα για εσάς την τελευταία φορά. Ορίστε ξανά η εικόνα.
Τεχνικά, το καθορισμένο σημείο είναι η κατάσταση του συστήματος η οποία δεν κινείται κάτω από την επιρροή
της δυναμικής. Το καθορισμένο σημείο στο οποίο η τροχιά του χάρτη συγκλίνει,
ονομάζεται ελκυστικό καθορισμένο σημείο.
Υπάρχουν και άλλα είδη καθορισμένων σημείων όπως θα σας δείξω στο εκκρεμές μου.
Έτσι αυτό είναι βεβαίως ένα σταθερό σημείο. Το σύστημα είναι εκεί και η
δυναμική δεν το κινεί. Και είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο, επειδή εάν το διαταράξω
λίγο, αυτή η διατάραξη θα μαζευτεί, γυρνώντας το όργανο στο καθορισμένο σημείο.
Τώρα, αυτό είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο. Όπως είπα υπάρχουν και άλλα είδη καθορισμένων σημείων.
Αυτό είναι ένα από αυτά. Ή, είναι αυτό εδώ. Ποτέ δεν κάθισε το εκκρεμές έτσι όπως εδώ.
Υπάρχει κάποιο σημείο εδώ στο εκκρεμές που θα ισορροπήσει.
Έτσι αυτό είναι ένα καθορισμένο σημείο με την έννοια ότι το σύστημα δεν θα κινηθεί από εδώ,
αλλά είναι ασταθές καθορισμένο σημείο.
Υπάρχουν άλλα δύο ασταθή καθορισμένα σημεία σε αυτό το σύστημα. Αυτό, και αυτό.
Ξανά, όλα αυτά τα σημεία είναι καταστάσεις του συστήματος όπου η δυναμική είναι στατική.
Αυτός ο ορισμός που έδωσα συλλαμβάνει και τα δύο είδη καθορισμένων σημείων.
Καταστάσεις που δεν κινούνται κάτω από την επίδραση της δυναμικής, αλλά δεν σου λένε εάν
είναι σταθερές (ελκυστικές) ή είναι ασταθείς (απωστικές),
όπως το ανεστραμμένο σημείο στο εκκρεμές.
Τα δυναμικά συστήματα έχουν πολλά διαφορετικά είδη ασυμπτωτικών συμπεριφορών.
Υποσύνολα του συνόλου των πιθανών καταστάσεων στις οποίες τα πράγματα συγκλίνουν όσο ο χρόνος τείνει στο άπειρο.
Αυτοί ονομάζονται ελκυστές.
Οι ελκυστές έχουν έναν κυκλικό ορισμό αφού ότι έμεινε από την
μεταβατική φάση πεθαίνει. Υπάρχει τρόπος να το κάνουμε πιο τυπικό αυτό, το οποίο το έβαλα στο
βοηθητικό βίντεο εάν ενδιαφέρεστε.
Τα ελκυστικά καθορισμένα σημεία είναι ένα είδος ελκυστών.
Υπάρχουν άλλα τρία είδη. Θα μιλήσουμε για κάποια από αυτά στα επόμενα κομμάτια και για όλα
αυτά τις επόμενες δύο εβδομάδες. Τώρα πίσω στα καθορισμένα σημεία.
Θυμάστε αυτήν την επίδειξη; Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή του χάρτη logistic, που έδειξε πολλές
διαφορετικές αρχικές συνθήκες να συγκλίνουν στο ίδιο σταθερό σημείο.
Έτσι αν χρησιμοποιήσουμε την αρχική συνθήκη 0.1, και την παραμετρική τιμή 2.2, φθάνουμε σε αυτό
το καθορισμένο σημείο. Ας δοκιμάσουμε κάτι διαφορετικό.
Διαφορετική μεταβατική περιοχή, ίδιο καθορισμένο σημείο.
Διαφορετική μεταβατική περιοχή, συνεχίζει να φθάνει στο ίδιο καθορισμένο σημείο.
