-
წინა ვიდეოში ვისწავლეთ, თუ რას უდრის
შემთხვევითი ცვლადის
-
მოსალოდნელი მნიშვნელობა
-
ეს უბრალოდ უდრიდა პოპულაციის საშუალოს
-
თუმცა, რადგან შემთხვევითი ცვლადის დროს
პოპულაცია უსასრულოა
-
ვერ აიღებ ყველა ელემენტს და შემდეგ მათგან
საშუალოსაც ვერ გამოიყვან
-
უნდა თქვა, რომ თითოეული მნიშვნელობა
-
რაღაც სიხშირით, რაღაც ალბათობით
გვხვდება
-
ამიტომ უნდა აიყო ალბათობისმიერი ჯამი
-
ეს კი იგივეა, რაც ყველაფრის შეკრება და
შემდეგ მათ რაოდენობაზე გაყოფა
-
თუმცა ეს მეთოდი მივუსადაგეთ ელემენტების
უსასრულო რაოდენობას, რადგან
-
შემთხვევითი ცვლადით მუდამ შეგიძლია კიდევ
ერთი რიცხვის მიღება
-
შემდეგ გამოვთვალეთ იმ ორწევრა
განაწილებების
-
მოსალოდნელი მნიშვნელობა, რომლებიც
ჩვენ შევისწავლეთ
-
განსაკუთრებით კი მონეტის აგდების
შემთხვევა
-
ამ ვიდეოში ვისწავლით ზოგად ფორმულას
-
ორწევრა განაწილების
მოსალოდნელი მნიშვნელობისთვის
-
თუ ვამბობთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი x
უდრის:
-
P ალბათობის "წარმატებათა" რაოდენობას
n რაოდენობის ცდის შემდეგ
-
შემეძლო ეს ასეც ჩამომეყალიბებინა:
-
"მოსული გერბების რაოდენობა, რომლებსაც
P ალბათობა ჰქონდათ, n აგდების შემდეგ"
-
ეს იქნებოდა იგივე, რაც დავწერე აქ
-
ახლა კი გამოვთვალოთ ამისი მოსალოდნელი
მნიშვნელობა
-
როგორც ვნახეთ, თუ გამოთვლიდი ალბათობის
განაწილებას ამ შემთხვევითი ცვლადისთვის
-
მიიღებდი ორწევრა განაწილებას, რომელსაც
გაუსის მრუდის ფორმა ექნებოდა
-
სანამ გამოთვლას დავიწყებდეთ, პირდაპირ
პასუხს გეტყვით
-
რადგან ის საკმაოდ იოლად მისახვედრია
-
ამ შემთხვევითი ცვლადის მოსალოდნელი
მნიშვნელობა იქნება:
-
n გამრავლებული p-ზე
-
მოდი განვმარტავ
-
დავუშვათ, რომ x უდრის ჩემ მიერ კალათბურთის
ფარში ჩაგდებული ბურთების რაოდენობას
-
10 სროლის შემდეგ
-
თითოეული სროლის ჩაგდების ალბათობა კი
არის 40 პროცენტი
-
10 სროლის შემდეგ ჩაგდებული ბურთების
მოსალოდნელი რაოდენობა იქნება--
-
10 სროლის შემდეგ ჩაგდებული ბურთების
რაოდენობა, 40-პროცენტიანი ალბათობით, არის:
-
ალბათობა გამრავლებული სროლების
რაოდენობაზე
-
40 პროცენტი, ანუ ნოლი მთელი ოთხი
გამრავლებული 10-ზე
-
არ იფიქრო, რომ მოსალოდნელი რაოდენობა
ზუსტად ტოლი იქნება
-
რეალურად ჩაგდებული ბურთების შესაძლო
რაოდენობის
-
რადგან ხანდახან ალბათობათა გადანაწილება
ოდნავ უცნაურია ხოლმე
-
თუმცა, ორწევრა განაწილების დროს, შეგილია
სწორედ ასე იფიქრო
-
ეს არის იმ სროლების რაოდენობა, რომლებსაც
მოსალოდნელია, რომ ჩააგდებ
-
ან, ყველაზე მეტად მოსალოდნელი
შედეგი
-
თუ შენი სროლის პროცენტი არის 40 და
10-ჯერ ისვრი ბურთს
-
მოსალოდნელია, რომ ოთხ ბურთს
ჩააგდებ
-
შეიძლება რეალურად ექვსი ან
სამი ბურთი ჩააგდო, თუმცა
-
ეს არის მოსალოდნელი შედეგი
-
ყოველი სროლის დროს, 40 პროცენტია იმის
შანსი, რომ ამ ბურთს ჩააგდებ
-
ამიტომ შეიძლება თქვა, რომ ყოველ სროლაზე
"ჩაგდებული ბურთის 40 პროცენტს" აგროვებ
-
და თუ 10-ჯერ ისვრი, მიიღებ
"ოთხ მთლიან ჩაგდებულ ბურთს"
-
შეგიძლია ამას ასეც შეხედო
-
ახლა კი დავამტკიცოთ, რომ ეს ჭეშმარიტია
ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის,
-
რომელიც ორწევრა განაწილებით აღიწერება
-
ვთქვათ, რა იქნება იმის ალბათობა, რომ
x უდრის k-ს?
