Separable differential equations examples

В това видео ще се упражним
да намираме общи решения

диференциални уравнения
с отделящи се променливи.

Нека имаме диференциалното
уравнение dy/dx,

производната на у спрямо х,
която е равно на e^x/у.

e^x върху у.

Да видим мога ли да намеря
общо решение

на това диференциално уравнение.

Ще ти дам голяма подсказка.

Това е диференциално уравнение
с отделящи се променливи.

Когато имаме такъв вид
уравнения с отделящи се променливи,

искаме да отделим всички у и dу
от едната страна, а после

всички х и dх от другата страна.

Всъщност ние един вид
приемаме тези диференциали

като променливи, което
е нещо като трик в математиката.

Но това е всичко,
което правим.

Да видим. Ако умножим
двете страни по у,

значи умножаваме двете
страни по у,

какво ще получим?

Ще получим у по
производната на у спрямо х,

е равно на е^х.

Сега можем да умножим
двете страни по диференциала dх;

умножаваме двете страни по dх,
тези се съкращават.

Остава ни у . dу = е^х . dх.

И сега можем да интегрираме
двете страни.

Да го направим.

Колко е интеграл от у.dу?

Тук просто използваме наобратно
правилото за диференциране на степени.

Просто ще увеличим степента,
значи това е у на първа степен,

но когато вземем
примитивната функция,

ще стане у^2, което
после ще разделим

на увеличената степен,
значи е равно на...

интересното при е^х е това, че

и примитивната функция,
и производната са е^х,

е равно на е^х + с.

Можем да го оставим така,
ако искаме.

Всъщност това ето тук
не е явна функция.

Тук у не е явна функция на х.

Можем да кажем, че
у е равно на + или –

корен квадратен от два пъти
всичко това тук,

но това е една много
обща зависимост,

която би удовлетворила това
уравнение с отделящи се променливи.

Да видим още един пример.

Нека да имаме производната на у

спрямо х, която е равна...
да кажем, че е равна на

y^2 . sin(x).

Спри видеото и опитай
да намериш общото решение.

Отново, искаме да
разделим всички у и всички х.

Можем да умножим двете страни

по у^(–2), по у^(–2)

по у^(–2), тук става едно,

и после ще умножим двете
страни по dх.

Ако умножим тук по dх,
тези се съкращават,

умножаваме по dх тук,
и ни остава

y^(–2)dy, което е равно на

sin(x).dx, и сега можем
просто да интегрираме двете страни.

Коя е примитивната функция
на y^(–2)?

Отново използваме наобратно
правилото за диференциране на степени.

Увеличаваме степенния показател,
който ще стане

y^(–1) и после делим това

на увеличения степенен показател.

Значи делим на –1.

Това просто ще стане отрицателно.

И това ще е равно на...

Каква е примитивната функтция
на sin(х)?

Може би ще забележиш, че ако

сложа тук знак минус,
и тук знак минус,

примитивната функция на
–sin(х) е равна на cos(х).

Значи цялото това нещо
става cos(х),

или друг начин:
мога да умножа двете страни

по минус 1, така че тези двете

ще станат положителни,
и така мога да напиша

1/у е равно на cos(х),
всъщност...

ще го напиша така: плюс с,
да не забравяме + с.

Плюс с, и взимам
реципрочното на двете страни,

ако искам да намеря у,
мога да напиша

у = 1/cos(х) + с

като общо решение.

И сме готови.

Това беше удивително забавно.