Ο τρόπος που σκεφτόμαστε για αυτήν την συμπεριφορά, πολλές αρχικές συνθήκες να καταλήγουν στον ίδιο
ελκυστή, είναι ορίζοντας κάτι που ονομάζεται βάση του ελκυστή.
Εάν είστε από τις Η.Π.Α., υπάρχει μια εύκολη αναλογία για εσάς να το καταλάβετε.
Στην μέση των Η.Π.Α., υπάρχει κάτι που λέγεται χώρισμα ηπείρου.
Διατρέχει περίπου δέκα μίλια δυτικά από εκεί που κάθομαι ακριβώς τώρα, και μια βροχή που πέφτει
στα δυτικά του χωρίσματος θα καταλήξει στον Ειρηνικό Ωκεανό.
Μια βροχή που θα πέσει στα ανατολικά του χωρίσματος θα καταλήξει στον Ατλαντικό
Ωκεανό, ή ίσως στον Μισσισσιππή.
Η αναλογία εδώ είναι ότι ο Ατλαντικός Ωκεανός είναι ο ελκυστής και η περιοχή στα ανατολικά
του χωρίσματος είναι η βάση της έλκυσης αυτού του ελκυστή.
Ο Ειρηνικός Ωκεανός είναι ένας άλλος ελκυστής, και η περιοχή προς τα δυτικά του
χωρίσματος είναι η βάση της έλκυσης αυτού του ελκυστή, και το όριο της βάσης
της έλκυσης διαχωρίζει τις δύο βάσεις.
Τι νομίζεται ότι θα συμβεί εάν μια βροχή πέσει ακριβώς στο όριο της βάσης;
Τώρα ας πάμε πίσω να εξερευνήσουμε τι συμβαίνει εάν αλλάξουμε την παράμετρο R ενώ κρατάμε
το x_0 σταθερό, χρησιμοποιώντας την ίδια αρχική συνθήκη. Υπάρχει R=2.3, R=2.4, R=2.5,
όπως ανέφερα προηγουμένως, το καθορισμένο σημείο κινείται. Αυτό είναι σαν ο πληθυσμός
των λαγών σταθεροποιείται σε έναν υψηλότερο αριθμό εάν οι αλεπούδες είναι λιγότερο πεινασμένες ή ο ρυθμός
γέννησης των λαγών είναι υψηλότερος.
Τώρα εάν κοιτάξετε καλύτερα, θα δείτε ότι το μήκος της μεταβατικής περιοχής διέφερε σε αυτό το πείραμα
Το έκανα. R=2.2, ο πληθυσμός σταθεροποιείται γρήγορα Πήρε λίγο πιο πολύ για R = 2.3.
Η αναλογία εδώ είναι ότι ο πληθυσμός παίρνει λίγο περισσότερο να συγκλίνει στο
καθορισμένο λόγο αλεπούδων και λαγών. Θα έχετε προσέξει, αυτό το σημείο
ακριβώς εδώ, το οποίο γίνεται πιο σαφές εάν αυξήσουμε την R περισσότερο.
Υπάρχει R=2.6, R=2.7, αυτό που συμβαίνει εδώ είναι ότι αυτή η τροχιά ακόμα συγκλίνει σε ένα καθορισμένο
σημείο, αλλά αντί να συγκλίνει σε μια πλευρά, συγκλίνει με έναν τρόπο σαν να ταλαντώνεται.
Είναι όπως όταν ξεσκεπάζεις την κουκούλα του αυτοκινήτου σου, και το αυτοκίνητο
ταλαντώνεται πάνω και κάτω πριν σταματήσει.
En el último segmento,
vimos que la Progresión
de iteraciones del mapa logístico
converge en una asíntota,
En este segmento,
voy a tener un poco más
con las definiciones y
Terminología en torno a todo esto.
Te voy a mostrar lo que pasa
parar Diferentes Valores de las condiciones iniciales x_0
y el parámetro R.
En primer lugar,
a esa noción de progresión
de iteraciones, x_0, x_1
y así sucesivamente
Es lo que se llama una órbita o una Trayectoria del sistema dinámico.
Una órbita o una trayectoria es una Secuencia de Valores
de las variables de Estado del sistema
El mapa logístico tiene una variable
de Estado X
Otros sistemas pueden tener
más de una variable de estado
Mi péndulo, por ejemplo,
que vieron en el Primer segmento.
Se Necesita saber
La posición y velocidad
de ambos pesos del Péndulo
para decir en qué estado está
Retomará este tema en la tercera unidad del curso
El valor inicial de la variable de estado
En el mapa logístico, x_0,
se denomina
Condición inicial
La trayectoria del mapa logístico
desde el condición inicial,
x = 0.2
con R = 2,
alcanza lo que se llama un punto fijo
Esa es la asintota,
después de pasar por lo que se llama una transiente,
Dibujé esa foto la última vez.
Aquí la muestro nuevamente.
Tecnicamente, un punto fijo es
un estado del Sistema
que no se mueve bajo la Influencia
de la dinámica.
Es decir, el punto fijo
en que la órbita del mapa
logístico converge,
es lo que se llama un
punto de atracción Fijo.
Hay otros tipos de puntos fijos
como Mostraré con mi péndulo
Así que este es,
sin duda, un punto fijo de la dinámica.
El sistema está ahí
y la dinámica no hace que se mueva,
Y es Un punto fijo de atracción,
porque si yo perturbo un poco,
esa perturbación se reducirá,
Regresando el dispositivo al punto fijo.
Ahora, eso es un atractor de punto fijo.
Como dije, hay otros tipos de puntos Fijos.
Este es uno de ellos.
O, hay uno aquí.
Nunca he conseguido que el péndulo se siente.
Hay un punto aquí donde el péndulo se equilibra
Por eso es un punto fijo
en el sentido que
el sistema no se moverá de allá,
Pero es
un punto fijo inestable.
Hay otros dos puntos fijos inestables
en este sistema,
Este
y este otro
de nuevo, todos estos puntos
son estados del sistema
donde la dinámica
es estacionaria
Esta definición que acabo de dar recoge ambos tipos de puntos fijos,
estados que no se mueven
bajo la influencia de la dinámica,
pero no le indican cuando
son estables, si se atraen,
o inestables si se repelen
Como el punto invertido del péndulo.
Los sistemas dinámicos tienen
tipos diferentes de comportamientos asintóticos
Subconjuntos del conjunto de estados posibles
a los que las cosas convergen
con el tiempo hasta el infinito
Estos se llaman atractores.
Los atractores, por cierto,
tienen cierta definición circular
como lo que queda después
que la transiente se extingue,
Hay una manera de formalizar eso,
que verán en un video extra, si les interesa.
la atracción de puntos fijos
es un tipo de atractor.
Existen otros tres de los que hablará
en el segmento próximo, y de todos
ellos en el transcurso de las próximas dos semanas.
Ahora, volvamos a los puntos fijos.
¿Recuerdas esta demostración?
Usando la aplicación del mapa logístico,
que mostrá que varias de las diferentes
condiciones iniciales van al mismo punto fijo.
Así que si usamos la condición inicial
0.1, y el valor del parámetro 2.2,
vamos a este punto fijo.
Probemos algo diferente
Diferente transiente, igual punto fijo.
Diferente transiente,
aun conduce al mismo punto fijo.
La forma en que pensamos
sobre ese comportamiento,
es que un grupo de condiciones iniciales
van al mismo atractor,
se define algo llamado Una cuenca de atracción.