-
გასაგებად ოდნავ რთულია
კალათბურთის ანალოგია რომ დავიხმაროთ,
-
რა იქნება იმის ალბათობა, რომ მე ჩავაგდებ--
k იყოს სამი ბურთის ტოლი, ან რაიმე სხვის
-
თუ გვაქვს n სროლა, აქედან გვაქვს
ჩაგდებული სროლების k რაოდენობა
-
ეს რამდენჯერმე გავაკეთეთ წინა ვიდეოებში
-
შემდეგ ამას ვამრავლებთ თითოეული შემთხვევის
ალბათობაზე
-
თუ ვაგდებ k სროლას, მაშინ
-
ეს იქნება თითოეული სროლის ჩაგდების
ალბათობა, ანუ p
-
აყვანილი k ხარისხში
-
p k ხარისხში იქნება k რაოდენობის სროლის
ჩაგდების ალბათობა
-
ხოლო დანარჩენი სროლები კი მე უნდა
ავაცილო
-
აცილების ალბათობა იქნება ერთს მინუს p
-
თუ ჩავაგდე სროლების k რაოდენობა, მაშინ
დანარჩენი სროლები უნდა ავაცილო
-
ამიტომ ავაცილებ n-ს მინუს k რაოდენობის
სროლას
-
ორწევრა განაწილებაში, ეს არის იმის
ალბათობა,
-
რომ მიიღებ k რაოდენობის "წარმატებას"
-
ისიც ვიცით, რომ შემთხვევითი ცვლადის
მოსალოდნელი მნიშვნელობის გამოთვლისას
-
იღებ ალბათობებით შეწონილ ჯამს, ანუ
ჯამს ალბათობების მიხედვით
-
არ მინდა დაგაბნიო, თუ ეს ფორმულა გაიაზრე
უკვე ძალიან კარგია
-
ახლა კი უფრო ტექნიკურ დეტალებში
გადავეშვათ
-
მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის
ამ ელემენტების ალბათობებით შეწონილი ჯამი
-
ამიტომ, უნდა აიღო იმის ალბათობა, რომ
x უდრის k-ს
-
ეს ალბათობა გაამრავლო k-ზე და
-
ეს გამოთვალო ყველა შესაძლო k-სთვის და
შემდეგ შეკრიბო
-
x-ის მოსალოდნელი მნიშვნელობა იქნება--
-
ჯამი--
k-ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობას ვიღებთ
-
ამიტომ k ნოლიდან დაიწყება
-
როცა k ნოლია, კალათბურთის ვერსიაში,
ვერცერთ სროლას ვერ ვაგდებ
-
n-მდე, რაც ნიშნავს, რომ ყველა, n ოდენობის
ბურთს ჩავაგდებ
-
თითოეული უნდა გაამრავლო k-ზე
-
ანუ ჩაგდებული ბურთების k რაოდენობას
ვამრავლებ k ბურთის ჩაგდების ალბათობაზე
-
რა იყო k ბურთის ჩაგდების ალბათობა?
-
ეს იყო ეს გამოსახულება:
-
ახლა უნდა გადავიდეთ ალგებრაზე
-
სიგმა ალგებრაზე
-
ჩვენ ვკრებთ k უდრის ნოლიდან n-მდე
-
ამიტომ პირველი წევრი იქნება k უდრის ნოლს
-
თუ პირველი წევრი ნოლის ტოლია,
მაშინ ეს ყველაფერი ნოლის ტოლი გამოვა
-
ამიტომ k უდრის ნოლი წევრი მთლიან ჯამში
არ შევა
-
რადგან ეს გამოსახულება ნოლის ტოლი გამოვა
-
ეს ჯამი შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც:
-
ამ წევრებს უმატებ, სანამ არ მიადგები
მომენტს, როდესაც k უდრის ნოლს
-
ეს არის ამ ჯამის ჩაწერის ერთ-ერთი ხერხი
-
პირველი წევრი, ანუ აი ეს
იქნება ნოლის ტოლი
-
რადგან k ნოლს უდრის, ნოლი კი რაზეც არ უნდა
გაამრავლო მაინც ნოლს მიიღებ
-
ამიტომ შეგვიძლია ეს წევრი დავივიწყოთ და
ჯამი ჩავწეროთ, როგორც:
-
აი ამის ჯამი
-
ხელახლა ჩავწეროთ, მოსალოდნელი მნიშვნელობა
ტოლია--
-
k უდრის ნოლის მაგივრად დავიწყებთ
k უდრის ერთიდან
-
k უდრის ერთიდან n-მდე
-
k გამრავლებული n-იდან k-ზე
-
გამრავლებული p-ზე k ხარისხში გამრავლებული
ერთს მინუს p-ზე
-
აყვანილი n-ს მინუს k ხარისხში
-
გავაგრძელოთ, ჯერჯერობით მხოლოდ ის
პირველი წევრი მოვიშორეთ
-
მოდი ამოვწეროთ ბინომური კოეფიციენტი
-
როგორც ჩანს ჩემს iPod-საც სურს მათემატიკის
სწავლა
-
ეს უდრის--
ბინომურ კოეფიციენტს ამოვწერ
-
k უდრის ერთს
n
-
k გამრავლებული--
ეს იქნება n-ის ფაქტორიალი შეფარდებული
-
k-ს ფაქტორიალი გამრავლებული
n-ს მინუს k-ს ფაქტორიალზე
-
გამრავლებული p-ზე k ხარისხში
-
გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
n-ს მინუს k ხარისხში
-
აქ შეგვიძლია გავამარტივოთ
რას უდრის k გაყოფილი k-ს ფაქტორიალზე?
-
მოდი სხვანაირად გადავწერ
-
k-ს ფაქტორიალი უდრის k გამრავლებული
k-ს მინუს ერთზე
-
გამრავლებული k-ს მინუს ორზე
-
და ასე შემდეგ, სანამ ერთამდე არ მივალთ
-
k ფაქტორიალი შეიძლება ასევე ჩაიწეროს
როგორც:
-
k გამრავლებული k-ს მინუს ერთის
ფაქტორიალზე
-
ამიტომ ამის გადაწერა შეიძლება, როგორც:
-
k გამრავლებული k-ს მინუს ერთის ფაქტორიალზე
ამით ეს ორი k შეიკვეცება
-
ხელახლა გადავწერ ყველაფერს
-
ჯამი k უდრის ნოლიდან n-მდე
-
n ფაქტორიალი შეფარდებული
-
k-ს მინუს n-ის ფაქტორიალი გამრავლებულ
n-ს მინუს k-ს ფაქტორიალზე
-
გამრავლებული p-ზე k ხარისხში გამრავლებული
-
ერთს მინუს p-ზე n-ს მინუს k ხარისხში
-
ეს კიდევ უნდა გავამარტივოთ, უნდა
დავიყვანოთ n-ჯერ p-მდე
-
ამიტომ ვცადოთ n-ჯერ p-ს ფრჩხილებს გარეთ
გაყვანა
-
და ყველაფერი დანარჩენი როგორღაც
ერთად გადავაქციოთ
-
n ფაქტორიალი შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც:
n გამრავლებული n-ს მინუს ერთის ფაქტორიალზე
-
p აყვანილი k ხარისხში კი იგივეა, რაც:
-
p გამრავლებული p-ზე k-ს მინუს ერთ
ხარისხში
-
ახლა გავიტანოთ ეს n და p, მივიღებთ:
-
np გამრავლებული ჯამი k უდრის ერთიდან
n-მდე
-
n-ს მინუს ერთის ფაქტორიალი შეფარდებული
-
k-ს მინუს ერთის ფაქტორიალზე გამრავლებული
n-ს მინუს k-ს ფაქტორიალზე
-
გამრავლებული p-ზე k-ს მინუს ერთ ხარისხში
-
გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
n-ს მინუს k ხარისხში
-
უკვე ახლოს ვართ
-
მოსალოდნელი მნიშვნელობა უნდა იყოს ამის,
ანუ n-ჯერ p-ს ტოლი
-
ამას მივაღწევთ თუ დავამტკიცებთ, რომ
ეს ყველაფერი ერთის ტოლია
-
ამისთვის გამოვიყენებ ჩანაცვლებას
-
ვთქვათ, რომ a უდრის k-ს მინუს ერთს
b კი უდრის n-ს მინუს ერთს
-
რისი ტოლი იქნება n-ს მინუს k?
