The Fundamental Theorem of Arithmetic

La oss forestille oss, at vi levde for lang, lang tid siden.

La oss prøve å tenke over,

hvordan vi holdt styr på tiden uten klokke.

Alle klokker er basert på et gjentatt mønster,

som deler hele tiden opp i like store deler.

For å finne de gjentatte mønstrene

ser vi på himmelen.

Det er klart, at solen står opp og ned hver dag,

men når vi skal holde styr på lengre tidsrom,

skal vi se etter lengre sykluser.

Vi kan se på månen,

det ser ut som den vokser og minsker over mange dager.

Når vi teller antallet av dager mellom fullmåne,

finner vi ut av at, det er 29.

Det er sånn, man fant opp en måned.

Når vi skal prøve å dele 29 opp i like store deler,

finner vi ut av, at det er umulig.

Den eneste måneden, vi kan dele opp 29 i like store deler

er ved å splitte det opp i grupper av 1.

29 er nemlig et primtall.

Vi kan tenke på det som udelelig.

Hvis et tal kan bli delt opp i like store deler, som er større enn 1,

kaller vi det et sammensatt tall.

Hvis vi er nysgjerrige, kommer vi kanskje til å tenke på,

hvor mange primtall, det er,

og hvor store de blir.

La oss starte med å dele alle tall inn i 2 kategorier.

Vi setter primtallene til venstre

og de sammensatte tallene til høyre.

Til å starte med ser de ut til å være litt her og der.

Det ser ikke ut som det er et mønster.

La oss bruke en moderne teknikk

til å se det fulle bildet.

Teknikken er å bruke Ullam-spiralen.

Først stiller vi alle tall i rekkefølge

i en voksende spiral.

Så farger vi alle primtallene blå.

Til slutt forminsker vi bildet, så vi kan se millioner av tall.

Det her er primtallenes mønster,

som fortsetter og fortsetter for evig.

Utrolig nok er hele det her mønsterets struktur

fremdeles ikke løst i dag.

Vi har funnet noe.

La oss spole tiden frem

til omkring 300 år før vår tidsregning i gamle Grekenland.

En filosof kjent som Euclid fra Alexandria

forstod, at alle tall

kunne bli delt opp i de her 2 kategoriene.

Han begynte ved å finne ut av,

at alle tall kan bli dividert igjen og igjen,

inntil man når en gruppe av de minste, like store tall.

Per definisjon er de her små tallene

alltid primtall.

Han viste altså,

at alle tall på en måte er bygget ut av mindre primtall.

For å gjøre det klart kan vi forestille oss et univers

med alle tall og ignorere primtallene.

Vi kan velge et hvilket som helst sammensatt tall

og dividere det ned, og vi vil alltid stå tilbake med et primtall.

Euclid visste altså, at ethvert tall kan uttrykkes

ved å bruke en gruppe av mindre primtall.

Vi kan tenke på de her som byggeklosser.

Uansett hvilket tall vi velger,

kan vi alltid bygge det med noen mindre primtall.

Det er roten til oppdagelsen,

vi kaller den fundamentale teori om aritmetikk.

Vi kan velge ethvert tall. La oss for eksempel tal 30.

Nå kan vi finne alle de primtallene,

som går opp i det uten rest.

Det heter faktorisering.

Det vil gi oss primtallene.

I det her tilfelle er 2, 3 og 5 primfaktorene til 30.

Euclid fant ut av, at man kan gange

primfaktorene et vist antall ganger

og på den måten bygge et opprinnelige tall.

I det her tilfelle ganger vi bare

hver faktor med hverandre 1 gang for å bygge tallet 30.

2 ganger 3 ganger 5 er prim faktoriseringen for 30.

Vi kan tenke på det som en særlig nøkkel kombinasjon.

Det er ingen annen måte å bygge tallet 30 på

ved å bruke andre tall

ganget sammen.

Ethvert tall har altså 1,

og kun 1, prim faktorisering.

Man kan altså forestille seg,

at alle tall har en forskjellig lås.

Den unike nøkkelen til låsen

er den primfaktorisering.

Det er ikke 2 låser, som har den samme nøkkelen.

Det er ikke 2 tall, som har samme primfaktorisering.