Si eres de los Estados Unidos,
hay una analogía Fácil para que entiendas esto
En el medio de los Estados Unidos,
hay algo llamado la división continental
Corre unas diez millas
al oeste de donde me ubico en este momento,
y una gota de lluvia que cae
al oeste de la división continental
corre hacia el océano pacífico
Una gota de lluvia que cae al este de la La división
correrá hacia el Atlántico.
o tal vez al Mississippi
y fuera de esa manera
La analogía aquí es que el océano Atlántico
es un atractor
y en el terreno al este
de la división continental
se encuentra la cuenca de atracción.
El Océano Pacífico es otro atractor,
y El terreno al oeste de la división continental
es la cuenca de atracción de ese atractor,
y el límite de la cuenca divide
esas dos cuencas.
¿Qué crees que pasará con una gota de lluvia
que cae exactamente, en el límite de la cuenca?
Ahora volvamos y exploremos lo que pasa
Si cambiamos el parámetro R
manteniendo x_0 fijo,
es decir, usando la misma
condición inicial.
R=2.3,
R=2.4,
R=2.5,
Como mencioné en el último segmento,
el punto fijo de mueve.
Eso es como la población
de conejos,
estabilizándose en un número mayor
Si los zorros tienen menos hambre o
la tasa de natalidad de
los conejos es mayor.
Ahora si miras detenidamente,
verás que Las longitudes de las transientes
difieren en ese experimento
Lo acabo de hacer: R=2.2,
la población se estabilizó muy rápido
Tomé un poco más de tiempo en R=2.3
La analogía es que la población
Toma un poco más de tiempo para convergeren esa relación
de punto fijo de conejos y zorros,
noté además este pequeño rebasamiento
aquí, que se pronuncia más si elevamos R,
Hay R = 2.6,
R = 2.7,
lo que está pasando aquí es que la órbita
sigue convergiendo a un punto fijo,
pero en vez de converger en un lado,
converge en una oscilación
Es algo así como, si presionas hacia abajo
en el capot de tu coche, y el coche rebota
Arriba y abajo por un instante,
antes de establecerse.
Nell'ultimo segmento, avete visto che la progressione delle iterazioni della mappa logistica convergeva ad
un asintoto. In questo segmento, sarò più precisa riguardo la definizione e
la terminologia che riguarda ciò. E vi mostrerò cosa succede per diversi
valori delle condizioni iniziali x_0 e del parametro, R.
Prima di tutto, il concetto di progressione di iterazioni, x_0, x_1, e così via.
E' chiamata orbita o traiettoria del sistema dinamico.
Una orbita o traiettoria è una sequenza dei valori delle variabili di stato del sistema.
La mappa logistica ha una variabile di stato, x. Altri sistemi possono averne più di una.
Il mio pendolo, ad esempio, quello che avete visto nel primo segmento. Dovete sapere
la posizione e la velocità di entrambi i bracci del pendolo per sapere qual è lo stato.
CI ritorneremo nella terza unità del corso.
Il valore iniziale della variabile di stato nella mappa logistica, x_0, viene chiamato la condizione iniziale.
La traiettoria della mappa logistica dalla condizione iniziale, x=0.2, con R=2, raggiunge
ciò che viene chiamato un punto fisso. Questo è l'asintoto dopo ciò che viene chiamata transizione.
Vi ho disegnato la figura l'ultima volta. ecco di nuovo l'immagine.
Tecnicamente, un punto fisso è lo stato del sistema che non si muove a causa
della dinamica. Cioè, il punto fisso a cui l'orbita della mappa logistica converge, è
ciò che viene chiamato punto fisso di attrazione.
Ci sono altri tipi di punti fissi che vi mostrerò con il mio pendolo.
Quindi è certamente un punto fisso delle dinamiche. Il sistema è qui e
le dinamiche non lo muovono. Ed è un punto fisso di attrazione, perché se perturbo
un po' il sistema, la perturbazione si restringe, facendo ritornare il dispositivo al punto fisso.
Quindi è un punto fisso di attrazione. Come ho detto, ci sono altri tipi di punti fissi.
Questo è uno di loro. O, ce n'è uno qui. Non ho mai visto il pendolo che si fermi qui.