-
თუ a უდრის k-ს მინუს ერთს
მაშინ a-ს პლუს ერთი იქნება k-ს ტოლი
-
b-ს პლუს ერთი კი n-ის ტოლი
-
n-ს მინუს k კი ამიტომ უდრის:
a-ს პლუს ერთს მინუს b-ს მინუს ერთი
-
ეს კი უდრის a-ს მინუს b-ს
-
ეს მთლიანი ჯამი გახდება--
-
np გამრავლებული ჯამი--
-
როდესაც k უდრის ერთს, რისი ტოლია a?
-
a უდრის ნოლს
-
ახლა, როდესაც k უდრის n-ს, რისი ტოლია
a?
-
a იქნება n-ს მინუს ერთის ტოლი
-
თუმცა n-ს მინუს ერთი არის იგივე, რაც b
-
ამიტომ ეს იქნება ჯამი a უდრის ნოლიდან
b-მდე
-
b უდრის n-ს მინუს ერთს, ამიტომ აქ
გვექნება b ფაქტორიალი
-
შეფარდებული k-ს მინუს ერთის, ანუ
a-ს ფაქტორიალი
-
აქ არასწორად დავწერე, n-ს მინუს k უნდა
იყოს b-ს მინუს a
-
n უდრის b-ს პლუს ერთს ვაკლებთ
a-ს მინუს ერთს
-
ამიტომ ვიღებთ b-ს მინუს a-ს
-
n-ს მინუს k გახდება b-ს მინუს a
ფაქტორიალი
-
გამრავლებული p-ზე k-ს მინუს ერთ ხარისხში
ანუ p-ზე a ხარისხში
-
გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
n-ს მინუს k ხარისხში
-
n-ს მინუს k კი იგივეა, რაც b-ს მინუს a
-
თითქმის მოვრჩით, რისი ტოლი იქნება ეს?
-
ეს უდრის:
-
np გამრავლებული ჯამზე a უდრის ნოლიდან
b-მდე
-
ეს იქნება b-დან a
b ვარიანტიდან ვირჩევთ a შედეგს
-
გამრავლებული p-ზე a ხარისხში
-
გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
b-ს მინუს a ხარისხში
-
რას უდრის ეს?
-
იღებ ორწევრა განაწილების ყველა წევრს--
-
ეს არის ალბათობა თითოეული a-სთვის,
a-ს თითოეული მნიშვნელობისთვის
-
და იღებ ამ ყველა a-ს ჯამს
-
განაწილების გრაფიკს დავხატავ
-
თითოეული ეს სვეტი გამოსახავს
რომელიმე ამ წევრს
-
a უდრის ნოლი წევრი არის ეს,
a უდრის ერთს წევრი კი იქნება ეს
-
ასე იქნება ყოველი, b რაოდენობა წევრისთვის
-
ჩვენ კი ვკრებთ ყველა ამ ალბათობას
-
ვკრებთ ყველა მნიშვნელობას, რომლის მიღებაც
შეუძლია ჩვენს შემთხვევით ცვლადს
-
თუ შეკრებ ყველა ალბათობას, მაშინ
საბოლოოდ მიიღებ ერთს
-
ეს არის გერბების ალბათობას დამატებული
საფასურის ალბათობა
-
ჩვენ ვკრებთ ყველა შესაძლო შემთხვევის
ალბათობას
-
ეს არის ალბათობის მთლიანი განაწილების
ჯამი
-
რაც იქნება ერთის ტოლი
-
დაგვრჩება, რომ შემთხვევითი ცვლადის
მოსალოდნელი მნიშვნელობა
-
იქნება n-ჯერ p-ის ტოლი
-
სადაც n არის მცდელობების რაოდენობა
-
p კი თითოეული მცდელობის
გამართლების ალბათობა
-
ეს ჭეშმარიტია მხოლოდდამხოლოდ
ორწევრა განაწილებისთვის