-
A kör az egyik legalapvetőbb alakzat az univerzumunkban.
-
Akár a bolygók pályájának alakját,
-
a kerekek formáját,
-
vagy akár a molekuláris szintet nézzük,
-
a kör megjelenik újra és újra és újra.
-
Így érdemes megismernünk
néhány tulajdonságát.
-
Az első dolog, amit talán mondhatunk róla,
-
az az, hogy a kör azon pontok összessége,
-
amelyek egyenlő távolságra vannak
a kör középpontjától.
-
A körvonalon lévő pontok mindegyike
egyenlő távolságra van ettől a középponttól.
-
Ezt a távolságot, a kör középpontja
és a körvonal pontjai között,
-
a kör sugarának nevezzük.
-
Ez itt a sugár, és kis r betűvel jelöljük.
-
Ez egyszerűen a középpontól
a körvonalig tartó távolság.
-
Ha az a sugár 3 centiméter, akkor
ez a sugár is 3 centiméter lesz,
-
és ez a sugár is 3 centiméter lesz.
-
Ez sosem változik egy körön belül.
-
A definíciója szerint a kör azon pontok összessége,
-
amelyek egyenlő távolságra vannak
a középponttól,
-
és ez a távolság a sugár.
-
A következő érdekes dolog,
ami az embernek eszébe juthat,
-
az az, hogy mégis milyen széles egy kör?
-
Mekkora a legnagyobb szélessége?
-
Vagy mondhatnánk, hogy milyen hosszú
a leghosszabb szakasz,
-
amit bele tudunk rajzolni a körbe?
-
Ha mondjuk fel akarnánk vágni
a leghosszabb szakasz mentén,
-
milyen hosszú lenne ez a vágás?
-
És ennek nem muszáj itt lennie, felvághatnám mondjuk így is,
-
itt is ugyanolyan széles lenne.
-
De nem vághatom fel például így,
-
mert ez már nem a
leghosszabb szakasz mentén lenne.
-
Szóval több helyen is felvághatom,
-
és ugyanúgy a leghosszabb szakaszt kapnám.
-
Az előbb megismertük a sugarat,
-
ami a kör középpontját köti össze a kör egy
tetszőleges pontjával,
-
és most azt is látjuk, hogy a leghosszabb
szakasz keresztülmegy a középponton.
-
Úgyhogy ez gyakorlatilag két sugár.
-
Itt az egyik sugár, és itt a másik.
-
Ezt a távolságot két legtávolabbi pont között
a kör átmérőjének nevezzük.
-
Ez itt az átmérő, és kis d betűvel jelöljük.
-
Úgyhogy ez itt a kör átmérője.
-
Az átmérő és a sugár közötti kapcsolat könnyen megérthető:
-
az átmérő hossza kétszerese a sugárnak.
Tehát az átmérő egyenlő kétszer a sugárral.
-
Egy másik dolog, amire kíváncsi lehetsz, az
az, hogy milyen hosszú az út a kör mentén?
-
Mondjuk, ha elővennél egy mérőszalagot,
és lefektetnéd pontosan a körvonal mentén,
-
akkor mekkora lenne ez a hossz?
-
Ezt a hosszt a kör kerületének nevezzük.
Ez itt a kerület, és nagy K-val jelöljük.
-
Azt már tudjuk, hogy mi az összefüggés
az átmérő és a sugár között,
-
de vajon mi a kapcsolat az átmérő
és a kerület között?
-
Sokezer évvel ezelőtt az emberek fogták a
mérőszalagjukat,
-
és megmérték vele
mindenféle kör kerületét és átmérőjét.
-
Arra voltak kíváncsiak, hogy hogyan aránylik
a kör átmérője a kör kerületéhez.
-
A mérőszalagjaik viszont
nem voltak túl pontosak.
-
Megmérték egy kör kerületét, és azt látták
mondjuk, hogy az körülbelül 3 méter.
-
Aztán lemérték a kör átmérőjét,
és azt mondták, hogy ez nagyjából 1 méter.
-
A kettő arányára voltak kíváncsiak.
-
A kerület átmérőhöz viszonyított arányára.
-
Ez egész érdekes.
