-
ลองจินตนาการว่าเราอยู่ในยุคก่อนประวัติศาสตร์
-
ลองคิดดูว่า
-
เราสามารถรู้เวลาได้อย่างไร โดยไม่มีนาฬิกา
-
นาฬิกาทุกเรือนมีพื้นฐานมาจากวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน
-
ซึ่งแบ่งเวลาเป็นส่วนๆ ละเท่าๆ กัน
-
ในการหาวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กันนั้น
-
เรามองไปยังท้องฟ้า
-
เราเห็นดวงอาทิตย์ขึ้น และตกลงในทุกวัน
-
แต่หากเราต้องการรู้เวลาในระยะยาวกว่านี้
-
เรามองหาวัฎจักรที่ยาวนานกว่านี้
-
อย่างเช่น เรามองไปยังดวงจันทร์แทน
-
ซึ่งรูปร่างหน้าตาจะเปลี่ยนในแต่ละวัน
-
เมื่อเรานับจำนวนวัน ระหว่างพระจันทร์เต็มดวง
-
เราจะได้ 29 วัน
-
ซึ่งนี่คือที่มาของ เดือน
-
แต่ถ้าเราจะแบ่งตัวเลข 29 เป็นส่วนๆ ที่เท่าๆ กัน
-
เราจะพบว่ามันเป็นไปไม่ได้
-
ทางเดียวที่จะแตกเลข 29 เป็นส่วนเท่าๆ กันได้นั้น
-
คือแตกออกเป็น 1 หน่วย 29 อัน
-
เพราะ 29 คือจำนวนเฉพาะ
-
ซึ่งไม่สามารถแตกออกเป็นตัวเลขย่อยๆ ได้
-
ถ้าตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ได้
-
เราเรียกว่า จำนวนประกอบ
-
ตอนนี้เราอาจจะสงสัยว่า
-
มีจำนวนเฉพาะจำนวนกี่ตัว
-
และมีขนาดใหญ่ได้ขนาดไหน
-
เราจะเริ่มโดยแบ่งตัวเลขเป็น 2 ประเภท
-
เราจะให้จำนวนเฉพาะอยู่ทางซ้าย
-
และจำนวนเฉพาะอยู่ทางขวา
-
ในตอนแรก เราอาจจะเห็นว่าตัวเลขนั้นไปๆ มาๆ ทั้งสองฝั่ง
-
เรายังไม่เห็นที่มาของการเรียงลำดับนี้ได้อย่างชัดเจนนัก
-
ทีนี้ เราจะใช้วิธีสมัยใหม่
-
เพื่อให้เราเห็นภาพ
-
ซึ่งเราจะใช้วงเกลียวของ Ulam
-
ซึ่งเราจะเรียงตัวเลขทุกตัวที่เป็นไปได้
-
เป็นก้นหอยที่เป็นวงออกไปเรื่อยๆ
-
แล้วเราจะระบายสีจำนวนเฉพาะเป็นสีน้ำเงิน
-
ทีนี้ เมื่อเราซูมออกมาจนสามารถเห็นตัวเลขได้เป็นล้านตัว
-
นี่คือลำดับของจำนวนเฉพาะ
-
ซึ่งออกไปเรื่อยๆ
-
ซึ่งโครงสร้างของวงเกลียวนี้
-
ยังไม่เคยมีใครพิสูจน์ได้
-
เราจะเริ่มเรื่องของเราแล้ว
-
ทีนี้เราจะ
-
ไปในช่วง 300 ก่อนคริสต์กาล ในกรีกโบราณ
-
นักปรัชญาที่ชื่อว่ายูคลิด
-
เข้าใจว่าตัวเลขทุกตัวนั้น
-
สามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท
-
เขาเข้าใจว่าตัวเลขทุกตัว
-
สามารถหารลงไปเรื่อยๆ
-
จนถึงกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุด
-
ซึ่งกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุดนี้
-
คือจำนวนเฉพาะ
-
ซึ่งเขากล่าวว่าตัวเลขทุกตัว
-
นั้นเกิดจากการรวมตัวกันของจำนวนเฉพาะ
-
เพื่อให้เข้าใจกัน ลองจินตนาการตัวเลขทุกตัว
-
ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
-
ทีนี้ ลองนำจำนวนประกอบตัวใดก็ได้มาแตกออก
-
แล้วเราจะเหลือไว้แค่จำนวนเฉพาะ
-
ซึ่งยูคลิดรู้ว่าตัวเลขทุกตัว
-
สามารถแสดงออกมา โดยกลุ่มจำนวนเฉพาะ
-
ซึ่งเราสามารถเปรียบเทียบได้ว่ามันคือ โครงสร้าง
-
ซึ่งตัวเลขทุกตัวที่คุณเลือก
-
สามารถสร้างขึ้นมาจากกลุ่มจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่า
-
ซึ่งนี่คือที่มาของ
-
ทฤษฎีพื้นฐานของตัวเลข
-
แล้วนำตัวเลขอะไรก็ได้ เช่น 30
-
แล้วหาจำนวนเฉพาะทุกตัว
-
ที่มันสามารถหารได้ลงตัว
-
ซึ่งกระบวนการนี้เป็นการแยกตัวประกอบ
-
จะทำให้เรารู้จำนวนเฉพาะ
-
ในกรณีนี้ 2, 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 30
-
ยูคลิดรู้ว่า คุณสามารถคูณ
-
ตัวเลขเหล่านี้ในจำนวนครั้งที่ถูกต้อง
-
เพื่อสร้างตัวเลขเดิม
-
ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่
-
คูณตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวด้วยกันเพื่อสร้างตัวเลข 30
-
2 คูณ 3 คูณ 5 คือตัวประกอบเฉพาะของ 30
-
คิดว่า มันเป็นคีย์พิเศษ
-
ซึ่งไม่มีวิธีอื่นในการสร้างตัวเลข 30
-
โดยยนำจำนวนเฉพาะกลุ่มอื่น ๆ
-
มาคูณเข้าด้วยกัน
-
ดังนั้นตัวเลขทุกตัวจะมี
-
วิธีการแยกตัวประกอบเพียง 1 วิธีเท่านั้น
-
การเปรียบเทียบที่ดีคือ ลองจินตนาการว่าตัวเลขแต่ละตัวเลข
-
คือล็อคที่แตกต่างกัน
-
กุญแจของมัน
-
คือการแยกตัวประกอบที่เฉพาะเจาะจง
-
ไม่มีล็อคสองอันที่จะใช้กุญแจเหมือนกัน
-
ไม่มีตัวเลข 2 ตัวที่ใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะเหมือนกัน