Вступ до залежної ймовірності

Вирішуємо чи забажаєте ви грати у гру у дивному казино.

Уявімо собі певного
роду дивне казино

з дуже дивними іграми у ньому.

Ви підходите до грального столу,
а на ньому

лежить порожня торба.

А круп’є вам і каже : "Послухайте, я тут
маю трохи крем’яхів -

3 зелені і 2 помаранчеві крем’яхи, і я
запхну їх до цієї торби."

І він дійсно кладе їх до даної торби

і при цьому показує вам, що й справді це
3 зелені та 2 помаранчеві крем’яхи.

Згодом він пояснює вам суть даної гри:
"Гра у яку ми будемо грати,якщо забажаєте,

полягає у тому, що ви відвернетеся і
занурите свою руку до цієї торби,

дана торба непрозора,

намацаєте у ній крем’ях, а усі крем’яхи на
дотик однакові,

і якщо при цьому ви витягнете два зелені
крем’яхи поспіль,

тобто дістанете спочатку один зелений
крем’ях з торби, покладете його на стіл,

згодом занурите знову руку до цієї торби

і витягнете інший крем’ях,що також буде
зеленим,

тоді за ці два зелені крем’яхи поспіль ви
виграєте приз.

Ви виграєете один долар якщо витягнете
два зелені крем’яхи поспіль."

Ви кажете: "Звучить непогано.

Скільки коштує зіграти у цю гру?"

І круп’є каже вам, що ставка становить
35 центів.

Отож вочевидь це казино з низькими
ставками.

Отже моє питання таке - Чи забажаєте ви
грати у дану гру?

Ви не повинні дивитися на це як на
веселощі.

Міркуймо суто економічно - Чи дійсно є
сенс грати у цю гру?

Ну, поміркуймо трохи над даними
ймовірностями.

Отож перш за все, яка ймовірність того, що
першим крем’яхом буде саме зелений?

Яка ймовірність того що ви першим
витягнете саме зелений крем’ях?

Запишемо це перший зелений.

Ймовірність першого зеленого.

Загальна ж кількість можливих результатів

це 5 крем’яхів, що мають рівні можливості.

Отож 5 можливих результатів

3 з яких відповідають нашій умові, а саме
перший зелений крем’ях.

Отже ймовірність витягання першим
зеленого крем’яху дорівнює 3/5.

Отож ви маєте шанс у 3/5.

Краще сказати, ймовірність 3/5.

Але опісля першого витягання ви все ще
лишаєтеся у грі.

Нам же треба вирахувати ймовірність
виграти у грі загалом.

А для цього потрібно щоб і перший,
і другий крем’яхи були зеленими.

Поміркуймо про це. Яка ж ймовірність того,

що витягнуть і перший зелений,

g - це зелений,

і другий зелений.

Тепер можливо у вас з’явиться спокуса
сказати:

"Другий зелений має таку ж ймовірність
у 3/5.

І мені треба лише помножити 3/5 на 3/5.

І я отримаю 9/25.

Здається, що це цілком зрозуміла річ."

Але це не так. Усвідомте,що саме ви робите
із першим зеленим крем’яхом.

Ви ж не просто витягаєте його, дивитесь
на нього й кладете його назад. Ні.

Отож коли ви витягаєте вдруге, то
кількість зелених крем’яхів у торбі

залежить від того, що ви витягли першим.

Пам’ятайте,що ми витягаємо крем’ях геть.

І будь-який крем’ях опісля витягання

ми лишаємо його на столі.

Ми не повертаємо його назад, отож немає
жодного повернення тут.

Отже це не незалежні події.

Зрозумійте - не незалежні.

Іншими словами, друге витягання залежить
від першого.

Залежить від першого витягання.

Якщо перший витягли зелений, тоді у торбі
вже не 3 зелених до 5 крем’яхів.

Якщо ж першим крем’яхом був зелений, то
тепер ви маєте 2 зелених з 4 крем’яхів.

Отже, ми ведемо мову про ймовірність
того, що відбудуться обидві ці події.

Так, ось це дійсно ймовірність витягання
першим зеленого крем’яху,

тепер же постає нова ідея про ймовірність
витягання другого зеленого крем’яху,

ось ця маленька лінія тут,

вертикальна лінія означає,

означає витягання,

витягання першим зеленого крем’яху.

А яка ж ймовірність витягнути другим
зелений крем’ях коли й перший був зеленим?

Намалюймо даний сценарій ось тут.

Якщо перший крем’ях зелений, то існує
4 можливих результати.

вже не 5, а 4.

І два з цих результатів задовільняють
умовам.

Отож два з них задовільняють вашим умовам.

Отже, ймовірність того що і перший,
і другий крем’яхи будуть зеленими.

Ймовірність того,що перший крем’ях буде
зеленим

становить 3/5.

Отож знайдемо ймовірність витягання
другого зеленого опісля першого.

Тепер ми маємо на один крем’ях менше
у даній торбі і припускаємо що це зелений.

Отже лишилося лише 2 зелених крем’яхи.

І як це вплине на нашу загальну
ймовірність?

Підрахуймо. 3/5 помножимо на 2/4,

2/4 це те саме що й 1/2.

Отже, множимо 3/5 на 1/2

і це дорівнює 3/10.

Або можна це записати як 0,3.

Або можна сказати, що це шанс у 30% на

витягання двох зелених крем’яхів поспіль
без повернення назад.

Отож, я запитаю вас ще раз -

Чи забажаєте ви грати у цю гру?

Ну, якщо ви гратимете у цю гру дуже багато
разів,

то усереднено матимете шанс у 30%

виграти один долар.

А це не покриває наших витрат.

Отож, очікуваний вами прибуток буде
становити

30% від одного долару,

а це становить

30 центів.

30% шанс виграти один долар,

усереднено очікуваний.

Якщо ви будете грати багато

разів, то виграватимете по 30 центів.

То чи бажаєте ви віддавати комусь

35 центів, аби усереднено отримати назад
30 центів?

Ні! Ви б не забажали грати у таку гру.

А тепер поміркуйте ось над чим -

Чи забажали б ви грати у цю гру

якщо б ви могли повертати назад зелений
крем’ях опісля першого витягання?

Опісля першого витягання ви кладете
крем’ях назд.

Чи забажали б ви грати у цю гру при
такому сценарії?

Переклад на українську: Віталій Данмер, рев’ювер Юлія Гулакова, благодійний фонд “Magneticone.org”