-
Gondolták, lehetséges, hogy a kerület
mindig az átmérő háromszorosa.
-
Persze eddig csak ezt az egy kört láttuk, de
mondjuk, utána megmértek egy másikat is.
-
Mondjuk egy ilyet – ezt kisebbre rajzolom.
-
Mondjuk, hogy ezt a kört is körbemérték, és
azt kapták, hogy a kerület kb. 6 centiméter.
-
A mérőszalagjaik még mindig
pontatlanok voltak.
-
Aztán megállapították, hogy az átmérő
körülbelül 2 centiméter.
-
Ismételten, a kerület és az átmérő aránya nagyjából 3-ra jött ki.
-
Lehetséges lenne, hogy a kerület és az
átmérő aránya állandó minden körre nézve?
-
Ezt mélyebben akarták tanulmányozni, úgyhogy pontosabb mérőszalagokat szereztek.
-
Amikor a mérőszalagjaik pontosabbak lettek,
-
az egyik méréskor azt kapták,
hogy az átmérő pontosan 1.
-
Az átmérő pontosan 1,
de amikor megmérték a kerületet,
-
rájöttek, hogy az közelebb volt 3,1-hez.
-
Ugyanez volt a helyzet ennél is.
-
Azt kezdték észrevenni, hogy ez az arány is
közelebb volt 3,1-hez.
-
Még jobban pontosítottak a mérőszalagokon,
és megkaptak egy számot:
-
3,14159...
-
Egyre csak írták a számjegyeket,
és sosem értek el egy ismétlődő szakaszhoz.
-
Egy nagyon rejtélyes szám volt ez,
ami mindig felbukkant valahol.
-
Mivel a kör az univerzum egyik alapja,
emiatt ez a szám is egy alapvető szám.
-
És mivel ez a szám minden körnél megjelent,
a kerület és az átmérő arányaként,
-
már majdnem hogy bűvös szám ez,
ezért adtak neki egy nevet.
-
Elnevezték pí-nek – görög betűvel pedig így írjuk: π.
-
Ez a betű jelképezi azt a számot, amely
-
valószínűleg a legfigyelemreméltóbb szám az univerzumunkban.
-
Először a kerület és az átmérő arányaként
jelenik meg,
-
de a tanulmányaid során látni fogod,
hogy ez a szám mindenhol előfordul.
-
Akárcsak a kör, a pí (π) is egyike
az univerzum alapvető dolgainak.
-
De hogyan is tudjuk ezt használni
az alapfokú matematikában?
-
Tehát tudjuk, hogy a kerület és az átmérő aránya,
-
ami csak annyit jelent, hogy a kerület
osztva az átmérővel, az pí.
-
A π egyszerűen ezt a számot jelenti itt.
-
Írhatnám azt, hogy 3,14159...
és így tovább,
-
de csak időpocsékolás lenne,
és nehezen kezelhető úgy a szám.
-
Amúgy is, mivel a pí egy végtelen,
nem szakaszos tizedes tört,
-
számokkal sosem tudnám
a pontos értékét kifejezni.
-
Mindig csak kerekített értékekkel dolgozhatnék.
-
A görög betű viszont a pí pontos értékét
fejezi ki, úgyhogy legtöbbször csak
-
így szoktuk leírni ezt a számot.
-
Nézzük meg, hogy milyen összefüggéseket
láthatunk itt!
-
Megszorozhatjuk mindkét oldalt
az átmérővel, és mondhatjuk, hogy
-
a kerület egyenlő az átmérőször π-vel,
azaz d-szer π-vel.
-
Vagy, mivel az átmérő kétszerese
a sugárnak, mondhatjuk,
-
hogy a kerület az 2-szer a sugár-szor π,
azaz 2rπ. Tehát a kör kerülete 2rπ.
-
Próbáljuk meg ezt alkalmazni néhány feladatban!
-
Tegyük fel, hogy van egy körünk, így.
-
Itt a sugara – ez a sugár itt három.
Tehát a sugár egyenlő hárommal.
-
Írjunk mellé valami mértékegységet is!
Legyen mondjuk 3 méter.
-
A kérdés az, hogy mekkora a kör kerülete?
