Linear Algebra: Simpler 4x4 determinant

Calculating a 4x4 determinant by putting in in upper triangular form first.

لدينا هنا مصفوفة A أربعة في أربعة هنا والتي سنوجد محددها الآن.

-وقبل إتباع الطرق التي إتبعناها سابقا حيث يتم الإنتقال على طول الصف أو طول العمود-

وكما تلاحظون أنها لا توجد مدخلات صفرية في هذه المصفوفة. وبالتالي فلا يوجد هنا صف أو عمود سهل ليتم من خلاله إيجاد المحدد. وكما بالامكان الانتقال على طول هذا الصف وإيجاد جميع المصفوفات الجزئية, إلا أن هذه العملية تصبح شائكة بعض الشئ.

وذلك لأنه يصبح لدينا هنا أربعة محددات ثلاثة في ثلاثة وكل منهم مكون من ثلاث محددات اثنين في اثنين. ولهذا تعد هذه العملية دقيقة.

والآن, سنرى إن كان بالإمكان إستخدام النتائج التي تم التوصل إليها في الفيديوهين السابقين كي نبسط هذه العملية

وإحدى النتائج تشير إلى أنه عند طرح- سأكتبها بطريقة أخرى- وبعبارة أخرى تشير إحدى النتائج إلى أنه إن تم إستبدال الصف j بالصف j ناقص مضاعف قيمة قياسية ما مطروحا من الصف i, فهذا لن يحدث تغيرا في محدد المصفوفة A. أعتقد أننا شاهدنا هذا قبل فيديوهين

وهذه تعتبر فرضية مهمة نوعا ما , حيث أصبح بالامكان القيام بالعمليات الصفية دون إحداث تغير في المحدد

والفرضية الأخرى التي توصلنا إليها كانت بخصوص المصفوفات الثلاثية العليا والتي يمكن تحديد محددها- وبالمناسبة, مما تتكون المصفوفات الثلاثة العليا؟

ومن أجل مراجعتها فقط, المصفوفات الثلاثة العليا تتميز بوجود قطر, والذي سيبدو بهذا الشكل, مكون من مدخلات غير صفرية, وجميع المدخلات الواقعة تحت هذه القطر تساوي صفر. وبينما المدخلات الواقعة فوق هذا القطر لا تساوي صفر. على الرغم من ذلك لا يمكن إفتراض ذلك. وعلى أي حال فجميع المدخلات الواقعة فوق القطر لن تكون صفرية.

وبالتالي, جميع المدخلات الحمراء هذه غير صفرية على العكس من نظيرتها الصفرية المكتوبة باللون الأخضر.

أعتقد أنني نوهت لذك في الفيديو السابق. إلا أن هناك ما يسمى بالمصفوفة الثلاثية السفلية. حيث أن جميع المدخلات الواقعة فوق قطرها الرئيسي عبارة عن مدخلات صفرية والمدخلات الواقعة تحت القطر هذه لاصفرية . وكما ترون هنا أن المدخلات الصفرية ستكون فوق القطر بهذا الشكل.

كما أننا شاهدنا في الفيديو السابق أن محدد هذه المصفوفة يساوي حاصل هذه المدخلات وهي طريقة بسيطة جدا لإيجاد المحدد. وبالتالي, يمكن إستخدام نفس الفرضية التي إستخدمناها في الفيديو السابق لإثبات أن الطريقة البسيطة هذه تنطبق على المصفوفة السفلية. أي أن محدد المصفوفة السفلية هذه يساوي حاصل ضرب هذه المدخلات.

لن أثبت هذا هنا, إلا أنه بإماكنك استخدام نفس الفرضية التي استخدمناها على المصفوفة الثلاثية العلوية في الفيديو السابق.

ومع وجود هذه النتيجة, أي أن محدد هذه المصفوفة يساوي حاصل ضرب هذه المدخلات. وبالامكان أيضا القيام ببعض العمليات الصفية على هذه المصفوفة دون تغير المحدد.

ولربما تكون هناك هناك طريقة أبسط لحساب هذا المحدد وهي وضع هذه المصفوفة في على شكل مصفوفة ثلاثية علوية, ثم يتم ضرب المدخلات الواقعة على طول القطر. دعونا نقم بذلك.

حسنا, كما تعلمون أننا نريد إيجاد محدد المصفوفة A المشتملة على( واحد, اثنين, اثنين, واحد, واحد, اثنين, أربعة, اثنين, اثنين, سبعة, خمسة, اثنين, سالب واحد, أربعة, سالب ستة , ثلاثة)

ثم, سنجعل هذه المصفوفة على شكل مصفوفة ثلاثية علوية. وبالتالي, سأبقي الصف الأول كما هو( واحد, اثنين, اثنين, واحد). ثم, سنستبدل الصف الثاني بالصف الثاني ناقص الصف الأول. أي أن الصف الثاني ناقص الصف الأول سيساوي, واحد ناقص واحد يساوي صفر- وفي هذه الحالة سيكون الثابت عبارة عن واحد- و اثنين ناقص اثنين يساوي صفر, و أربعة ناقص اثنين يساوي اثنين, و أخيرا اثنين ناقص واحد يساوي واحد.

والآن, سنستبدل الصف الثالث بالصف الثالث ناقص اثنين مضروبة في الصف الثاني هذا.

لذا, سيكون لدينا هنا, اثنين ناقص اثنين مضروبة في واحد يساوي صفر. وسبعة ناقص اثنين مضروبة في اثنين يساوي ثلاثة.

وخمسة ناقص اثنين مضروبة في اثنين يساوي واحد.

واثنين ناقص اثنين مضروبة في واحد يساوي صفر.