C'è un punto qui per il pendolo che rimarrà in equilibrio.
Quindi è un punto fisso nel senso che il sistema non si muoverà da lì,
ma è un punto fisso instabiole.
Ci sono altri due punti fissi instabili nel sistema, questo e questo.
Di nuovo, tutti questi punti sono stati del sistema in cui la dinamica è stazionaria.
La definizione che ho appena dato comprende entrambi questi tipi di punti fissi.
Gli stati che non si muovono sotto l'influenza delle dinamiche, ma che non dicono quando
sono stabili, cioè se sono di attrazione, o instabili, cioè che respingono,
come i punti invertiti del pendolo.
I sistemi dinamici hanno parecchi tipi di comportamenti asintotici.
Ci sono sottoinsiemi dell'insieme di stati possibili in cui le cose convergono quando il tempo va all'infinito.
Questi sono chiamati attrattori.
Gli attrattori, a proposito, hanno qualcosa di circolare che finisce
quando la transizione termina. C'è un modo per formalizzare che metterò in un video ausiliario,
se le persone sono interessate.
I punti fissi di attrazione sono un tipo di attrattori.
Ci sono altri tre tipi. Di qualcuno ne parleremo nel prossimo segmento,
e di tutti nel corso delle prossime due settimane. Tornando ai punti fissi,
ricordate questa dimostrazione? Usando la applicazione della mappa logistica, che mostrava che molte
condizioni iniziali differenti andavano allo stesso punto fisso.
Quindi se usiamo la condizione iniziale 0.1, e il valore di parametro 2.2, abbiamo
questo punto fisso. Proviamo qualcosa di diverso.
Differente transizione, stesso punto fisso.
Differente transizione, ancora va allo stesso punto fisso.
Questo comportamento, quando molte condizioni iniziali
portano allo stesso attrattore, lo chiamiamo bacino di attrazione.
Se siete degli Stati Uniti, c'è una facile analogia per voi per capire questo.
Nel mezzo degli Stati Uniti, c'è una cosa chiamata "continental divide".
Si trova circa dieci miglia ad ovest da qui e una goccia che cade a ovest cadrà
nell'Oceano Pacifico.
Una goccia che cade ad est cadrà nell'Oceano Atlantico
o forse nel Mississippi, dall'altra parte.
L'analogia è che l'Oceano Atlantico è un attrattore e il terreno a est
del "continental divide" è il bacino di attrazione di quell'attrattore.
L'Oceano Pacifico è un altro attrattore, e il terreno ad ovest del
"continental divide" è un suo bacino di attrazione, e il bordo del bacino
di attrazione divide questi due bacini.
Che cosa pensate succeda a una goccia che cade esattamente su questa linea di confine?
Ora torniamo indietro e osserviamo cosa succede se modifichiamo il parametro R con
x_0 fissato, cioè usiamo la stessa condizione iniziale. Usiamo R=2.3, R=2.4, R=2.5,
come ho detto nell'ultimo segmento, il punto fisso si sposta. E' come la popolazione
di conigli che si stabilizza ad un numero più elevato se le volpi sono meno affamate
o il tasso di natalità dei conigli è più elevato.
Se osservate da vicino, vedrete che è diversa la durata della transizione.
L'ho appena fatto. R=2.2, la popolazione si stabilizza molto velocemente. Occorre un po' di più se R=2.3.
L'analogia è che la popolazione ci mette un po' di più a convergere a questo
punto fisso, proporzione di volpi e conigli. Potreste anche aver notato, questa piccolo picco,
qui, che è più pronunciato se aumentiamo ulteriormente R.
Questo è R=2.6, questo è R=2.7. Ciò che succede qui è che l'orbita è ancora convergente a un
punto, ma invece di convergere in un punto unico, oscilla, converge ad un'oscillazione.
E' come se schiacci la macchina sul cofano, e questa rimbalza
su e giù per un po' prima di stabilizzarsi.