-
A kerület egyenlő 2-szer a sugár-szor π-vel.
-
Tehát ez 2-szer a sugár, ami most 3 méter,
szorozva π-vel.
-
Ez egyenlő lesz 6・π, azaz 6π-vel,
vagy 6π méterrel
-
Ezt ki is számolhatnám.
Jegyezd meg, a π csak egy szám!
-
A π = 3,14159... és így tovább.
-
Ne zavarjon meg a görög betű az eredményben.
-
Egy gyors fejszámolás után láthatod, hogy ha megszoroznád 6-tal a 3,14159...-et, akkor
-
kb. 18 egész valahány m lesz az eredmény.
Ha van számológéped, kiszámolhatod,
-
de általában csak π-ben fejezzük ki
az eredményt, mert így egyszerűbb.
-
Nincs nálam számológép, hogy pontosan megmondjam, de ehelyett a szám helyett
-
írhatsz simán 6π-t.
Szerintem nem fogja meghaladni a 19-et.
-
Itt egy másik kérdés:
Mekkora a kör átmérője?
-
Hát, ha ez a sugár 3, akkor az átmérő
simán csak ennek a kétszerese.
-
Azaz 2・3, avagy 3+3,
ami egyenlő 6 méterrel.
-
Így a kerület 6π méter, az átmérő 6 méter,
a sugár pedig 3 méter.
-
Most induljunk a másik irányból!
-
Mondjuk van itt egy másik kör,
-
és tudjuk, hogy ennek a kerülete egyenlő
10 méterrel, ennyi a kör kerülete.
-
Ha fognál egy mérőszalagot, és
körbemérnéd vele a kört, akkor 10m lenne.
-
Hogyan számolnád ki ebből a kör átmérőjét?
-
Azt tudjuk, hogy az átmérőször π az egyenlő
a kerülettel. Ez egyenlő 10 méterrel.
-
Ahhoz, hogy ezt megoldjuk,
csak simán elosztjuk mindkét oldalt π-vel.
-
Az átmérő egyenlő 10 méter per π,
avagy 10/π méterrel.
-
És ez megint egyszerűen csak egy szám.
-
Ha van számológéped, eloszthatod a 10-et
3,14159-cel, és azt fogod kapni, hogy
-
az eredmény az 3 egész valahány méter.
Nem tudom fejben kiszámolni, de ez csak
-
egy szám. Az egyszerűség és a pontosság
kedvéért sokszor így szoktuk csak hagyni.
-
Mi a helyzet a sugárral?
-
Azt tudjuk, hogy a sugár az átmérő fele.
-
Ugye ez a távolság itt 10/π méter,
az átmérő,
-
és ha ennek csak a felét akarjuk venni ahhoz, hogy megkapjuk a sugarat,
-
akkor csak meg kell szoroznunk 1/2-del.
-
Azaz ez itt 1/2-szer 10/π lesz,
-
vagy leegyszerűsítheted a számlálót
és a nevezőt is kettővel.
-
Így ebből itt 5 lesz, azaz 5/π az eredmény.
-
Ami azt jelenti, hogy ez a sugár itt 5/π méter.
-
Nincs ebben semmi rendkívüli.
-
Azt hiszem, a legnehezebb az egészben az,
hogy megértsük, hogy a π csak egy szám.
-
A π egyszerűen csak 3,14159...és a többi,
és a többi.
-
Számtalan könyvet írtak már a π-ről.
Egész könyveket csak erről az egy számról.
-
De ez akkor is csak egy szám.
Egy nagyon különleges szám.
-
És ha a szokásos formában akarod írni,
ahogy a számokat írod általában,
-
akkor ezt ki is számolhatod. De mindig csak
egy kerekített értéket kaphatsz, mert
-
a π egy végtelen, nem szakaszos tizedes
tört, így akár 3,14-gyel, akár 3,1415-tel,
-
vagy 3,141592654-gyel számolsz, ezek
egyike sem a pontos értéke a π-nek.
-
Ezért érdemes a π-t csak
görög betűként hagyni a számításokban.
-
Akárhogy is, én ezzel búcsúzom.
-
A következő videóban pedig
a kör területét fogjuk kiszámolni.