والآن, سنستبدل الصف الأخير بالصف الأخير زائد الصف الأول. أي سالب واحد مضروبة في الصف الأول تساوي جمع الصف الأخير مع الصف الأول. #

وبالتالي, سالب واحد زائد واحد يساوي صفر. وأربعة زائد اثنين يساوي ستة . وسالب ستة زائد اثنين يساوي سالب أربعة . و أخيرا ثلاثة زائد واحد يساوي أربعة.

وكما تشاهدون هنا لدينا مدخلتين صفريتين في هذا الصف, ولهذا ربما أقوم باستبدال بعض الصفوف هاهنا.

فلو استبدلنا بعض الصفوف, ماذا سينتج لدينا؟

سأستبدل الصفين الأوسطين هنا للتجربة. وذلك لأنني أحتاج إلى مدخلة مركزية هنا. عفوا, لا ينبغي أن أقول مدخلة مركزية. ولكن, بما أنني أريد جعل هذه المصفوفة على شكل مصفوفة ثلاثة علوية, أحتاج إلى أن يكون لدي هنا مدخلات لاصفرية.

ولأن هذه المدخلة تساوي صفر, سأستبدل هذا الصف.

وبالتالي, سأبقى هذا الصف العلوي كما هو( واحد, اثنين, اثنين, واحد) وأيضا الصف السفي كذلك( صفر, ستة, سالب أربعة, أربعة). ثم, سأستبدل هذين الصفين الموجودين هاهنا ببعضهما البعض. ولهذا, سيكون هذا الصف( صفر, ثلاثة, واحد, صفر), والآخر سيكون( صفر, صفر, اثنين, واحد)

بوسعنا الآن استبدال المدخلات بهذ الطريقة, ولكن تذكروا أنه عند استبدال المدخلات, سيكون المحدد الناتج عبارة عن المحدد الأصلي ولكن في حالة سالبة.

وبناء على ذلك, إذا استبدلنا مدخلات هاتين المصفوفتين, سيكون محدد هذه المصفوفة عبارة عن هذا المحدد ولكن في حالة سالبة. وعند إستبدال صفين, نقوم بقلب الإشارات فقط. حيث أننا شاهدنا ذلك في الفيديوهات الأولى التي تتناول هذا الموضوع.

والآن, سنضع هذا المحدد في شكل مصفوفة ثلاثية عليا. وللقيام بذلك بسهولة, سنساوي هذه المدخلة بصفر.

ومن أجل ماساوة هذه المدخلة بصفر, سأبقي باقي المدخلات كما هي( واحد, اثنين, اثنين, واحد, و صفر, ثلاثة, واحد, صفر, و صفر, صفر, اثنين, واحد, وبالنسبة للصف الأخير, سأستبدله بالصف الأخير ناقص ثلاثة مضروبة في هذا الصف )

أو سأستبدل الصف الأخير هذا بالصف الأخير ناقص اثنين مضروبة في الصف الثاني هذا مع الانتباه إلى إشارة السالب هنا.

ولهذا, سيكون لدينا هنا, صفر ناقص اثنين مضروبة في صفر يساوي صفر.

ثم, ستة ناقص اثنين مضروبة في ثلاثة يساوي صفر.

و سالب أربعة ناقص اثنين مضروبة في واحد يساوي سالب ستة.

و أخيرا, أربعة ناقص اثنين مضروبة في صفر يساوي صفر أربعة.

وكما تعلمون, سنقوم الآن بتصفير هذه المدخلة. ولهذا, سأبقي الصفوف الثلاث العلوية كما هي( واحد, اثنين, اثنين, واحد, و صفر, ثلاثة, واحد, صفر, ثم, صفر, صفر, اثنين, واحد). .

ولحتى الآن, لم أكتب الصف الرابع. و بالطبع هذا المحدد هو هذا المحدد ولكن في حالة سالبة. وهو عبارة عن محدد المصفوفة الأصلية الموجودة لدينا هنا, لأننا قمنا بتبديل هذين الصفين سابقا.

والآن, دعونا نستبدل الصف الأخير هذا بالصف الأخير مضافا له ثلاثة مضروبة في الصف الثالث.

وبالتالي, صفر زائد ثلاثة مضروبة في صفر يساوي صفر. وصفر زائد ثلاثة مضروبة في صفر يساوي صفر. و سالب ستة زائد ثلاثة مضروبة في اثنين يساوي صفر. وأخيرا, أربعة زائد ثلاثة مضروبة في واحد يساوي سبعة.

وبهذ الطريقة تمكنا من جعل محدد المصفوفة على شكل مصفوفة ثلاثية علوية.

وهذا المحدد سيساوي حاصل ضرب هذه المدخلات. - لا تنسوا إشارة السالب هنا- سأكتبه بين قوسين بهذا الشكل. أي, سالب( واحد مضروبة في ثلاثة مضروبة في اثنين مضروبة في سبعة) حيث أن لدينا هنا اثنين في ثلاثة يساوي ستة و ستة مضروبة في سبعة يساوي سالب أربعة وعشرين. أي أن محدد هذه المصفوفة الأصلية يساوي سالب أربعة و عشرين. وكما ترون أن هذه الطريقة المختصرة كانت سلسة.

كما أنها تبدو أكثر فعالية حسابيا وذلك عند إستخدام هذه النتائج لوضع المحددات على شكل مصفوفة ثلاثية علوية أولا. ثم, إن أردت القيام باستبدال المدخلات, فلابد أن تجعل المحدد في حالة سالبة. ثم تقوم بضرب المدخلات الواقعة على طول القطر. حيث أننا قمنا بذلك هنا, و وجدنا أن المحدد يساوي سالب أربعة و عشرين.